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资料简介
北师八年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．在每小题给出的四个
选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的代号填在下面的表格内．
1．（﹣2）2 的平方根是（ ）
A．±2 B．﹣2 C．2 D．
2．已知直角三角形两边的长为 3 和 4，则此三角形的周长为（ ）
A．12 B．7+ C．12 或 7+ D．以上都不对
3．估计 +1 的值（ ）
A．在 1 和 2 之间 B．在 2 和 3 之间 C．在 3 和 4 之间 D．在 4 和 5 之间
4．下列运算中错误的有（ ）个
① =4 ② =4 ③ =﹣3 ④ =3 ⑤± =3．
A．4 B．3 C．2 D．1
5．设正比例函数 y=mx 的图象经过点 A（m，4），且 y 的值随 x 值的增大而减小，
则 m=（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
6．如图，数轴上点 A，B 分别对应 1，2，过点 B 作 PQ⊥AB，以点 B 为圆心，AB
长为半径画弧，交 PQ 于点 C，以原点 O 为圆心，OC 长为半径画弧，交数轴于点
M，则点 M 对应的数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在 3×3 的正方形网格中由四个格点 A，B，C，D，以其中一点为原点，
网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关
于一条坐标轴对称，则原点是（ ）
A．A 点B．B 点 C．C 点 D．D 点
8．如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（ ）
A．乙前 4 秒行驶的路程为 48 米
B．在 0 到 8 秒内甲的速度每秒增加 4 米/秒
C．两车到第 3 秒时行驶的路程相等
D．在 4 至 8 秒内甲的速度都大于乙的速度
9．若实数 a、b、c 满足 a+b+c=0，且 a＜b＜c，则函数 y=ax+c 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
10．已知 ，则 2xy 的值为（ ）
A．﹣15 B．15 C． D．
11．已知一次函数 y= x+a 与 y=﹣ x+b 的图象都经过点 A（﹣2，0），且与 y 轴
分别交于 B，C 两点，那么△ABC 的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．如图．在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，点 D 为 BC 的中点，DE⊥AB，垂足
为点 E，则 DE 等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共 6 小题，每小题填对得 4 分，共 24 分．只要求填最后结
果．
13．已知 2x+1 的平方根为±5，则﹣5x﹣4 的立方根是 ．
14．化简：|2﹣ |+|7+ |+|2﹣2 |= ．
15．若第二象限内的点 P（x，y）满足|x|=3，y2=25，则点 P 的坐标是 ．
16．若函数 y=（m﹣1）x|m|是正比例函数，则该函数的图象经过第 象限．
17．小明到超市买练习本，超市正在打折促销：购买 10 本以上，从第 11 本开始
按标价打折优惠，买练习本所花费的钱数 y（元）与练习本的个数 x（本）之间
的关系如图所示，那么在这个超市买 10 本以上的练习本优惠折扣是 折．
18．如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=5，在 CD 上任取一点 E，连接 BE，将△
BCE 沿 BE 折叠，使点 C 恰好落在 AD 边上的点 F 处，则 CE 的长为 ．
三．解答题：解答要写出必要的文字说明或演算步骤．
19．计算：
（1）（ ﹣2 ）× ﹣2 ；
（2）（3 + ﹣4 ）÷ ；
（3）（﹣2+ ）（﹣2﹣ ）﹣（ ﹣ ）2
（4） + ×（ ﹣ ）+ ．
20． 9+ 和 9﹣ 的小数部分分别是 m，n，求 mn﹣3m+2n﹣7 的值．
21．如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（0，3），B（2，4），C（4，0），D
（2，﹣3），E（0，﹣4）．
（1）写出 D，C，B 关于 y 轴对称点 F，G，H 的坐标，并画出 F，G，H 点．
（2）顺次平滑地连接 A，B，C，D，E，F，G，H，A 各点．观察图形它是 轴
对称图形．
22．已知一次函数 y=2x+4
