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专题四 三角函数与解三角形
第十讲 三角函数的图象与性质
2019 年
1.（2019 浙江 18）设函数 .
（1）已知 函数 是偶函数，求 的值；
（2）求函数 的值域.
2.（全国Ⅰ文 15）函数 的最小值为___________．
3.（全国Ⅱ文 8）若 x1= ，x2= 是函数 f(x)= ( >0)两个相邻的极值点，则 =
A．2 B．
C．1 D．
4.（2019 天津文 7）已知函数 是奇函数，且
的最小正周期为 ，将 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不
变），所得图象对应的函数为 .若 ，则
（A）-2 （B） （C） （D）2
2010-2018 年
一、选择题
1．(2018 全国卷Ⅰ)已知函数 ，则
A． 的最小正周期为 ，最大值为 3
B． 的最小正周期为 ，最大值为 4
C． 的最小正周期为 ，最大值为 3
( ) sin( )( 0, 0,| | )f x A x Aω ϕ ω ϕ π= + > > < ( )f x π ( )y f x= ( )g x 24g π = 3 8f π = 2− 2 ( ) sin ,f x x x= ∈R [0,2 ),θ ∈ π ( )f x θ+ θ 2 2[ ( )] [ ( )]12 4y f x f x π π= + + + 3π( ) sin(2 ) 3cos2f x x x= + − 4 π 4 3π sin xω ω ω 3 2 1 2 2 2( ) 2cos sin 2= − +f x x x ( )f x π ( )f x π ( )f x 2π
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D． 的最小正周期为 ，最大值为 4
2．(2018 全国卷Ⅱ)若 在 是减函数，则 的最大值是
A． B． C． D．
3．(2018 全国卷Ⅲ)函数 的最小正周期为
A． B． C． D．
4．(2018 天津)将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函
数
A．在区间 上单调递增 B．在区间 上单调递减
C．在区间 上单调递增 D．在区间 上单调递减
5．（2017 新课标Ⅰ）函数 的部分图像大致为
6．（2017 新课标Ⅱ）函数 的最小正周期为
A． B． C． D．
7．（2017 新课标Ⅲ）函数 的最大值为
A． B．1 C． D．
8．（2017 天津）设函数 ， ，其中 ， ．
若 ， ，且 的最小正周期大于 ，则
( )f x 2π
( ) cos sinf x x x= − [0, ]a a
π
4
π
2
3π
4 π
2
tan( ) 1 tan
xf x x
= +
4
π
2
π π 2π
sin(2 )5y x
π= +
10
π
[ , ]4 4
π π− [ ,0]4
π
[ , ]4 2
π π
[ , ]2
π π
sin 2
1 cos
xy x
= −
( ) sin(2 )3f x x
π= +
4π 2π π
2
π
1( ) sin( ) cos( )5 3 6f x x x
π π= + + −
6
5
3
5
1
5
( ) 2sin( )f x xω ϕ= + x∈R 0ω > | | πϕ < 5π( ) 28f = 11π( ) 08f = ( )f x 2π
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A． B．
C． D．
9．（2017 山东）函数 最小正周期为
A．
B．
C． D．
10．（2016 年全国 I 卷）将函数 的图像向右平移 个周期后，所得图像对
应的函数为
A． B．
C． D．
11．（2016 年全国 II 卷）函数 的部分图像如图所示，则
A．
B．
C．
D．
12．（2016 年四川高考）为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象
上所有的点
A．向左平行移动 个单位长度 B．向右平行移动 个单位长度
C．向上平行移动 个单位长度 D．向下平行移动 个单位长度
13．（2016 年浙江）函数 的图象是
= sin( )y A xω ϕ+
2sin(2 )6y x
π= − 2sin(2 )3y x
π= −
2sin(2 + )6y x
π= 2sin(2 + )3y x
π=
3
π
3
π
3
π
3
π
2 π,3 12
ω ϕ= = 2 11π,3 12
ω ϕ= = −
1 11π,3 24
ω ϕ= = − 1 7π,3 24
ω ϕ= =
3sin 2 cos2y x x= +
π
2
2π
3 π 2π
2sin(2 )6y x
π= + 1
4
2sin(2 )4y x
π= + 2sin(2 )3y x
π= +
2sin(2 )4y x
π= − 2sin(2 )3y x
π= −
sin( )3y x
π= + siny x=
2siny x=
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A B C D
