资料简介
平面向量单元小结（1）
复 习
知识结构：
复 习
思考回顾
（1）比较数学与物理中的向量概念，你能说说它们的异
同吗？
（2）你能说说向量线性运算与数量的加法、减法、乘法
运算之间的联系与区别吗？
（3）你能通过实例，说明线向量线性运算和数量积运算
具备哪些运算律吗？这些运算律的几何意义是什么？
（4）请回顾向量加、减法的三角形法则与平行四
边形法则.
（5）平面向量基本定理的内容是什么？
（6）说明如何利用向量的数量积解决涉及距离、
夹角的几何问题.
例 题
例1 设a=(cos,sin)，b=(cos,sin)
，求证：(a+b)(a-b).
证明：∵(a+b)﹒(a-b)
=(cos+cos,sin+sin)﹒(cos-cos,sin-
sin)
=(cos+cos)(cos-cos)+(sin+sin)(sin-
sin)
=(cos2+sin2)-(cos2+sin2)
=0
∴(a+b)(a-b).
例 题
例 题
例 题
练一练
练一练
归 纳
1．向量间的数量积运算的定义与实数间的乘法运
算的定义不同，因此在进行向量的数量积运算时，
不可硬套实数的运算法则或运算律，
如|a﹒b|与a﹒b不一定相等，(a﹒b)﹒c与(b﹒c)﹒a
也不一定相等；
归 纳
2．在求向量的模的运算中，通常可
利用|a|2=a﹒a，
将求向量模的运算转化为求向量的
数量积的运算.
回家作业
课本P130 复习参考题A组
3、4、5、6、7、8、9、10.
单元小结（2）
复 习
1． 深刻理解向量的概念，关键是两个要素：长度和方
向；
2． 熟练掌握向量的两种形式：几何形式（有向线段）
与代数形式（坐标表示）；
3． 掌握这两种形式下的加、减、数乘与数量积四种运
算，并能灵活运用于代数、几何、物理等领域；
复 习
4． 两向量平行与垂直的条件：设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，
其中b(0,0)，则
a//b存在确定的R，a=b
存在确定的m、nR，使ma+nb=0x1y2-x2y1=0
；
aba﹒b=0x1x2+y1y2=0.
例 题
例1 设a、b是两个不平行的向量，且
x(2a+b)+y(3a-2b)=7a，求x、y的值.
解：由题意，(2x+3y)a+(x-2y)b=7a，
于是2x+3y=7，x-2y=0
x=2，y=1.
例 题
例2 已知|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为60，
c=5a+3b，d=3a+kb.
（1）当c//d时，求实数k的值；
（2）当cd时，求实数k的值.
3
例 题
例 题
例4 已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系记
作v=f(u).
(1)求证：对于任意向量a、b及常数m，n，恒有
f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)；
(2)若a=(1,1)，b=(1,0)，用坐标表示f(a)和f(b)；
(3)求使f(c)=(p,q)（p,q为常数）的向量c的坐标.
（1）设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则
ma+nb=(mx1+nx2,my1+ny2)，
∴f(ma+nb)=(my1+ny2,2(my1+ny2)-(mx1+nx2)).
而mf(a)+nf(b)=m(y1,2y1-x1)+n(y2,2y2-x2)
=(my1,2my1-mx1)+(ny2,2ny2-nx2)
=(my1+ny2,(2my1-mx1)+(2ny2-nx2))
=(my1+ny2,2(my1+ny2)-(mx1+nx2)).
∴f(ma+nb)=mf(a)+nf(b).
（2）f(a)=(1,2-1)=(1,1)，f(b)=(0,0-1)=(0,-1).
（3）设c=(x,y)，则f(c)=(y,2y-x)，令y=p，2y-x=q
，解得x=2p-q，y=p，
∴c=(2p-q,p).
练一练
练一练
练习2：若向量a=(x,2x)，b=(-3x,2)，且a，b
的夹角为钝角，求x的取值范围.
练一练
1． 向量是数形结合的载体，学习向量应注
意灵活应用数形结合思想研究向量的有关概念与
运算，既要善于以向量为工具数形结合地解决数
学和物理的有关问题，又要善于通过向量的坐标
表示运用代数方法研究几何问题.
归 纳
归 纳
2． 学习本章知识时，应善于运用类比的思想
方法，一是通过平面向量的概念与平面几何中的概
念的类比分清有关概念的区别和联系；二是向量的
运算法则及运算律与实数相应的运算法则及运算律
进行类比；三是将平面向量与物理有关知识进行类
比.
回家作业
课本P131 复习参考题B组
1、2、3、4、5、6、7、8.
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