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数的图象；
（2）求图象与 x 轴的交点 A 的坐标，与 y 轴交点 B 的坐标；
（3）在（2）的条件下，求出△AOB 的面积；
（4）利用图象直接写出：当 y＜0 时，x 的取值范围．
23．如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D 为 AB 边
上一点，求证：
（1）△ACE≌△BCD；
（2）AD2+DB2=DE2．
24．小明一家利用元旦三天驾车到某景点旅游．小汽车出发前油箱有油 36L，行
驶若干小时后，途中在加油站加油若干升．油箱中余油量 Q（L）与行驶时间 t
（h）之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题：
（1）小汽车行驶 h 后加油，中途加油 L；
（2）求加油前油箱余油量 Q 与行驶时间 t 的函数关系式；
（3）如果小汽车在行驶过程中耗油量速度不变，加油站距景点 200km，车速为
80km/h，要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由．
参考答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．在每小题给出的四个
选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的代号填在下面的表格内．
1．（﹣2）2 的平方根是（ ）
A．±2 B．﹣2 C．2 D．
【考点】平方根．
【分析】先求出该数，然后再求它的平方根．
【解答】解：（﹣2）2=4，
∴4 的平方根是±2，
故选（A）
【点评】本题考查平方根的性质，属于基础题型．
2．已知直角三角形两边的长为 3 和 4，则此三角形的周长为（ ）
A．12 B．7+ C．12 或 7+ D．以上都不对
【考点】勾股定理．
【专题】分类讨论．
【分析】先设 Rt△ABC 的第三边长为 x，由于 4 是直角边还是斜边不能确定，故
应分 4 是斜边或 x 为斜边两种情况讨论．
【解答】解：设 Rt△ABC 的第三边长为 x，
①当 4 为直角三角形的直角边时，x 为斜边，
由勾股定理得，x=5，此时这个三角形的周长=3+4+5=12；
②当 4 为直角三角形的斜边时，x 为直角边，
由勾股定理得，x= ，此时这个三角形的周长=3+4+ ，
故选 C．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题时要注意分类讨论，不要漏
解．
3．估计 +1 的值（ ）
A．在 1 和 2 之间 B．在 2 和 3 之间 C．在 3 和 4 之间 D．在 4 和 5 之间
【考点】估算无理数的大小．
【分析】直接利用已知无理数得出 的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：∵2＜ ＜3，
∴3＜ +1＜4，
∴ +1 在在 3 和 4 之间．
故选：C．
【点评】此题主要考查了估算无理数大小，正确得出 的取值范围是解题关
键．
4．下列运算中错误的有（ ）个
① =4 ② =4 ③ =﹣3 ④ =3 ⑤± =3．
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】立方根；平方根；算术平方根．
【分析】根据平方根、立方根即可求出答案．
【解答】解： = ，无意义，
± =±3，
故选（C）
【点评】本题考查平方根与立方根的定义，属于基础题型．
5．设正比例函数 y=mx 的图象经过点 A（m，4），且 y 的值随 x 值的增大而减小，
则 m=（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【考点】正比例函数的性质．
【分析】直接根据正比例函数的性质和待定系数法求解即可．
【解答】解：把 x=m，y=4 代入 y=mx 中，
可得：m=±2，
因为 y 的值随 x 值的增大而减小，
所以 m=﹣2，
故选 B
【点评】本题考查了正比例函数的性质：正比例函数 y=kx（k≠0）的图象为直线，
当 k＞0 时，图象经过第一、三象限，y 值随 x 的增大而增大；当 k＜0 时，图象
经过第二、四象限，y 值随 x 的增大而减小．
6．如图，数轴上点 A，B 分别对应 1，2，过点 B 作 PQ⊥AB，以点 B 为圆心，AB
长为半径画弧，交 PQ 于点 C，以原点 O 为圆心，OC 长为半径画弧，交数轴于点
M，则点 M 对应的数是（ ）
A． B． C． D．
【考点】勾股定理；实数与数轴．
【分析】直接利用勾股定理得出 OC 的长，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：连接 OC，
由题意可得：OB=2，BC=1，
则 AC= = ，
