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5.3 平行线的性质/ 5.3 平行线的性质 5.3.2 命题、定理、证明 人教版 数学 七年级 下册5.3 平行线的性质/ 小明的百米 成绩有进步, 已达到9秒9. 有一位田径教练向领导汇报训练成绩; 相传,阎锡山在观看士兵篮球 赛,双方争抢非常激烈.于是命令: 导入新知 好!继续努力,争取 超过10秒. “不要再抢啦!每个人发一个球!”5.3 平行线的性质/ 1. 理解命题,定理及证明的概念,会区分命 题的题设和结论. 2.会判断真假命题,知道证明的意义及必要性, 了解反例的作用. 素养目标 3. 理解证明要步步有据,培养学生养成科学严 谨的学习态度.5.3 平行线的性质/  请同学读出下列语句: (1)如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互 相平行; (2)两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补; (3)对顶角相等; (4)等式两边都加同一个数,结果仍是等式. 像这样判断一件事情的语句,叫做命题(proposition). 探究新知 知识点 1 命题的概念命题的概念5.3 平行线的性质/ 2.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么 它就不是命题. 如:画线段AB=CD. 1.只要对一件事情作出了判断,不管正确与否,都是命题. 如:相等的角是对顶角. 注意: 探究新知5.3 平行线的性质/ 例1 判断下列四个语句中,哪个是命题, 哪个不是命题?并 说明理由:(1)对顶角相等吗? (2)画一条线段AB=2cm; (3)两条直线平行,同位角相等; (4)相等的两个角,一定是对顶角. 解:(3)(4)是命题,(1)(2)不是命题. 理由如下:(1)是问句,故不是命题; (2)是做一件事情,也不是命题. 探究新知 素 养 考 点 1 命题的识别命题的识别5.3 平行线的性质/ 1.下列语句在表述形式上,哪些是命题?哪些不是命题 ? (1)对顶角相等; (2)画一个角等于已知角; (3)两直线平行,同位角相等; (4)a、b两条直线平行吗? (5)温柔的李明明; (6)玫瑰花是动物; (7)若a2=4,求a的值; (8)若a2=b2,则a=b. 否 是 否 否 是 否 是 是 巩固练习5.3 平行线的性质/ 观察下列命题,你能发现这些命题有什么共同的结构特 征?与同伴交流. (1)如果两个三角形的三条边相等,那么这两个三角形的周 长相等; (2)如果两个数的绝对值相等,那么这两个数也相等; (3)如果一个数的平方等于9,那么这个数是3. 都是“如果……那么……”的形式 知识点 2 命题的构成命题的构成 探究新知5.3 平行线的性质/ 命题一般都可以写成“如果……那么……”的形式. 1.“如果”后接的部分是题设, 2.“那么”后接的部分是结论. 如命题:熊猫没有翅膀.改写为: 如果这个动物是熊猫,那么它就没有翅膀. 注意:添加“如果”“那么”后,命题的意义不能改变,改 写的句子要完整,语句要通顺,使命题的题设和结论更明朗, 易于分辨,改写过程中,要适当增加词语,切不可生搬硬套 . 探究新知5.3 平行线的性质/ 命题 题设 结论 已知事项 由已知事项推出的 事项 两直线平行, 同位角相等 题设(条件) 结论 命题的组成: 探究新知5.3 平行线的性质/ 例2 分别把下列命题写成“如果……那么……”的形式. (1)两点确定一条直线; (2)等角的补角相等; (3)内错角相等. 解:(1)如果有两个定点,那么过这两点有且只有一条直线; (2)如果两个角分别是两个等角的补角,那么这两个角相等; (3)如果两个角是内错角,那么这两个角相等. 素 养 考 点 1 命题表述形式的变换命题表述形式的变换 探究新知5.3 平行线的性质/ 2.请将它们改写成“如果……,那么……”的形式. (1)两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补; (2)等式两边都加同一个数,结果仍是等式; (3)互为相反数的两个数相加得0; (4)同旁内角互补; (5)对顶角相等. 如果两条直线被第三条直线所截,那么同旁内角互补; 如果等式两边都加同一个数,那么结果仍是等式; 如果两个数互为相反数,那么这两个数相加得0; 如果两个角是同旁内角,那么这两个角互补; 如果两个角互为对顶角,那么这两个角相等. 巩固练习5.3 平行线的性质/ 有些命题如果题设成立,那么结论一定成立;而有些命题 题设成立时,结论不一定成立. 正确的命题叫真命题,错误的命题叫假命题. 如命题:“如果两个角互补,那么它们是邻补角”就是一个错误 的命题. 如命题:“如果一个数能被4整除,那么它也能被2整除”就是一 个正确的命题. 确定一个命题真假的方法: 利用已有的知识,通过观察、验证、推理、举反例等方法. 