资料简介
第4章 平行四边形
4.1 多边形（1）
Ａ Ｂ
Ｃ
△ＡＢＣ
你能根据三角形的定义类比出多边形的定义吗？
由不在同一条直线上的
三条线段首尾顺次相接形
成的图形叫三角形
在在同一平面内同一平面内，由，由不在同一条直线上不在同一条直线上的若干条线段的若干条线段
（线段的条数不小于（线段的条数不小于33））首尾顺次相接首尾顺次相接形成的图形，叫做形成的图形，叫做多多
边形边形．组成多边形的各条线段叫做多边形的边．组成多边形的各条线段叫做多边形的边..
边数为3的多边形叫三角形，边数为4的多边形叫四边
形.类似地，边数为5的多边形叫五边形……边数为n的多
边形叫n边形.
以四边形为例，了解构成多边形的元素
A
B C
D
顶点
内角
边
对角线外角
E
构成四边形的元素
不能记作：四边形不能记作：四边形ACBDACBD
记法：从任一顶点开始按顺时针或逆时针顺序记。如记法：从任一顶点开始按顺时针或逆时针顺序记。如
四边形四边形ABCDABCD或或四边形四边形ADCBADCB等。等。
∠A和∠C是对角
∠B和∠D是对角
A
B C
D
凸四边形凸四边形
E F
G
H
凹四边形凹四边形
注：本套教科书所说的多边形，都指凸多边形，即多
边形的各条边都在任意一条边所在直线的同一侧．
四边形的各条边都在任意
一条边所在直线的同一侧
．
四边形的各条边不都在任
意一条边所在直线的同一
侧．
拿起你手中的四边形剪下它的四个角，把
它们拼在一起（四个角的顶点重合），你
发现了什么？其他同学与你的发现相同吗
？你能把你的发现概括成一个命题吗？
猜：四边形
的四个内角
和是多少？
四边形的内角和等
于360 °
探索：四边形的内角和等于360 °
已知：四边形ABCD（如图）。
求证：∠A+∠B+ ∠C+ ∠D=360 °。
证明：连结AC。
∵ ∠B+∠BAC+ ∠BCA =180 °，
∠D+∠DCA+ ∠CAD =180 °
(三角形三个内角的和等于180 °)，
∴ ∠B+∠BAC+ ∠BCA+ ∠D+∠DCA+ ∠CAD =180°+
180°= 360°，即∠BAD+∠B+∠BCD+∠D=360 °。
你还有其他添辅助线方法求四边形的内角和吗？
A
B C
D
·P
探索： 四边形的内角和等于360 °
证明思路：
四边形的内角和=3个三角形的内角和-1个平角
=3×180°－180° =360°
A
B C
D
·O
证明思路：
四边形的内角和=4个三角形的内角和-1个周角
=4×180°－360° =360°
探索： 四边形的内角和等于360 °
探索： 四边形的内角和等于360 °
A
B C
D
P
证明思路：
四边形的内角和=3个三角形的内角和-1个三角形的内角
和=3×180°－180°=360°
探索： 四边形的内角和等于360 °
A
B C
D
证明思路：
四边形的内角和=2个三角形的内角和+1对同旁内角的
和-2个直角 =2×180°+ 180° －180°=360°
∟
∟
探索： 四边形的内角和等于360 °
A
B C
DE
过点D作DE∥BC
证明思路：
四边形的内角和=1个三角形的内角和+2对同旁内角的和 -
1个平角 =180°+2× 180° －180° =360°
证明思路：
四边形的内角和=2个平角+1个三角形的内角和-1个三
角形的内角和=2×180°+ 180° －180° =360°
探索： 四边形的内角和等于360 °
A
B C
D
E
探索： 四边形的内角和等于360 °
A
B C
D
证明思路：
四边形的内角和=4个三角形的内角和-1个周角
=4×180°-360° =360°
O。
A
B C
D
探索： 四边形的内角和等于360 °
E
证明思路：
四边形的内角和=1个周角=360°
A
B C
D
探索： 四边形的内角和等于360 °
E
F
证明思路：
四边形的内角和=2个三角形的内角和=2×180°=360°
A
B C
D
探索： 四边形的内角和等于360 °
探索： 四边形的内角和等于360 °
A
B C
D
A
B C
D A
B C
D
A
B C
D
∟
∟
A
B C
D
四边形问题通常要转化为 来解决，而连接
是其常用辅助线之一
三角形 对角线
例1 如图，四边形风筝的四个内角∠A，∠B，∠C，∠D的
度数之比为1∶1∶0.6∶1，求它的四个内角的度数．
A
B
C
D
解：设∠A为x°.由题意可得,∠B，
∠C，∠D分别为x°，0.6x°，x°.
