资料简介
5.3 平行线的性质/
5.3 平行线的性质
5.3.2 命题、定理、证明
人教版 数学 七年级 下册5.3 平行线的性质/
小明的百米
成绩有进步,
已达到9秒9.
有一位田径教练向领导汇报训练成绩;
相传,阎锡山在观看士兵篮球
赛,双方争抢非常激烈.于是命令:
导入新知
好!继续努力,争取
超过10秒.
“不要再抢啦!每个人发一个球!”5.3 平行线的性质/
1. 理解命题,定理及证明的概念,会区分命
题的题设和结论.
2.会判断真假命题,知道证明的意义及必要性,
了解反例的作用.
素养目标
3. 理解证明要步步有据,培养学生养成科学严
谨的学习态度.5.3 平行线的性质/
请同学读出下列语句:
(1)如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互
相平行;
(2)两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补;
(3)对顶角相等;
(4)等式两边都加同一个数,结果仍是等式.
像这样判断一件事情的语句,叫做命题(proposition).
探究新知
知识点 1 命题的概念命题的概念5.3 平行线的性质/
2.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么
它就不是命题. 如:画线段AB=CD.
1.只要对一件事情作出了判断,不管正确与否,都是命题.
如:相等的角是对顶角.
注意:
探究新知5.3 平行线的性质/
例1 判断下列四个语句中,哪个是命题, 哪个不是命题?并
说明理由:(1)对顶角相等吗?
(2)画一条线段AB=2cm;
(3)两条直线平行,同位角相等;
(4)相等的两个角,一定是对顶角.
解:(3)(4)是命题,(1)(2)不是命题.
理由如下:(1)是问句,故不是命题;
(2)是做一件事情,也不是命题.
探究新知
素 养 考 点 1 命题的识别命题的识别5.3 平行线的性质/
1.下列语句在表述形式上,哪些是命题?哪些不是命题
?
(1)对顶角相等;
(2)画一个角等于已知角;
(3)两直线平行,同位角相等;
(4)a、b两条直线平行吗?
(5)温柔的李明明;
(6)玫瑰花是动物;
(7)若a2=4,求a的值;
(8)若a2=b2,则a=b.
否
是
否
否
是
否
是
是
巩固练习5.3 平行线的性质/
观察下列命题,你能发现这些命题有什么共同的结构特
征?与同伴交流.
(1)如果两个三角形的三条边相等,那么这两个三角形的周
长相等;
(2)如果两个数的绝对值相等,那么这两个数也相等;
(3)如果一个数的平方等于9,那么这个数是3.
都是“如果……那么……”的形式
知识点 2 命题的构成命题的构成
探究新知5.3 平行线的性质/
命题一般都可以写成“如果……那么……”的形式.
1.“如果”后接的部分是题设,
2.“那么”后接的部分是结论.
如命题:熊猫没有翅膀.改写为:
如果这个动物是熊猫,那么它就没有翅膀.
注意:添加“如果”“那么”后,命题的意义不能改变,改
写的句子要完整,语句要通顺,使命题的题设和结论更明朗,
易于分辨,改写过程中,要适当增加词语,切不可生搬硬套
.
探究新知5.3 平行线的性质/
命题
题设
结论
已知事项
由已知事项推出的
事项
两直线平行, 同位角相等
题设(条件) 结论
命题的组成:
探究新知5.3 平行线的性质/
例2 分别把下列命题写成“如果……那么……”的形式.
(1)两点确定一条直线;
(2)等角的补角相等;
(3)内错角相等.
解:(1)如果有两个定点,那么过这两点有且只有一条直线;
(2)如果两个角分别是两个等角的补角,那么这两个角相等;
(3)如果两个角是内错角,那么这两个角相等.
素 养 考 点 1 命题表述形式的变换命题表述形式的变换
探究新知5.3 平行线的性质/
2.请将它们改写成“如果……,那么……”的形式.
(1)两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补;
(2)等式两边都加同一个数,结果仍是等式;
(3)互为相反数的两个数相加得0;
(4)同旁内角互补;
(5)对顶角相等.
如果两条直线被第三条直线所截,那么同旁内角互补;
如果等式两边都加同一个数,那么结果仍是等式;
如果两个数互为相反数,那么这两个数相加得0;
如果两个角是同旁内角,那么这两个角互补;
如果两个角互为对顶角,那么这两个角相等.
巩固练习5.3 平行线的性质/
有些命题如果题设成立,那么结论一定成立;而有些命题
题设成立时,结论不一定成立.
正确的命题叫真命题,错误的命题叫假命题.
如命题:“如果两个角互补,那么它们是邻补角”就是一个错误
的命题.
如命题:“如果一个数能被4整除,那么它也能被2整除”就是一
个正确的命题.
确定一个命题真假的方法:
利用已有的知识,通过观察、验证、推理、举反例等方法.
探究新知
知识点 3 真假命题的概念真假命题的概念5.3 平行线的性质/
例3 下列命题哪些命题是正确的,哪些命题是错误的?
