天天资源网 / 小学数学 / 教学同步 / 2020年小升初预科班数学培优教材(专用资料)
资料简介
第一讲 预习——摸底测试（60 分钟）
第一部分：加深理解，打好基础
一、用心思考 正确填写：（20 分）
1、今年“五一”黄金周共接待旅游人数为一亿三千零五十万，这个数写作（ ）；把 7.956 精
确到十分位是（ ）。
2、把 7 米长的钢筋，锯成每段一样长的小段，共锯 6 次，每段占全长的
()
()，每段长（ ）米。如果锯成两
段需 2 分钟，锯成 6 段共需（ ）分钟。
3、右图是甲、乙、丙三个人单独完成某项工程所需天数统计图。请看图填空。
① 甲、乙合作这项工程，（ ）天可以完成。
② 先由甲做 3 天，剩下的工程由丙做，还需要（ ）天完成。
4、按规律填数：1 2 5 10 17 （ ） （ ）
29 （ ） （ ） 11 7 4 2 1
5、有一个数，它既是 45 的约数，又是 45 的倍数，这个数是（ ），把这个数分解质因数是
（ ）。
6、在下列括号里填上当的单位或数字：数学试卷的长度约是 60（ ）；你的脉搏一分钟大约跳（ ）次；8
个鸡蛋大约有 500（ ）；小刚跑一百米的时间大约是 14（ ）；一间教室的占地面积大约有 40（ ）；7.2
小时=（ ）分；2 千克 60 克=（ ）千克。
7、我国国旗法规定，国旗的长和宽的比是 3：2。已知一面国旗的长是 240 厘米，宽是（ ）厘米，国旗的长
比宽多（ ）%。
8、一台压路机的前轮是圆柱形，轮宽 1.5 米，直径 1 米。前轮转动一周，压路机前进（ ），压路的面积是（ ）
平方米。
9.笑笑新买一瓶净量 45 立方厘米的牙膏，牙膏的圆形出口的直径是 6 毫米。他早晚各刷一次牙，
每次挤出的牙膏长约 20 毫米。这瓶牙膏估计能用（ ）天。 （取 3 作为圆周率的近似值）
10.我们学过+、-、×、÷这四种运算。现在规定“＊”是一种新的运算。A＊B 表示 2A-B。如：4＊
3=4×2-3=5。那么 9＊6=( )。
二、反复比较，慎重选择：（5 分）
1、下列叙述错误的一句是：（ ）。
A、把１克盐放入１００克水中，盐水的含盐率为１％。
B、两个数互质，它们的最大公约数是１。
C、把一个分数的分子和分母同时乘３，分数的大小不变。
2、用一枚硬币连续抛２０次，落地后面值的图案分别向上、向上、向下……第２０次硬币面值的图案（ ）。A、向上 B、向下 C、向上、向下都有可能
3、 把一个 平行四边形任意分割成两个梯形，这两个梯形中（ ）总是相等的。
A、面积 B、上下底的和 C、周长 D、高
4、小明将一个正方形纸对折两次，如图所示：并在中央点打孔再将它展开，展开后的图形是（ ）。
5、一个棱长 6 厘米的立方体，它的表面积和体积（ ）
A．同样大 B．体积大于表面积 C．不能比较大小 D．表面积大于体积
三、公正的小法官。（对的在括号内打“√”，错的打“×”）（5 分）
1、假分数都比 1 小。 （ ）
2、把一个圆柱形钢锭，可以熔铸成 3 个与它等底等高的圆锥。 （ ）
3、 6 千克:7 千克的比值是 千克。 （ ）
4、一个分数的分母含有质因数 2 或 5，这个数一定能化成有限小数。 （ ）
5、“非典”期间与“非典”病人接触者染上“非典”的可能性是 5%，意思是在与“非典”病人接触的 100 人中一
定有 5 人染上“非典”。 （ ）
四、看清题目，巧思妙算：（34%）
1、直抒胸臆：（5 分）
578＋216＝ 18.25－3.3＝ 3.2－ ＝ ×8.1＝ ＋ ＝
2 ÷3＝ 0.99×9＋0.99＝ 2 × = 1 ×8＋1 ×2＝ 21 ÷7＝
2、神机妙算：（18 分）
8.8－ －(0.8＋ ) (
1
15＋
2
17)×15×17 2.25× ＋2.75÷1 ＋60％
25×1.25×32 99×( － )＋ ×99 101-99+98-97+96-95+94-93
3、巧解密码：（6 分）
＝ :30％ x－ － ＝1
7
6
2
1
9
1
2
1
3
1
4
1
4
1
27
1
2
1
2
1
10
7
9
7
9
7
5
3
3
2
11
9
8
3
8
3
4
x
3
1 x3
2
3
14、列式计算：（6 分）
（l）45 个 的和减去 0.4，再除以 0.4，商是多少？
（2）甲、乙两数的平均数是 32，甲数的 等于乙数，求甲数。
第二部分：走进生活，解决问题
生活中有许多问题和数学有关，你能解决这些问题吗？相信你一定能行！（每题 5 分）
1、一间房子要用方砖铺地。用边长是 4 分米的方砖，需要９０块。如果改用边长是６平方分米的方砖，需要多
少块？（用比例知识解答）
2、一个圆锥形的沙堆，底面积是２５平方米，高１.８米。用这堆沙在８米宽的公路上铺５厘米厚的路面，能铺
多少米？（用方程解答）
3、一个打字员打一篇稿件。第一天打了总数的 25%，第二天打了总数的 40%，第二天比第一天多打 6 页。这篇稿
件有多少页？
4、妈妈前年 7 月 1 日到银行存款 3 万元，定期两年，年利率 2.43％，到今年 7 月 1 日期满时，她可取出本金和
税后利息共多少元？（按 20％交利息税）
5、一圆形柱形水池，直径是 20 米，深 2 米。
（1） 这个水池占地面积是多少平方米？
（2） 挖成了这个水池，共需挖土多少立方米？
（3） 在池内的侧面和池底抹一层水泥，水泥面的面积是多少平方米？
9
5
5
3美妙的数学世界
【知识纵横】
从蛮荒时代的结绳计数到现代通讯和信息时代神奇的数学,人类任何时候都受到数学的恩惠和影响,数学科学
是人类长期以来研究数、量的关系和空间形式而形成的庞大的科学体系．
走进美妙的数学世界，我们将一起走进崭新的“代数”世界，不断扩充的数系、奇妙的字母表示数、威力巨
大的方程、不等式的模型、运动变化的函数观念；
走进美妙的数学世界，我们将一起走进丰富的“图形”世界，拼剪、折叠、平移、旋转，在操作与实验活动
中，发现这些图形的奇妙的性质，用它们设计精美的图案；
走进美妙的数学世界，我们将畅游在无边的“数据“世界，从图表中获取信息，并选择合适的图表来表示数
据和信息．
走进美妙的数学世界，它将开阔我们的视野，它提醒我们有无形的灵魂，它改变我们的思维方式，它涤尽我
们的蒙昧与无知．
诺贝尔奖获得者、著名物理学家杨振宁说：“我赞美数学的优美和力量，它有战术的机巧与灵活，又有战略
的雄才远虑，而且，奇迹的奇迹，它的一些美妙概念竟是支配物理世界的基本结构．”
1、探究数学“黑洞”：
“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了这那里都别想再“爬”出来，无
独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它吸进去，无一能逃脱它
的魔掌，譬如：任意找一个 3 的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数学都立方，再相加，得到一个新数，
然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方、求和……，重复运算下去，就能得到一个固定的数
T=________________，我们称之为数字“黑洞”
2、试试你的抽象思维能力
某学生骑自行车上学，开始以某一速度匀速行进，中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟，为了
按时到校，他加快了速度，但仍然保持匀速行进，结果准时到校，他骑自行车行进的路程 s 与行进的时间 t 的关
系的关系有如下四种示意图，其中正确的是（ ）
3、十进制与二进制
我们平常用的数是十进制数，如 2639= ，表示十进制的数要用 10 个数的数码
（又叫数字）：0，1，2，3…..9.在电子计算机中用的是二进制,只要两个数码 0 和 1,如二进制中的 101=
等于十进制的 5,那么二进制那个中的 1101 等于十进制的数是几?
