资料简介
初中是如何定义角的？
从一个点出发引出的两条射线构成的
几何图形。
知识回顾
O
初中角概念的优点是形象、直观、容易
理解，但它是从图形形状来定义角，因此角
的范围是[0º, 360º) 这种定义称为静态定义，
其弊端在于“狭隘”.而且，生活中很多实
例会不在该范围内。
新课导入
例如：
体操运动员转体720º，跳水运动员向
内、向外转体1080º；
经过1小时，时针、分针、秒针各转了
多少度？
……
这些例子不仅不在范围[0º, 360º) ，而
且方向不同。
所以，就有必要将角的概念推广到任意
角，同学们想想用什么办法才能推广到任意
角？
关键是用运动的观点来看待角的变化。
1.1.1 任意角
掌握用“旋转”定义角的概念，理
解任意角的概念，学会在平面内建立适
当的坐标系来讨论角；并进而理解“正
角”“负角”“象限角”“终边相同的
角”的含义。
教学目标
知识与能力
1、充分结合角和单位圆来了解任意
角及弧度的概念。
2、掌握用数形结合的思想方法来认
识问题。
能够在已有的经验（生活经验，数学
学习经验）的基础上，更好的学习任意角、
象限角、终边相同的角等概念。
过程与方法
情感态度与价值观
理解“正角”“负角”“象限角”“终
边相同的角”的含义。
“旋转”定义角。
教学重难点
难点：
重点：
1、“旋转”形成角
一条射线由原来的位置OA，绕
着它的端点O按逆时针方向旋转到
另一位置OB，就形成角α。
旋转开始时的射线OA叫做角α
的始边，旋转终止的射线OB叫做角
α的终边，射线的端点O叫做角α的
顶点。
2、“正角”与“负角”、“0º角”
我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做
正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做
负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=－
150°，γ=660°。
特别地，当一条射线没有作任何旋转时，
我们也认为这时形成了一个角，并把这个角
叫做零度角（0º）.
角的记法：角α或可以简记成∠α。
3、角的概念扩展的意义：
用“旋转”定义角之后，角的范围大
大地扩大了。
（1）角有正负之分；
如：=210, = 150, =660.
（2）角可以任意大；
实例：体操动作：旋转2周
（360×2=720） 3周（360×3=1080）
（3）还有零角，一条射线，没有旋转。
角的概念推广以后，它包括任意大小的正
角、负角和零角。
要注意，正角和负角是表示具有相反意义
的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象
与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好
象数零无正负一样。
（2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时
针和顺时针两种，这是一对意义相反的
量，根据以往的经验，我们可以把一对
意义相反的量用正负数来表示，那么许
多问题就可以解决了；
（1）旋转中心：作为角的顶点；
用旋转来描述角，需要注意三个要
素（旋转中心、旋转方向和旋转量）.
（3）旋转量：当旋转超过一周时，旋转量
即超过360º，角度的绝对值可大于360º .
于是就会出现720º ， － 540º等角度。
为了研究方便，我们往往在平面直角
坐标系中来讨论角。
角的顶点重合于坐标原点，角的始边
重合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边
落在第几象限，我们就说这个角是第几象
限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角
不属于任何一个象限）。
例如：
30、390、330是第Ⅰ象限角，
300、 60是第Ⅳ象限角，
585、1300是第Ⅲ象限角，
135 、2000是第Ⅱ象限角等。
X
Y
0
Ⅳ
ⅠⅡ
Ⅲ
1、角的顶点与原点重合。
2、角的始边与x轴的非负半轴重合。
那么，角的终边（除端点外）在第几象
限，我们就说这个角是第几象限角。
0 x
y
3、终边在坐标轴的角不属于任何象限。
例1：在0º到360º范围内，找出与下
列各角终边相同的角，并判断它是哪个
象限的角。
(1) －120º；(2) 640º；(3) －950º12′.
⑶ ∵－950º12′=－3×360º+129º48′，
∴129º48′的角与－950º12′的角终边相同，
它是第二象限角。
解：⑴∵－120º=－360º+240º，
∴240º的角与－120º的角终边相同，
它是第三象限角。
⑵ ∵640º=360º+280º，
∴280º的角与640º的角终边相同，
它是第四象限角。
例2：在0°~360°的范围内，找出与
－950°12′角终边相同的角，并判断它是
第几象限角。
解： ∵－950°12′ =129°48′－３×360°，
∴在0°~360°范围内，与－950°12′角终
边相同的角是129°48′。
它是第二象限角。
1、观察：390，330角，它们的终边都与
30角的终边相同.
2、探究：终边相同的角都可以表示成一个0到
360的角与k(k∈Z)个周角的和：
390=30+360(k=1), 330=30360 (k=－
1)
30=30+0×360 (k=0),
1470=30+4×360(k=4)
1770=305×360 (k=－5)
390°＝30°＋360°
－330°＝30°－360°
30°＝30°＋0×360°
与α终边相同的角的一般形式为
α＋k360°，k ∈ Z
x
y
o
30°
…
…
3、结论：
所有与终边相同的角连同在内可以构
成一个集合：{β| β=α+k·360º}(k∈Z)
即：任何一个与角终边相同的角，都可
以表示成角与整数个周角的和。
4、注意以下四点：
① k∈Z；
② 是任意角；
③ k·360º与之间是“+”号，如k·360º－
30º,应看成k·360º+(－30º)；
④ 终边相同的角不一定相等，但相等的角，
终边一定相同，终边相同的角有无数多个，
它们相差360º的整数倍。
S={β|β=α+k360°,k∈ Z}.
