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北师九年级(上)期中数学试卷 一、选择题(本题满分 24 分,共有 8 道小题,每小题 3 分) 1.下列说法正确的有(  )个. ①菱形的对角线相等; ②对角线互相垂直的四边形是菱形; ③有两个角是直角的四边形是矩形; ④正方形既是菱形又是矩形; ⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分. A.1 B.2 C.3 D.4 2.关于方程 x2﹣2=0 的理解错误的是(  ) A.这个方程是一元二次方程 B.方程的解是 C.这个方程可以化成一元二次方程的一般形式 D.这个方程可以用公式法求解 3.一个暗箱中放有 a 个除颜色外其他完全相同的球,这 a 个球中只有 2 个红球,每次将球 搅拌均匀后,任意摸出 1 个球记下颜色,再放回暗箱,通过大量重复试验后发现,摸到红球 的频率稳定在 20%,那么可以估算 a 的值是(  ) A.15 B.10 C.4 D.3 4.关于 x 的一元二次方程 x2+mx+m=0 有两个相等的实数根,则 m 的值是(  ) A.不存在 B.4 C.0 D.0 或 4 5.如图在△ABC 中,DE∥FG∥BC,AD:AF:AB=1:3:6,则 S△ADE:S 四边形 DEGF:S 四边形 FGCB=(  ) A.1:8:27 B.1:4:9 C.1:8:36 D.1:9:36 6.如图,在菱形 ABCD 中,AB=13,对角线 AC=10,若过点 A 作 AE⊥BC,垂足为 E, 则 AE 的长为(  ) A.8 B. C. D. 7.如图,ABCD 是正方形,E 是边 CD 上(除端点外)任意一点,AM⊥BE 于点 M,CN⊥ BE 于点 N,下列结论一定成立的有(  )个. ①△ABM≌△BCN; ②△BCN≌△CEN; ③AM﹣CN=MN; ④M 有可能是线段 BE 的中点. A.1 B.2 C.3 D.4 8.在研究相似问题时,甲、乙同学的观点如下: 甲:将邻边边长为 5 和 8 的矩形按图①的方式向外扩张,得到新的矩形,它们的对应边间 距均为 1,则新矩形与原矩形相似. 乙:将边长 5、12、13 的三角形按图②的方式向外扩张,得到新三角形,它们的对应边间 距为 1,则新三角形与原三角形相似. 对于两人的观点,下列说法正确的是(  ) A.两人都对 B.两人都不对 C.甲对、乙不对 D.甲不对,乙对 二、填空题(本题满分 18 分,共有 6 道小题,每小题 3 分) 9.若 = = = ,(a+c+e≠0),则 =  . 10.已知直角三角形的三边恰好是三个连续整数,则这个直角三角形的斜边长是  . 11.袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为 1,2,3,绿色卡片两张,标号分别 为 1,2,若从五张卡片中任取两张,则两张卡片的标号之和小于 4 的概率为  . 12.方程 ax2+x+1=0 有两个不等的实数根,则 a 的取值范围是  . 13.如图,正方形 OABC 与正方形 ODEF 是位似图形,点 O 为位似中心,相似比为 1: ,点 A 的坐标为(0, ),则点 E 的坐标是  . 14.如图,在长方形 ABCD 中,AB=3,BC=6,对角线 AC 的垂直平分线分别交 AD、AC 于点 M,N,连接 CM,则 CM 的长为  .   三、作图题(本题满分 10 分,第一小题 4 分,第二小题 6 分) 15.(10 分)已知△ABC,作△DEF,使之与△ABC 相似,且 =4.要求: (1)尺规作图,保留作图痕迹,不写作法. (2)简要叙述作图依据.   四、解答题(本题共 5 小题,满分 68 分) 16.(16 分)计算 (1)用两种不同方法解方程:x2﹣3﹣2x=0 (2)解方程:x2=2x; (3)解方程:3+2x2﹣ x=0. 17.(12 分)某中学调查了某班全部 35 名同学参加音乐社团和美术社团的情况,数据如表 (单位:人): 参加美术社团 未参加美术社团 参加音乐社团 6 5 未参加音乐社团 4 20 (1)从该班任选 1 名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率; (2)在既参加音乐社团,又参加美术社团的 6 名同学中,有 4 名男同学 A1、A2、A3、A4, 两名女同学 B1、B2,现从这 4 名男同学和两名女同学中个随机选取 1 人,求 A1 未被选中但 B1 被选中的概率. 