9103106102 223 +×+×+×
12021 12 +×+×4、定义新运算
设 a,b 是两个数，规定 这里“+，-， ， ”是通常的运算符号，括号的作用也是
通常的含义，“ ”是新的运算符号，计算：3 （4 6）
5、图形计数 右图中有多少个三角形？
第二讲 数的扩充——有理数
【学习目标】
1、认识负数并会灵活运用。
2、理解有理数的意义并会灵活运用。
【知识要点】
1．正数和负数
为了表示具有相反意义的量，我们把其中一种意义的量规定为正的，另一种与它的意义相反的量规定为负的，
正的量用算术数前面加“+”号表示，如+6， 等，带有正号的数叫正数（正号可省略不写），负的数量用算
术数前加“－”号表示，如－4， 等，带有负号的数叫负数。
2．有理数 正整数，0，负整数统称为整数，正分数，负分数统称分数，整数和分数统称有理数。
3. 有理数的分类：
(1) (2)
4、用正数和负数表示相反意义的量：可以主管规定哪种意义的量为正数，那么具有相反意义的量就必须为负数。
5、零既不是正数也不是负数，它是正数、负数的分界。零时整数，也是偶数。非负数就是零和正数。
,2)(4 ÷+−×=∗ babba × ÷
∗ ∗ ∗
133
+
16 2
−
正整数
整数 0
负整数有理数
正分数分数
负分数
正有理数
有理数 零
负有理数【典型例题】
例 1、把下列各数填在相应的大括号里。
－1，0，+0.8，－ ， ， ， ， ，
正数集合 ； 负数集合 ；
正整数集合 ； 负整数集合 ；
正分数集合 ； 负分数集合 ；
整数集合 ； 有理数集合 ；
例 2、（1）如果把上升 20m 记作+20m，那么下降 15m 记作 。
（2）海平面的高度一般用数 表示，比海平面高 8848m 的山峰处，它的高度记作海拔 m，
比海平面低 11034m 的海沟处，它的高度记作海拔 m。
（3）粮食产量增产 12%，记作+12%，则减产 8%记作 。
例 3、我会判： 想一想，判一判
(1)零是正数 （ ） (2)零是整数 （ ）
(3)不是正数的数一定是负数 （ ） (4)零是偶数 （ ）
(5)零是非负数 （ ） (6)零是负数 （ ）
例 4、数学考试成绩 85 分以上为优秀，以 85 分为标准，老师将某一小组五名同学的成绩简记为：+9，－4，
+11，－7.0,则这五名同学的实际成绩分别为多少？
例 5、表达出下列语句所表示的意义：
1）向东走－100 米
2）气温上升－3℃
3）支出－100 元
思考并回答：1）0 和 1 之间有没有正数？
2）0 和－1 之间有没有负数？
例 6、粮食每袋标准重量是 50 千克，现测得甲、乙、丙三袋粮食重量如下：51 千克、52 千克、49 千克，如果超
重部分用正数表示，不足部分用负数表示，请用正数和负数记录甲、乙、丙三袋粮食的超重数．并求出他们的平
均重量是多少？
3
7 2.4− 8848 13 4
− 22
7 80−
}{ }{
}{ }{
}{ }{
}{ }{ 【经典练习】
1．（1）如果零上 2℃记做+2℃，那么零下 4℃记作 ．
（2）如果收入 50 元记作+50 元，那么支出 30 元记作 ．
（3）如果下降 10 米记作－10 米，那么上升 20 米记作 ．
（4）如果向南走 5 米记作－5 米，那么向北走 10 米记作 ．
2．提供下列数据，请填入相应的大括号内
， ，－2，80，0.001，3.14， ，0，－100
正数集合 ，负数集合 ，
整数集合 ，分数集合 ．
3．下列说法正确的是（ ）
A、有理数不是正数就是负数 B、0 是最小的有理数
C、正数和负数统称为有理数 D、 是分数也是有理数
4．下列说法正确的个数有（ ）
（1）0 既不是正数，也不是负数 （2） 是负数，但不是分数
（3）自然数都是正数 （4）负分数一定是负有理数
A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、1 个
5．下列说法正确的是（ ）
A、一个有理数不是正数，就是负数 B、整数一定是正数
C、最小的整数是 0 D、自然数是整数
6．关于 0，下列说法正确的个数有（ ）个
①0 既不是正数，也不是负数； ②零既不是整数，也不是分数； ③0 不是自然数，但它是整数
A、0 B、1 C、2 D、3
7．有理数集合是（ ）
A、正数与负数的集合 B、正整数、负整数与分数的集合 C、整数与分数的集合 D、整数与负数的集合
8．说出下列语句的意义：
（1）收入－20 元 ；
（2）支出－120 元 ；
（3）前进－2 米 ．
9．一艘潜水艇的高度是－80 米，如果它上浮－10 米，这时它所在位置是海平面以下 米．
10．一条笔直的公路，A、B 两地相距 6 千米，某同学骑自行车从 A 地去 B 地，他骑车走了 2 千米，却与 B 地相
距 8 千米．你能说出这是为什么吗？
4
11−
5
3−
7
22
{ } { }
{ } { }
7
1
3
4−
1、正整数中有没有最小的数？
2、正整数中有没有最大的数？
3、负整数中有没有最小的数？
4、负整数中有没有最大的数？
5、正数中有没有最大的数？
6、正数中有没有最小的数？
7、负数中有没有最大的数？
8、负数中有没有最小的数？ 【课后作业】
一、填空题
1．在下列各数中：－8,0.07, ,－0.3,1999,－ ,－3456,88.8,0,
是正数； 是负数．
2．把下列各数填在相应的大括号里（将各数用逗号分开）：
－8,0.07, ,－0.3,1999,－ ,－3456,88.8,0,
（1）正整数集合： … ；（2）负整数集合： … ；
（3）正分数集合： … ；（4）负分数集合： …
（5）整数集合： … ；
3．如果+120 吨表示运进仓库粮食 120 吨，那么－50 吨表示 ．
4．冬天某地的某一天，早晨 5 时的气温是零下 2 度，记作－2℃，上午 10 时，气温上升到零上 2 度，应记作 ，
正午 12 时比上午 10 时上升了 1 度，这时的气温应记作 ，下午 6 时比正午 12 时下降了 4 度，这时的气
温应记作 ，晚间 12 时比下午 6 时又下降了 5 度，这时的气温应记作 ．
5．用正数或负数表示下列数量：
（1）珠穆朗玛峰高出海平面 8848.13 米； .
（2）太平洋最深处低于海平面 11022 米． ．
6．在有理数中，是整数而不是正数的是 ，是负数而不是分数的是 ．
二、解答题
7 筐苹果，以每筐 25 千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重的记录如下：+2，－1，－
2，+1，+3，－4，－3．这七筐苹果实际各重多少千克？
【计算集训】
× = × = 12× = ＋3= ÷ = ÷4=
× = 5÷ = ÷ = ×2= ×13=
÷ = × = ÷3= 36× = ÷ =
6
5
4
33 7
22
6
5
4
33 7
22
{ } { }
{ } { }
{ }
2
1
2
1
3
2
4
3
3
2
4
1
5
4
2
1
9
8
4
5
5
4
6
5
3
2
3
2
13
2
26
5
4
1
3
1
6
5
5
2
8
3
2
1
2
1
5
2第三讲 数轴、相反数与倒数
【学习目标】
1、掌握数轴，相反数，倒数的概念并会灵活运用，能熟练地画数轴。
2、通过归纳相反数在数轴上所表示的点的特征，培养归纳能力；
3、体验数形结合的思想。
【知识要点】
1、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。原点，正方向和单位长度是数轴的三要素，缺一不可。
2、数轴的画法：①画一条直线。②在直线上选取一点为原点，并用这点表示零。③确定正方向，用箭头表示出
来。④选取适当的长度为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示为 1,2,3，…；从原点向
左，每隔一个单位长度取一点，依次表示为-1，-2，-3，…
3、数轴上的点与有理数的关系：所有的点都可以用数轴上的点表示；反过来，不能说数轴上的点都表示有理数。
正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示。
4、利用数轴比较有理数的大小：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；正数都大于 0，负数都小
于 0,；正数大于一切负数。
5、相反数
从代数角度看，只有符号不同的两个数叫做互为相反数.