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，
可构成一个集合
即任一与角α终边相同的角，都可以表
示成角α与整数个周角的和。
例3： 写出与下列各角终边相同的角
的集合S，并把S中在－360º~720º间的角写
出来：
(1) 60º；(2) －21º；(3) 363º14′。
解：(1) S={β| β=k·360º+60º (k∈Z) },
S中在－360º～720º间的角是
－1×360º+60º=－280º；
0×360º+60º=60º；
1×360º+60º=420º。
(2) S={β| β=k·360º－21º (k∈Z) }
S中在－360º～720º间的角是
0×360º－21º=－21º；
1×360º－21º=339º；
2×360º－21º=699º。
(3) β| β=k·360º+ 363º14’ (k∈Z) }
S中在－360º～720º间的角是
－2×360º+363º14’=－356º46’；
－1×360º+363º14’=3º14’；
0×360º+363º14’=363º14’。
180°+ k360°
分析：终边落在坐标轴上的情形
x
y
0
0°+k360°
90°+ k360°
270°+ k360°
或360°+ k360°
例4：写出终边落在y轴上的角的集合。
解：终边落在ｙ轴正半轴上的角的集合为
S1={β|β=90°+k∙360°,k∈Z}
={β| β=90°+2k·180° ,k∈Z}
x
y
0
90°+k∙360°
270°+k∙360°
终边落在ｙ轴负半轴上的角的集合为
S2={β| β=270°+k∙360°,k∈Z}
={β| β=90°+(2k+1) ·180° ,k∈Z}
∴终边落在ｙ轴上的角的集合为
S=S1∪S2
={β| β=90°+n∙180° ，n∈Z}
X
Y
O
ｋ∙360°180°+k∙360°
例5：写出终边落在x轴上的角的集合。
分析：终边落在坐标轴上的情形
S1={β| β= 90°+K∙360°,K∈Z}
={β| β=90°+2K∙180°，K∈Z}
={β| β=90°+180° 的偶数倍}
解：终边落在x轴正半轴上的角的集合为
终边落在x轴负半轴上的角的集合为
S2={β| β=270°+K∙360°,K∈Z}
={β| β= 90°+ 180°+ 2K∙180°,K∈Z}
={β| β= 90°+（2K+1）180° ，K∈Z}
={β| β=90° +180 ° 的奇数倍}
｛偶数｝∪｛奇数｝ ＝｛整数｝
S=S1∪S2
∴ 终边落在Ｘ轴上的角的集合为
={β| β=180° 的偶数倍}
∪{β| β=180° 的奇数倍}
={β| β=180° 的整数倍}
={β| β=K∙180° ，K∈Z}
锐角是第几象限角，
第一象限角一定是锐角
吗？
锐角是第一象限角.
第一象限角不一定是锐角。
试想：都有哪些角的终边与30°角的终边相同?
x
y
30°
390° 750° 1110°
30°+2×360° 30°+3×360 °
30°+(－2×360° ) 30°+(－3×360° )
－330° －690° －1150°
30°+360°
30°+(－360° )
1、任意角的概念
正角：射线按逆时针方向旋转形成的角。
负角：射线按顺时针方向旋转形成的角。
零角：射线不作旋转形成的角。
课堂小结
⑴ 置角的顶点于原点；
⑵ 始边重合于X轴的正半轴。
2、象限角
终边落在第几象限就是第几象限角。
3、终边与角ａ相同的角
ａ＋K×360°，K∈Z。
1、下列命题正确的是 （ ）
A.终边相同的角一定相等
B.第一象限角都是锐角
C.锐角都是第一象限角
D.小于90°的角都是锐角
C
课堂练习
2、A=｛小于90°的角｝，B=｛第一象
限角｝，则A∩B=（ ）
A.｛锐角｝
B.｛小于90°的角｝
C.｛第一象限角｝
D.以上都不对
A
3、已知角α是第三象限角，则角-α
的终边在（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
4、将－885°化为α+k· 360°(0°≤α＜
360°，k∈Z)的形式是（ ）A
A.－165°+(－2)×360°
B.195°+(－3) ×360°
C.195°+(－2) ×360°
D.165°+(－3) ×360°
5、与120°终边相同的角是（ ）C
A.－600°+k· 360°(k∈Z)
B.－120°+k· 360°(k∈Z)
C.120°+(2k+1)· 180°(k∈Z)
D.660°+k· 360°(k∈Z)
6、写出与370°23 ′ 终边相同角的
集合S，并把S中在－720°～360°间
的角写出来。
解：∵370°23′=10°23′+360°
∴与370°23′终边相同角的集合为
S={α|α= 10°23′+k·360°，k∈Z}
在－720°～360°之间的角分别是
10°23′，10°23′－360°，10°23′－720°
即：10°23′，－349°37′ ，－709°37′。
7、
判断角所在象限。
当 时，
在第一象限；
解：∵
∴可设
当 时，
在第二象限.
∴角在第一或第二象限。
1、锐角是第一象限角，第一象限角不
一定是锐角；直角不属于任何一个象限，
不属于任何一个象限的角不一定是直角；
钝角是第二象限角，第二象限角不一定是
钝角。
2、三，三，五。
教材习题答案
3、（1）第一象限角；
（2）第四象限角；
（3）第二象限角；
（4）第三象限角。
4、（1）305°42′，第四象限角；
（2）35°8′，第一象限角；
（3）249°30′，第三象限角。
5、（1）{β│β=1303°18′+k·360°,k∈Z},
－469°42′，－136°42′，223°18′；
（2）{β│β=－225°+k 360°,k∈Z},
－585°，－225°，135°。
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