探究新知 知识点 3 真假命题的概念真假命题的概念5.3 平行线的性质/ 例3 下列命题哪些命题是正确的,哪些命题是错误的? (1)两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补; (2)等式两边都加同一个数,结果仍是等式; (3)互为相反数的两个数相加得0; (4)同旁内角互补; (5)对顶角相等. √ √ √ 探究新知 真假命题的识别真假命题的识别素 养 考 点 1 × ×5.3 平行线的性质/ 3.下列句子哪些是命题?是命题的,指出是真命题还是假命题 ? (1)猪有四只脚; (2)内错角相等; (3)画一条直线; (4)四边形是正方形; (5)你的作业做完了吗? (6)同位角相等,两直线平行; (7)同角的补角相等; (8)同垂直于一直线的两直线平行; (9)过点P画线段MN的垂线; (10)x>2 是 真命题 否 是 假命题 是 假命题 否 是 真命题 是 真命题 是 真命题 否 否 巩固练习5.3 平行线的性质/ “因为早上我发现王五从苹果园那边过来,把一袋东西背回家, 还发现我果园的苹果被人偷了,我知道王五家没有苹果树. 所以我家苹果肯定是王五偷的.” 情节1:一天早上,张老汉来到公安局里告状说:王五刚刚在他地 里偷了一袋子苹果.文局长立即派干警将王五传唤到公安局审讯: 文局长问张老汉:“你怎知是王五偷了你的苹果?” 这种从已知条件出发(列出理由), 推断出结论的证明方法,叫综合法. 综合法是最常用的证明方法. 知识点 4 证明和反证法(举反例)证明和反证法(举反例) 探究新知 张老汉想证明什么 ?他是怎么证明的 ? 根据张老汉的证明,你能 断定苹果是王五偷的吗? 你觉得有疑点吗?5.3 平行线的性质/ 情节2:文局长一时拿不定主意,就问旁边的梁副局长:“梁局 长,你怎么看?” 梁局长说“这事要证明是王五干的,还得弄清那袋子里装的是 不是刚摘的苹果,还要看看地里的脚印是不是王五的才行. 如果袋子里装的是刚摘的苹果,且地里的脚印是王五的,那就 一定是他偷的。” 从结论出发,逆着寻找所需要的条件的思考过程,叫分析. 在分析的过程中,如果发现所需要的条件,都已具备或可 从已知条件中推得.那么证明就很容易了. 探究新知5.3 平行线的性质/ 在很多情况下,一个命题的正确性需要经过推理才能作出 判断,这个推理过程叫作证明. 注意:证明的每一步推理都要有根据,不能“想当然”. 这些根据,可以是已知条件,也可以是学过的定义、 基本事实、定理等. 证明的概念 探究新知5.3 平行线的性质/ 确定一个命题是假命题的方法: 例如,要判定命题“相等的角是对顶角”是假命题 ,可以举 出如下反例: 如图,OC是∠AOB的平分线, ∠1=∠2,但它们不是对顶角. )) 1 2 A O C B 只要举出一个例子(反例):它符合命题的题设,但不满 足结论即可. 【讨论】如何判定一个命题是假命题呢 ? 举反例 探究新知5.3 平行线的性质/ 分析:要证明AB,CD平行,就需 要同位角相等的条件,图中∠1与 ∠3就是同位角.我们只要找到: 能说明它们相等的条件就行了. 从图中,我们可以发现: ∠2与∠3是对顶角,所以∠3=∠2. 这样我们就找到了∠1与∠3相等 的确切条件了. 例4 如图,∠1=∠2,试说明直线AB,CD平行 . 素 养 考 点 1 利用证明推理解决问题利用证明推理解决问题 探究新知 证明: ∵∠2与∠3是对顶角, ∴∠3=∠2 又∵∠1=∠2 ∴∠1=∠3, ∴AB∥CD B D C E A F 1 2 35.3 平行线的性质/ 4.如图所示,直线AB和直线CD,直线BE和直线CF都被直线BC 所截,在下面三个式子中,请你选择其中两个作为题设,剩下 的一个作为结论,组成一个真命题并写出对应的推理过程 ①AB∥CD,②BE∥CF,③∠1=∠2 题设(已知); . 结论(求证): . ①② ③ 巩固练习5.3 平行线的性质/ 理由: 证明:∵AB∥CD, ∠ABC=∠DCB, 又∵BE∥CF. ∴∠EBC=∠FCB. ∵∠ABC-∠EBC=∠DCB-∠FCB, ∴∠1=∠2. 巩固练习5.3 平行线的性质/ 1.数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的,并 把它们作为判断其他命题真假的原始依据,这样的真命题叫做 公理. 两点确定一条直线. 两点间线段最短. 经过直线外的一点有且仅有一条直线与 已知直线平行. 直线公理: 线段公理: 平行线公理: 公理的概念 探究新知 知识点 5 公理和定理的概念公理和定理的概念5.3 平行线的性质/ 2.有些命题是基本事实,还有些命题它们的正确性是经过推理 证实的,这样得到的真命题叫做定理.定理也可以作为继续推 理的依据. 同角或等角的补角相等. (2)余角的性质:同角或等角的余角相等. (4)垂线的性质:①在同一平面内过一点有且只有一条 直线与已知直线垂直; (1)补角的性质: (3)对顶角的性质:对顶角相等. ②垂线段最短. 学过的定理: 定理的概念 探究新知5.3 平行线的性质/ 例5 已知:b∥c, a⊥b .求证:a⊥c. 