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专题四 三角函数与解三角形
第十二讲 解三角形
答案部分
2019 年
1.解析 因为 bsinA+acosB=0,所以由正弦定理,可得: ,
因为 , ,所以可得 ,可得 ,
因为 ,所以 .
2.解析因为 的内角 的对边分别为 .
利用正弦定理将角化为边可得 ①
由余弦定理可得 ②
由①②消去 得 ,
化简得 ,即 . 故选A.
3.解析(Ⅰ)由余弦定理 ,得
.
因为 ,
所以 .
解得 .则 .
(Ⅱ)由 ,得 .
由正弦定理得, .
在 中, ,
sin sin sin cos 0A B A B+ =
(0,π)A∈ sin 0A > sin cos 0B B+ = tan 1B = −
(0,π)B∈ 3π
4B =
ABC△ , ,A B C , ,a b c
2 2 24a b c− =
2 2 2 1cos 2 4
b c aA bc
+ −= = −
a
( )2 2 2 24 1cos 2 4
b c b c
A bc
+ − +
= = −
6b c= 6b
c
=
2 2 2 2 cosb a c ac B= + −
2 2 2 13 2 3 ( )2b c c= + − × × × −
2b c= +
2 2 2 1( 2) 3 2 3 ( )2c c c+ = + − × × × −
5c = 7b =
1cos 2B = − 3sin 2B =
3 3sin sin 14
aA Bb
= =
ABC△ B C A+ = π −
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所以
4.解析(1)由题设及正弦定理得 .
因为 ,所以 .
由 ,可得 ,故 .
因为 ,故 ,因此 .
(2)由题设及(1)知△ABC的面积 .
由正弦定理得 .
由于 为锐角三角形,故 , ,由(1)知 ,
所以 ,故 ,从而 .
因此, 面积的取值范围是 .
5.解析(Ⅰ)在 中,由正弦定理 ,得 ,又由
,得 ,即 .又因为 ,得到 ,
.
由余弦定理可得 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 ,
从而 , ,
( ) 3 3sin( ) sin sin 14B C A A+ = π − = =
sin sin sin sin2
A CA B A
+ =
sin 0A ≠ sin sin2
A C B
+ =
180A B C °+ + = sin cos2 2
A C B+ = cos 2sin cos2 2 2
B B B=
cos 02
B ≠ 1sin 2 2
B = 60B = °
3
4ABCS a=△
( )sin 120sin 3 1
sin sin 2tan 2
Cc Aa C C C
° −
= = = +
ABC△ 0 90A° < < ° 0 90C° < < ° 120A C+ = ° 30 90C° < < ° 1 22 a< < 3 3 8 2ABCS< cos 2sin 0B B= > 2 5cos 5B =
π 2 5sin cos2 5B B + = =
4AB = 3BC = 5AC = 4sin 5C =
BCD△
sin sin
BD BC
C BDC
= ∠
12 2
5BD =
135CBD C∠ = −
2 2 4 3 7 2sin sin(135 ) (cos sin )2 2 5 5 10CBD C C C ∠ = − = + = × + =
( ) 7 2cos cos 90 sin 10ABD CBD CBD∠ = − ∠ = ∠ =
2 1 3cos 2cos 1 2 12 5 5
= − = × − = −CC
2 2 2 32 cos 25 1 2 5 1 ( ) 325
= + − ⋅ = + − × × × − =AB AC BC AC BC C
4 2=AB
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2.C【解析】根据题意及三角形的面积公式知 ,
所以 ,所以在 中, .故选 C.
3.B【解析】由 ,
得 ,
即 ,
所以 ,因为 为三角形的内角,所以 ,
故 ,即 ,所以 .
由正弦定理 得, ,由 为锐角,所以 ,选 B.
4.D【解析】由余弦定理,得 ,整理得 ,解得
或 (舍去),故选 D.
5.D【解析】设 边上的高为 ,则 , ,
所以 .由正弦定理,知 ,
即 ,解得 ,故选 D.
6.C【解析】由余弦定理得 ,所以
,所以 ,即 ,又 ,
所以 .