(1)两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补;
(2)等式两边都加同一个数,结果仍是等式;
(3)互为相反数的两个数相加得0;
(4)同旁内角互补;
(5)对顶角相等. √
√
√
探究新知
真假命题的识别真假命题的识别素 养 考 点 1
×
×5.3 平行线的性质/
3.下列句子哪些是命题?是命题的,指出是真命题还是假命题
? (1)猪有四只脚;
(2)内错角相等;
(3)画一条直线;
(4)四边形是正方形;
(5)你的作业做完了吗?
(6)同位角相等,两直线平行;
(7)同角的补角相等;
(8)同垂直于一直线的两直线平行;
(9)过点P画线段MN的垂线;
(10)x>2
是 真命题
否
是 假命题
是 假命题
否
是 真命题
是 真命题
是 真命题
否
否
巩固练习5.3 平行线的性质/
“因为早上我发现王五从苹果园那边过来,把一袋东西背回家,
还发现我果园的苹果被人偷了,我知道王五家没有苹果树.
所以我家苹果肯定是王五偷的.”
情节1:一天早上,张老汉来到公安局里告状说:王五刚刚在他地
里偷了一袋子苹果.文局长立即派干警将王五传唤到公安局审讯:
文局长问张老汉:“你怎知是王五偷了你的苹果?”
这种从已知条件出发(列出理由),
推断出结论的证明方法,叫综合法.
综合法是最常用的证明方法.
知识点 4 证明和反证法(举反例)证明和反证法(举反例)
探究新知
张老汉想证明什么
?他是怎么证明的
?
根据张老汉的证明,你能
断定苹果是王五偷的吗?
你觉得有疑点吗?5.3 平行线的性质/
情节2:文局长一时拿不定主意,就问旁边的梁副局长:“梁局
长,你怎么看?”
梁局长说“这事要证明是王五干的,还得弄清那袋子里装的是
不是刚摘的苹果,还要看看地里的脚印是不是王五的才行.
如果袋子里装的是刚摘的苹果,且地里的脚印是王五的,那就
一定是他偷的。”
从结论出发,逆着寻找所需要的条件的思考过程,叫分析.
在分析的过程中,如果发现所需要的条件,都已具备或可
从已知条件中推得.那么证明就很容易了.
探究新知5.3 平行线的性质/
在很多情况下,一个命题的正确性需要经过推理才能作出
判断,这个推理过程叫作证明.
注意:证明的每一步推理都要有根据,不能“想当然”.
这些根据,可以是已知条件,也可以是学过的定义、
基本事实、定理等.
证明的概念
探究新知5.3 平行线的性质/
确定一个命题是假命题的方法:
例如,要判定命题“相等的角是对顶角”是假命题 ,可以举
出如下反例:
如图,OC是∠AOB的平分线,
∠1=∠2,但它们不是对顶角.
))
1
2
A
O C
B
只要举出一个例子(反例):它符合命题的题设,但不满
足结论即可.
【讨论】如何判定一个命题是假命题呢
?
举反例
探究新知5.3 平行线的性质/
分析:要证明AB,CD平行,就需
要同位角相等的条件,图中∠1与
∠3就是同位角.我们只要找到:
能说明它们相等的条件就行了.
从图中,我们可以发现:
∠2与∠3是对顶角,所以∠3=∠2.
这样我们就找到了∠1与∠3相等
的确切条件了.
例4 如图,∠1=∠2,试说明直线AB,CD平行
.
素 养 考 点 1 利用证明推理解决问题利用证明推理解决问题
探究新知
证明:
∵∠2与∠3是对顶角,
∴∠3=∠2
又∵∠1=∠2
∴∠1=∠3,
∴AB∥CD
B D
C
E
A
F
1
2
35.3 平行线的性质/
4.如图所示,直线AB和直线CD,直线BE和直线CF都被直线BC
所截,在下面三个式子中,请你选择其中两个作为题设,剩下
的一个作为结论,组成一个真命题并写出对应的推理过程
①AB∥CD,②BE∥CF,③∠1=∠2
题设(已知); .
结论(求证): .
①②
③
巩固练习5.3 平行线的性质/
理由:
证明:∵AB∥CD,
∠ABC=∠DCB,
又∵BE∥CF.
∴∠EBC=∠FCB.
∵∠ABC-∠EBC=∠DCB-∠FCB,
∴∠1=∠2.
巩固练习5.3 平行线的性质/
1.数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的,并
把它们作为判断其他命题真假的原始依据,这样的真命题叫做
公理.
两点确定一条直线.
两点间线段最短.
经过直线外的一点有且仅有一条直线与
已知直线平行.
直线公理:
线段公理:
平行线公理:
公理的概念
探究新知
知识点 5 公理和定理的概念公理和定理的概念5.3 平行线的性质/
2.有些命题是基本事实,还有些命题它们的正确性是经过推理
证实的,这样得到的真命题叫做定理.定理也可以作为继续推
理的依据.
同角或等角的补角相等.
(2)余角的性质:同角或等角的余角相等.
(4)垂线的性质:①在同一平面内过一点有且只有一条
直线与已知直线垂直;
(1)补角的性质:
(3)对顶角的性质:对顶角相等.