故点 M 对应的数是： ．
故选：B．
【点评】此题主要考查了勾股定理，根据题意得出 CO 的长是解题关键．
7．如图，在 3×3 的正方形网格中由四个格点 A，B，C，D，以其中一点为原点，
网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关
于一条坐标轴对称，则原点是（ ）
A．A 点B．B 点 C．C 点 D．D 点
【考点】关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标．
【分析】直接利用对称点的性质结合体得出原点的位置．
【解答】解：如图所示：以 B 点为原点，建立平面直角坐标系，此时存在两个点
A，C 关于 y 轴对称，
故选：B．
【点评】此题主要考查了关于坐标轴对称点的性质，正确利用对称的性质求出原
点位置是解题关键．
8．如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（ ）
A．乙前 4 秒行驶的路程为 48 米
B．在 0 到 8 秒内甲的速度每秒增加 4 米/秒
C．两车到第 3 秒时行驶的路程相等
D．在 4 至 8 秒内甲的速度都大于乙的速度
【考点】函数的图象．
【分析】前 4s 内，乙的速度﹣时间图象是一条平行于 x 轴的直线，即速度不变，
速度×时间=路程．
甲是一条过原点的直线，则速度均匀增加；
求出两图象的交点坐标，3 秒时两速度大小相等，3s 前甲的图象在乙的下方，所
以 3 秒前路程不相等；
图象在上方的，说明速度大．
【解答】解：A、根据图象可得，乙前 4 秒的速度不变，为 4 米/秒，则行驶的路
程为 12×4=48 米，故 A 正确；
B、根据图象得：在 0 到 8 秒内甲的速度是一条过原点的直线，即甲的速度从 0
均匀增加到 32 米/秒，则每秒增加 =4 米秒/，故 B 正确；
C、由于甲的图象是过原点的直线，斜率为 4，所以可得 v=4t（v、t 分别表示速
度、时间），将 v=12m/s 代入 v=4t 得 t=3s，则 t=3s 前，甲的速度小于乙的速度，
所以两车到第 3 秒时行驶的路程不相等，故 C 错误；
D、在 4 至 8 秒内甲的速度图象一直在乙的上方，所以甲的速度都大于乙的速度，
故 D 正确；
由于该题选择错误的，故选 C．
【点评】此题考查了函数的图形，通过此类题目的练习，可以培养学生分析问题
和运用所学知识解决实际问题的能力，能使学生体会到函数知识的实用性．
9．若实数 a、b、c 满足 a+b+c=0，且 a＜b＜c，则函数 y=ax+c 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【专题】常规题型．
【分析】先判断出 a 是负数，c 是正数，然后根据一次函数图象与系数的关系确
定图象经过的象限以及与 y 轴的交点的位置即可得解．
【解答】解：∵a+b+c=0，且 a＜b＜c，
∴a＜0，c＞0，（b 的正负情况不能确定），
a＜0，则函数 y=ax+c 图象经过第二四象限，
c＞0，则函数 y=ax+c 的图象与 y 轴正半轴相交，
纵观各选项，只有 A 选项符合．
故选 A．
【点评】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，先确定出 a、c 的正负情
况是解题的关键，也是本题的难点．
10．已知 ，则 2xy 的值为（ ）
A．﹣15 B．15 C． D．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】首先根据二次根式有意义的条件求出 x 的值，然后代入式子求出 y 的值，
最后求出 2xy 的值．
【解答】解：要使有意义，则 ，
解得 x= ，
故 y=﹣3，
∴2xy=2× ×（﹣3）=﹣15．
故选：A．
【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件，解答本题的关键是求出 x 和 y 的
值，本题难度一般．
11．已知一次函数 y= x+a 与 y=﹣ x+b 的图象都经过点 A（﹣2，0），且与 y 轴
分别交于 B，C 两点，那么△ABC 的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】两条直线相交或平行问题．
【分析】可先根据点 A 的坐标用待定系数法求出 a，b 的值，即求出两个一次函
数的解析式，进而求出它们与 y 轴的交点，即 B，C 的坐标．那么三角形 ABC 中，
底边的长应该是 B，C 纵坐标差的绝对值，高就应该是 A 点横坐标的绝对值，因
此可根据三角形的面积公式求出三角形的面积．
【解答】解：把点 A（﹣2，0）代入 y= x+a，
得：a=3，
∴点 B（0，3）．
把点 A（﹣2，0）代入 y=﹣ x+b，
得：b=﹣1，
∴点 C（0，﹣1）．
∴BC=|3﹣（﹣1）|=4，
∴S△ABC= ×2×4=4．