7.C【解析】由余弦定理得: ,
所以 ,
即 ,解得: 或 ,因为 ,所以 ,故选 B.
8.B【解析】 ,∴ ,所以 或 .
2 2 21 sin2 4
a b cab C
+ −=
2 2 2
sin cos2
a b cC Cab
+ −= = ABC∆
4C
π=
sin sin (sin cos )B A C C+ − 0=
sin( ) sin (sin cos ) 0A C A C C+ + − =
sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C+ + − =
sin (sin cos ) 0C A A+ = C sin 0C ≠
sin cos 0A A+ = tan 1A = − 3
4A
π=
sin sin
a c
A C
= 1sin 2C = C 6C
π=
24 2 2 cos 5b b A+ − × = 23 8 3 0b b− − = 3b =
1
3b = −
BC AD 3BC AD= 2DC AD=
2 2 5AC AD DC AD= + =
sin sin
AC BC
B A
=
5 3
sin2
2
AD AD
A
= 3 10sin 10A =
2 2 2 2 22 cos 2 2 cosa b c bc A b b A= + − = −
2 22 (1 sin ) 2 (1 cos )b A b A− = − sin cosA A= tan 1A = 0 A π< < 4A π= 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − ( )22 2 32 2 3 2 2 3 2b b= + − × × × 2 6 8 0b b− + = 2b = 4b = b c< 2b = 1 1sin2 2AB BC B⋅ ⋅ = 2sin 2B = 45B = 135B =
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当 时, ,
此时 ,易得 与“钝角三角形”矛盾;
当 时, .
9.A【解析】因为 ,由
得 ,
即 ,
整理得 ,
又 ,
因此 ,由
得 ,
即 ,因此选项 C、D 不一定成立.又 ,
因此 ,即 ,选项 A 一定成立.又 ,
因此 ,显然不能得出 ,选项 B 不一定成立.综上所述,
选 A.
10.C【解析】由 可得 ①,由余弦定理及
可得 ②.所以由①②得 ,所以 .
11.C【解析】∵ ,
∴
12.D【解析】 , ,由余弦定理解得
13.A【解析】边换角后约去 ,得 ,所以 ,但 B 非最大角,
所以 .
sin B 1sin( ) 2A C+ = 1sin 2B =
6B
π=
45B = 2 2 2 cos 1AC AB BC AB BC B= + − ⋅ =
1, 2AB AC BC= = = 90A =
135B = 2 2 2 cos 5AC AB BC AB BC B= + − ⋅ =
A B C π+ + = 1sin 2 sin( ) sin( ) 2A A B C C A B+ − + = − − +
1sin 2 sin 2 sin 2 2A B C+ + =
1sin[( ) ( )] sin[( ) ( )] sin 2 2A B A B A B A B C+ + − + + − − + =
1sin sin sin 8A B C =
1 1 1sin sin sin2 2 2S ab C bc A ac B= = =
3 2 2 2 2 2 21 1sin sin sin8 64S a b c A B C a b c= = 1 2S≤ ≤
2 2 2 311 264 a b c≤ ≤
8 16 2abc≤ ≤ 0b c a+ > >
( ) 8bc b c bc a+ > ⋅ ≥ ( ) 8bc b c+ > 0a b c+ > >
( ) 8ab a b+ > ( ) 16 2ab a b+ >
2 2( ) 6c a b= − + 2 2 2 2 6a b c ab+ − = −
3C
π=
2 2 2a b c ab+ − = 6ab = 1 3 3sin2 3 2ABCS ab
π
∆ = =
tan15 tan(60 45 ) 2 3= − = −
60tan 60 60tan15 120( 3 1)BC = − = −
225cos 1 0A− = 1cos 5A = 5b =
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14.C【解析】由余弦定理可得 ,再由正弦定理得 .
15.B【解析】∵ ,∴由正弦定理得 ,
∴ ,∴ ,∴ ,∴△ABC 是直角三角形.
16.B【解析】由正弦定理得:
17.D【解析】由正弦定理,得 ,
即 , ,∴ .
18.D【解析】设 ,则 , , ,在 中,由余弦定
理得 ,则 ,在 中,
由正弦定理得 ,解得 .