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°
（四边形的内角和为3600）
∴x+x+0.6x+x=360
解得 x=100
∴∠A=∠B=∠D=100°，∠C=60°
22、在四边形、在四边形ABCDABCD中，中，∠∠AA与与∠∠CC互补，互补，∠∠BB＝＝80°80°，，
求求∠∠DD的度数。的度数。
AA
DD
BB CC
85°85°110°110°
11 2271°71°
11、如图，在四边形、如图，在四边形ABCDABCD
中，中，∠∠AA=85°,∠=85°,∠DD＝＝110°, 110°,
∠1∠1的外角是的外角是71°71°，则，则∠1∠1＝＝
____________，，∠2∠2＝＝____________。。109 ° 56°
做一做做一做
100 °
变式：变式：在在四边形四边形ABCDABCD中，中，∠∠AA与与∠∠CC互补，互补，∠∠BB比比∠∠DD大大15°15°
，求，求∠∠DD的度数。的度数。 82.5°
11．四边形最多有．四边形最多有__________个个直角，最多直角，最多有有__________个个钝角。钝角。4 3
练一练
22．在四边形．在四边形ABCDABCD中中,∠,∠AA＝＝90°,∠90°,∠BB:∠:∠CC:∠:∠DD =1:2:3 =1:2:3，，
求求∠∠BB 的度数。的度数。 45°
3.如图，在四边形ABCD中，∠ A=∠B，∠D= ∠C，求
证:DC//AB。
D
A B
C
练一练
44．如图，．如图，在四边形四边形ABCDABCD中中,∠,∠AA＝＝∠∠CC，，∠∠BB=∠=∠DD。。
（（11）找出互相平行的边；）找出互相平行的边；
（（22）若）若∠∠AA与与∠∠BB的度数之比是的度数之比是22::11，求各内角的度数。，求各内角的度数。
AD//BCAB//CD
∴∠A=∠C=120°，∠B=∠D=60°
A
1 D
E
C
F
B
2
在四边形ABCD中, ∠A=∠C= 90°,BE平分∠ABC,交CD于
点E,DF平分∠ADC,交AB于点F.求证:BE∥DF.
证明：∵ ∠A=∠C= 90°，
∴ ∠ABC+ ∠ADC=360°- ∠A-∠C=180°.
∵ BE平分∠ABC ,DF平分∠ADC,
∴ ∠ 2= ∠ABC, ∠ 1= ∠ADC.
∴ ∠ 2 +∠ 1= ∠ABC + ∠ADC
=90°.
∵ ∠A=90°,
∴∠AFD+∠1=90°.
∴ ∠ 2 =∠AFD,
∴BE∥DF.
如图，有一个四边形的建筑，围绕它的四个角分别是
半径为1米的扇形花坛，则花坛的总面积是 ( )
A. 米2 B. 米2
C. 米2 D. 米2
C
你能用全等的任意四边形纸片既不重复、又不留空隙地
组成一幅镶嵌图吗？为什么？
理由：四边形的内角和为3600
（１）小彤每从一条小路转到下一条小路时，身体转过的
角是哪个角？
（２）她每跑完一圈，
身体转过的角度之和
是多少？
3
4
1
2
∠1，∠2，∠3，∠4
∠1+∠2+∠3+∠4 = ？
小彤拿着风筝沿着一个四边形公园周围的小路，按逆时针方
向跑了一圈．
D
A
B
C
5
四边形的外角和等于360°
已知：如图，∠５ ,∠ ６,∠７ ,∠８是四边形的四个外角。
求：∠５＋∠６+ ∠７ +∠８ =？
５
D
A B
C
６
７
８
１ ２
３４解: ∵∠ 1+∠５ =∠2+ ∠６= ∠3+∠７
＝∠ 4+∠８= 180°， ∴ ∠ 1+∠５
+∠2+∠６+ ∠3+∠７+ ∠ 4+∠８
=4× 180°= 720°，
即(∠ 1+∠2 +∠ 3 + ∠4)+ (∠５ +∠ ６ + ∠ ７
+∠８) = 720°.
∵ ∠１ +∠ ２ + ∠ ３ +∠４=360°(四边形的内角和是
360°), ∴ ∠５+∠ ６+ ∠ ７ +∠８ = 720°－ 360°=
360°. 推论: 四边形的外角和等于360°.
第4章 平行四边形
4.1 多边形（2）
合作学习
仔细思考，并请填写下表：
边数 图形 从某顶点出发的
对角线条数
划分成的三角
形个数
多边形的内角
和
３ 0 1 1×180°
４ 1 2 2×180°
５
６
… … … … …
n
2 3
3 4
3×180°
4×180°
n-3 n-2 （n－2）×180°
连结多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形
的对角线.