18.(12 分)已知:如图,在矩形 ABCD 中,M、N 分别是 AB、DC 的中点,P、Q 分别 是 DM、BN 的中点. (1)求证:DM=BN; (2)四边形 MPNQ 是怎样的特殊四边形,请说明理由; (3)矩形 ABCD 的边长 AB 与 AD 满足什么长度关系时四边形 MPNQ 为正方形,请说明理 由. 19.(12 分)某茶叶专卖店经销一种日照绿茶,每千克成本 80 元,据销售人员调查发现, 每月的销售量 y(千克)与销售单价 x(元/千克)之间存在如图所示的变化规律. (1)求每月销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式. (2)若某月该茶叶点销售这种绿茶获得利润 1350 元,试求该月茶叶的销售单价 x 为多少 元. 20.(16 分)已知:如图,在 Rt△ACB 中,∠C=90°,AC=3 cm,BC=3cm,点 P 由 B 点出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动,速度为 2cm/s;点 Q 由 A 点出发沿 AC 方向向点 C 匀 速运动,速度为 cm/s;若设运动的时间为 t(s)(0<t<3),解答下列问题: (1)如图①,连接 PC,当 t 为何值时△APC∽△ACB,并说明理由; (2)如图②,当点 P,Q 运动时,是否存在某一时刻 t,使得点 P 在线段 QC 的垂直平分 线上,请说明理由; (3)如图③,当点 P,Q 运动时,线段 BC 上是否存在一点 G,使得四边形 PQGB 为菱形? 若存在,试求出 BG 长;若不存在请说明理由.   参考答案与试题解析 一、选择题(本题满分 24 分,共有 8 道小题,每小题 3 分) 1.下列说法正确的有(  )个. ①菱形的对角线相等; ②对角线互相垂直的四边形是菱形; ③有两个角是直角的四边形是矩形; ④正方形既是菱形又是矩形; ⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分. A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】矩形的判定与性质;菱形的判定与性质. 【分析】根据菱形的判定与性质、矩形的判定与性质进行解答. 【解答】解:①菱形的对角线不一定相等,故错误; ②对角线互相垂直平分的四边形是菱形,故错误; ③有三个角是直角的四边形是矩形,故错误; ④正方形既是菱形又是矩形,故正确; ⑤矩形的对角线相等,但不一定互相垂直平分,故错误; 故选:A. 【点评】本题考查了菱形和矩形的判定与性质.注意:正方形是一特殊的矩形,也是一特殊 的菱形.   2.关于方程 x2﹣2=0 的理解错误的是(  ) A.这个方程是一元二次方程 B.方程的解是 C.这个方程可以化成一元二次方程的一般形式 D.这个方程可以用公式法求解 【考点】解一元二次方程-公式法;一元二次方程的一般形式;一元二次方程的解;解一元 二次方程-直接开平方法. 【分析】根据一元二次方程的定义、解法、一般式逐一判断即可. 【解答】解:A、这个方程是一元二次方程,正确; B、方程的解是 x=± ,错误; C、这个方程可以化成一元二次方程的一般形式,正确; D、这个方程可以用公式法求解,正确; 故选:B. 【点评】本题主要考查一元二次方程的定义和解法,熟练掌握一元二次方程的解法是解题的 关键.   3.一个暗箱中放有 a 个除颜色外其他完全相同的球,这 a 个球中只有 2 个红球,每次将球 搅拌均匀后,任意摸出 1 个球记下颜色,再放回暗箱,通过大量重复试验后发现,摸到红球 的频率稳定在 20%,那么可以估算 a 的值是(  ) A.15 B.10 C.4 D.3 【考点】利用频率估计概率. 【分析】因为除了颜色其他完全相同的球,在摸的时候出现的机会是均等的,通过大量重复 摸球实验后发现,摸到红球的可能性稳定在 20%,可知红球占总球数大约就是 20%,问题 就转化成了一个数的 20%是 2,求这个数,用除法计算即可. 