资料简介
第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
第1课时
生活
中的
平行
四边
• 学习目标：
1．理解平行四边形的概念；
2．探索并掌握平行四边形对边相等、对角相等的性
质；
3．初步体会几何研究的一般思路与方法．
• 学习重点：
平行四边形边、角性质的证明和应用．
1、如图，你能观察到图中有我们学过的
_______________________________________形.
2、举出生活中常见的平行四边形的一些其他例子，
有__________________________________________
平行四边形、长方形、三角形、梯形、正方
伸缩门、竹篱笆、防护栏等
观察这些图片，它们是否都有平行四边形的形象？
你还记得平行四边形的定义吗？
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
∵ 四边形ABCD是平行四边形（已知），
∴ AB∥CD，AD∥BC（平行四边形的定义）．
反过来 ∵ AB∥CD，AD∥BC（已知），
∴ 四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的定义）．
我们用符号“△”与三个顶点字母表示三角形；对
于平行四边形，我们也有类似的表示方法吗？
A B
C D
ABCD
对于平行四边形，从定义出发，你能得出它的性质吗？
你能证明这些结论吗？
给出图形定义→研究图形性质→探索图形判定条件
回忆我们的学习经历，研究几何图形的一般思路是
什么？
猜想：平行四边形对角相等，对边相等．
归纳：
（1）有关四边形的问题常常转化为三角形问题解决；
（2）平行四边形的一条对角线把平行四边形分成两个全
等的三角形；
A B
C D
归纳：
（3）平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等，
平行四边形的对角相等．
∵ 四边形ABCD是平行四边形（已知），
∴ AB=CD，AD=BC（平行四边形的性质），
∠DAB=∠DCB，∠B=∠D（平行四边形的性质）．
A B
C D
B C
D A
问题1 如图，在平行四边形ABCD中，∠B=40°，求
其余三个角的度数．
问题2 如图，在 ABCD中，AD=8，其周长为24，
求其余三条边的长度．
几何语言：
定理1：平行四边形的两组对边分别相等
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB＝CD，AD＝BC（平行四边形的对边相等） ．
在 ABCD中，
AB＝CD，AD＝BC （平行四边形的对边相等） ．
∠A= ∠C, ∠B= ∠D（平行四边形的对角相等） .
∠A= ∠C, ∠B= ∠D（平行四边形的对角相等）.
定理2：平行四边形的两组对角分别相等
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD, AD=BC.
∵AB=8 m,
∴CD=8 m.
又AB+BC+CD+AD=36,
∴ AD=BC=10 m.
A D
B C
8 m
如图，小明用一根36 m长的绳子围成了一个平行四边形的场
地，其中一条边AB长为8 m，其他三条边各长多少?
DE=BF 吗？
例1 如图， ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂
足分别为E，F．求证：AE=CF．
A B
C D
E
F
例2 如图，直线a∥b，A，B为直线a上的任意两
点，点A 到直线b 的距离和点B 到直线b 的距离相等吗？
为什么？
A B
C D b
a
平行线间的距离
例3 △ABC是等腰三角形，AB=AC, P是底边BC
上一动点，PE∥AB，PF∥AC，点E，F分别在AC，AB
上．求证：PE+PF=AB．
A
B C
E
F
P
（1）本节课我们学习了哪些知识？
（2）通过本节的学习和过去三角形的学习经历，你认
为对一个几何图形的研究通常是怎样进行的？
（3）对于平行四边形，你感兴趣的还有哪些方面？你
认为有必要进一步研究思考吗？
第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
第2课时
1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
如图，四边形ABCD是平行四边形记
作： ABCD
平行四边形的相关概念
A D
CB
2．平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫平行
四边形的对角线．
3.平行四边形相对的边称为 对边, 相对的角称为对角.
线段AC、BD就是 ABCD的两条对角线.
对边：AB与CD, BC与DA.
对角: ∠ABC与∠CDA, ∠BAD与∠DCB.