从几何角度看，在数轴上的原点两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的两个数称为相反数．
6、判断互为相反数的两种方法：
①从式子上看，若 ，则 互为相反数；②从直观上看 是互为相反数。
7、倒数：乘积为 1 的两个有理数互为倒数。
注意：正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0 没有倒数，整数的倒数是分数。
【经典例题】
例 1、如下图所示，数轴中正确的是（ ）
例 2、把下列各数在数轴上表示出来，并且从小到大用“＜”连接起来：
－2， ，0， ，1， ， 。
例 3、写出 5，-3，0，-1.25 各数的相反数和倒数，并把它们都在数轴上表示出来，
例 4、已知 A、B 是数轴上的点。
0a b+ = a b与 a a−与
13 2
1
4
− 14 2
− 15 2
B
－1 0 1
A
－1 0 1
C
－1 0 1
D（1）若点 A 表示－3，以点 A 出发，沿数轴移动 4 个单位长度到达 B 点，则 B 点表示的数是 。
（2）若将点 A 向左移动 3 个单位长度，再向右移动 5 个单位长度，这时点 A 表示的数是 0，那么点 A 原来表示
的数是 。
例 5、化简下列各数：
1） 2） 3） 4）
例 6、（数与生活）李华的家（记为 A）与他上学的学校（记为 B）、体育馆（记为 C）一次坐落在一条东西走向
的大街上，李华家位于学校西边 60 米处，体育馆位于学校东边 50 米处，李华从学校沿着这条大街向东走了 30
米，接着又向西走了 90 米到达 D 处试用数轴表示上述 A、B、C、D 的位置。
练习
一、选择题
1、下列图中为数轴是（ ）
A B C D
2、下面说法正确的是( )
A.-(+4)是-4 的相反数 B.-(-35)是-35 的相反数 C.-13 的相反数是+(-13) D.+6 的相反数是-(-6)
3、下列各对数中，互为相反数的有( )。
+(-3)与(-3)，+(+3)与-3，-(-3)与+(-3)，-(+3)与+(-3)，-(-3)与+(+3)，+3 与(-3)
A.3 对 B.4 对 C.5 对 D.6 对
4、下列说法正确的是( )。
A.- 和 0.25 不是互为相反数。 B.-a 是负数。 C.任何一个数都有它的相反数。 D.正数与负数互为相反数。
5.下列说法正确的是（ ）
A 没有最大的正数，但有最大的负数； B 没有最小的负数，但有最小的正数；
C 有最大的负整数，也有最小的正整数； D 有最小的有理数是 0。
二、填空
1、在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数_______。
2、在数轴上表示数 2 的点与表示数-5 的点之间的距离是_______。
( )100++
−−
3
2
+−
5
4
−+
3
24
4
1
-2 0 2 -2 0 2 -2 0 23、-3.85 的相反数是 ,7.6 是 的相反数,相反数是它本身的数的有 ；
4、用“＞”或“＜”号填空。
①3.5 0 ②-2.8 0 ③ - ④0 -4
5、5× =1 -3× =1 0.25× =1
6、 = -(-3.1416)= -(+7.05)= -(-199)=
7、数 a、b 在数轴上的位置如图，则 b_______a（填“>”或“-3
二、填空题
1、3 的绝对值是 ,-3 的绝对值是 ,绝对值是 3 的数有 .
2、绝对值是它本身的数有 ,绝对值是它相反的数有 .
3、绝对值小于 5 的负整数有 ；绝对值小于 5 的正整数有 ；绝对值小于 5 的整数 有
.
4、若│a│=a，则 a 是 数；若│a│=-a，则 a 是 数.
三、写出下列各数的相反数-2、1、3.5、 、0，把这些数和它们的相反 数用数轴上的点表示，并用“＜”号连
接.
3|| =x 2|| =y 0
,a b
0=abc
0=== cba 0=a 0=b cba ,,
=×
− 84
3 ( ) =−×
− 63
12 =×
− 82
137）（-23）×16+32×16 8）（ ）×（ ）×0×
作业
一、选择题：
1、下列说法正确的是（ ）
A、同号两数相乘，符号不变 B、异号两数相乘，取绝对值大的乘数的符号
C、两数相乘，如果积为负数，那么这两个因数异号
D、两数相乘，如果积为正数，那么这两个因数都是正数
2、若 ab＝0，那么 a，b 的值为（ ）
A．都为 0 B．都不为 0 C．至少有一个为 0 D．无法确定
3、几个不等于 0 的有理数相乘，它们的积的符号（ ）
A．由因数的个数而定 B．由正因数的个数而定 C．由负因数的个数而定 D．由负因数的大小而定
4、下列说法中，正确的是（ ）
A．若 ，那么 B．若 ，则
C．若 ，则 ， 都不等于 0 D．若 ，则 ， 都不等于 0
二、计算题：
12×（-25） （-24）×（-65） （-2.8）÷（-7）
(-5)÷1÷25 3.4×8×(-125) (-0.75) ÷0.25
22×18+22×12 5×13-13×5 54×21+46×21
2.38×16+2.62×16 ×（-0.12）
13
24−
7
16−
3
4
0a b+ = 0a b= = 0ab = 0a b= =
0ab ≠ a b 0a b+ ≠ a b
)12()6
5
3
7( −−×+− )6
1
4
1
3
1( +−第七讲 有理数的乘方
【学习目标】
1、理解有理数的乘方的意义，正确地进行有理数的乘方运算，理解乘方运算、幂、底数和指数等概念的意义。
2、使学生了解什么是科学计数法，并会用科学记数法表示大于 10 的数。
【知识要点】
1、乘方的基本概念：一般地，n 个相同的因数 a 相乘，即 记作 an。这种求几个相同因数的积的运算，
叫做乘方。乘方的结果叫做幂。在 an 中，a 叫做底数，n 叫做指数，an 读作 a 的 n 次方，或读作 a 的 n 次幂。
2、乘方需要注意的三个问题：（1）一个数可以看作是它本身的 1 次方，指数 1 通常省略不写，例如：2=2 。
（2）当底数是负数或者是分数时，必须用括号将底数括起来，例如：(-2)3， 。（3）负数的乘方与乘方的
相反数不同，例如： ， 。
3、幂的符号确定法则
（1）小数化为分数再计算，带分数化为假分数再计算。
（2）正数的任何次幂是正数，负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数
（3）0 的正数次幂等于 0，1 的任何次幂等于 1，-1 的奇次幂是-1，-1 的偶次幂是 1。
4、科学记数法：把一个大于 10 的数记成 的形式，其中 为正整数， 是整数数位只有一位的数
（1=
ba > 22 ba > ba > ba >
7
4
3
2
3
2 ）（）（）（ 2412
11
4
3
3
2
2
1911
927 −×−−+−÷−
( ) 2
3
5
3
4
11.0
−×−− ( ) ( )[ ]24 323
15.011 −−××−+−第十讲 有理数的简算
【学习目标】
1、 理解有理数的加、减、乘、除运算规律，并会灵活运用。
2、 正确合理地进行有理数的混合运算，注意灵活运用运算律的简化运算，培养解题能力，提高运算速度
【知识要点】
1、有理数的运算：
有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大数的绝对值减。
加法交换律： ；加法结合律： 。
有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
乘法交换律： ； 乘法结合律： ；
乘法分配律： ，
有理数除法运算：除以一个数等于乘以这个数的倒数。
有理数混合运算：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的，再算括号外面的。
例
例 1、计算：
1） 2）
3） 4）
例 2、用简便方法计算：
1） 2)
3） 4）
abba +=+ bcacbacba ++=++=++ )()(
abba ×=× bcacbacba ××=××=×× )()(
cbcacba ×±×=×± )(
)22(6)17(23 −++−+ 1 1 1 1 632 5 3 5 123 4 7 4 7
− + − − +
10
239.227.101.33 −−−−− ）（ )2.2()3
2()05.1(3
1)75.1( −−−+++−−+
)48(12
5
8
3
6
1
2
1 −×
+−+− 34.07
5)13(3
1
7
234.03
213 ×−−×+×−×−
( )
3
4
4
35.02
140 ×÷−÷×− ( )
−×÷×−×÷−
5
34.14
112.04
35.1 例 3、计算：
【经典练习】
一、填空题：
1、的负整数是 ，最小的正整数是 ，绝对值最小的数为 ．
2、反数等于本身的数有 ，倒数等于本身的数有 ，绝对值等于本身的数有 ，平方等于本
身的数有 ，立方等于本身的数有 ．
3、自然数，求 ， = ， ， ．
4、值大于 1 而不大于 3 的整数有 ，它们的和是 。
二、计算下列各式：
99 ×（- ） -13× -0.34× + ×(-13)- ×(0.34)
2 3100 ( 2) 3 [( 2) 5]÷ − − × − + ( ) ( )[ ]24 323
15.011 −−××−+−
12
1)4
1()3
2()3( 2 ÷
−+−−− 200523 113
24225.0 ）（）（）（ −+
+−÷−−×
=n1 ( ) n21− ( ) =− +121 n ( ) =− −121 n
( )
+−+
−−+−
2
1775.24
135.0 53
29)2
7
3
17(2
3 −
−+−−
8
9
9
10
2
3
2
7
1
3
5
7
232 )2()28.0(5)2(2 −÷−−×−+ [ ] [ ])5()3()5()3( 33 −−−÷−−−【课后作业】
一、计算下列各题：
二、如果 ，求 10a+b-c 的值．
三、某水利勘察队,第一天向上游走 5 千米,第二天又向上游走 5 ,第三天向下游走 4 千米,第四天又向下游走 4.5 千
米,这时勘察队在出发点的哪里?相距多少千米?
