资料简介
18.2 特殊的平行四边形
18.2.3正方形
第一课时
第二课时
人教版 数学 八年级 下册
正方形的性质
第一课时
返回
除了矩形和菱形外，还有什么特殊的平行四边形呢？
正方形
怎样研究这类图形？
想一想我们是怎样研究矩形和菱形的.
导入新知
1. 理解正方形与平行四边形、矩形、菱形概
念之间的联系和区别.
2. 能用正方形的定义、性质进行推理与计算.
素养目标
平行四边形
情境一： 观察体会
探究新知
知识点 1 正方形的定义正方形的定义
探究新知
探究新知
有一个直角
探究新知
有一个直角
矩形
探究新知
有一个直角
矩形
探究新知
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
探究新知
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
平行四边形
探究新知
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
平行四边形
探究新知
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
平行四边形
探究新知
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
一组邻边相等
平行四边形
探究新知
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
一组邻边相等
平行四边形
探究新知
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
一组邻边相等
有一个直角
正方形
平行四边形
你能给正方形下
一个定义吗？
探究新知
问题1：图中CD在平移时，这个图形始终是怎样的图形
？问题2：当CD移动到CD位置，此时AD ＝AB，四边
形ABCD还是矩形吗？
A
B C
D A
B C
D
正方形是特殊的矩形
情景二：两组互相垂直的平行线围成矩形ABCD
探究新知
矩 形正方形
〃
〃
【思考】1.
探究新知
矩形一组邻边相等时变成怎样的图形呢?
菱 形
∟
∟
∟
∟
正方形
【思考】2.菱
形有一个角是
直角时变成怎
样的图形呢?
探究新知
小结：
矩 形
〃
〃 正方形邻边
相等
〃
〃
发现：
一组邻边相等的矩
形叫正方形.
菱 形 一个角
是直角 正方形
∟
发现：
一个角为直角的
菱形叫正方形.
如何来给正方形下定义？
探究新知
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形
.
请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考.
正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?
对称性： .
对称轴： .
轴对称图形
4条
A
B C
D
探究新知
知识点 2 正方形的性质正方形的性质
总结：平行四边形、矩形、菱形、正方形的对称性
平行四
边形
中心对称图形
（对角线的交点）
即是中心对称图形，
又是轴对称图形（两条）
即是中心对称图形，
又是轴对称图形（两条）
即是中心对称图形，
又是轴对称图形（四条）
探究新知
矩形
菱形 正方形
有一个角
是直角
有一组邻
边相等
有一组邻
边相等
有一个角是
直角
有一组邻边相等且
有一个角是直角
(1)
(2)
(3)
(4)
探究新知
平行四
边形
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
矩形
菱形
正方形
矩形 菱形
正
方
形
平行四边形
正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的
菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
探究新知
性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.
2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
已知：如图,四边形ABCD是正方形.
求证：正方形ABCD四边都相等,四个角都是直角.
A
B C
D
证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴∠A=90°, AB=BC （正方形的定义）.
又∵正方形是平行四边形.
∴正方形是矩形（矩形的定义）,
正方形是菱形(菱形的定义).
∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°,
AB= BC=CD=AD.
探究新知
已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点
O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.
A
B C
D
O
证明：∵正方形ABCD是矩形,
∴AO=BO=CO=DO.
∵正方形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.
探究新知
例1 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的
等腰直角三角形.
A D
CB
O
已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点
O.求证:△ABO、△BCO、△CDO、 △DAO是全等的等腰直角三角
形.
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.
∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都
是等腰直角三角形,并且
△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO.
素 养 考 点 1
探究新知
利用正方形的性质求线段相等
1.已知正方形ABCD，若E为对角线上一点，连接EA、
EC. EA = EC吗？说说你的理由.
E
A
B C
D
1
2
？
？
巩固练习
解： EA = EC .理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠1=∠2=45°，
又∵BE=BE
∴△ABE≌△CBE
∴AE=CE.
例2 如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形，
求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° .
证明：∵ ΔBEC是等边三角形，
∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，
∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°，
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°，
∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°.
探究新知
素 养 考 点 2 利用正方形的性质求角度
2.已知：如图，在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，
CE⊥AF于E，交AD于M，
求证：∠MFD＝45°
证明：∵CE⊥AF， ∴∠ADC＝∠AEM＝90°
又∵∠CMD＝∠AME，
∴∠1＝∠2
又∵CD＝AD，∠ADF＝∠MDC
∴Rt△CDM≌Rt△ADF (ASA)
∴DM=DF.
∴∠DMF=∠DFM
∵∠ADF=90°，∴∠MFD=45°.
巩固练习
例3 如图四边形ABCD和DEFG都是正方形，
试说明AE=CG.
