资料简介
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模型 8 小船渡河(解析版)
1. 船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动；
2. 三种速度：v1（船在静水中的速度）、v2（水流速度）、v（船的实际速度）；
3. 三种情景：
①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短， （d 为河宽）；
②过河路径最短（v2v1 时）：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。确定方法如下：如图所示，
以 v2 矢量末端为圆心，以 v1 矢量的大小为半径画弧，从 v2 矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方
向航程最短。
由图可知：cos α＝ ，最短航程：s 短＝ ＝ d。
1
dt v短＝
2
1
v
v
1
2
v
v cos
d
α
2
1
v
v2
小船渡河问题建模指导
1. 物体的实际运动一定是合运动。
2. 求解运动的合成与分解问题，应抓住合运动和分运动具有等时性、独立性、等效性的关系。
3. 在小船渡河问题中可将小船的运动分解为沿船头指向的方向和沿水流方向的两个运动。
【典例 1】如图某人游珠江，他以一定速度面部始终垂直河岸向对岸游去。江中各处水流速度相等，他游过
的路程、过河所用的时间与水速的关系是( C )
A．水速大时，路程长，时间长
B．水速大时，路程长，时间短
C．水速大时，路程长，时间不变
D．路程、时间与水速无关
【答案】C
【解析】游泳者相对于岸的速度为他相对于水的速度和水流速度的合速度，水流速度越大，其合速度与岸
的夹角越小，路程越长，但过河时间 t＝
d
v人，与水速无关，故 A、B、D 均错误。
【变式训练 1】在一次漂流探险中，探险者驾驶摩托艇想上岸休息，江岸是平直的，江水沿江向下流速为
v，摩托艇在静水中航速为 u，探险者离岸最近点 O 的距离为 d。如果探险者想在最短的时间内靠岸，则摩
托艇登陆的地点离 O 的距离为多少？
【答案】
v
ud
【解析】如果探险者想在最短的时间内靠岸，摩托艇的船头应垂直于河岸，即 u 垂直于河岸，如图所示，3
则探险者运动的时间为 t＝
d
u，那么摩托艇登陆的地点离 O 的距离为 x＝vt＝
v
ud
【典例 2】(潍坊市四区(县)2015 2016 学年高一下学期质检)如图所示，帆板在海面上以速度 v 朝正西方向
运动，帆船以速度 v 朝正北方向航行，以帆板为参照物( D )
A．帆船朝正东方向航行，速度大小为 v
B．帆船朝正西方向航行，速度大小为 v
C．帆船朝南偏东 45°方向航行，速度大小为 2v
D．帆船朝北偏东 45°方向航行，速度大小为 2v
【答案】D
【解析】以帆板为参照物，在东西朝向，帆船相对于帆板向东运动；在南北朝向，帆船相对于帆板向北运
动；二者速度大小相等，因此帆船朝北偏东 45°方向航行，速度大小为 v2＋v2＝ 2v，故 D 项正确。
【变式训练 2】一只小船渡过两岸平行的河流，河中水流速度各处相同且恒定不变，方向平行于河岸．小船
的初速度均相同，且船头方向始终垂直于河岸，小船相对于水分别做匀加速、匀减速和匀速直线运动，其
运动轨迹如图所示．下列说法错误的是( )
A．沿 AC 和 AD 轨迹小船都是做匀变速运动
B．AD 是匀减速运动的轨迹
C．沿 AC 轨迹渡河所用时间最短
D．小船沿 AD 轨迹渡河，船靠岸时速度最大
【答案】D4
【解析】船沿着船头指向方向做匀加速直线运动的同时还要随着水流一起运动，曲线运动的加速度指向轨
迹的内侧，故 AC 轨迹船相对于静水沿 v0 方向做匀加速运动，AB 轨迹船相对于静水沿 v0 方向做匀速运动，AD
轨迹船相对于静水沿 v0 方向做匀减速运动．沿 AD 轨迹，船是匀减速运动，则船到达对岸的速度最小，故
A、B 正确，D 错误；船相对于水的初速度大小均相同，方向垂直于岸边，由于 AC 轨迹船相对于静水沿 v0 方
向做匀加速运动，AB 轨迹船相对于静水沿 v0 方向做匀速运动，AD 轨迹船相对于静水沿 v0 方向做匀减速运
动，故沿三条不同路径渡河的时间不同，沿 AC 轨迹渡河所用的时间最短，故 C 正确．故选 D．
【典例 3】(2018·西安市二模)某人划船横渡一条河，河水流速处处相同且恒定，船的划行速率恒定．已知
此人过河最短时间为 T1；若此人用最短的位移过河，则需时间为 T2；已知船的划行速度大于水速．则船的
划行速率与水流速率之比为( )
A．
T2
T－T B．
T2
T1
C．
T1
T－T D．
T1
T2
【答案】A
【解析】设河宽为 d，设船在静水中的速率为 v1，水流速为 v2.