第十一讲 有理数复习课
【学习目标】
1、复习整理有理数有关概念和有理数运算法则，运算律以及近似计算等有关知识；
2、培养学生综合运用知识解决问题的能力，渗透数形结合的思想。
【知识要点】
1、有理数概念和有理数运算；
2、负数和有理数法则的理解。
【经典例题】
( )189 1519
− × −
( ) ( )1 1 16 3 7 3 13 37 7 7
− × − − − × + × −
×
−−
7
1112
7
8
7
4
31 ( ) 3 1 1100 0.110 2 5
− × − + −
( ) ( ) 01321 22 =−+−++ cba例 1、(1)求出大于-5 而小于 5 的所有整数。
(2)求出适合 3＜ ＜6 的所有整数。
(3)试求方程 =5， =5 的解。
(4)试求 ＜3 的解。
例 2、有理数 a、b、c、d 如图所示，试求
例 3、计算
(1)-15-19； (2)-31-(-16)； (3)-11×12；
(4)-64÷16； (5)(-54)÷(-24)； (6)
(7) ； (8) ； (9) ；
（10）［4( )2÷2(- )］÷［(- )2+(- )3+(- )+1］
例 4、小钱上周五以收盘价买进股票 1000 股,每股 20 元.下表为本周每日股票的涨跌情况(按收盘价即交易结束时
的价格计算):
x
x x2
x
cbdacac −+− ,,,
3)2
1(−
100)1(−− 232×− 2)32( ×−
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1星期 一 二 三 四 五
每股涨价(元) +0.6 -1.3 +1 +0.7 -2
(1)到本周三收盘时,小钱所持股票每股多少元?
(2)本周内,股票最高价出现在星期几?是多少元?
(3)已知小钱买进股票时付了 4‰的手续费,卖出时又付成交额 4‰的手续费和 3‰的交易税,如果小钱在本
周末以收盘价卖出全部股票,他的收益如何?
【经典练习】
一、填空：
①两个互为相反数的数的和是_____； ②两个互为相反数的数的商是_____(0 除外)；③____的绝对值与它本身互
为相反数； ④____的平方与它的立方互为相反数；⑤____与它绝对值的差为 0； ⑥____的倒数与它的平方相
等；
⑦____的倒数等于它本身； ⑧____的平方是 4，_____的绝对值是 4；⑨如果-a＞a，则 a 是_____；如果
=-a3，则 a 是______；如果 ，那么 a 是_____；如果 =-a，那么 a 是_____；⑩个细胞 30 分钟后
变成____个，1 小时后变成____个（即___×___），1.5 小时后分裂成____个（即___×___×___），5 小时后一共
分裂了_____次，表示结果的式子__________=____，这是一种_____运算。
二、用“＞”、“＜”或“=”填空：
当 a＜0，b＜0，c＜0，d＜0 时：
① ____0； ② ____0； ③ _____0；④ ____0；⑤ ____0；
⑥ ____0； ⑦ ____0； ⑧ ____0。
三、判断题：
1．零是自然数，也是正数． （ ）
2．零是整数，也是偶数，也是非负数． （ ）
3．两个有理数之和为零，则这两个有理数的绝对值一定相等． （ ）
4．两个有理数之和为负数，则两个有理数中，至少有一个是负数． （ ）
3a
22 aa −= a−
a
cd
b
aa +−
c
ba +
dc
ab
+ 3
43
c
ba
3
33
c
ba +
b
b 2)(−
d
ca +2 5．在 中有负数． （ ）
6.个有理数相乘，当积为负数时，负因数的个数为奇数． （ ）
7.个有理数互为相反数，则这两个有理数的积一定为负数． （ ）
8. 则 一定同号． （ ）
9. ，则 一定是正数． （ ）
三、察下面一列数，探究其中的规律：
， ， ， ， ，
（1）填空：第 11，12，13 个数分别是 ， ， ；
（2）第 2008 个数是 ；第 n 个数是___________
（3）如果这列数无限排列下去，与哪个数越来越近？答：
【课后作业】
1、写出下列各数的相反数和倒数
原 数 5 -6 1 0 5 -1
相反数
倒 数
2、计算：
（1）1987×19861986-1986×19871987 （2）
（3） （4）
3、已知 互为相反数， 互为倒数，试 的值。
( ) ( )2,2,2,2 −−−−−−−
,abab = ba,
ba > a
1−
2
1
3
1−
4
1
5
1−
6
1
3
2
[ ]{ } 5)103(41285.0 ÷−×+−
( )[ ] [ ])5()3()5(3 33 −−−÷−−− 25.04
3121
8
5
225
2 −
−×−
−÷
ba, dc, 20072007 )()()( cdbaxcd
baba −++++++第十二讲 代数式
【学习目标】
1、 能用字母表示以前学过的运算律和计算公式，体会字母表示数的意义，形成初步的符号感。
2、 了解代数式的概念，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，发展符号感，培养创造力。
【知识要点】
1、代数式的定义：用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子。单独一个数或一个字母也是代数式。
2、用字母表示问题中的数量关系、运算律和公式，例如加法交换律 。
3、代数式书写的约定：
数字与字母相乘时，数字写在字母的前面，且省略乘号。如 ，应写成 或者 。
字母与字母相乘时，省略乘号。如 ，应写成 或者 。
带分数与字母相乘时，应把带分数化为假分数。如 ，应写成 。
代数式中出现除法运算时，按分数的写法来写。如 ，应写成 。
数字与数字间乘号仍用“×”，如：7×9，不写成“7·9”，更不省略写成“79”。
4、列代数式：
（1）抓住一些关键性的词语，如“乘”、“除”、“除以”、“差”、“倍”、“分”、“大”、“小”等，注意
它们意义的不同。
（2）理清代数运算的次序，如“和的平方”与“平方的和”的运算次序不一样。
例题
例 1、指明下列式子中哪些是代数式，哪些不是代数式
1）a+b=1 2）3a+5b 3）2+3+5 4）2(a+3)-1 5）
x 6）2
例 2、看看以下代数式书写是否符合规定，把不规范的式子改正过来：
1）4×a； 2)3·8+a； 3)xy6； (4) -a×b+s÷2。
例 3、用代数式表示
（1）一个三位数，它的百位数字为 a，十位数字为 b，个位数字为 c，则这个三位数为____。
（2）热水器原来每台成本为 a 元，成本降低 5%以后，每台成本为_____元。
（3）一环形跑道长 a 米，甲每分钟跑 250 米，乙每分钟跑 350 米。若两人同时同地背向跑，____分
钟后相遇；若两人同时同地同向跑，____分钟后两人相遇。
例 4、用代数式表示
1）被 5 除商 m 余 2 的数 2）与 a-1 的和是 25 的数
abba +=+
a×2 a2 a⋅2
ba × ab ba ⋅
a×
4
31 a4
7
8÷a 8
a
ab4
313）除以 y+3 的商是 y 的数 4）不能被 3 整除的数
例 5、说出下列代数式的意义：
（1）2a+3； (2) 2(a+3)； (3) ；
（4）a- ； (5) a2+b2； (6) (a+b)2。
练习
一、填空题：
1、含盐 30%的盐水 n 千克中，含水有 千克。
2、某校女生人数是学生总人数的 45%，男生人数为 a 人，则学生总数为 人。
3、用字母表示：异分母分数加法法则 。
4、三个连续奇数，中间一个为 2n+1，则其余两个为 。
5、一个长方形的周长为 a，一边长为 x，则这个矩形的面积为 。
6、被 3 整除得 1、2、3 的数分别是 。
7、被 5 除商 2 余 1、2、3、4 的数分别是 。
二、下列的说法请用代数式表示出来：
1、 两数的积与这两数的差的商。
2、 两数的平方的差除以这两个数的积的商。
3、 两数差的倒数与 两数的和的平方的和。
4、比 的立方的倒数少 1 的数。
5、与 的差是 的数。
6、三个连续整数，设第一个（最小一个）为 ，则另外两个整数。
三、下代数式书写是否符合规定，把不规范的式子改正过来：
（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7） （8）
ab
c
b
c
a b、
a b、
a b、 a b、
x
x
3 2y
n
18×a a÷
5
61 a−9 cba ××
a×⋅197 23611 +÷ab ( )cba +÷ ba ×÷ 433三、想一想，写一写：
1、代数式 2x-y 所表示的意义是 。
2、5a+ 所表示的意义是 。
3、 所表示的意义是 。
4、 所表示的意义是 。
作业
一、指出下列哪些是代数式：
1)2x-1； 2)3a2b； 3)π； 4)s=πr2；
5)a+b>2c； 6) ； 7)a+b=b+a； 8)0。
二、判断对错，对的打“√”错的打“×”。
①“a 的 3 倍与 b 的 2 倍的差”写成：3a-2b。 ( )
②“x 与 4 的平方和”写成：x2+4。 ( )
③“x 与 4 的平方差” 写成：(x-4)2。 （ ）
④“x 的 与 的和”写成：x( + )。 ( )
三、选择题
①甲数是 a，它是乙数的 ，则甲乙两数的积用代数式表示是（ ）
（A） a (B) a2 (C) a (D) a2
②某校一年级学生数与全校学生数的比是 2∶5；已知全校男生数是 m，女生数是 n，那么一年级学生人数是（ ）
(A) (B) (C) (D)
三、用代数式表示：
1）比 a 与 b 的和大 3 的数；
2）比 a 与 b 的积的 3 倍小 5 的数；
3）比 a 与 b 的差的一半小 4 的数。
x
y
n
5m2 +
2x
5x
+
−
y
3x −
5
4
3
1
5
4
3
1
4
3
4
3
4
3
3
4
3
4
)nm(5
2 + )nm(2
5 + )nm(5