【解答】解:根据题意得: 2÷20%=10(个), 答:可以估算 a 的值是 10; 故选 B. 【点评】此题主要考查了利用频率估计概率,其中解题时首先通过实验得到事件的频率,然 后利用频率估计概率即可解决问题.   4.关于 x 的一元二次方程 x2+mx+m=0 有两个相等的实数根,则 m 的值是(  ) A.不存在 B.4 C.0 D.0 或 4 【考点】根的判别式. 【分析】根据方程有两个相等的实数根即可得出关于m 的一元二次方程,解方程即可得出 m 的值. 【解答】解:∵方程 x2+mx+m=0 有两个相等的实数根, ∴△=m2﹣4m=0, 解得:m=0 或 m=4. 故选 D. 【点评】本题考查了根的判别式,由方程有两个相等的实数根找出关于 m 的一元二次方程 是解题的关键.   5.如图在△ABC 中,DE∥FG∥BC,AD:AF:AB=1:3:6,则 S△ADE:S 四边形 DEGF:S 四 边形 FGCB=(  ) A.1:8:27 B.1:4:9 C.1:8:36 D.1:9:36 【考点】相似三角形的判定与性质. 【分析】由 DE∥FG∥BC,可得△ADE∽△AFG∽△ABC,又由 AD:AF:AB=1:3:6, 利用相似三角形的面积比等于相似比的平方,即可求得 S△ADE:S△AFG:S△ABC=1:9:36, 然后设△ADE 的面积是 a,则△AFG 和△ABC 的面积分别是 9a,36a,即可求两个梯形的 面积,继而求得答案. 【解答】解:∵DE∥FG∥BC, ∴△ADE∽△AFG∽△ABC, ∴AD:AF:AB=1:3:6, ∴S△ADE:S△AFG:S△ABC=1:9:36, 设△ADE 的面积是 a,则△AFG 和△ABC 的面积分别是 9a,36a, 则 S 四边形 DFGE=S△AFG﹣S△ADE=8a,S 四边形 FBCG=S△ABC﹣S△AFG=27a, ∴S△ADE:S 四边形 DFGE:S 四边形 FBCG=1:8:27. 故选 A. 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质.此题难度适中,解题的关键是掌握相似三角 形面积的比等于相似比的平方.   6.如图,在菱形 ABCD 中,AB=13,对角线 AC=10,若过点 A 作 AE⊥BC,垂足为 E, 则 AE 的长为(  ) A.8 B. C. D. 【考点】菱形的性质. 【分析】连接对角线 BD,根据勾股定理求对角线 BD=24,由菱形的面积列式得:S 菱形 ABCD=BC•AE= AC•BD,代入计算可求 AE 的长. 【解答】解:连接 BD 交 AC 于 O, ∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AC⊥BD,OA= AC= ×10=5, ∵AB=13=BC, 由勾股定瑆得:OB= = =12, ∴BD=2OB=24, ∵AE⊥BC, ∴S 菱形 ABCD=BC•AE= AC•BD, 13AE= ×10×24, AE= , 故选 C. 【点评】本题考查了菱形的性质,熟练掌握菱形以下的性质是关键:①菱形的对角线互相 平分且垂直,②菱形的四边相等,③菱形的面积=两条对角线积的一半=底边×高;根据面 积法可以求菱形的边或高.   7.如图,ABCD 是正方形,E 是边 CD 上(除端点外)任意一点,AM⊥BE 于点 M,CN⊥BE 于点 N,下列结论一定成立的有(  )个. ①△ABM≌△BCN; ②△BCN≌△CEN; ③AM﹣CN=MN; ④M 有可能是线段 BE 的中点. A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】正方形的性质;全等三角形的判定与性质. 【分析】①根据 AAS 可以证明△ABM≌△BCN,利用了同角的余角相等; ②根据两角对应相等,可以证明△BCN∽△CEN,因为斜边 CE 和 BE 不相等,所以一定不 全等; ③根据①中听全等可以得结论; ④根据正方形的对角线垂直平分可知:当 M 是线段 BE 的中点时,E 在点 D 处,而已知中 E 是边 CD 上(除端点外)任意一点,所以得出:M 不可能是线段 BE 的中点. 