19.A【解析】因为 , ,
所以 ,
所以
因为 ,所以 ,所以 .故选 A.
20. 【解析】由 得,
,
因为 ,所以 ,
因为 , ,所以
5AC = 3 10sin 10A =
cos cos sinb C c B a A+ = 2sin cos sin cos sinB C C B A+ =
2sin( ) sinB C A+ = 2sin sinA A= sin 1A =
3 2 2 3sin sin sin 60 sin 45
BC AC AC ACA B ° °= ⇔ = ⇔ =
2 2sin sin sin cos 2 sinA B B A A+ =
2 2sin (sin cos ) 2 sinB A A A⋅ + = sin 2 sinB A= sin 2sin
b B
a A
= =
AB c= AD c= 2
3
cBD = 4
3
cBC = ΔABD
2 2 2
2
4
13cos 2 3
c c c
A c
+ −
= = 2 2sin 3A = ΔABC
4
3
sin sin 2 2
3
c
c BC
C A
= = 6sin 6C =
120C∠ = 2c a=
2 2 2 2 cosc a b ab C= + − 2 2 2 12 2 ( )2a a b ab= + − −
2 2 , 0,aba b ab a b a ba b
− = − = > >+
0, 0a b> > 0aba b a b
− = >+ a b>
2 3
3
sin sin 4 sin sinb C c B a B C+ =
sin sin sin sin 4sin sin sinB C C B A B C+ =
sin sin 0B C ≠ 1sin 2A =
2 2 2 8b c a+ − =
2 2 2
cos 02
b c aA bc
+ −= > 3cos 2A =
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所以 ,
所以 .
21. ;3【解析】因为 , , ,所以由正弦定理得
.由余弦定理 可得
,所以 .
22. 【解析】 的面积
,
所以 ,因为 ,所以 .
因为 为钝角,所以 ,所以 ,
所以 ,
故 的取值范围为 .
23.9【解析】因为 , 的平分线交 于点 ,
所以 ,
由三角形的面积公式可得 ,
化简得 ,又 , ,所以 ,
则 ,
当且仅当 时取等号,故 的最小值为 9.
24. 【解析】由正弦定理得
8 3
3bc =
1 1 8 3 1 2 3sin2 2 3 2 3ABCS bc A∆ = = × × =
21
7 7a = 2b = 60A =
32sin 212sin 77
b AB a
×
= = = 2 2 2 2 cosa b c bc A= + −
2 2 3 0c c− − = 3c =
60 (2, )° +∞ ABC△
2 2 21 3 3sin ( ) 2 cos2 4 4S ac B a c b ac B= = + − = ×
tan 3B = 0 180A< ∠ 0c > 1 1 1a c
+ =
1 1 4 44 (4 )( ) 5 5 2 9c a c aa c a c a c a c a c
+ = + + = + + + ⋅ =≥
2c a= 4a c+
3
π
2sin cos sin cos sin cosB B A C C A= +
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即 ,
所以 ,又 为三角形内角,所以 .
25.75°【解析】由正弦定理 ,即 ,
结合 可得 ,则 .
26. , 【解析】由余弦定理可得,
,
由
所以 ,
.
因为 ,所以 ,所以 ,
B C
A
D
2sin cos sin( )B B A C= +
1cos 2B = B π
3B =
sin sin
b c
B C
=
36sin 22sin 3 2
b CB c
×
= = =
b c< 45B = 180 75A B C= − − = 15 2 10 4 2 2 2 2 2 24 2 4 1cos 2 2 4 2 4 AB BC ACABC AB BC + − + −∠ = = =× × × × 2 2sin cos 1ABC ABC∠ + ∠ = 2 1 15sin 1 cos 1 16 4ABC ABC∠ = − ∠ = − = 1 sin2BDCS BD BC DBC∆ = × × ∠ 1 1sin( ) sin2 2BD BC ABC BD BC ABCπ= × × − ∠ = × × ∠ 1 15 152 22 4 2 = × × × = BD BC= D BCD∠ = ∠ 2ABC D BCD D∠ = ∠ + ∠ = ∠
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27. 【解析】∵ , ,
所以 , ,
所以 ,
由正弦定理得: 解得 .