3 + )nm(3
5 +第十三讲 代数式求值
【学习目标】
1、 使学生理解求代数式的值的概念，并初步掌握求代数式的值的方法；
2、 知道代数式的值与所给字母取值的对应关系，通过用字母表示数和求代数式的值，培养运算技能和计算能力。
【知识要点】
1、代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫做代数式的值。
2、代数式求值的方法步骤：（1）用数值代替代数式里的字母，简称为“代入”。
（2）按照代数式指明的运算，计算出结果，简称为“计算”。
例题
例 1、当 x=7，y=4，z=0 时，求代数式 x（2x-y+3z）的值。
例 2、根据下面 a, b 的值，求代数式 a2 - 的值：
（1）a=4，b=12； （2）a=3，b=2。
例 3、根据下列 所给的值，求代数式 的值。
（1） ； （2） 。
例 4、某校有 15 个班，学校决定给每个班发个乒乓球，另外学校还留 20 个乒乓球备用，那么该校乒乓球总个数
用代数式表示是 , 若每班发 5 个球，即 n=5 时，总共有乒乓球 个，n=6 时，需乒乓球
个。
例 5、汽车油箱的最大容量为 90 升，行驶时每小时耗油 8 升，行驶速度为 60 千米/小时，设行驶时间为 t，剩油
量为 q 升，
（1）试求 q 与 t 的关系式； （2）求汽车最长行驶时间；
（3）求汽车最长行程 s。
a
b
m n、 m m n
m n
( )−
−2 2
m n= =5 3, m n= =2 1
2,练习一、按要求计算下列各题：
1、当 x=3 时，求代数式 x+ 的值；
2、2、当 a=3，b=2 时，求 与 的值 ；
3、当 ， 时，求代数式 的值；
4、已知 x=2，y= ，求下列代数式的值：（1） ； （2）
5、当 x=2 时，求 x2+ 和(x+ )2–2 的值。
二、测得某弹簧长度 y(cm)与挂重 x(kg)的关系有下列一组数据（该弹簧挂重不得超过 20kg）：
x（kg） 0 1 2 3 …….
y（cm） 4 4.2 4.4 4.6 ……
（1） 写出用表示的公式。
（2）计算当弹簧的长度为 8cm 时所对应的挂重。
x
1
2)( ba + 22 2 baba ++
a = 1
3 b = 0 2. a b
a ab b
3 3
2 2
+
− +
3
2 2yx − 2)(2 ba +
2x
1
x
1三、 一个人读一本共有 m 页的书，第一天读了该书的 页，第二天又读了第一天剩下的 少 3 页，（1）用代数
式表示这个人两天一共读了该书的多少页；（2）求当 时，这个人两天一共读了该书的多少页？
★四、 是 的倒数的相反数，绝对值为 3 的数是 ，且 ，求 的值。
作业
一、填空
1、当 时，代数式 的值为_____________。
2、当 时，代数式 的值是_______________。
3、当 a=1，b=2，c=3 时，代数式 的值是 。
二、当 时，求 代数式的值。
三、当 时，求 的值。
四、若 ，则 的值为
1
6
1
5
m = 240
x 2
1 y ( ) 012 2 =−+− nm ymnx +− 22
a = 2 a a2 −
a = 05. a a3 22 3+ +
))(( abbcc −−−
x y= =1
2 3, 2 3 22x x+ −
3,1,2 === cba ba
bc
+
−
( ) 012 2 =−++ nm nm 2+第十四讲 合并同类项（1）
【学习目标】
1、了解并能指出代数式的项和系数。
2、在具体情况中，认识同类项，了解合并同类项的法则，能进行同类项的合并。
【知识要点】
1、代数式的项与各项的系数概念：在代数式 中，一共有两项， 与 ，每一项字母前的数字因
数叫做这一项的系数。如 的系数是 10， 的系数是+5 或 5.
代数式的每一项的系数应包括这一项的符号；如果代数式的某一项只含有字母因数，它的系数是 或 。如
代数式 中 的系数是 ， 的系数是 。
2、同类项：在代数式中，所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。
※在判断同类项时要抓住“两个相同”的特点，（即所含字母相同，并且相同字母的次数也相同）并且不忘记几
个常数也是同类项。
3、合并同类项：把代数式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
合并同类项的法则是：同类项的系数相加，结果作为系数，字母和字母的指数不变。
合并同类项的依据是：加法交换律，结合律及分配律。要特别注意不要丢掉每一项的符号。
※代数式中，如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，这两项就相互抵消，结果为 0。如：
7x2y-7x2y=0,-4ab+4ab=0，-6+6=0 等等。
例题
例 1、写出下列各代数式的系数：
， ， ， ， 。
例 2、下列代数式分别是几项的和？每一项的系数分别是什么？
， ， ，
例 3、说说下列各题中的两项是不是同类项，为什么？
（1） 与 ； （2） 与
（3） 与 （4） 与
yx 510 + x10 y5+
x10 y5+
1 1−
22 3 yxyx +−− 2x 1− 2y 1
ba 215− xy 22
3
2 ba a− hr 2
3
1π
yx 32 − 22 44 baba +− xyyx −+− 23
1 2 aab 323 +
nm22− nm2
3
2− 32 yx 23
2
1 xy−
ba 22 2ab− 32 23例 4、合并下列同类项：
；
；
例 5、若 与 是同类项，则 和 的值是多少？
练习
一、写出下列各代数式的系数：
二、下列代数式分别是几项的和？每一项的系数分别是什么？
三、合并同类项：
（1） 2a-3a+5a-7a （2）
（3）(3x-5y)-(6x+7y)+(9x-2y) （4）(3x2-2xy+7)-(-4x2+5xy+6)
四、如果 是同类项，求 的值。
nmnm 3537 ++− 2222 25432 yxyxyxyx −+−+−
2222 735 abbaabba +−− )()()(2)(3 22 xyxyyxyx −+−−−+−
312
2
1 ba n+ − −1
3
3 1a bm m n
yx32 abc3
8− ba 245.3 ac 4
b−
22 1243 yxyx +− 22 3xyxy +− yx 65
2 −− 276.3 yab −
xxx 4
1
3
1
2
1 −−
x y x ya b a3 3 2 2 52
3
+ −−与 a b、作业
1、下列各组中的两个单项式，不是同类项的是( )。
A.-54xy 和 3yx B.a2b2 和-a2b2 C.3.5a2b 和 a2c D.-64 和 43
2、若 a|2n|b 与- a6bm+1 是同类项，则（ ）A．n=2, m=2 B．n=3, m=0 C．n=±3, m=0 D．n=±3, m=2
3、7a-3b+2 与 10+2b-4 的差是 。
4、在代数式 3x2y-xy2- x2y+5xy2-4 中，3x2y 与 是同类项 ，-xy2 与 是同类项。
5、若 和 是同类项，求 3m+2n 的值。
第十五讲 合并同类项（2）
【学习目标】
1、理解合并同类项的法则，能熟练进行同类项的合并。
2、能利用同类项求字母以及代数式的值。
【知识要点】
1、同类项的概念。
2、合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。
合并同类项的依据是：加法交换律，结合律及分配律。要特别注意不要丢掉每一项的符号。
【经典例题】
例 1、合并下式中的同类项：
例 2、合并下式中的同类项：
2
1
9
4
3
2
3
1
51316 yx m− 125
16
1 +− myx
9-y7x-46xy-5xyy3x- 2222 ++ n m-mn-6mn+n3m 2222
2222 y-2xy5x-4y3xy-2x ++ )mn2
1-nm2
16(-)5mn-n(6m 2222
mmmmmmm xxxxxxx 8.08.33.02.05.0 1111 −+−+−− ++++
5 7( ) ( ) ( )x y x y x y− − − + − x)-(yx)-(y-y)-2(xy)-3(x 22 ++
例 3、 已知 是同类项，求代数式 的值。
例 4、已知：A=3x2-4xy+2y2 B=x2+2xy-5y2
求：（1）A+B （2）A-B （3）若 2A-B+C=0，求 C。
例 5、已知三角形的第一边为 a+3b，第二边比第一边大 b-1，第三边比第二边小 3，求三角形的周长。
练习
一、填空题：
1、7a-3b+2 与 10+2b-4 的差是 。
2、在代数式 3x2y-xy2- x2y+5xy2-4 中，3x2y 与 是同类项 ，-xy2 与 是同类项。
3、 若 与 是同类项，则 ________， ________。
二、合并下列各式中的同类项：
1、 2、
3、- (3x2-4xy-5y2)+ (6x2+8xy-20y2) 4、
3 2 102 2( ) ( ) ( ) ( )a b a b a b a b+ − + + + − + b)-8(2a-b)-4(2ab)-3(2a- 222 +
3 55 4 3 1x y x ya b+ +−与 3 6 4 24 3 4 3b a b b ba− − +
3
1
1
2
2 1 3a bn+ − −1
3
3 1a bm m = n =
5 8 1 4 10 72 2mn m n m n mn+ − + − + a b a b a b a bm n n m m n n m− −− + +1 13 2
2
1
4
1 5y)4(3x5y)21(3x5y)17(3x- +++++三、先合并同类项，再求值：
（1） ，其中 ；
（2） ，其中 ，
四、若多项式 的 倍，减去一个多项得多项式 的 倍，求这个多项式。
作业
一、选择题：
1、下列各式正确的是( )