学习目标：
1．掌握平行四边形对角线互相平分的性质；
2．经历对平行四边形性质的猜想与证明的过程，渗
透转化思想，体会图形性质探究的一般思路．
学习重点：
平行四边形对角线性质的探究与应用．
平行四边形的性质：
AD∥BC，AB∥CD；
AB=CD，AD=BC；
∠A=∠C，∠B=∠D．
把平行四边形问题转化为三角形问题．
A
B C
D
一位饱经沧桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到
晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地．由于
年迈体弱，他决定把这块土地平分给他的四个孩子，他
是这样分的：
老大
老二
老三
老四
如何判断如图的四个三角形
面积相等？
问题1 想一想，平行四边形除了边、角这两个要素
的性质外，对角线有什么性质？
如图，在 ABCD中，连接AC，BD，并设它们交
于点O，OA与OC，OB与OD有什么关系？
D
A B
C
O
猜想：平行四边形的
对角线互相平分．
问题2 你能证明上述猜想吗？
如图，在 ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O．
OA与OC，OB与OD有什么关系？
求证：OA=OC，OB=OD．
证明：∵ 四边形
ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，AB∥CD，
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4，
∴ △COD≌△AOB，
∴ OA=OC，OB=OD．
D
A B
C
O
1
2
3
4
定理：平行四边形的对角线互相平分．
我们证明了平行四边形具有以下性质：
（1）平行四边形的对边相等；
（2）平行四边形的对角相等；
（3）平行四边形的对角线互相平分.
前面问题中，老人分的土地面积相等吗？
A
C
D
B
O●
M
例 如图，在 ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥
BC. 求BC，CD，AC，OA的长，以及 ABCD的面积．
A
B C
D
O
E
F
图中还有哪些量相等？
变式 在上题中，EF过点O，且与AB，CD分别相
交于点E，F．求证：OE=OF．
A
B C
D
O
ABCD的对角线AC与BD相交于点O,直线EF过点 O与
AB 、CD分别相交于E 、F,试探究OE与OF的大小关系并说
明理由.
A
B C
D
OE
F●
●
●
1
23
4
●
O
D
CB
A
E
F
O
D
CB
A
●
E
F
(1) (2)
在上述问题中，若直线EF绕与边DA、BC的延长线交于点E、
F，（如图2），上述结论是否仍然成立？试说明理由。
●
●
●
●
练习 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O.已知
AB=5cm，△AOB的周长和△BOC的周长相差3cm，则AD
的长为___________.2cm或8cm
OO
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等；
平行四边形的对角线互相平分．
（1）本节学习了平行四边形的哪些性质？
（2）结合本节的学习，谈谈研究平行四边形性质的思
想方法．
A
B C
D
O
研究平行四边形，常常把它转化为三角形问题．
第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
第3课时
有两组对边分别平行的四边形 叫做 平行四边形.
A
B C
D
四边形ABCD
如果
AB∥CD
AD∥BC B
D
ABCD
A
C B
DA
C
O
平行四边形的
性质：
边
平行四边形的对边平行
平行四边形的对边相等
角
平行四边形的对角相等
平行四边形的邻角互补
对角线 平行四边形的对角线互相平分
学习目标：
1．经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体
会类比思想及探究图形判定的一般思路；
2．掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不同条
件灵活选取适当的判定定理进行推理．
学习重点：
平行四边形三个判定定理的探究与应用．
有一块平行四边形的玻璃块，假如不小
心碰碎了一部分，聪明的技师拿着细绳
很快将原来的平行四边形画了出来，你
知道他用的是什么方法吗？
答：他是根据平行四边形的定义：
两组对边分别的四边形是平行四边形。
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫
做平行四边形．
平行四边形的性质：对边相等，对角相等，对角线
互相平分．
判定性质
定义
D
A B
C
判定性质
定义
D
A B
C
问题 如何寻找平行四边形的判定方法？
当我们对前进的方向感到迷茫时，不妨回过头来看
看走过的路！
直角三角
形的性质
直角三角
形的判定
勾股定理
勾股定理
的逆定理
在过去的学习中，类似的情况还有吗？请举例说明．
这些经验可以给我们怎样的启示？
两组对边分别相等的
四边形是平行四边形
平行四边形的性质 猜想
对边相等
对角相等
对角线互相平分
两组对角分别相等的
四边形是平行四边形
对角线互相平分的四
边形是平行四边形
思考：这些猜想正确吗？
证明：如图，连接BD．
∵ AB=CD，AD=BC，
BD是公共边，
∴ △ABD≌△CDB．
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4．
∴ AB∥DC，AD∥BC．
∴ 四边形ABCD是平行四边形．
如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
D
A B
C 1
2
3
4
证明：∵ 多边形ABCD是四边形，
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D=360°．
又∵ ∠A=∠C，∠B=∠D，
∴ ∠A+∠B=180°，
∠B+∠C=180°．
∴ AD∥BC，AB∥DC．
∴ 四边形ABCD是平行四边形．
如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
两组对角分别相等的四边形是平行四边形．判定定理2
猜想2
D
A B
C
如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且
OA=OC，OB=OD．求证：四边形ABCD是平行四边形．
判定定理3
D
A B
C
O
猜想3
证明：∵OA=OC，OB=OD，∠AOD=∠COB，
∴△AOD≌△COB．
∴∠OAD=∠OCB．
∴AD∥BC．
同理AB∥DC．
∴四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AB∥DC．
又∵DC=EF，DE=CF，
∴四边形DCFE也是平行四边形．
∴DC∥EF．
∴AB∥EF．
例1 如图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF．求证：
AB∥EF．
A
B C
D
E
F
现在，我们一共有哪些判定平行四边形的方法呢？
定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
判定定理：
（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
这张图揭示了定义、性质、判定间的逻辑关系，提
供了研究几何图形的一般思路．
在研究平行四边形判定的过程中，我们经历了两个
阶段，哪两个阶段呢？
性质
定义
判定 逆向猜想
第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
第4课时
两组对边分别相等
两组对角分别相等
对角线互相平分
两组对边分别平行
平行四边形的判定方法共有几种？
一组对边平行且相等
四边形是平行四边形
边
角
对角线
例题：如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的
中点，求证DE∥BC且DE= BC
B C
A
D E F
证明：如图，延长DE到F,使EF=DE,连接FC、DC、AF.