28. 【解析】由正弦定理,得 ,即 ,所以 ,
所以 .
29.4【解析】由 及正弦定理知: ,又因为 ,所以 ;
由余弦定理得: ,所以 .
30.2【解析】由正弦定理可知:
.
31.7【解析】由已知得 的面积为 ,所以
, ,所以 .由余弦定理得
, .
32.
【解析】如图作 ,使 , ,作出直线 分别交线段 、
于 、 两点(不与端点重合),且使 ,则四边形 就是符合
题 意 的 四 边 形 , 过 作 的 平 行 线 交 于 点 , 在 中 , 可 求 得
, 在 中 , 可 求 得 , 所 以 的 取 值 范 围 为
3sin 2sinA B=
2 2 2 12 cos 4 9 2 2 3 ( ) 164c a b ab C= + − = + − × × × − =
45sin)]4575(180sin[
ACAB =+− 245sin60sin
6 =⇒=⇒ ACAC
ABC∆ 1 sin 20sin2 AB AC A A⋅ = 10 3=
3sin 2A = (0, )2A
π∈
3A
π=
2 2 2 2 cosBC AB AC AB AC A= + − ⋅ = 49 7BC =
111 cos 104cos cos 2 2 2 4
ABC ABCBDC
+∠ + ∠∠ = = = =
21
13
4cos 5A = 5cos 13C =
3sin 5A = 12sin 13C =
( ) 63sin sin sin cos cos sin 65B A C A C A C= + = + =
sin sin
b a
B A
= 21
13b =
4
π
sin sin
a b
A B
= 3 6
sin3
2
B
= 2sin 2B =
4B
π∠ =
3 2a b= 2a = 3b =
4c =
( 6 2, 6 2)− +
PBC∆ 75B C∠ = ∠ = 2BC = AD PB
PC A D 75BAD∠ = ABCD
C AD PB Q PBC∆
6 2BP = + QBC∆ 6 2BQ = − AB
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.
33.8 【解析】因为 ,所以 ,
又 , ,
解方程组 ,得 , ,由余弦定理得
,所以 .
34. 【解析】依题意, , ,在 中,
由 ,
所以 ,因为 ,由正弦定理可得 ,
即 m,在 中,因为 , ,
所以 ,所以 m.
35 . 150 【 解 析 】 在 三 角 形 中 , , 在 三 角 形 中 ,
,解得 ,在三角形 中, ,
故 .
36.2【解析】 由 得: ,
即 , ,∴ ,故 .
Q
D
A
P
B C
30=∠BAC 105=∠ABC ABC∆
180=∠+∠+∠ ACBBACABC
45=∠ACB 600=AB 30sin45sin
600 BC=
2300=BC BCDRt∆ 30=∠CBD 2300=BC
2300
30tan CD
BC
CD == 6100=CD
bBcCb 2coscos =+
( 6 2, 6 2)− +
0 A π< < 2 15sin 1 cos 4A A= − = 1 15sin 3 152 8ABCS bc A bc∆ = = = 24bc∴ = 2 24 b c bc − = = 6b = 4c = 2 2 2 2 2 12 cos 6 4 2 6 4 644a b c bc A = + − = + − × × × − = 8a = 100 6 ABC 100 2AC = MAC sin 60 sin 45 MA AC= 100 3MA = MNA 3sin 60 2100 3 MN = = 150MN = sin cos sin cos 2sinB C C B B+ = sin( ) 2sinB C B+ = sin 2sinA B= 2a b= 2a b =
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37. 【解析】 ,
,所以 .