A. B. C. D.
2、如果 , ,那么 a 的值为( ) A.0 B.3 C.-3 D.-
3、若 与 是同类项，则（ ）
A、 B、 C、 D、
4、已知 和 是同类项，则 的值为( )。 A.2 B.3 C.6 D.2 或 3
5、下列各组中的两个单项式，不是同类项的是( )。
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
二、合并同类项：
(1) (2)
三、如果 是同类项，求 的值。
★课外思考题： 试用“代数方法”和“算术方法”解下列趣题：
李白街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗；
三遇店和花，喝光壶中酒，试问酒壶中，原有多少酒？
7 5 3 2 6 82 2x x x x− − + − + x = −2
a b ab a b ab a b2 2 26 3 5 2− − + + a = 01. b = 0 01.
2-bx-x 2 2 5-7x-4x 2 3
222 x3x-3x = 532 mmm =+ 22x-4x 22 = 344334 baa4b-b5a =
0≠xy 0=axy+ xy 22
3
1
ba n2
9
4 16
3
2 +− mba
2m2,n == 0m3,n == 0,3 =±= mn 2,3 =±= mn
b25a 6 ba mm 25 m
54xy- 3yx 22ba 22ba− ba 26.3 ca 2
2
1 64− 34
)n4mn-(2m-)3n-4mn-(6m 2222 + )2x5x(-7x4)-3x(-2x- 3232 ++++
x y x ya b a3 3 2 2 52
3
+ −−与 a b、第十六讲 去括号
【学习目标】
1、使学生初步掌握去括号法则；
2、使学生会根据法则进行去括号的运算；
3、通过本节课的学习，初步培养学生的“类比”、“联想”的数学思想方法
【知识要点】
去括号法则：
括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变符号；
括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去括，括号里各项都改变符号
去括号，看符号：是“+”号，不变号；是“-”号，全变号
例 1、去括号：
(1) 2)
（3） 4）
例 2、判断：下列去括号有没有错误?若有错，请改正：
例 3、根据去括号法则，在___上填上“+”号或“-”号：
例 4、先去括号，再合并同类项：
(1)x+［x+(-2x-4y)］ (2) (a+4b)- (3a-6b)
(3) a－[b＋(c－b)] (4)－(5x＋y)－3(2x－3y)
d)-c(-ba ++ d)-c(-b-a + 2zz)-3y(4x-3y)-(6)(8x ++
n)-(mq)(p- ++ q)-(p-s)(r + 2b)-2(ab)(2a-(5)a ++
cb-2a-a2
c)b-(2a-(1)a2
+=
+
1-xyy--x
1)-(xyy)-(x-(2)
+=
+
dcb-a
d)c-(b-(3)a
++=
+
cb-ac)(1)a___(-b +=+ ba-dcd)b)___(c-(2)____(a ++=+
[ ]c)-(b-a___)3( d dcb-ad)c-(4)a___(b −+=+
2
1
3
1
)x-xx(1x)(1-(5)2 22++++ )a-(3a2a)-(2a-a(6)3a 2222 ++练习
一、填空
（1）－｛－［－（３x－y）］｝＝ 。
（2）已知 m－n＝ 则－3(n－m)= 。
（3）代数式 与 的和是______，差是______．
二、选择题
1．下列去括号中正确的是（ ）
A．x＋（3y＋2）＝x＋3y－2 B．a2－（3a2－2a＋1）＝a2－3a2－2a＋1
C．y2＋（－2y－1）＝y2－2y－1 D．m3－（2m2－4m－1）＝m3－2m2＋4m－1
2．化简－4x＋3（ x－2）等于（ ）
A．－5x＋6 B．－5x－6 C．－3x＋6 D．－3x－6
三、判断下列等式是否一定正确，不一定的请说明理由．
(1)a＋(b－c)＝a＋b＋c (2)x－(3y＋2b)＝x－3y＋2b
(3)8x－(－3y－5)＝8x＋3y＋5
四、去括号，合并同类项
（1） ； （2） ；
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
5
1
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
2 2a ab− 23a ab+
3
1
dcb-ad)c(ba(4) ++=++−
[ ]b)-(3a-4a3b-2a + 2 21 2 1
2 3 2a a b a b − − + + − + （3） ．
作业
一、选择题
1、下列各式去括号正确的是 （ ）
A.3a－2(2b－a)=3a－2b－a B.5(x＋y) －2(y－1)=5x＋5y－2y＋1
C.1－(x－y＋z)=1－x＋y－z D.(m－n) ＋(m＋n)=m－n－m－n
2、与互为相反数的数是 （ ）
Ａ.a－b－c B .a－b＋c B. －a－b＋c C.－a－b－c D. －a＋b－c
3、化简 的结果是( )
A． B． C． D．
二、去掉下列各式中的括号
（1）（a＋b）＋（c＋d）＝_______________（2）(a-b)－（c－d）＝_____________
（3）－（a＋b）＋（c－d）＝_____________（4）－（a－b）－（c－d）＝______________
（5）（a－b）－2（c＋d）＝______________（6）0－（x－y－2）＝__________________
三、先去括号，再合并同类项
（1）8x＋2y＋2（5x－2y） （2）3a－（4b－2a＋1）
（3）7m＋3（m＋2n） （4）（x2－y2）－4（2x2－3y2）
[ ](4 3 ) (3 ) ( ) 5x y y x x y x− − − − + − −
1 2( ) 2(3 )2 3x x+ − −
17 3x− + 15 3x− + 115 6x− + 115 6x− −第十七讲 添括号
【学习目标】
1、在去括号的基础上使学生初步掌握添括号法则，会运用添括号法则进行多项式变项
2、继续学习“类比”的方法；理解“去括号”与“添括号”的辩证关系
【知识要点】
添括号法则：
添上“+”号和括号，括到括号里的各项都不变号；
添上“-”号和括号，括到括号里的各项都改变符号。
【经典例题】
例 1、按要求，将多项式 3a-2b+c 添上括号：
(1)把它放在前面带有“+”号的括号里； (2)把它放在前面带有“-”号的括号里。
例 2、在下列( )里填上适当的项：
例 3、把下式中含有 x 的项和含有 y 的项分别放在一个前面是“+”号的括号里；含有 z 的项放在一个前面是
“-”号的括号里。
例 4、在多项式 中添括号：
(1)把四次项相结合，放在前面带有“＋”号的括号里；
(2)把二次项相结合，放在前面带有“－”号的括号里．
例 5、(1)把多项式 写成两式的和，其中一式只含 a，一式只含 b；
(2) 把 多 项 式 写 成 两 式 差 ， 其 中 一 式 不 含 y ， 一 式 含 有 y ， 把 后 一 式
作为减式．
)(ad-cb(1)a +=++ )(-ad-cb-(2)a =+
)(-2y3z-2y(3)x =+ )(--a1)-(a)a-(a-(5) 323 =+
2322 xyzyx +−−+− 4z-z2y3x-zyx 2322 ++++
422224 222m nnmnm ++−−
22 2b5b-2a-3a +
4xy-32y8x-x 2 +练习
1、 在下列( )里填上适当的项：
2、把多项式 写成两个多项式的差，使被减数不含字母ｙ。
3、用括号把多项式 分成两组，使其中含 m 的项相结合，含 n 的项相结合(两个括号用“＋”
号连接)．
4、不改变代数式的值，按要求将代数式 进行变形．
（1）把二次项放在带有“＋”号的括号中，把一次项放在带有“－”号的括号中，常数项放在括号外面．
（2）把含有字母x 的项放在带有“＋”号的括号中，把不含x 的项放在带有“－”号的括号中．
4、把 写成一个三项式与一个二项式的差，并且使括号中第一项的符号都为正号．
)(ad-cba(1) +=++ )(-ad-cb-(2)a =+
)(-2y3z-2y(3)x =+ )(--a1)-(a)a-(a-(4) 323 =+
)(--a1)-(a)a-(a-(5) 323 =+
524710 3223 −++− yxyyxx
ny-my-nxmx +作业
一、选择题：
1、 ,括号内所填的代数式是（ ）.