多边形多边形 图形图形 多边形的外角和多边形的外角和
三角形三角形
四边形四边形
五边形五边形
六边形六边形
nn边形边形
3×1803×180oo-1×180-1×180oo=360=360oo
4×1804×180oo-2×180-2×180oo=360=360oo
5×1805×180oo-3×180-3×180oo=360=360oo
6×1806×180oo-4×180-4×180oo=360=360oo
nn×180×180oo-(-(nn-2)×180-2)×180oo=360=360oo
多边形的外角和是360°
nn边形的内角和为边形的内角和为 。。
n边形从一个顶点出发的对角线有 条。
nn边形共有对角线边形共有对角线 条。条。
( (nn－－33)()(nn≥3)≥3)
((nn≥3)≥3)
((nn－－22)×)×180°(180°(nn≥3)≥3)
归纳小结
任何多边形的外角和等于 。360°
1、求十边形的内角和与外角和。
2、已知一个多边形的内角和为900°，这个多边形是几边
形？
3、已知一个多边形的每一个外角都是72°，求这个多边形
的边数。
1440° 360°
七边形
五边形
练一练
4、一个内角和为1620°的多边形有多少条对角线? 44条
变式：已知一个多边形的每一个内角都是108°，则这个
多边形的边数为_____. 5
6、已知六边形的各内角相等，问：各内角、外角分别是
多少度？
5 5、在五边形、在五边形ABCDEABCDE中，若中，若∠∠AA=∠=∠DD=90=90oo,,且且
∠∠BB:∠:∠CC:∠:∠EE=3:2:4,=3:2:4,则则∠∠CC的度数为的度数为_______._______.8080oo
7、已知多边形的内角和与外角和相等，那么它是几边形
？ 四边形
120120oo 6060oo
8、一个多边形剪去一个角后（剪痕不过任何一个其他顶
点），内角和为19801980oo，那么原多边形是几边形？
十二边形
练一练
9、如图，点E，F，G，H在长方形ABCD的四条边上，
已知∠1=∠2=30°，∠3=20°。求五边形FGCHE各个内
角的度数。
A
H
G
F
E
D C
B
1
3
2
∠∠EFGEFG=100=100oo
∠∠FGCFGC=110=110oo
∠∠CC=90=90oo
∠∠CHECHE=150=150oo
∠∠HEFHEF=90=90oo
例1、一个六边形如图，已知AB∥DE，
BC∥EF，CD∥AF，求∠A＋∠C＋∠E的
度数。
A B
C
DE
F
1
2
34
解：如图，连结AD.
∵AB∥DE， CD∥AF（已知）,
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4
（两直线平行，内错角相等）,
∴∠1+∠2＝∠3+∠4，
即∠FAB＝∠CDE，同理∠B＝∠E，
∠C＝∠F.
∴∠FAB＋∠C＋∠E= ×720°=360°.
∵∠FAB＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋
∠F =（6－2）×180°= 720°,
思考：有没有其他的解法？
F
E D
C
BA
P
RQ
3 2
1
A B
C
DE
F
∵∠FAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE＋∠DEF＋∠AFE=（6-
2）×180°=720°,
1
2
P
Q R
如图：可向两个方向分别延长AB，
CD，EF三条边，构成△PQR。
∵ DE∥AB，
∴∠1=∠R,同理∠2=∠R，
∴∠1＝∠2，
∴∠CDE=∠FAB，
同理∠AFE＝∠BCD，
∠ABC=∠DEF.
∴∠FAB＋∠BCD＋∠DEF= ×720°=360°.
解法二：
变式：六边形ABCDEF的每个内角的度数是
120°,且AF=AB=3,BC=CD=2.
求DE，EF的长度．
DE=4 3
3
2
2
EF=1
1.王大意在计算某多边形的内角和时，得到的答案
是2070°，老师发现他把其中一个外角也加了进
去。你知道王大意计算的是几边形的内角和吗？
那个加进去的外角是多少度？
十一边形十一边形 加进去的外角是90°
2.如图中每个阴影部分是以多边形各顶点为圆心，1为半
径的扇形，并且所有多边形的每条边长都大于2，则第n
个多边形中，所有扇形的面积之和是 （结果保
留π）.
第1个 第2个 第3个 …
3.如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，
转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林
共走了108米回到点P，则α=（ ）
A、30° B、40°
C、80° D、不存在
B
四边形的内角和是多少度?怎样得到的？
四边形的外角和是多少度?
四边形的内角和是360°，通过画对角线把四边形问题化
归为三角形问题来解决。
温故知新
三角形三角形 六边形六边形四边形四边形 八边形八边形
…
五边形五边形
是解决多边形问题的常用辅助线 对角线
多边形问题 三角形问题转化
（未知） （已知）
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