38. 【解析】∵
根据余弦定理可得
39.①②③【解析】 ①
②
③当 时, 与 矛盾
④取 满足 得:
⑤取 满足 得:
40.4【解析】根据余弦定理可得 ,解得 b=4
41. 【解析】在 中,根据 ,
得 ,同理 ,
因此
42. 【解析】根据 得 ,
,
所以
π
3
2 3sin 5sinA B=
π
3
2
2
1
2cos2,53
222
=⇒−=−+=⇒=+=⇒ Cab
cbaCacbba π
3
2
3
∴
2 2 2
cos 2
AB AD BDBAD AB AD
+ −∠ = •
2 2 22 2 (3 2) 3 33 2 3 2 3
BD BD
+ −∴ = ∴ =
× ×
2 2sin sin( ) cos2 3BAC BAD BAD
π∠ = ∠ + = ∠ =
2 2 2
2 2 1cos 2 2 2 3
a b c ab abab c C Cab ab
π+ − −> ⇒ = > = ⇒ < 2 2 2 2 2 24( ) ( ) 12 cos 2 8 2 3 a b c a b a ba b c C Cab ab π+ − + − ++ > ⇒ = > ≥ ⇒ < 2C π≥ 2 2 2 3 2 2 3 3c a b c a c b c a b≥ + ⇒ ≥ + > + 3 3 3a b c+ =
2, 1a b c= = = ( ) 2a b c ab+ < 2C π< 2, 1a b c= = = 2 2 2 2 2( ) 2a b c a b+ < 3C π< 2 2 14 (7 ) 2 2 (7 ) ( )4b b b= + − − × × − × − 2 7 ABC∆ sin sin sin AB AC BC C B A = = 3sin sin 2sinsin 3 2 ACAB C C CB = ⋅ = ⋅ = 2sinBC A= 2 2sin 4sinAB BC C A+ = + 22sin 4sin( )3C C π= + − 4sin 2 3 cos 2 7 sin( )C C C ϕ= + = + 15 3 4 sin sin AB AC C B = 5 3 5 3sin sin 7 2 14 ABC BAC = = × = 25 3 11cos 1 ( )14 14C = − = sin sin[ ( )] sin cos cos sinA B C B C B Cπ= − + = +
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= .
43.4【解析】(方法一)考虑已知条件和所求结论对于角 A、B 和边 a、b 具有轮换性.
当 A=B 或 a=b 时满足题意,此时有: , ,
, , = 4.
(方法二) ,
.
由正弦定理,得:上式=
44. 【解析】 由 得 ,即 ,
因 ,所以 .又因为
由正弦定理得 ,
解得 ,而 则 ,故 .
45.【解析】(1)在 中,由正弦定理 ,可得 ,
又由 ,得 ,
即 ,可得 .
又因为 ,可得 .
(2)在 中,由余弦定理及 , , ,
3 11 1 5 3 3 3
2 14 2 14 14
× − × =
1cos 3C = 2 1 cos 1tan 2 1 cos 2
C C
C
−= =+
2tan 2 2
C = 1tan tan 2
tan 2
A B C
= = = tan tan
tan tan
C C
A B
+
2 26cos 6 cosb a C ab C a ba b
+ = ⇒ = +
2 2 2 2
2 2 2 2 36 ,2 2
a b c cab a b a bab
+ −⋅ = + + =
tan tan sin cos sin sin cos sin sin( )
tan tan cos sin sin cos sin sin
C C C B A B A C A B
A B C A B C A B
+ ++ = ⋅ = ⋅
21 sin
cos sin sin
C
C A B
= ⋅
2 2 2
2
2 2
1 41 1 3cos ( )6 6 2
c c c
cC ab a b
= ⋅ = = =
+ ⋅
6
π
sin cos 2B B+ = 1 2sin cos 2B B+ = sin 2 1B =
0 2B π< < 2 ,2 4B B π π= = 2, 2,a b= = 2 2 sin sin 4 A π= 1sin 2A = ,a b< 0 4A B π< < = 6a π= ABC△ sin sin a b A B = sin sinb A a B= πsin cos( )6b A a B= − πsin cos( )6a B a B= − πsin cos( )6B B= − tan 3B = (0 π)B∈ , 3B π= ABC△ 2a = 3c = 3B π=
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有 ,故 .
由 ,可得 .因为 ,故 .
因此 ,
所以,
46.【解析】(Ⅰ)由 ,及 ,得 .
由 ,
及余弦定理,得 .
(Ⅱ)由(Ⅰ),可得 ,代入 ,
得 .