A. B. C. D.
2、把 的二次项放在添"+"号的括号里，把一次项放在添"－"号的括号里，按上述要求
完成并正确的是（ ）.
二、根据去括号、添括号法则填空：
（1） （2）
（3） （ 4 ）
（5）
三、按下列要求，把多项式 添括号：
（1）把多项式后三项括起来，括号前面带有“＋”号；
（2）把多项式的前两括起来，括号前面带有“－”号；
（3）把多项式后三项括起来，括号前面带有“－”号；
（4）把多项式中间的两项括起来，括号前面带有“－”号．
)(-2mn12n-3mn 2 =+
1-2m 2 1mn-2n 2 + 1-mn-2n 2 12n-mn 2 +
2y2x-y2xy-x 22 ++
2y)-2x(2xy-)y(x2y2x-y2xy-(A)x 2222 ++=++
2y)-(2x-)y2xy-(x2y2x-y2xy-(B)x 2222 +=++
2y)2x-(-2xy-)y(x2y2x-y2xy-(C)x 2222 ++=++
2y)(-2x-)y2xy-(x2y2x-y2xy-(D)x 2222 ++=++第十八讲 找规律
【学习目标】
1、经历探索数量关系，运用代数式表示规律，通过运算验证规律的过程。
2、学生在发现规律，验证规律中，不断的增强自身观察、分析试验、判别归纳的能力。
【知识要点】
通过观察、试验、猜测、推理等实践活动发现图形和数字简单的排列规律。发现稍复杂的图形和数字变化的
规律
【经典例题】
例1、有一长条型链子，其外型由边长为 1 公分的正六边形排列而成。图表示此链之任一段花纹，其中每个黑色
六边形与 6 个白色六边形相邻。若链子上有 35 个黑色六边形，则此链子共有几个白色六边形？( )
(A) 140 (B) 142 (C) 210 (D) 212
例 2、按规律填空，并用字母表示一般规律：
①2，4，6，8，________，12，14，…________ ②2，4，8，________，32，64，…________
③1，3，7，________，31，…________
注释：用 n 表示数的序号。
例 3、如图，一个 的矩形可以用 3 种不同的方式分割成 2 或 5 或 8 个小正方形，那么一个 的矩形用不
同的方式分割后，小正方形的个数可以是 ．
例 4、A 组：(填空)1，4，9，16，________，36，49……
B 组：用火柴按下图方式搭图形，按规律填写下表：
梯形个数 1 2 3 4 … N
火柴根数
4 2× 5 3×
或 或
?例 5、 ， 和 分别可以按如图所示方式“分裂”成 2 个、3 个和 4 个连续奇数的和， 也能按此规律进
行“分裂”，则 “分裂”出的奇数中最大的是( )
A、41 B、39 C、31 D、29
练习
1、有一长条型链子，其外型由边长为 1 公分的正六边形排列而成。图表示此链之任一段花纹，其中每个黑色六
边形与 6 个白色六边形相邻。若链子上有 35 个黑色六边形，则此链子共有几个白色六边形？( )
(A) 140 (B) 142 (C) 210 (D) 212
2、下列给出的一串数：2，5，10，17，26，？，50．仔细观察后回答：缺少的数？是 ．
3、两个完全相同的长方体的长、宽、高分别是 ， ， ，把它们按不同方式叠放在一起分别组成新
的长方体，在这些新长方体中表面积最大的是（ ）
A． B． C． D．
4、将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．将纸片展开，得到的
图形是( )
5、骰子是一个质量均匀的小正方体，它的六个面上分别刻有 1~6 个点.，小明仔细观察骰子，发现任意相对两面
的点数和都相等. 这枚骰子向上的一面的点数是 5，它的对面的点数是( )
32 33 34 36
36
32
3
5
33 9
11
34
13
15
17
19
5cm 4cm 3cm
2158cm 2176cm 2164cm 2188cm
7
A． B． C． D．
8.(20
08 山
东 德
州)只
用 下
列 图
形 不
能 镶
嵌 的
是
(
)A. 1 B. 2 C. 3 D. 6
6、对于任意的两个实数对 和 ，规定：当 时，有 ；运算“ ”为：
；运算“ ”为： ．设 、 都是实数，若
，则 ．
【课后作业】
1、如图所示的图案是由正六边形密铺而成，黑色正六边形周围第一层有六个白色正六边形，
则第 n 层有 白色正六边形。
2、观察下列图案，它们都是由边长为 1cm 的小正方形按一定规律拼接而成的，依此规律，
则第 16 个图案中的小正方形有 个．
3、根据如图 2 所示的（1），（2），（3）三个图所表示的规律，依次下去第 个图中平行四边形的个数是（ ）
A． B． C． D．
4、搭建如图①的单顶帐篷需要 17 根钢管，这样的帐篷按图②，图③的方式串起来搭建，则串 7 顶这样的帐篷需
要 根钢管．
5、观察下列图形的构成规律，根据此规律，第 8 个图形中有 个圆．
),( ba ),( dc dbca == , ),( ba = ),( dc ⊗
),(),(),( bdacdcba =⊗ ⊕ ),(),(),( dbcadcba ++=⊕ p q
)4,2(),()2,1( −=⊗ qp _______),()2,1( =⊕ qp
图案 1 图案 2 图案 3 图案 4
……
n
（图 2）
……
（1） （2） （3）
3n 3 ( 1)n n + 6n 6 ( 1)n n +
第 1 个
……
第 2 个 第 3 个 第 4 个
图 1 图 2 图 3第十九讲 代数式的复习
【学习目标】
复习字母表示数、去（添）括号、合并同类项以及代数式求值等知识，学会融会贯通，能把所学知识综合起
来，灵活运用。
【知识要点】
1、列代数式：
（1）抓住一些关键性的词语，如“乘”、“除”、“除以”、“差”、“倍”、“分”、“大”、“小”等，注意
它们意义的不同。
（2）理清代数运算的次序，如“和的平方”与“平方的和”的运算次序不一样。
2、代数式求值的方法步骤：（1）用数值代替代数式里的字母，简称为“代入”。
（2）按照代数式指明的运算，计算出结果，简称为“计算”。
3、同类项：在代数式中，所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。
4、合并同类项：把代数式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
合并同类项的法则是：同类项的系数相加，结果作为系数，字母和字母的指数不变。
合并同类项的依据是：加法交换律，结合律及分配律。要特别注意不要丢掉每一项的符号。
5、去括号法则：
括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变符号；
括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去括，括号里各项都改变符号
6、添括号法则：
添上“+”号和括号，括到括号里的各项都不变号；
添上“-”号和括号，括到括号里的各项都改变符号。
【经典例题】
例 1、用代数式表示
（1）一个三位数，它的百位数字为 a，十位数字为 b，个位数字为 c，则这个三位数为____。
（2）热水器原来每台成本为 a 元，成本降低 5%以后，每台成本为_____元。
（3）一环形跑道长 a 米，甲每分钟跑 250 米，乙每分钟跑 350 米。若两人同时同地背向跑，____分
钟后相遇；若两人同时同地同向跑，____分钟后两人相遇。
例 2、 是 的倒数的相反数，绝对值为 3 的数是 ，且 ，求 的值。x 2
1 y ( ) 012 2 =−+− nm ymnx +− 22例 3、若 和 是同类项，求 3m+2n 的值。
例 4、先合并同类项，再求值：
（1） ，其中 ；
（2） ，其中 ，
例 5、去括号，合并同类项
（1） ； （2）
练习
一、用代数式表示：
（1）比 a 与 b 的和大 3 的数；
（2）比 a 与 b 的积的 3 倍小 5 的数；
（3）比 a 与 b 的差的一半小 4 的数。
二、当 a=3，b=2 时，求 与 的值。
三、合并下列同类项：
；
51316 yx m− 125
16
1 +− myx
7 5 3 2 6 82 2x x x x− − + − + x = −2
a b ab a b ab a b2 2 26 3 5 2− − + + a = 01. b = 0 01.