②垂线段最短.
学过的定理:
定理的概念
探究新知5.3 平行线的性质/
例5 已知:b∥c, a⊥b .求证:a⊥c.
证明: ∵ a ⊥b(已知)
∴ ∠1=90°(垂直的定义)
又∵ b ∥ c(已知)
∴ ∠2=∠1=90°(两直线平行,同位角相等)
∴ a ⊥ c(垂直的定义).
a
b c
1 2
探究新知
素 养 考 点 1 利用公理定理进行推理利用公理定理进行推理5.3 平行线的性质/
5.填空
已知:如图,∠1=∠2,∠3=∠4,
求证:EG∥FH.
证明:∵∠1=∠2(已知) ∠AEF=∠1 ( );
∴∠AEF=∠2 ( ).
∴AB∥CD ( ).
∴∠BEF=∠CFE ( ).
∵∠3=∠4(已知)∴∠BEF-∠4=∠CFE-∠3.
即∠GEF=∠HFE ( ).
∴EG∥FH ( ).
对顶角相等
等量代换
同位角相等,两直线平行
两直线平行,内错角相等
等式性质
内错角相等,两直线平行
巩固练习5.3 平行线的性质/
(2019•娄底模拟)给出下列说法:
(1)两条直线被第三条直线所截,同位角相等;
(2)平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交,则它与另一
条也相交;
(3)相等的两个角是对顶角;
(4)从直线外一点到这条直线的垂线段,叫做这点到直线的距离.
其中正确的命题有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
巩固练习
连 接 中 考
B
√
×
×
×5.3 平行线的性质/
1. 如图所示,从①∠1=∠2 ②∠C=∠D ③∠A=∠F 三个
条件中选出两个作为已知条件,另一个作为结论所组成的命
题中,正确命题的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
D
课堂检测
基 础 巩 固 题5.3 平行线的性质/
2. 下列命题:
①两点确定一条直线;②两点之间,线段最短;③对顶角相
等;④内错角相等;
其中真命题的个数是 ( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
C
课堂检测
基 础 巩 固 题5.3 平行线的性质/
3. 下列选项中,可以用来说明命题“两个锐角的和是锐角”是假
命题的反例的是 ( )
A. ∠A=30°,∠B=40° B. ∠A=30°,∠B=110°
C. ∠A=30°,∠B=70° D. ∠A=30°,∠B=90°
C
课堂检测
基 础 巩 固 题5.3 平行线的性质/
4. 下列命题是真命题的是 ( )
A. 相等的角是对顶角
B. 如果一个数能被3整除,那么它也能被6整除
C. 同旁内角互补
D. 同位角相等,两直线平行
D
课堂检测
基 础 巩 固 题5.3 平行线的性质/
5. 如图所示,已知AC与BD相交于点O,OE是∠AOD的平分线,
可以作为假命题“相等的角是对顶角”的反例的是( )
A. ∠AOB=∠DOC
B. ∠EOC<∠DOC
C. ∠EOB=∠EOC
D. ∠EOC>∠DOC
C
课堂检测
基 础 巩 固 题5.3 平行线的性质/
6.在下面的括号内,填上推理的依据.
如图,AB ∥ CD,CB ∥ DE ,
求证:∠ B+ ∠D=180°
证明:
∵ AB ∥ CD,
∴ ∠B= ∠C( )
∵ CB ∥ DE
∴ ∠ C+ ∠ D=180°( )
∴ ∠ B+ ∠ D=180°( )等量代换
两直线平行,内错角相等
两直线平行,同旁内角互补
基 础 巩 固 题
课堂检测
A B
C D
E5.3 平行线的性质/
(1)如图所示,若∠1=∠2,则AB∥CD,试判断该命题的真假:
(填“真”或“假”).
(2)若上述命题为真命题,请说明理由,若上述命题为假命题,请
你再添加一条件,使该命题成为真命题,并说明理由.
假
解:加条件:BE∥FD.
理由如下:∵BE∥FD,∴∠EBD=
∠FDN(两直线平行,同位角相等).
又∵∠1=∠2,∴∠ABD=∠CDN.
∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行).
能 力 提 升 题
课堂检测5.3 平行线的性质/
证明:∵AB∥CD(已知),
∴∠BPQ=∠CQP(两直线平行,内错角相等).
又∵PG平分∠BPQ,QH平分∠CQP(已知),
∴∠GPQ= ∠BPQ,∠HQP= ∠CQP(角平分线的定义),
∴∠GPQ=∠HQP(等量代换),
∴PG∥HQ(内错角相等,两直线平行).
如图,已知AB∥CD,直线AB,CD被直
线MN所截,交点分别为P,Q,PG平分
∠BPQ,QH平分∠CQP, 求证:PG∥HQ.
A B
C D
M
N
P
Q
H G
拓 广 探 索 题
课堂检测5.3 平行线的性质/
真命题
假命题
公理
定理
(只需举一个反例)
(不需证明)
(由推理证实)
1.命题的定义:
2.命题的组成:
3.命题的分类:
判断一件事情的句子
题设和结论
课堂小结5.3 平行线的性质/课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
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