14．(2015 山东)要得到函数 的图像，只需要将函数 的图像
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
15．（2015 四川）下列函数中，最小正周期为 且图象关于原点对称的函数是
A． B．
C． D．
16．（2015 新课标）函数 的部分图像如图所示，则 的单调递减区
间为
A． ， B． ，
C． ， D． ，
17．（2015 安徽）已知函数 （ ， ， 均为正的常数）的最小正
周期为 ，当 时，函数 取得最小值，则下列结论正确的是
A． B．
C． D．
18．（2014 新课标 1）在函数① ，② ，③ ，④
4sin(4 )3y x
π= − sin 4y x=
12
π
12
π
3
π
3
π
π
cos(2 )2y x
π= + sin(2 )2y x
π= +
sin 2 cos2y x x= + sin cosy x x= +
( ) cos( )f x xω ϕ= + ( )f x
1 3( , )4 4k kπ π− + k Z∈ 1 3(2 ,2 )4 4k kπ π− + k Z∈
1 3( , )4 4k k− + k Z∈ 1 3(2 ,2 )4 4k k− + k Z∈
( ) ( )sinf x Α xω ϕ= + Α ω ϕ
π 2
3x
π= ( )f x
( ) ( ) ( )2 2 0f f f< − < ( ) ( ) ( )0 2 2f f f< < − ( ) ( ) ( )2 0 2f f f− < < ( ) ( ) ( )2 0 2f f f< < − |2|cos xy = |cos| xy = )62cos( π+= xy
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中，最小正周期为 的所有函数为
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③
19．（2014 浙江）为了得到函数 的图象，可以将函数 的图像
A．向右平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向左平移 个单位
20．(2014 安徽)若将函数 的图象向右平移 个单位，所得图象关于
轴对称，则 的最小正值是
A． B． C． D．
21．（2014 福建）将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 的函数图
象，则下列说法正确的是
A． 是奇函数 B． 的周期是
C． 的图象关于直线 对称 D． 的图象关于点
22．（2014 辽宁）将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的
函数
A．在区间 上单调递减 B．在区间 上单调递增
C．在区间 上单调递减 D．在区间 上单调递增
23．（2013 广东）已知 ，那么
A． B． C． D．
24．（2013 山东）将函数 的图像沿 轴向左平移 个单位后，得到一个偶
函数的图像，则 的一个可能取值为
A． B． C．0 D．
25．（2013 福建）将函数 的图象向右平移 个单
5 1sin( )2 5
π α+ = cosα =
2
5
− 1
5
− 1
5
2
5
( )sin 2y x ϕ= + x 8
π
ϕ
3
4
π
4
π
4
π−
)22)(2sin()(
πθπθ 0 ， ， 直 线 = 和 = 是 函 数
图像的两条相邻的对称轴，则 =
A．π
4 B．π
3 C．π
2 D．3π
4
27．（2012 安徽）要得到函数 的图象，只要将函数 的图象
A．向左平移 1 个单位 B．向右平移 1 个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
28．（2012 浙江）把函数 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐
标不变），然后向左平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到的图像是
29．（2012 山东）函数 的最大值与最小值之和为
A． B．0 C．－1 D．
30．（2012 天津）将函数 （其中 >0）的图像向右平移 个单位长度，所得
图像经过点 ，则 的最小值是
A． B．1 C． D．2
31．（2012 新课标）已知 ，函数 在 单调递减，则 的取
值范围是
)(xg )(),( xgxf )2
3,0(P ϕ
3
5π
6
5π
2
π
6
π
2sin (0 9)6 3
xy x
π π = − ≤ ≤
2 3− 1 3− −
ω 0 ϕ π< < x 4 π x 5 4 π ( ) sin( )f x xω ϕ= + ϕ )12cos( += xy xy 2cos= 1 2 1 2 cos2 1y x= + ( ) sinf x xω= ω 4 π 3( ,0)4 π ω 1 3 5 3 0>ω )4sin()(
πω += xxf ),2( ππ ω
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A． B． C． D．
32．（2011 山东）若函数 （ >0）在区间 上单调递增，在区间
