资料简介
4.1 圆的方程
4.1.2 圆的一般方程
圆与方程
1．正确理解圆的一般方程及其特点．
2．会求圆的一般方程．
3．能进行圆的一般方程和标准方程的互化．
基础梳理
1．圆的一般方程的定义
当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程
______________________称为圆的一般方程．
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
方程 条件 图形
x2＋y2＋
Dx＋Ey
＋F＝0
D2＋E2
－4F0
表示以____________为圆心，以
______________为半径的圆
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
3.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系
已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.则
其位置关系如下表：
练习1.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，在什
么条件下表示圆的方程.
练习2.圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0的圆心为：________
，半径为：________.
位置关系 代数关系
点M在圆外 x0
2＋y0
2＋Dx0＋Ey0＋F>0
点M在圆上 x0
2＋y0
2＋Dx0＋Ey0＋F＝0
点M在圆内 x0
2＋y0
2＋Dx0＋Ey0＋F0时，二元
二次方程就是圆的一般方程．
2．求圆的方程常用“待定系数法”，“待定系数法”的一般
步骤是什么？
解析：(1)根据题意选择方程的形式——标准方程或一
般方程；
(2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；
(3)解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方
程．
自测自评
1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为( )
A．(4，－6)，r＝16 B．(2，－3)，r＝4
C．(－2,3)，r＝4 D．(2，－3)，r＝16
2．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)所
表示的曲线关于y＝x对称，则必有( )
A．D＝E B．D＝F
C．F＝E D．D＝E＝F
3．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取
值范围是( )
A．R B．(－∞，1)
C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
解析：由D2＋E2－4F＝(－4)2＋22－4×5k＝20－20k>0得
k0，从而该圆的圆心为(a， )，半径为
求圆的方程
(多解题)求经过A(－2，－4)，且与直线l：x＋3y
－26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程．
解析：根据题中条件，既可设标准方程，也可设一般
方程，有多种解法．
解法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
整理得
îï
í
ïì
2D＋4E－F＝20，
8D＋6E＋F＝－100，
3D－E＝－36，
解得
îï
í
ïì
D＝－11，
E＝3，
F＝－30.
∴所求圆的方程为 x2＋y2－11x＋3y－30＝0.
解法二： 设圆心 C ( a ，b)且圆的方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
∵|CA|＝|CB|，CB⊥l，
∴
îï
í
ïì (a＋2)2＋(b＋4)2＝(a－8)2＋(b－6)2，
b－6
a－8×(－1
3)＝－1.
解得 a＝11
2 ，b＝－3
2，从而 r＝ 125
2 .
故所求的方程为(x－11
2 )2＋(y＋3
2)2＝125
2 .
解法三：设圆心为C，则 CB⊥l，
∴CB 的方程为 y－6＝3(x－8)，即 3x－y－18＝0.
又 AB 的垂直平分线的方程为 x＋y－4＝0，
联立
îï
íïì 3x－y－18＝0
x＋y－4＝0 .
得圆心 C(11
2 ，－3
2)．
∴半径 r＝ (11
2 －8)2＋(－3
2－6)2＝ 125
2 .
∴所求圆的方程为(x－11
2 )2＋(y＋3
2)2＝125
2 .
点评：(1)求圆的方程的基本方法：
确定圆的方程需要三个独立条件，“选标准，定参数
”是解题的基本方法．其中，选标准是根据已知条件选恰
当的圆的方程的形式，进而确定其中三个参数．一般来讲，
条件涉及圆上的点多，可选择一般方程，条件涉及圆心与
半径，可选择标准方程．
(2)求圆的方程的一般步骤：
①根据题意选用圆的两种形式的方程中的一种；②根
据所给条件，列出关于D、E、F或a、b、r的方程组；③解
方程组．求出D、E、F或a、b、r的值，并把它们代入所设
的方程中，得到所求的圆的方程．
跟踪训练
2．(1)已知圆经过A(2，－3)和B(－2，－5)，若圆心在
直线x－2y－3＝0上，求圆的方程．
(2)求过点A(－1,0)、B(3,0)和C(0,1)的圆的方程．
解析：由题设三个条件，可利用待定系数法求方程，
如利用弦的中垂线过圆心，也可先确定圆心，再求圆的
半径．
(1)法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0则
法三：线段AB中垂线的方程为2x＋y＋4＝0.它与直线x
－2y－3＝0的交点(－1，－2)为圆心，由两点间距离得r2＝
10，
∴圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
求轨迹方程
自圆x2＋y2＝4上的点A(2,0)引此圆的弦AB，求弦
AB的中点轨迹方程．
解析：设AB的中点P(x，y)，B(x1，y1)，则有
＝4，且
∴x1＝2x－2，y1＝2y.
∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，即(x－1)2＋y2＝1.
当A、B重合时，P与A点重合，不合题意，
∴所求轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠2)．
跟踪训练
3．设圆的方程为x2＋y2＝4，过点M(0,1)的直线l交圆于
点A、B，O是坐标原点，点P为AB的中点，当l绕点M旋转时，
求动点P的轨迹方程．
解析：设点P的坐标为(x，y)、A(x1，y1)、B(x2，y2)．
因为A、B在圆上，所以 ＝4，x2
2＋y2
2＝4，
两式相减得x1
2－x2
2＋y1
2－y2
2＝0，
所以(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0，
1．方程x2＋y2＝a2(a∈R)表示的图形是( )
A．表示点(0,0)
B．表示圆
C．当a＝0时，表示点(0,0)，当a≠0时表示圆
D．不表示任何图形
解析：注意分a＝0和a≠0两种情况讨论．
答案：C
2．x2＋y2－4y－1＝0的圆心和半径分别为( )
A．(2,0)，5 B．(0，－2)，
C．(0,2)， D．(2,2)，5
解析：x2＋(y－2)2＝5，圆心(0,2)，半径 .
答案：C
1．任何一个圆的方程都可写成x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝
0的形式，但方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的曲线不一定
是圆，只有D2＋E2－4F>0时，方程才表示圆心为(－ ，
－ )，半径为r＝ 的圆．
2．在圆的方程中含有三个参变数，因此必须具备三
个独立条件才能确定一个圆．求圆的方程时是选用标准方
程还是一般方程的依据：当给出的条件与圆心坐标、半径
有关，或者由已知条件容易求得圆心和半径时，一般用标
准方程．当上述特征不明显时，常用一般方程，特别是给
出圆上三点，用待定系数法求圆的方程时，常用一般式，
这样得到的关于D、E、F的三元一次方程组，要比使用标
准方程简便得多．
3．要画出圆的图象，必须知道圆心和半径，因此应
掌握用配方法将圆的一般方程化为标准方程．
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