解： ∵四边形ABCD是正方形
∴AD=CD
又∵四边形DEFG也是正方形 ∴DE=DG
又∵正方形的每个内角为90°
∴∠ADE＋∠EDC＝∠CDG＋∠EDC，
∴∠ADE＝∠CDG
∴△AED≌△CGD. ∴AE=CG
A
B C
D
E
F
G
素 养 考 点 3 利用正方形的性质求线段相等
探究新知
3.已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB
的延长线上一点，且DE=BF．
求证：（1）AE=AF；（2）EA⊥AF．
1
2
3
巩固练习
证明：（1）∵ ABCD是正方形
∴AD=AB，∠ADE=∠ABF=90°
在△ABF与△ADE中，AD=AB,
∠ADE=∠ABF=90°，DE=BF
∴ △ABF≌△ADE（SAS）
∴ AE=AF ,∠1=∠3
（2）∵∠2+∠3=90 °
∴∠1+∠2=90 °，∴ EA⊥FA
（2018•吉林）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，
CD上，且BE=CF，求证：△ABE≌△BCF．
巩固练习
连 接 中 考
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，
在△ABE和△BCF中，
∴△ABE≌△BCF．
AB=BC
∠ABE=∠BCF
BE=CF
A D
B CE
F
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A.四个角相等 B.对角线互相垂直平分
C.对角互补 D.对角线相等
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）
A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分
C.对角线平分一组对角 D.对角线相等
B
D
课堂检测
基 础 巩 固 题
3．在正方形ABC中,∠ADB= ,∠DAC= , ∠BOC=
.
4.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则
∠EBC的度数是 .
A D
B C
O
A D
B C
O
E
45°
90°
22.5°
第3题图 第4题图
45°
课堂检测
基 础 巩 固 题
5.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，
AO＝2，求正方形的周长与面积．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OD＝2.
在Rt△AOD中，由勾股定理，得
∴正方形的周长为4AD＝ ，
面积为AD2＝8.
课堂检测
基 础 巩 固 题
解
: A D
B C
O
如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E
， PF⊥DC于F.试说明：AP=EF.
A
B C
D
P
E
F
解
:
连接PC，AC.
又∵PE⊥BC ， PF⊥DC,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠FCE=90°， AC垂直平分BD,
∴四边形PECF是矩形,
∴PC=EF.
∴AP=PC.
∴AP=EF.
课堂检测
能 力 提 升 题
四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作等边
△ADE，求∠BEC的大小．
解：当等边△ADE在正方形ABCD外部时，如图①，
AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.
∴∠AEB＝15°.
∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；
课堂检测
拓 广 探 索 题
同理可得∠DEC＝15°.
当等边△ADE在正方形ABCD内部时，如图②
，
AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，
∴∠AEB＝75°.
同理可得∠DEC＝75°.
∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.
综上所述，∠BEC的大小为30°或150°.
课堂检测
拓 广 探 索 题
1.四个角都是直角
2.四条边都相等
3.对角线相等且互相垂直平分
正方形的
性质
性质
定义
有一组邻边相等，并且有一个角
是直角的平行四边形叫做正方形
.
课堂小结
正方形的判定
第二课时
返回
宁宁在商场看中了一块正方形纱巾，但不知是否是正
方形，只见售货员阿姨拉起纱巾的一组对角，另一组对角
能完全重合，看宁宁还在犹豫，又拉起纱巾的另一组对角，
剩下的那组对角也能完全重合.阿姨认为这样就能证明纱巾
是正方形，把纱巾给了宁宁，你认为宁宁手上的纱巾一定
是正方形吗？
导入新知
2. 能应用正方形定义、判定等知识，解决简单
的证明题和计算题.
1. 理解并掌握正方形的判定方法 .
素养目标
做一做：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察
这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.
正方形
菱
形
【讨论】 满足怎样条件的菱形是正方形？
正方
形
一个角是直角
或对角线相等
探究新知
知识点 1 正方形的判定正方形的判定
已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
AC=DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
A B
CD
O
求证：对角线相等的菱形是正方形.
探究新知
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.
∵AC=DB,
∴ AO=BO=CO=DO,
∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,
∴四边形ABCD是正方形.
证明：
做一做：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，
折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.
正方形
【讨论】满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形 正方
形
一组邻边相等
或对角线互相垂直
探究新知
矩形
已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
AC⊥DB.
求证：矩形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°.
∵AC⊥DB,
∴ AD=AB=BC=CD,
∴矩形ABCD是正方形.
求证：对角线互相垂直的矩形是正方形.
探究新知
A B
CD
O
正方形矩形
有一组邻边相等
菱形 有一个角是直角
有一组邻边相等
且有一个角是直角正
方
形
常
见
的
判
定
方
法 先证是矩形再证是菱形或
先证是菱形再证是矩形
探究新知
平行四
边形
5种判
定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线互
相垂直
一组邻边相等
或对角线互相
垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
探究新知
例1 已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，
DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．
求证：四边形CFDE是正方形．
∵∠C=90°， DE⊥BC于E，DF⊥AC于F
∴∠DEC=90°， ∠DFC=90°，
∴四边形CFDE有三个直角， 它是矩形
又∵CD平分∠ACB
∴ DE=DF
∴四边形CFDE是正方形
探究新知
素 养 考 点 1 由矩形到正方形的识别由矩形到正方形的识别
证明：
∵ DE⊥AC，DF⊥BC ，
∴∠DEC=∠DFC=90°.