上单调递减，则 =
A． B． C．2 D．3
33．（2011 新课标）设函数 ，则
A． 在 单调递增，其图象关于直线 对称
B． 在 单调递增，其图象关于直线 对称
C． 在 单调递减，其图象关于直线 对称
D． 在 单调递减，其图象关于直线 对称
34．（2011 安徽）已知函数 ，其中 为实数，若 对
恒成立，且 ，则 的单调递增区间是
A． B．
C． D．
35．（2011 辽宁）已知函数 =Atan（ x+ ）（ ），y= 的部分图像如
下图，则
A．2+ B． C． D．
( ) sinf x xω= 0, 3
π
,3 2
π π
2
3
3
2
, ( )3 6k k k Z
π ππ π − + ∈ , ( )2k k k Z
ππ π + ∈
2, ( )6 3k k k Z
π ππ π + + ∈ , ( )2k k k Z
ππ π − ∈
]4
5,2
1[ ]4
3,2
1[ ]2
1,0( ]2,0(
ω
ω
( ) sin(2 ) cos(2 )4 4f x x x
π π= + + +
( )y f x= (0, )2
π
4x
π=
( )y f x= (0, )2
π
2x
π=
( )y f x= (0, )2
π
4x
π=
( )y f x= (0, )2
π
2x
π=
( ) sin(2 )f x x ϕ= + ϕ ( ) ( )6f x f
π≤
x R∈ ( ) ( )2f f
π π> ( )f x
)(xf ω ϕ
2||,0
πϕω )(xf
=)24(
π
f
3 3 3
3 2 3−
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二、填空题
36．(2018 江苏)已知函数 的图象关于直线 对称，则
的值是 ．
37．（2017 新课标Ⅱ）函数 的最大值为 ．
38．（2016 全国Ⅲ卷）函数 Error! No bookmark name given.的图像可
由函数 的图像至少向右平移______个单位长度得到．
39．(2015 浙江)函数 的最小正周期是________，单调递减区
间是_______．
40．（2014 山东）函数 的最小正周期为 ．
41．（2014 江苏）已知函数 与 (0≤ )，它们的图象有一个横坐标
为 的交点，则 的值是 ．
42．（2014 重庆）将函数 图象上每一点的横坐标
缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移 个单位长度得到 的图像，则
______．
43．（2014 安徽）若将函数 的图象向右平移 个单位，所得图象关于
轴对称，则 的最小正值是________．
44．(2013新课标1)设当 时，函数 取得最大值，则 _.
45．(2013 新课标 2)函数 的图象向右平移 个单位后，与函
数 的图象重合，则 _________．
46．(2013 江西)设 ，若对任意实数 都有 ，则实数
的取值范围是 ．
xy cos= )2sin( ϕ+= xy πϕ < 3 π ϕ ( ) sin 2 4f x x π = + ϕ y ϕ x θ= ( ) sin 2cosf x x x= − cosθ = cos(2 )( )y x ϕ π ϕ π= + − ≤ ≤ 2 π sin(2 )3y x π= + ϕ = sin(2 )( )2 2y x ϕ ϕπ π= + − < < 3x π= ϕ ( ) 2cos sinf x x x= + sin 3 cosy x x= − 2siny x= 2( ) sin sin cos 1f x x x x= + + 23 sin 2 cos2y x x= + ( ) ( ) +=
220sin
πϕπωϕω ，xxf
6
π
siny x=
=
6
π
f
( ) 3sin3 cos3f x x x= + x ( )f x a≤ a
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47．(2013 江苏)函数 的最小正周期为 ．
48．(2011 江苏)函数 是常数， 的部分图象如图
所示，则 f(0)= ．
49．(2011 安徽)设 = ，其中 ， ，若
对一切则 恒成立，则
①
② ＜
③ 既不是奇函数也不是偶函数
④ 的单调递增区间是
⑤存在经过点 的直线与函数 的图像不相交
以上结论正确的是 （写出所有正确结论的编号）．
50．（2010 江苏）定义在区间 上的函数 的图像与 的图像的交
点为 ，过点 作 ⊥ 轴于点 ，直线 与 的图像交于点 ，则线段
的长为____________．
51．（2010 福建）已知函数 和 的图象的对
称轴完全相同．若 ，则 的取值范围是 ．
三、解答题
52．（2018 北京）已知函数 ．
)42sin(3
π+= xy
( ) sin( ),( , ,f x A x Aω ϕ ω ϕ= + 0, 0)A ω> >
( )f x sin 2 cos2a x b x+ ,a b∈R 0ab ≠ ( ) ( )6f x f
π≤
x∈R
11( ) 012f
π =
7( )10f
π
( )5f
π
( )f x
( )f x 2, ( )6 3k k k Z
π ππ π + + ∈