故选 C．
【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式以及一次函数与方程的关系，通
过已知点的坐标来得出两函数的解析式是解题的关键．
12．如图．在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，点 D 为 BC 的中点，DE⊥AB，垂足
为点 E，则 DE 等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．
【分析】首先连接 AD，由△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，D 为 BC 中点，利用等
腰三角形的三线合一的性质，即可证得：AD⊥BC，然后利用勾股定理，即可求
得 AD 的长，然后利用面积法来求 DE 的长．
【解答】解：连接 AD，
∵△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，D 为 BC 中点，
∴AD⊥BC，BD= BC=5，
∴AD= =12，
又∵DE⊥AB，
∴ BD•AD= AB•ED，
∴ED= = = ，
故选 D．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，解题的关
键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．
二、填空题：本题共 6 小题，每小题填对得 4 分，共 24 分．只要求填最后结
果．
13．已知 2x+1 的平方根为±5，则﹣5x﹣4 的立方根是 ﹣4 ．
【考点】立方根；平方根．
【分析】根据平方根定义可得 2x+1=25，然后再计算出 x 的值，然后再计算出﹣
5x﹣4 的值，再求立方根即可．
【解答】解：由题意得：2x+1=25，
解得：x=12，
﹣5x﹣4=﹣5×12﹣4=﹣64，
﹣64 的立方根是﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】此题主要考查了平方根和立方根，关键是掌握如果一个数的平方等于
a，这个数就叫做 a 的平方根，也叫做 a 的二次方根；如果一个数的立方等于 a，
那么这个数叫做 a 的立方根或三次方根．
14．化简：|2﹣ |+|7+ |+|2﹣2 |= 7+2 ．
【考点】实数的运算．
【专题】常规题型；实数．
【分析】原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：原式=2﹣ +7+ +2 ﹣2=7+2 ．
故答案为：7+2
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．若第二象限内的点 P（x，y）满足|x|=3，y2=25，则点 P 的坐标是 （﹣3，
5） ．
【考点】点的坐标．
【分析】根据绝对值的意义和平方根得到 x=±5，y=±2，再根据第二象限的点
的坐标特点得到 x＜0，y＞0，于是 x=﹣5，y=2，然后可直接写出 P 点坐标．
【解答】解：∵|x|=3，y2=25，
∴x=±3，y=±5，
∵第二象限内的点 P（x，y），
∴x＜0，y＞0，
∴x=﹣3，y=5，
∴点 P 的坐标为（﹣3，5），
故答案为：（﹣3，5）．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内
点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；
第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
16．若函数 y=（m﹣1）x |m|是正比例函数，则该函数的图象经过第 二、四
象限．
【考点】正比例函数的定义．
【分析】根据正比例函数定义可得：|m|=1，且 m﹣1≠0，计算出 m 的值，然
后可得解析式，再根据正比例函数的性质可得答案．
【解答】解：由题意得：|m|=1，且 m﹣1≠0，
解得：m=﹣1，
函数解析式为 y=﹣2x，
∵k=﹣2＜0，
∴该函数的图象经过第二、四象限．
故答案为：二、四．
【点评】此题主要考查了正比例函数的定义和性质，关键是掌握形如 y=kx（k 是
常数，k≠0）的函数叫做正比例函数；正比例函数 y=kx（k 是常数，k≠0），当 k
＞0 时，直线 y=kx 依次经过第三、一象限，从左向右上升，y 随 x 的增大而增大；
当 k＜0 时，直线 y=kx 依次经过第二、四象限，从左向右下降，y 随 x 的增大而
减小．
17．小明到超市买练习本，超市正在打折促销：购买 10 本以上，从第 11 本开始
按标价打折优惠，买练习本所花费的钱数 y（元）与练习本的个数 x（本）之间
的关系如图所示，那么在这个超市买 10 本以上的练习本优惠折扣是 七 折．