最短时间过河时，船头与河岸垂直，T1＝
d
v1
最小位移过河时，v 合＝ v－v
T2＝
d
v合＝
d
v－v
联立解得
v1
v2＝
T2
T－T .A 选项正确．
【变式训练 3】如图所示，甲、乙两同学从河中 O 点出发，分别沿直线游到 A 点和 B 点后，立即沿原路线返
回到 O 点，OA、OB 分别与水流方向平行和垂直，且 OA＝OB。若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则
他们所用时间 t 甲、t 乙的大小关系为（ ）
A. t 甲t 乙 D. 无法确定
【答案】C5
【解析】设水速为 v0，人在静水中速度为 v，对甲，由 O→A，所用时间 t1＝ ，由 A→O 所用时间 t2＝
则甲所用时 t 甲＝t1＋t2＝ ＋ ＝ s ①
对乙，由 O→B 和由 B→O 的实际速度 v′＝
故乙所用时间 t 乙＝ ＝ ②
两式相比得 ＝ >1 即 t 甲>t 乙，故 C 正确。
【典例 4】有甲、乙两只船,它们在静水中航行的速度分别为 v1 和 v2,现在两船从同一渡口向河对岸开去,已
知甲船想用最短时间渡河,乙船想以最短航程渡河,结果两船抵达对岸的地点恰好相同。则甲、乙两船渡河
所用时间之比 为( )。
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】当 v1 与河岸垂直时,甲船渡河时间最短;乙船船头斜向上游开去,才有可能航程最短,由于甲、乙两
只船到达对岸的地点相同(此地点并不在河正对岸),可见乙船在静水中的速度 v2 比水的流速 v0 要小,为满
足题意,则如图所示。由图可得 = ·sinθ
cosθ= ,tanθ=
联立解得 =sinθ
= 。
0
s
v v+
0
s
v v−
0
s
v v+ 0
s
v v− 2 2
0
2v
v v−
2 2
0v v−
2
'
s
v 2 2
0
2s
v v−
t
t
甲
乙 2 2
0
v
v v−6
【变式训练 4】如图所示,河水由西向东流,河宽为 800 m,若取河中任意一点,该点水流速度大小为 v 水,到较
近河岸的距离为 x,则 v 水与 x 的关系总满足 v 水= x(m/s)(x 的单位为 m),让小船船头垂直河岸由南向北渡
河,小船在静水中的速度大小恒为 v 船=4 m/s,则下列说法正确的是( )。
A.小船渡河的轨迹为直线
B.小船在河水中的最大速度是 5 m/s
C.小船在距南岸 200 m 处的速度小于在距北岸 200 m 处的速度
D.小船渡河的时间是 160 s
【答案】B
【解析】小船在南北方向上为匀速直线运动,在东西方向上先加速,到达河中间后再减速,小船的合运动是曲
线运动,A 项错误;当小船运动到河中间时,东西方向上的分速度最大,此时小船的合速度最大,最大值
vm=5m/s,B 项正确;小船在距南岸 200m 处的速度等于在距北岸 200m 处的速度,C 项错误;小船的渡河时间
t=200s,D 项错误。
【典例 5】(多选)如图所示,在河水速度恒定的小河中,一小船保持船头始终垂直河岸从一侧岸边向对岸行
驶,船的轨迹是一个弯曲的“S”形,则( )。
A.小船垂直河岸的速度大小恒定不变7
B.小船垂直河岸的速度大小先增大后减小
C.与小船以出发时的速度匀速过河相比,过河时间变长了
D.与小船以出发时的速度匀速过河相比,过河时间变短了
【答案】BD
【解析】小船在沿河岸的方向上做匀速直线运动,即在相同的时间间隔内,在河岸方向上的位移是相同的;在
垂直于河岸的方向上,在相等的时间间隔内(参照小船在沿河岸方向上的时间),位移先逐渐增大再逐渐减小,
所以速度先增大后减小;因中间那段时间速度较大,所以与小船保持恒定的初始速度过河相比过河时间短
了,B、D 两项正确。
【变式训练 5】如图甲所示,小船过河时,船头与上游河岸的夹角为 α,其航线恰好垂直于河岸,已知船在静
水中的速度为 v,现水流速度稍有增大,为保持航线不变,且能准时到达河对岸,下列措施中可行的是( )。
甲
A.减小 α 角,减小船速 v B.减小 α 角,增大船速 v
C.增大 α 角,增大船速 v D.增大 α 角,减小船速 v
【答案】B
【解析】由题意可知,船相对水的速度为 v,其航线恰好垂直于河岸,当水流速度稍有增大,为保持航线不变,
且准时到达对岸,则船速变化如图乙所示,可知 B 项正确。
乙
【典例 6】(多选)如图所示,河的宽度为L,河水流速为 v 水,甲、乙两船均以静水中的速度 v 同时渡河。出发
时两船相距 2L,甲、乙船头均与岸边成 60°角,且乙船恰好能直达正对岸的 A 点。则下列判断正确的是
( )。8
A.甲船正好也在 A 点靠岸
B.甲船在 A 点左侧靠岸
C.甲、乙两船可能在未到达对岸前相遇
D.甲、乙两船到达对岸的时间相等
【答案】BD
【解析】渡河时间 t= ,乙船能垂直于河岸渡河,对乙船有 v 水=vcos60°,可得甲船在该时间内沿水流方
向的位移为(vcos60°+v 水) = L
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