由(Ⅰ)知,A 为钝角,所以 .
于是 , ,
故 .
47.【解析】因为 ,
所以 ,
又 ,
所以 ,
因此 ,又 ,
所以 ,
又 ,所以 ,
2 2 2 2 cos 7b a c ac B= + − = 7b =
πsin cos( )6b A a B= − 3sin
7
A = a c< 2cos 7 A = 4 3sin 2 2sin cos 7A A A= = 2 1cos2 2cos 1 7A A= − = . sin(2 ) sin 2 cos cos2 sinA B A B A B− = − = 4 3 1 1 3 3 3 7 2 7 2 14 × − × = . sin 4 sina A b B= sin sin a b A B = 2a b= 2 2 25( )ac a b c= − − 2 2 2 5 55cos 2 5 acb c aA bc ac −+ −= = = − 2 5sin 5A = sin 4 sina A b B= sin 5sin 4 5 a AB b = = 2 2 5cos 1 sin 5B B= − = 4sin 2 2sin cos 5B B B= = 2 3cos2 1 2sin 5B B= − = 4 5 3 2 5 2 5sin(2 ) sin 2 cos cos2 sin ( )5 5 5 5 5B A B A B A− = − = × − − × = − 6AB AC⋅ = − cos 6bc A = − 3ABCS∆ = sin 6bc A = tan 1A = − 0 A π< < 3 4A π= 3b = 2 2c =
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由余弦定理 ,
得 ,
所以 .
48.【解析】(Ⅰ)
因为 , ,所以 .
由正弦定理可得 .
(Ⅱ)因为 ,所以 .在 和 中,
由余弦定理得 ,
.
.由(Ⅰ)知 ,所以 .
49.【解析】(Ⅰ)由题设及正弦定理可得 .
又 ,可得 , ,
由余弦定理可得 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 .
因为 ,由勾股定理得 .
故 ,得 .
所以 的面积为 1.
50.【解析】(I)在 中,由题意知 ,
又因为 ,所有 ,
2 2 2 2 cosa b c bc A= + −
2 29 8 2 3 2 2 ( ) 292a = + − ⋅ ⋅ ⋅ − =
29a =
1 sin2ABDS AB AD BAD∆ = ⋅ ∠
1 sin2ADCS AC AD CAD∆ = ⋅ ∠
2ABD ADCS S∆ ∆= BAD CAD∠ = ∠ 2AB AC=
sin 1
sin 2
B AC
C AB
∠ = =∠
: :ABD ADCS S BD DC∆ ∆ = 2BD = ABD∆ ADC∆
2 2 2 2 cosAB AD BD AD BD ADB= + − ⋅ ∠
2 2 2 2 cosAC AD DC AD DC ADC= + − ⋅ ∠
2 2 2 2 22 3 2 6AB AC AD BD DC+ = + + = 2AB AC= 1AC =
2 2b ac=
a b= 2b c= 2a c=
2 2 2 1cos 2 4
a c bB ac
+ −= =
2 2b ac=
90B = 2 2 2a c b+ =
2 2 2a c ac+ = 2c a= =
ABC∆
ABC∆ 2 3sin 1 cos 3A A= − =
2B A
π= + 6sin sin( ) cos2 3B A A
π= + = =
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由正弦定理可得 .
(II)由 得, ,
由 ,得 .
所以
.
因此, 的面积 .
51.【解析】:(Ⅰ)∵ ,∴ ,
由正弦定理得
∵ ,∴ .
(Ⅱ)由余弦定理得 ,
由于 ,∴ ,
故 .
