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2．3 平面向量的基本定理及坐标表示
2．3.1 平面向量基本定理
第二章 平面向量
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1.平面向量共线定理是什么？
2.如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为
G，下滑力为F1，木块对斜面的压力为F2，
这三个力的方向分别如何？
三者有何相互关系？
G
F1
F2
非零向量a与向量b共线 存在唯一实
数λ，使b＝λa.
问题提出
3.在物理中，力可以分解，任何一个大
小不为零的力，都可以分解成两个不同
方向的分力之和.力是一个向量，将这
种力的分解拓展到向量中来，就是向量
的分解.
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平面向量基本定理
②这种表示是唯一的，
即
注意： 不共线的向量 叫做表示这一平面内所有
向量 的一组基底。
①
③基底不惟一，关键是不共线。
我们把不共线的向量我们把不共线的向量 、、 叫做表示这一叫做表示这一
平面内所有向量的平面内所有向量的一组基底一组基底。。
如果如果 、、 是同一个平面内的两个不共线的向量，是同一个平面内的两个不共线的向量，
那么对于这一平面内的任意向量那么对于这一平面内的任意向量 ，有且只有一对实数，有且只有一对实数λλ11、、
λλ22，， 使使
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2．两向量的夹角与垂直
非零向量
∠AOB
同向．
反向．
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想一想
2.零向量与任一非零向量的夹角有意义吗？
提示：由于零向量的方向不定(或任意)，零向量与任意非零向
量的夹角没有什么实际意义．
做一做
答案：60°
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思路：思路：考虑向量所在的三角形或平行四边形，或共线，考虑向量所在的三角形或平行四边形，或共线，
用加法或减法或数乘表示出向量的线性关系。用加法或减法或数乘表示出向量的线性关系。
师OM，生ON，MN
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变式：已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－
2e2，
b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c.
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【名师点评】 将两个不共线的向量作为基底表示其他
向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法
则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另
一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示
向量的唯一性求解．
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方程思想的应用
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题型三 向量的夹角
例3 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的
夹角是________，a－b与a的夹角是________．
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【答案】 30° 60°
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【名师点评】 两向量夹角的实质和求解
(1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两
个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加
以解决．
(2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量
起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三
算”的步骤求出．
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1．平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示
为同一平面内两个不共线向量e1、e2的线性组合λ1e1＋
λ2e2.在具体求λ1、λ2时有两种方法：一是直接利用三角形
法则、平行四边形法则及向量共线定理；二是利用待定
系数法，即利用定理中λ1、λ2的唯一性列方程组求解．
方法感悟
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2．在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量
能够用基底来表示，选择了不共线的两个向量e1、e2，
平面上的任何一个向量a都可以用e1、e2唯一表示为a＝
λ1e1＋λ2e2，这样几何问题就转化为代数问题，转化为
只含有e1、e2的代数运算．
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例4
名师解题 待定系数法求解基底表示向量问题
交点——两组三点共线——方程组
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