【解答】解:①∵四边形 ABCD 为正方形, ∴AB=BC,∠ABC=90°, ∴∠ABM+∠NBC=90°, ∵AM⊥BE 于点 M,CN⊥BE 于点 N, ∴∠AMB=∠BNC=90°, ∴∠ABM+∠BAM=90°, ∴∠NBC=∠BAM, ∴△ABM≌△BCN; 故①正确; ②∵∠BCE=∠CNE=90°,∠CEN=∠CEB, ∵CE≠BE, ∴△BCN∽△CEN, 故②不正确; ③∵△ABM≌△BCN, ∴AM=BN,BM=CN, ∴MN=BN﹣BM=AM﹣CN, 故③正确; ④当 M 是线段 BE 的中点时,E 在点 D 处,而已知中 E 是边 CD 上(除端点外)任意一点, 所以 M 不可能是线段 BE 的中点. 故④不正确; 所以正确的有:①③2 个, 故选 B. 【点评】本题考查了正方形的性质和全等三角形的性质和判定,正方形的性质较多,要熟练 掌握:①正方形的四边相等,②正方形的四个角都是直角,③正方形的对角线垂直平分且 平分一组对角等;在正方形判定两三角形全等时,经常运用同角的余角相等证明角相等,从 而证明两三角形全等.   8.在研究相似问题时,甲、乙同学的观点如下: 甲:将邻边边长为 5 和 8 的矩形按图①的方式向外扩张,得到新的矩形,它们的对应边间 距均为 1,则新矩形与原矩形相似. 乙:将边长 5、12、13 的三角形按图②的方式向外扩张,得到新三角形,它们的对应边间 距为 1,则新三角形与原三角形相似. 对于两人的观点,下列说法正确的是(  ) A.两人都对 B.两人都不对 C.甲对、乙不对 D.甲不对,乙对 【考点】相似图形. 【分析】利用位似图形的性质以及相似多边形的判定方法得出即可. 【解答】解:由题意可得新矩形边长为:7 和 10, ≠ , 故两矩形不相似, 当新三角形的对应边间距离均为 1 时,则两三角形的对应边平行,且对应点连线相交于一点, 故两三角形位似,即相似, 故选:D. 【点评】此题主要考查了相似三角形以及相似多边形的判定,熟练应用相似多边形的判定方 法是解题关键.   二、填空题(本题满分 18 分,共有 6 道小题,每小题 3 分) 9.若 = = = ,(a+c+e≠0),则 = 2 . 【考点】比例的性质. 【分析】根据等比性质,反比性质,可得答案. 【解答】解:由 = = = ,得 = , 由反比性质,得 =2, 故答案为:2. 【点评】本题考查了比例的性质,利用等比性质,反比性质是解题关键.   10.已知直角三角形的三边恰好是三个连续整数,则这个直角三角形的斜边长是 5 . 【考点】一元二次方程的应用;勾股定理. 【分析】首先设中间的数为 x,表示出其余 2 个数,利用勾股定理求解即可. 【解答】解:设较小的边长为 x.则最小的边长为(x﹣1),斜边长为(x+1), (x﹣1)2+x2=(x+1)2, 解得 x1=0,(不合题意,舍去)x2=4, 故斜边长为 x+1=5. 故答案为:5. 【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形以及一元二次方程的应用,利用勾股定理得 到三边的关系是解决本题的关键.   11.袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为 1,2,3,绿色卡片两张,标号分别 为 1,2,若从五张卡片中任取两张,则两张卡片的标号之和小于 4 的概率为   . 【考点】列表法与树状图法. 【分析】从五张卡片中任取两张的所有可能情况,用列举法求得有 10 种情况,其中两张卡 片的颜色不同且标号之和小于 4 的有 3 种情况,从而求得所求事件的概率. 【解答】解:从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下 10 种: 红 1 红 2,红 1 红 3,红 1 绿 1,红 1 绿 2,红 2 红 3, 红 2 绿 1,红 2 绿 2,红 3 绿 1,红 3 绿 2,绿 1 绿 2. 其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于 4 的有 3 种情况, 红 1 绿 1,红 1 绿 2,红 2 绿 1, 故所求的概率为 P= ; 故答案为: . 