52.【解析】(Ⅰ)由已知得,∠PBC= ,∴∠PBA=30o,在△PBA 中,由余弦定理得
= = ,∴PA= ;
(Ⅱ)设∠PBA= ,由已知得,PB= ,在△PBA 中,由正弦定理得,
,化简得, ,
o60
2PA o1 13 2 3 cos304 2
+ − × × 7
4
7
2
α sinα
o o
3 sin
sin150 sin(30 )
α
α= − 3 cos 4sinα α=
63sin 3 3 2sin 3
3
a Bb A
×
= = =
2B A
π= + 3cos cos( ) sin2 3B A A
π= + = − = −
A B C π+ + = ( )C A Bπ= − +
sin sin[ ( )] sin( )C A B A Bπ= − + = + sin cos cos sinA B A B= +
3 3 6 6( )3 3 3 3
= × − + × 1
3
=
ABC∆ 1 1 1 3 2sin 3 3 22 2 3 2S ab C= = × × × =
2A B= sin sin 2 2sin cosA B B B= =
2 2 2
2 2
a c ba b ac
+ −= ⋅
3, 1b c= = 2 12, 2 3a a= =
2 2 2 9 1 12 1cos 2 6 3
b c aA bc
+ − + −= = = −
0 A π< < 2 21 2 2sin 1 cos 1 ( )3 3A A= − = − − = 2 2 2 1 2 4 2sin( ) sin cos cos sin ( )4 4 4 3 2 3 2 6A A A π π π −+ = + = × + − × =
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∴ = ,∴ = .
53.【解析】(Ⅰ)因为 ,所以由正弦定理得:
,
所以 ,
即 ,因为 0,所以 ,解得 B= ;
(Ⅱ)由余弦定理得: ,即 ,由不等式得:
,当且仅当 时,取等号,所以 ,
解得 ,所以△ABC 的面积为 = ,
所以△ 面积的最大值为 .
54.【解析】(Ⅰ)
(II)
在 中,
55.【解析】(1)由正弦定理得:
(2)
,解得: .
56.【解析】(I)由正弦定理,设
tanα 3
4 tan PBA∠ 3
4
≠ tan 1B =
4
π
2 2 2 2 cos 4b a c ac
π= + − 2 24 2a c ac= + −
2 2 2a c ac+ ≥ a c= 4 (2 2)ac≥ −
4 2 2ac ≤ + 1 sin2 4ac
π 2 (4 2 2)4
≤ × + 2 1+
ABC 2 1+
cos sina b C c B= +
sin sin cos sin sinA B C C B= +
sin( ) sin cos sin sinB C B C C B+ = +
cos sin sin sinB C C B= sinC
, , (0, ) sin( ) sin 0A C B A B A C Bπ π+ = − ∈ ⇒ + = >
2sin cos sin cos cos sin sin( ) sinB A A C A C A C B= + = + =
1cos 2 3A A
π⇔ = ⇔ =
2 2 2 2 2 22 cos 3 2a b c bc A a b a c B
π= + − ⇔ = ⇒ = + ⇒ =
Rt ABD∆ 2 2 2 23 71 ( )2 2AD AB BD= + = + =
cos 3 sin 0 sin cos 3sin sin sin sina C a C b c A C A C B C+ − − = ⇔ − = +
sin cos 3sin sin sin( ) sin
13sin cos 1 sin( 30 ) 2
30 30 60
A C A C a C C
A A A
A A
°
° ° °
⇔ + = + +
⇔ − = ⇔ − =
⇔ − = ⇔ =
1 sin 3 42S bc A bc= = ⇔ =
2 2 2 2 cos 4a b c bc A b c= + − ⇔ + = 2b c= =
,sin sin sin
a b c kA B C
= = =
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则
所以
即 ,
化简可得 又 ,
所以 ,因此
(II)由 得
由余弦定理
解得 .因此 .
又因为 所以
因此
57.【解析】由 ,得
再由正弦定理,得
由上述结果知
设边 BC 上的高为 ,则有
58.【解析】由题意知 海里,
2 2 sin sin 2sin sin ,sin sin
c a k C k A C A
b k B B
− − −= =
cos 2cos 2sin sin .cos sin
A C C A
B B
− −=
(cos 2cos )sin (2sin sin )cosA C B C A B− = −
sin( ) 2sin( ).A B B C+ = + A B C π+ + =
sin 2sinC A= sin 2.sin
C
A
=
sin 2sin
C
A
= 2 .c a=
2 2 2 2 2 21 12 cos cos , 2, 4 4 .4 4b a c ac B B b a a a= + − = = + − ×及 得4=
1a = 2c =
1cos , 0 .4B B π= <
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