【考点】一次函数的应用．
【专题】压轴题．
【分析】根据函数图象求出打折前后的单价，然后解答即可．
【解答】解：打折前，每本练习本价格：20÷10=2 元，
打折后，每本练习本价格：（27﹣20）÷（15﹣10）=1.4 元，
=0.7，
所以，在这个超市买 10 本以上的练习本优惠折扣是七折．
故答案为：七．
【点评】本题考查了一次函数的应用，比较简单，准确识图并求出打折前后每本
练习本的价格是解题的关键．
18．如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=5，在 CD 上任取一点 E，连接 BE，将△
BCE 沿 BE 折叠，使点 C 恰好落在 AD 边上的点 F 处，则 CE 的长为 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】设 CE=x，由矩形的性质得出 AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．由折
叠的性质得出 BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD﹣CE=3﹣x．在 Rt△ABF 中利用勾股定
理求出 AF 的长度，进而求出 DF 的长度；然后在 Rt△DEF 根据勾股定理列出关于
x 的方程即可解决问题．
【解答】解：设 CE=x．
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．
∵将△BCE 沿 BE 折叠，使点 C 恰好落在 AD 边上的点 F 处，
∴BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD﹣CE=3﹣x．
在 Rt△ABF 中，由勾股定理得：
AF2=52﹣32=16，
∴AF=4，DF=5﹣4=1．
在 Rt△DEF 中，由勾股定理得：
EF2=DE2+DF2，
即 x2=（3﹣x）2+12，
解得：x= ，
故答案为 ．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前
后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理、
矩形的性质、方程思想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，找准对应边．
三．解答题：解答要写出必要的文字说明或演算步骤．
19．计算：
（1）（ ﹣2 ）× ﹣2 ；
（2）（3 + ﹣4 ）÷ ；
（3）（﹣2+ ）（﹣2﹣ ）﹣（ ﹣ ）2
（4） + ×（ ﹣ ）+ ．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】（1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并后进行二次根式的
乘法运算；
（2）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的除法运算；
（3）利用平方差公式和完全平方公式计算；
（4）先分母有理化，再进行乘法运算，然后合并即可．
【解答】解：（1）原式=（5 ﹣8 ）× ﹣
=﹣3 ﹣
=﹣4 ；
（2）原式=（9 + ﹣2 ）÷4
=8 ÷4
=2；
（3）原式=4﹣6﹣（3﹣2+ ）
=﹣2﹣
=﹣ ；
（4）原式= +1+3﹣3 +2
=4．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，
然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
20． 9+ 和 9﹣ 的小数部分分别是 m，n，求 mn﹣3m+2n﹣7 的值．
【考点】估算无理数的大小．
【分析】根据 2＜ ＜3，可得﹣3＜﹣ ＜﹣2，可得 m、n 的值，根据代数式
求值，可得答案．
【解答】解：由 2＜ ＜3 得
9+ 的小数部分是 m= ﹣2，
由﹣3＜﹣ ＜﹣2，得
6＜9﹣ ＜7，
9﹣ 的小数部分是 n=3﹣ ．
当 m= ﹣2，n=3﹣ 时，mn﹣3m+2n﹣7
=（ ﹣2）（3﹣ ）﹣3（ ﹣2）+2（3﹣ ）﹣7
=5 ﹣13﹣3 +6+6﹣2 ﹣7
=﹣8．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，利用 2＜ ＜3，﹣3＜﹣ ＜﹣2 得出
m、n 的值是解题关键．
21．如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（0，3），B（2，4），C（4，0），D
（2，﹣3），E（0，﹣4）．
（1）写出 D，C，B 关于 y 轴对称点 F，G，H 的坐标，并画出 F，G，H 点．
（2）顺次平滑地连接 A，B，C，D，E，F，G，H，A 各点．观察图形它是 轴