【点评】本题考查古典概型问题,可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件,应用 列举法来解题是这一部分的最主要思想,属于基础题.   12.方程 ax2+x+1=0 有两个不等的实数根,则 a 的取值范围是 a< 且 a≠0 . 【考点】根的判别式. 【分析】根据方程有两个不相等的实数根结合二次项系数不为 0,即可得出关于 a 的一元一 次不等式组,解不等式组即可得出结论. 【解答】解:∵方程 ax2+x+1=0 有两个不等的实数根, ∴ , 解得:a< 且 a≠0. 【点评】本题考查了根的判别式,根据方程有两个不相等的实数根找出关于a 的一元一次不 等式组是解题的关键.   13.如图,正方形 OABC 与正方形 ODEF 是位似图形,点 O 为位似中心,相似比为 1: ,点 A 的坐标为(0, ),则点 E 的坐标是 (3,3) . 【考点】位似变换;坐标与图形性质;正方形的性质. 【分析】由题意可得 OA:OD=1: ,又由点 A 的坐标为(0, ),即可求得 OD 的长, 又由正方形的性质,即可求得 E 点的坐标. 【解答】解:∵正方形 OABC 与正方形 ODEF 是位似图形,O 为位似中心,相似比为 1: , ∴OA:OD=1: , ∵点 A 的坐标为(0, ), 即 OA= , ∴OD=3, ∵四边形 ODEF 是正方形, ∴DE=OD=3. ∴E 点的坐标为:(3,3). 故答案为:(3,3). 【点评】此题考查了位似变换的性质与正方形的性质.此题比较简单,注意理解位似变换与 相似比的定义是解此题的关键.   14.如图,在长方形 ABCD 中,AB=3,BC=6,对角线 AC 的垂直平分线分别交 AD、AC 于点 M,N,连接 CM,则 CM 的长为   . 【考点】矩形的性质;线段垂直平分线的性质. 【分析】由线段垂直平分线的性质求出 AM=CM,在 Rt△DMC 中,由勾股定理得出 DM2+DC2=CM2,得出方程(6﹣CM)2+32=CM2,求出 CM 即可. 【解答】解:∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠D=∠B=90°,AD=BC=6,AB=DC=3, ∵MN 是 AC 的垂直平分线, ∴AM=CM, ∴DM=AD﹣AM=AD﹣CM=4﹣CM, 在 Rt△DMC 中,由勾股定理得:DM2+DC2=CM2, (6﹣CM)2+32=CM2, CE= , 故答案为: . 【点评】本题考查了矩形性质,勾股定理,线段垂直平分线性质的应用,关键是能得出关于 CM 的方程.   三、作图题(本题满分 10 分,第一小题 4 分,第二小题 6 分) 15.(10 分)已知△ABC,作△DEF,使之与△ABC 相似,且 =4.要求: (1)尺规作图,保留作图痕迹,不写作法. (2)简要叙述作图依据. 【考点】作图—相似变换. 【分析】(1)利用相似三角形的性质得出:△DEF 的边长与△ABC 边长的关系进而得出答 案; (2)利用相似三角形的性质结合作三角形的方法得出答案. 【解答】解:(1)如图所示:△DEF 即为所求; (2)∵△DEF∽△ABC,且 =4, ∴ = = = , ∴作 AB,AC 的垂直平分线,进而得出 AB,AC 的中点,即可得出 ED,EF,DF 的长. 【点评】此题主要考查了相似变换以及三角形的做法,正确得出△DEF 边长变化规律是解 题关键.   四、解答题(本题共 5 小题,满分 68 分) 16.(16 分)计算 (1)用两种不同方法解方程:x2﹣3﹣2x=0 (2)解方程:x2=2x; (3)解方程:3+2x2﹣ x=0. 【考点】解一元二次方程-因式分解法. 【分析】(1)因式分解法和配方法求解可得; (2)因式分解法求解可得; (3)由根的判别式小于 0 可得答案. 【解答】解:(1)因式分解法:(x+1)(x﹣3)=0, ∴x+1=0 或 x﹣3=0, 解得:x=﹣1 或 x=3; 配方法:x2﹣2x=3, x2﹣2x+1=3+1,即(x﹣1)2=4, ∴x﹣1=±2, 解得:x=﹣1 或 x=3; (2)x2﹣2x=0, x(x﹣2)=0, ∴x=0 或 x=2; (3)∵a=2,b=﹣ ,c=3, ∴△= ﹣4×2×3<0, ∴原方程无实数根. 