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∵AE=EC，
CF∥DA，CF=DA，
∴CF∥BD，CF=BD，
DF∥BC，DF=BC.
又DE= DF,
∴DE∥BC且DE= BC.
学习目标：
1．理解三角形中位线的概念，掌握三角形中位线定
理的内容；
2．经历探索，猜想，证明三角形的中位线定理的过
程，进一步发展推理论证的能力．
学习重点：
探索并证明三角形中位线定理．
定义：把连接三角形两边中点的线段叫做三角
形的中位线.
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于
第三边的一半.
中位线定理
如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC 的中点，
连接DE. 像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做
三角形的中位线．
看一看，量一量，猜一猜：
DE与BC之间有什么位置关
系和数量关系？
我们在研究平行四边形时，经常采用把平行四边形
问题转化为三角形问题，能否用平行四边形研究三角形
呢？
A
B C
D E
A
B C
D E
你能对照图形写出已知、求证吗？
怎样分析证明思路？
请分别试一试，这些方案是否都可行．如可行，说
出辅助线的画法；如不可行，请说明原因．
请用适当的方法证明猜想．
请用自己的语言说出得到的结论，并比较证明方法
的异同．
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角
形的第三边，并且等于第三边的一半．
在△ABC中，
∵ D，E分别是边AB，AC的中点，
∴ DE∥BC，且DE= BC .
A
B C
D E
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，CB=6，D，
E，F分别是BC，AC，AB的中点，则四边形AEDF的周
长为________；Rt△ABC的中位线分别是___________；
斜边上的中线是_______，其长为______.
18 DE，DF
CF 5
A
B C D
E F
①有一组对边平行的四边形是平行四边形。
②有两条边相等，并且另外的两条边也相等的四边形
一定是平行四边形。
③对角线相等的四边形是平行四边形。
④一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形。
1.如图，点D、E、分别为△ABC的边AB、AC的中
点.求证：DE∥BC且DE= BC．
A
B C
D E F
证明：如图，延长DE到点F，使EF=DE，连接
CF、CD和AF，∵AE= ，DE= ，
∴四边形ADCF是平行四边（对角线互相平分
的四边形是平行四边形）
∴CF ＝ DA ,又∵AD=BD,
∴CF＝ ,
∴四边形DBCF是平行四边形．
∴DF = BC ,
又∵DE= DF，
∴ ∥ 且DE= BC.
AC EF
BD
DE BC
∥
∥
∥
2.如图，在△ABC中，D、E、F分别是
AB、BC、CA的中点.以这些点为顶点，
在图中，你能画出多少个平行四边形？为
什么？ A
CB
D F
E
答：3个
例1.如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、
CA的中点，以这些点为顶点，你能在图中画出多
少个平行四边形？
B
A
F
E
D
C
例2.如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C
，连接AC和BC，怎样测出A、B两点的实际距离？
根据是什么？ A
BC
1、如下图，在△ABC中,D、E分别是AB、
AC的中点，BC=10 cm，则DE= .
A
CB
D E
5 cm
2、如上图， 在△ABC中,D、E分别是AB、
AC的中点，∠A=50°, ∠B=70°,则∠AED=
。 60°
（1）本节课你学习了什么定理？
（2）定理的内容是什么？
（3）你是怎样得到定理的？
（4）你有什么新的体会？
三角形中位线定理：
连接三角形两边中点的线段平行于第三边，且等于
第三边的一半．
我们既可以用三角形知识研究平行四边形的问题，
又可以用平行四边形知识研究三角形的问题.
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