又∵ ∠C=90 °，
∴四边形ADFC是矩形.
过点D作DG⊥AB，垂足为G.
∵AD是∠CAB的平分线
DE⊥AC，DG⊥AB，
同理得DG=DF，
∴四边形EDFC是正方形.
1.如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于
点D.DE⊥AC，DF⊥BC.求证:四边形CEDF为正方形.
A B
C
D
E F
G
巩固练习
证明：
∴ DE=DG.
∴ED=DF，
证明：∵四边形ABCD为正方形,
∴OB=OC,∠ABO=∠BCO =45°,
∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.
∵EG⊥FH,
∴∠COH=∠BOE,
∴OE=OH.
B
A
C
D
OE
H
G
F
例2 如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且
EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形.
探究新知
素 养 考 点 2 由菱形到正方形的识别由菱形到正方形的识别
∴OE=OF=OG=OH.
∵EO+GO=FO+HO ,即EG=HF,
∴∠BOE+∠BOH=90°,
∴△CHO ≌△BEO,
同理可证：OE=OF=OG,
又∵EG⊥FH,∴四边形EFGH为菱形.
∴四边形EFGH为正方形.
2.在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且
AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗?为什么?
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA， ∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵AE=BF=CM=DN，
∴AN=BE=CF=DM.
巩固练习
解：四边形EFMN是正方形.
理由如下：
AE=BF=CM=DN,
∠A=∠B=∠C=∠D,
AN=BE=CF=DM,
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,
∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,
∴四边形EFMN是菱形，
∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）
=180°－（∠AEN+∠ANE）
=180°－90°=90°.
∴四边形EFMN是正方形 .
巩固练习
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，
（2019•北京）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，
BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形
ABCD，下面四个结论中，
①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；
②存在无数个四边形MNPQ是矩形；
③存在无数个四边形MNPQ是菱形；
④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．
所有正确结论的序号是_______．
巩固练习
连 接 中 考
①②③
1.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是
正方形的是（ ）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B．AD∥BC，∠A=∠C
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
C
A B
CD
O
基 础 巩 固 题
课堂检测
2.下列判断中正确的是（ ）
A.四边相等的四边形是正方形
B.四角相等的四边形是正方形
C.对角线垂直的平行四边形是正方形
D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D
课堂检测
基 础 巩 固 题
3.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，
下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形
D
课堂检测
基 础 巩 固 题
B
DA
C
4.如图，在四边形ABCD中, AB=BC ,对角线BD平分ABC , P
是BD上一点,过点P作PMAD , PNCD ,垂足分别为M、N.
(1) 求证：ADB=CDB;
(2) 若ADC=90,求证：四边形MPND是正方形.
C
A
B DP M
N
证明：（1）∵AB = BC,BD平分∠ABC.
∴∠1=∠2.
∴△ABD≌△CBD (SAS).
∴∠ADB=∠CDB.
12
课堂检测
基 础 巩 固 题
C
A
B DP M
N
（2）∵∠ADC=90°, 又∵PM⊥AD,PN⊥CD,
∴∠PMD=∠PND=90°.
∴四边形NPMD是矩形.
∵∠ADB=∠CDB,
∴∠ADB=∠CDB=45°.
∴DM=PM,DN=PN.
∴四边形NPMD是正方形.
课堂检测
基 础 巩 固 题
如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB．
（1）试说明四边形AEDF的形状，并说明理由．
（2）连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，
为什么？
解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形.
（2）∵四边形ADEF为菱形，
∴AD平分∠BAC，
则AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形.
课堂检测
能 力 提 升 题
（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形
AEDF为正方形，不说明理由．
解：由四边形AEDF为正方形
∴∠BAC=90°，
∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形即可．
能 力 提 升 题
课堂检测
如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A
，AF=AE．
（1）求证：BF=DE；
（2）当点E运动到AC中点时(其他条件都保持不变)，问四边
形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．
（1）证明：∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°，
在△ABF 和△ADE中，AB＝AD ，∠BAF＝∠EAD ，AF＝AE ,
∴△ABF≌△ADE（SAS），
拓 广 探 索 题
课堂检测
∴∠BAF=∠EAD，
∴BF=DE；
（2）解：当点E运动到AC的中点时,四边形AFBE是正方形，
理由：∵点E运动到AC的中点，AB=BC，
∴BE⊥AC，BE=AE= AC，
∵AF=AE，
又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°，
∴BE∥AF，
∴四边形AFBE是平行四边形，
∵∠FAE=90°，AF=AE，
∴四边形AFBE是正方形．
课堂检测
拓 广 探 索 题
∴BE=AF=AE.
∵BE=AF，
5种判
定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线互
相垂直
一组邻边相等
或对角线互相
垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
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