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力,根据不同的方程选择合适的方法是解题的关 键.   17.(12 分)某中学调查了某班全部 35 名同学参加音乐社团和美术社团的情况,数据如表 (单位:人): 参加美术社团 未参加美术社团 参加音乐社团 6 5 未参加音乐社团 4 20 (1)从该班任选 1 名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率; (2)在既参加音乐社团,又参加美术社团的 6 名同学中,有 4 名男同学 A1、A2、A3、A4, 两名女同学 B1、B2,现从这 4 名男同学和两名女同学中个随机选取 1 人,求 A1 未被选中但 B1 被选中的概率. 【考点】列表法与树状图法. 【分析】(1)先判断出这是一个古典概型,所以求出基本事件总数,“至少参加一个社团” 事件包含的基本事件个数,从而根据古典概型的概率计算公式计算即可; (2)先求基本事件总数,即从这 4 名男同学和 2 名女同学中各随机选 1 人,有多少中选法, 这个可利用分步计数原理求解,再求出“A1 不被选中,而 B1 被选中”事件包含的基本事件个 数,这个容易求解,然后根据古典概型的概率公式计算即可. 【解答】解:(1)设“至少参加一个社团”为事件 A; 从 45 名同学中任选一名有 45 种选法,∴基本事件数为 45; 通过列表可知事件 A 的基本事件数为 6+4+5=15; 这是一个古典概型,∴P(A)= = ; (2)从 4 名男同学中任选一个有 4 种选法,从 2 名女同学中任选一名有 2 种选法; 从这 4 名男同学和 2 名女同学中各随机选 1 人的选法有 4×2=8,即基本事件总数为 8; 设“A1 未被选中,而 B1 被选中”为事件 B,显然事件 B 包含的基本事件数为 3; 这是一个古典概型,则 P(B)= . 【点评】主要考查了事件的分类和概率的求法.用到的知识点为:可能发生,也可能不发生 的事件叫做随机事件;概率=所求情况数与总情况数之比.   18.(12 分)已知:如图,在矩形 ABCD 中,M、N 分别是 AB、DC 的中点,P、Q 分别 是 DM、BN 的中点. (1)求证:DM=BN; (2)四边形 MPNQ 是怎样的特殊四边形,请说明理由; (3)矩形 ABCD 的边长 AB 与 AD 满足什么长度关系时四边形 MPNQ 为正方形,请说明理 由. 【考点】四边形综合题. 【分析】(1)根据矩形的性质和中点的定义,利用 SAS 判定△MBA≌△NDC; (2)四边形 MPNQ 是菱形,连接 AN,有(1)可得到 BM=DN,再有中点得到 PM=NQ, 再通过证明△MQD≌△NPB 得到 MQ=PN,从而证明四边形 MPNQ 是平行四边形,利用三 角形中位线的性质可得:MP=MQ,进而证明四边形 MQNP 是菱形; (3)利用对角线相等的菱形是正方形即可. 【解答】证明:(1)∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AB=CD,AD=BC,∠A=∠C=90°, ∵在矩形 ABCD 中,M、N 分别是 AD、BC 的中点, ∴AM= AD,CN= BC, ∴AM=CN, 在△MAB 和△NDC 中, ∴△MBA≌△NDC(SAS); (2)四边形 MPNQ 是菱形. 理由如下:连接 AP,MN, 则四边形 ABNM 是矩形, ∵AN 和 BM 互相平分, 则 A,P,N 在同一条直线上, 易证:△ABN≌△BAM, ∴AN=BM, ∵△MAB≌△NDC, ∴BM=DN, ∵P、Q 分别是 BM、DN 的中点, ∴PM=NQ, 在△MQD 和△NPB 中, , ∴△MQD≌△NPB(SAS). ∴四边形 MPNQ 是平行四边形, ∵M 是 AD 中点,Q 是 DN 中点, ∴MQ= AN, ∴MQ= BM, ∵MP= BM, ∴MP=MQ, ∴平行四边形 MQNP 是菱形; (3)当 AD=2AB 时,四边形 MQNP 是正方形; 如图 1,连接 PQ, ∵PQ⊥MN.AD⊥MN, ∴PQ∥AD, ∵点 P 是 BM 的中点, ∴AD=2PQ, ∵AD=2AB, ∴PQ=AB, ∵MN=AB, ∴MN=PQ, 由(2)知,四边形 MQNP 是菱形; ∴菱形 MQNP 是正方形. 