对称图形．
【考点】作图-轴对称变换．
【分析】（1）根据轴对称的性质写出各点坐标，并写出 F，G，H 点即可；
（2）画出图形，利用图形即可得出结论．
【解答】解：（1）∵D（2，﹣3），C（4，0），B（2，4），
∴F（﹣2，﹣3），G（﹣4，0），H（﹣2，4）；
（2）由图可知，它是轴对称图形．
【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于 y 轴对称的点的坐标特点是
解答此题的关键．
22．已知一次函数 y=2x+4
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数的图象；
（2）求图象与 x 轴的交点 A 的坐标，与 y 轴交点 B 的坐标；
（3）在（2）的条件下，求出△AOB 的面积；
（4）利用图象直接写出：当 y＜0 时，x 的取值范围．
【考点】一次函数图象与系数的关系；一次函数的图象．
【专题】函数及其图像．
【分析】（1）利用两点法就可以画出函数图象；（2）利用函数解析式分别代入
x=0 与 y=0 的情况就可以求出交点坐标；（3）通过交点坐标就能求出面积；
（4）观察函数图象与 x 轴的交点就可以得出结论．
【解答】解：（1）当 x=0 时 y=4，当 y=0 时，x=﹣2，则图象如图所示
（2）由上题可知 A（﹣2，0）B（0，4），
（3）S△AOB= ×2×4=4，
（4）x＜﹣2．
【点评】本题考查了一次函数的图象和一次函数图象上点的坐标特征．正确求出
一次函数与 x 轴与 y 轴的交点是解题的关键．
23．如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D 为 AB 边
上一点，求证：
（1）△ACE≌△BCD；
（2）AD2+DB2=DE2．
【考点】勾股定理；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】证明题．
【分析】（1）本题要判定△ACE≌△BCD，已知△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角
形，∠ACB=∠ECD=90°，则 DC=EA，AC=BC，∠ACB=∠ECD，又因为两角有一个公
共的角∠ACD，所以∠BCD=∠ACE，根据 SAS 得出△ACE≌△BCD．
（2）由（1）的论证结果得出∠DAE=90°，AE=DB，从而求出 AD2+DB2=DE2．
【解答】证明：（1）∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠ACE，
即∠BCD=∠ACE．
∵BC=AC，DC=EC，
∴△ACE≌△BCD．
（2）∵△ACB 是等腰直角三角形，
∴∠B=∠BAC=45 度．
∵△ACE≌△BCD，
∴∠B=∠CAE=45°
∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°，
∴AD2+AE2=DE2．
由（1）知 AE=DB，
∴AD2+DB2=DE2．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，及勾股定理的运用．
24．小明一家利用元旦三天驾车到某景点旅游．小汽车出发前油箱有油 36L，行
驶若干小时后，途中在加油站加油若干升．油箱中余油量 Q（L）与行驶时间 t
（h）之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题：
（1）小汽车行驶 3 h 后加油，中途加油 24 L；
（2）求加油前油箱余油量 Q 与行驶时间 t 的函数关系式；
（3）如果小汽车在行驶过程中耗油量速度不变，加油站距景点 200km，车速为
80km/h，要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由．
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）观察图中数据可知，行驶 3 小时后油箱剩油 6L，加油加至 30L；
（2）先根据图中数据把每小时用油量求出来，即：（36﹣6）÷3=10L，再写出
函数关系式；
（3）先要求出从加油站到景点需行几小时，然后再求需用多少油，便知是否够
用．
【解答】解：（1）从图中可知汽车行驶 3h 后加油，中途加油 24L；
故答案为：
（2）根据分析可知 Q=﹣10t+36（0≤t≤3）；
（3）油箱中的油是够用的．
∵200÷80=2.5（小时），需用油 10×2.5=25L＜30L，
∴油箱中的油是够用的．
【点评】本题考查了函数图象，观察函数图象的横坐标得出时间，观察函数图象
的纵坐标得出剩余油量是解题关键，利用待定系数法求函数解析式．
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