证明: ∵ a ⊥b(已知) ∴ ∠1=90°(垂直的定义) 又∵ b ∥ c(已知) ∴ ∠2=∠1=90°(两直线平行,同位角相等) ∴ a ⊥ c(垂直的定义). a b c 1 2 探究新知 素 养 考 点 1 利用公理定理进行推理利用公理定理进行推理5.3 平行线的性质/ 5.填空 已知:如图,∠1=∠2,∠3=∠4, 求证:EG∥FH. 证明:∵∠1=∠2(已知) ∠AEF=∠1 ( ); ∴∠AEF=∠2 ( ). ∴AB∥CD ( ). ∴∠BEF=∠CFE ( ). ∵∠3=∠4(已知)∴∠BEF-∠4=∠CFE-∠3. 即∠GEF=∠HFE ( ). ∴EG∥FH ( ). 对顶角相等 等量代换 同位角相等,两直线平行 两直线平行,内错角相等 等式性质 内错角相等,两直线平行 巩固练习5.3 平行线的性质/ (2019•娄底模拟)给出下列说法: (1)两条直线被第三条直线所截,同位角相等; (2)平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交,则它与另一 条也相交; (3)相等的两个角是对顶角; (4)从直线外一点到这条直线的垂线段,叫做这点到直线的距离. 其中正确的命题有(  ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 巩固练习 连 接 中 考 B √ × × ×5.3 平行线的性质/ 1. 如图所示,从①∠1=∠2 ②∠C=∠D ③∠A=∠F 三个 条件中选出两个作为已知条件,另一个作为结论所组成的命 题中,正确命题的个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 D 课堂检测 基 础 巩 固 题5.3 平行线的性质/ 2. 下列命题: ①两点确定一条直线;②两点之间,线段最短;③对顶角相 等;④内错角相等; 其中真命题的个数是 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 C 课堂检测 基 础 巩 固 题5.3 平行线的性质/ 3. 下列选项中,可以用来说明命题“两个锐角的和是锐角”是假 命题的反例的是 ( ) A. ∠A=30°,∠B=40° B. ∠A=30°,∠B=110° C. ∠A=30°,∠B=70° D. ∠A=30°,∠B=90° C 课堂检测 基 础 巩 固 题5.3 平行线的性质/ 4. 下列命题是真命题的是 ( ) A. 相等的角是对顶角 B. 如果一个数能被3整除,那么它也能被6整除 C. 同旁内角互补 D. 同位角相等,两直线平行 D 课堂检测 基 础 巩 固 题5.3 平行线的性质/ 5. 如图所示,已知AC与BD相交于点O,OE是∠AOD的平分线, 可以作为假命题“相等的角是对顶角”的反例的是( ) A. ∠AOB=∠DOC B. ∠EOC<∠DOC C. ∠EOB=∠EOC D. ∠EOC>∠DOC C 课堂检测 基 础 巩 固 题5.3 平行线的性质/ 6.在下面的括号内,填上推理的依据. 如图,AB ∥ CD,CB ∥ DE , 求证:∠ B+ ∠D=180° 证明: ∵ AB ∥ CD, ∴ ∠B= ∠C( ) ∵ CB ∥ DE ∴ ∠ C+ ∠ D=180°( ) ∴ ∠ B+ ∠ D=180°( )等量代换 两直线平行,内错角相等 两直线平行,同旁内角互补 基 础 巩 固 题 课堂检测 A B C D E5.3 平行线的性质/ (1)如图所示,若∠1=∠2,则AB∥CD,试判断该命题的真假: (填“真”或“假”). (2)若上述命题为真命题,请说明理由,若上述命题为假命题,请 你再添加一条件,使该命题成为真命题,并说明理由. 假 解:加条件:BE∥FD. 理由如下:∵BE∥FD,∴∠EBD= ∠FDN(两直线平行,同位角相等). 又∵∠1=∠2,∴∠ABD=∠CDN. ∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行). 能 力 提 升 题 课堂检测5.3 平行线的性质/ 证明:∵AB∥CD(已知), ∴∠BPQ=∠CQP(两直线平行,内错角相等). 又∵PG平分∠BPQ,QH平分∠CQP(已知), ∴∠GPQ= ∠BPQ,∠HQP= ∠CQP(角平分线的定义), ∴∠GPQ=∠HQP(等量代换), ∴PG∥HQ(内错角相等,两直线平行). 如图,已知AB∥CD,直线AB,CD被直 线MN所截,交点分别为P,Q,PG平分 ∠BPQ,QH平分∠CQP, 求证:PG∥HQ. A B C D M N P Q H G 拓 广 探 索 题 课堂检测5.3 平行线的性质/ 真命题 假命题 公理 定理 (只需举一个反例) (不需证明) (由推理证实) 1.命题的定义: 2.命题的组成: 3.命题的分类: 判断一件事情的句子 题设和结论 课堂小结5.3 平行线的性质/课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习 查看更多

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