【点评】此题是四边形综合题,主要考查了矩形的性质、正方形的性质,全等三角形的判定 和全等三角形的性质、三角形中位线定理以及平行四边形的判定和菱形的判定方法,判断出 四边形 MQNP 是菱形是解本题的关键,属于基础题目.   19.(12 分)某茶叶专卖店经销一种日照绿茶,每千克成本 80 元,据销售人员调查发现, 每月的销售量 y(千克)与销售单价 x(元/千克)之间存在如图所示的变化规律. (1)求每月销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式. (2)若某月该茶叶点销售这种绿茶获得利润1350元,试求该月茶叶的销售单价x为多少元. 【考点】一元二次方程的应用;一次函数的应用. 【分析】(1)设函数解析式为 y=kx+b,将(90,100),(100,80)代入 y=kx+b 即可; (2)每千克利润乘以销售量即为总利润;根据某月获得的利润等于 1350 元,求出 x 的值即 可. 【解答】解:(1)设一次函数解析式为 y=kx+b, 把(90,100),(100,80)代入 y=kx+b 得, , 解得, , y 与销售单价 x 之间的函数关系式为 y=﹣2x+280. (2)根据题意得:w=(x﹣80)(﹣2x+280)=﹣2x2+440x﹣22400=1350; 解得(x﹣110)2=225, 解得 x1=95,x2=125. 答:销售单价为 95 元或 125 元. 【点评】本题一元二次方程及一次函数的应用,解题的关键是从实际问题中整理出函数和方 程模型,难度不大.   20.(16 分)已知:如图,在 Rt△ACB 中,∠C=90°,AC=3 cm,BC=3cm,点 P 由 B 点出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动,速度为 2cm/s;点 Q 由 A 点出发沿 AC 方向向点 C 匀 速运动,速度为 cm/s;若设运动的时间为 t(s)(0<t<3),解答下列问题: (1)如图①,连接 PC,当 t 为何值时△APC∽△ACB,并说明理由; (2)如图②,当点 P,Q 运动时,是否存在某一时刻 t,使得点 P 在线段 QC 的垂直平分 线上,请说明理由; (3)如图③,当点 P,Q 运动时,线段 BC 上是否存在一点 G,使得四边形 PQGB 为菱形? 若存在,试求出 BG 长;若不存在请说明理由. 【考点】相似形综合题. 【分析】(1)先根据勾股定理求出 AB,再用△APC∽△ACB,得出 ,即: ,求出时间; (2)先用垂直平分线的性质得出 QM=CM= CQ= (3 ﹣ t),然后用平行线分线段 成比例建立方程求出结论; (3)先由平行四边形的性质建立方程求出时间 t,即求出 PQ,PB,即可得到 PQ≠PB 判断 出四边形 PQGB 不可能是菱形. 【解答】解:(1)在 Rt△ACB 中,∠C=90°,AC=3 cm,BC=3cm, ∴AB=6, 由运动知,BP=2t,AQ= t, ∴AP=6﹣2t, ∵△APC∽△ACB, ∴ , ∴ , ∴t= ; (2)存在, 理由:如图②,由运动知,BP=2t,AQ= t, ∴AP=6﹣2t,CQ=3 ﹣ t, ∵点 P 是 CQ 的垂直平分线上, ∴QM=CM= CQ= (3 ﹣ t), ∴AM=AQ+QM= t﹣ (3 ﹣ t)= (t﹣1) 过点 P 作 PM⊥AC, ∵∠ACB=90°, ∴PM∥BC, ∴ , ∴ , ∴t= 或 t= (舍), ∴t= . (3)不存在, 理由:由运动知,BP=2t,AQ= t, ∴AP=6﹣2t, 假设线段 BC 上是存在一点 G,使得四边形 PQGB 为平行四边形, ∴PQ∥BG,PQ=BG, ∴△APQ∽△ABC, ∴ , ∴ , ∴t= ,PQ= , ∴BP=2t=3, ∴PQ≠BP, ∴平行四边形 PQGB 不可能是菱形. 即:线段 BC 上不存在一点 G,使得四边形 PQGB 为菱形. 【点评】此题是相似形综合题,主要考查了勾股定理,线段的垂直平分线的性质,相似三角 形的判定和性质,平行四边形的性质,菱形的判定,解本题的关键是用方程的思想解决问 题. 查看更多

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