( , )a b ( )f x
20
π
, 6cosy x= 5tany x=
P P 1PP x 1P 1PP siny x= 2P
1 2PP
( )=3sin( )( >0)6f x x
πω ω− g( )=2cos(2 + )+1x x ϕ
[0, ]2x
π∈ ( )f x
2( ) sin 3sin cosf x x x x= +
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(1)求 的最小正周期；
(2)若 在区间 上的最大值为 ，求 的最小值．
53．（2018 上海）设常数 ，函数 ．
(1)若 为偶函数，求 的值；
(2)若 ，求方程 在区间 上的解．
54．（2017 北京）已知函数 ．
（Ⅰ）求 的最小正周期；
（Ⅱ）求证：当 时， ．
55．（2017 浙江）已知函数 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的最小正周期及单调递增区间．
56．（2017 江苏）已知向量 ， ， ．
（1）若 ，求 的值；
（2）记 ，求 的最大值和最小值以及对应的 的值．
57．（2016 年山东）设 ．
（Ⅰ）求 的单调递增区间；
（Ⅱ）把 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再把得
到的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，求 的值．
58．（2016 北京）已知函数 的最小正周期为 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的单调递增区间．
59．（2015 湖北）某同学用“五点法”画函数 在某一个周期
内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
2( ) 2 3sin(π )sin (sin cos )f x x x x x= − − −
( )f x
( )y f x=
π
3 ( )y g x= π( )6g
( )f x
( )f x [ , ]3 m
π− 3
2 m
a R∈ 2( ) sin 2 2cosf x a x x= +
( )f x a
( ) 3 14f
π = + ( ) 1 2f x = − π π−［ ， ］
( ) 3 cos(2 ) 2sin cos3f x x x x
π= − −
( )f x
[ , ]4 4x
π π∈ − ( ) 1
2f x −≥
2 2( ) sin cos 2 3sin cosf x x x x x= − − ( )x∈R
2( )3f
π
( )f x
(cos ,sin )x x=a (3, 3)= −b [0, ]x π∈
∥a b x
( )f x = ⋅a b ( )f x x
( ) 2sin cos cos2f x x x xω ω ω= + ( 0)ω > π
ω
( )f x
π( ) sin( ) ( 0, | | )2f x A xω ϕ ω ϕ= + > ( )y g x=
( )y g x= 5π( , 0)12
θ
( ) 2cos (sin cos )f x x x x= +
5( )4f
π
( )f x
t h
π π( ) 10 3cos sin12 12f t t t= − − [0, 24)t ∈
1( ) cos (sin cos ) 2f x x x x= + −
0 2
πα< < 2sin 2 α = ( )f α ( )f x ( ) 3sin 2 6f x x π = + ( )f x 0x 0y ( )f x ,2 12 π π − −
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64．（2014 天津）已知函数 ， .
（Ⅰ）求 的最小正周期；
（Ⅱ）求 在闭区间 上的最大值和最小值．
65．（2014 重庆）已知函数 的图像关于直线
对称，且图象上相邻两个最高点的距离为 ．
（I）求 和 的值；
（II）若 ，求 的值．
66．(2013 山东)设函数 ，且 的
图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 ．
(Ⅰ)求 的值；
(Ⅱ)求 在区间 上的最大值和最小值．
67． (2013 天津)已知函数 ．
(Ⅰ) 求 f(x)的最小正周期；
(Ⅱ) 求 f(x)在区间 上的最大值和最小值．
68．（2013 湖南）已知函数
O
y
x
y0
x0
( ) ( )
+=
220sin3
πϕπωϕω ，xxf
3
π=x π
ω ϕ
>
2
π
( )f x
(0, )2
πα ∈ ( ) 22f
α = α
22( ) cos(2 ) sin2 4f x x x
π= + +
( )f x
( )g x x R∈ ( ) ( )2g x g x
π+ = [0, ]2x
π∈
1( ) ( )2g x f x= − ( )g x [ ,0]π−
( ) sin( )f x A xω ϕ= + ( ,x R∈ 0ω > 0 )2
πϕ< < ( )f x
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