[ ]b)-(3a-4a3b-2a + 2 21 2 1
2 3 2a a b a b − − + + − +
2)( ba + 22 2 baba ++
2222 735 abbaabba +−− )()()(2)(3 22 xyxyyxyx −+−−−+−
四、如果 是同类项，求 的值。
五、用括号把多项式 分成两组，使其中含 m 的项相结合，含 n 的项相结合(两个括号用“＋”
号连接)．
六、如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板
砖．从里向外的第 1 层包括 6 个正方形和 6 个正三角形，第 2 层包括 6 个正方形和 18 个正三角形，依此递推，
第 8 层中含有正三角形个数是（ ）
A．54 个 B．90 个 C．102 个 D．114 个
作业
1、合并下列同类项：
2、化简并求值 5xy2－{2x2y－[3xy2－（4xy2－2xy2）]}，其中 x=2，y=－1
3、有一个四等分转盘，在它的上、右、下、左的位置分别挂着“众”、“志”、“成”、“城”四个字牌，如图 1．若
将位于上下位置的两个字牌对调，同时将位于左右位置的两个字牌对调，再将转盘顺时针旋转 ，则完成一次
变换．图 2，图 3 分别表示第 1 次变换和第 2 次变换．按上述规则完成第 9 次变换后，“众”字位于转盘的位置
是（ ）
A．上 B．下 C．左 D．右
)x-xx(1x)(1-2 22++++ )a-(3a2a)-(2a-a3a 2222 ++
x y x ya b a3 3 2 2 52
3
+ −−与 a b、
ny-my-nxmx +
9-y7x-46xy-5xyy3x- 2222 ++ )x-xx(1x)(1-2 22++++
90
众
志
成
城
图 1
成
城
众
志
图 2
志
成
城
众
第 1 次变换
城
众
志
成
图 3
成
城
众
志
第 2 次变换
…第二十讲 立体图形
【学习目标】
1、在具体的情景中认识圆柱、圆锥、长方体、正方体、棱柱、球，并能用自己的语言描述它们的某些特征。
2、经历从现实世界中抽象出图形的过程，通过丰富的生活实例，进一步认识立体图形的形状及结构特征。
3、在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，并敢于表现自己，丰富学习数学的成功体验，激发对空
间与图形的好奇心。
【知识要点】
1、柱体
① 正方体：它有 8 个顶点、 12 条棱、 6 个面，其中 12 条梭长都相等， 6 个面都是相等的正方形．
② 长方体：它有 8 个顶点、 12 条棱、 6 个面，其中各个面都是长方形（或正方形），且相对的两个面大小
相等．
③ 棱柱体：〔 如图（ 1 ) ( 2 ） 〕，图中上下两个面称棱柱的底面，周围的面称棱柱的侧面，面与面的交线是
棱柱的梭．其中侧面与侧面的交线是侧棱，棱与棱的交点是顶点．
正方体和长方体是特殊的梭柱，它们都是四棱柱．正方体是特殊的长方体．
④ 圆柱：图（ 3 ）中上下两个圆面是圆柱的底面，这两个底面是半径相同的圆，周围是圆柱的侧面．棱柱和
圆柱统称柱体．
2、锥体
① 圆锥：〔 如图（ 4 ） 〕图中的圆面是圆锥的一个底面，中间曲面是圃锥的一个侧面，圆锥还有一个顶
点．
② 棱锥：〔 如图（ 5 ） 〕图中下面多边形面是梭锥的一个底面，其余各三角形面是棱锥的侧面，各侧面的
交线是棱锥的侧棱，各侧棱的交点是棱锥的顶点．棱锥和回锥统称锥体．
3、台体
① 圆台：〔 如图（ 6 ） 〕图中上下两个不同的国面是圆台的底面，中间曲面是圆台的一个侧面．
② 棱台：〔 如图（ 7 ） 〕图中上、下两个多边形是棱台的底面，其余四边形面是棱台的侧面，各侧面的交
线是棱台的侧棱，底面和侧面誉。的交线是棱，梭与侧棱的交点是棱台的顶点．
4、球体：〔 如图（ 8 ） 〕图中半圆绕其直径旋转而成的几何体，如篮球、足球等都是球体．
【经典例题】
例 1、将下列图形与对应的图形名称用线连接:
圆 柱 圆 锥 球 体 棱 柱 长方体
例 2、有生活中的物体抽象出几何图形，在后面的横线上填上相应的几何体。
⑴足球 ⑵圆珠笔 ⑶电视机
⑷花盆 ⑸ 漏斗 ⑹砖块
⑺纸箱 ⑻铁棒
例 3、长方体有______面，有______个顶点，过每个顶点有______条棱，长方体共有______条棱。圆柱体有
个面围成，由点动成 ，由线动成 ，由 动成体。三棱锥是由______个面围成的，有______个顶
点，有______条棱。
例 4、从一个十边形的某个点出发,分别连接这个顶点与其余各顶点,可以把这个多边形分割成( )个三角形
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
练习
一、 填空题：
1、亭子的顶端是__________体，下面的支柱是_________体．
2、人民大会堂中间的建筑是________体.
3、从太空看我们生活的地球，地球是________体。举例说明还有无与地球形状相同的物体．
4、削好的一支铅笔，一部分是_______，另一部分是_______，由此可知圆柱和圆锥的区别就在于圆柱有_______
底面，而圆锥只有_______底面，上面是一个_______．
二、选择题：1、圆柱是由下列（ ）图形绕虚线旋转一周而成。
2、下面几种图形①三角形、②长方形 ③正方体、④圆 ⑤圆锥 ⑥圆柱。其中属于立体图形的是（ ）。
A.③、⑤、⑥ B.①、⑵、③ C.③、⑥ D.④、⑤
3、下列图形中，哪些图形是棱柱？是几棱？描述一下棱柱的特点．
【课后作业】
1、下面的几何体是棱柱的是（ ）
2、图 1-1 是由( )图形饶虚线旋转一周形成的
3、图 1-2 绕虚线旋转一周形成的图形是 ( )
A DB C
A B C D4、从一个七边形的某个顶点出发,分别连结这个点与其余各顶点,可以把七边形分割成__________个三角形.
5、右图这个美丽的图案是由我们所熟悉的( )图形组成
A.三角形和扇形 B.圆和四边形 C.圆和三角形 D.圆和扇形
第二十一讲 阶段性测试
一、选择题:
1．下列代数式表示 a、b 的平方和的是（ ）．
A． B． C． D．
2．下列各组代数式中，为同类项的是（ ）．
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
3． 的相反数是（ ）．
A． B． C． D．
4．当 3≤m5）千米的路程，则他应支付的费用是多少？
（2）若他支付了 15 元车费，你能算出他乘坐的路程吗？
25．有这样一道计算题：“计算（2x3－3x2y－2xy2）－（x3－2xy2+y3）+（－x3+3x2y－y3）的值，其中 x= ，y=
－1”，甲同学把 x= 错看成 x=－ ，但计算结果仍正确，你说是怎么一回事？
26．如图，图 1 是个正方形，分别连接这个正五边形各边中点得到图 2，再分别连接图 2 小正五边形各边中点
得到图 3．
图 1 图 2 图 3
（1）填表：
（2）按上面方法继续连下去，第 n 个图中有多少个三角形？
（3）能否分出 246 个三角形？简述你的理由．
27．某商店进货价降低 8%，而售价保持不变，结果使商店的利润可提高 10%，问原来利润是百分之几？
厨成乎诌政狮现傀顷沧泞摔咒啥媒劈叔场甜绘瓷敏睬杏领馅啤舀亥抡轰盾箩捆媚绘每芦抨滓荧镶镊肋摇娃垮闷厚撩卒宝磨炊奇仆蝉十胀匆虹吠邵介薛
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鹤怠抢抹册里慧稠庭贺蛊裁 2012 年小学毕业升初中
暑期培优教材
1
2
1
2
1
2
图形标号 1 2 3
正五边形个数
三角形个数
（数学）
2012 年 07 月
第一讲 预习——摸底测试（60 分钟）
第一部分：加深理解，打好基础
一、用心思考 正确填写：（20 分）
1、今年“五一”黄金周共接待旅游人数为一亿三千睫喳校点嚏寂温撕扶闲樟臆韶耶矩玉年束涝海配匆尖才君揽戎痢匣级二将宜引髓臆设执缚晋磐吓氛
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