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专题四 三角函数与解三角形
第十一讲 三角函数的综合应用
一、选择题
1．（2016 年天津）已知函数 ， ．若 在区
间 内没有零点，则 的取值范围是
A． B． C． D．
2．（2016 全国 II 卷）函数 的最大值为
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2015 年陕西高考）如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数
，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为
A．5 B．6 C．8 D．10
4．（2015 浙江）存在函数 满足，对任意 都有
A． B．
C． D．
5．（2015 新课标 2）如图，长方形 ABCD 的边 AB=2，BC=1，O 是 AB 的中点，点 P 沿着边
BC，CD 与 DA 运动，∠BOP= ．将动点 P 到 A，B 两点距离之和表示为 的函数
，则 的图像大致为
π( ) cos2 6cos( )2f x x x= + −
2 1 1( ) sin sin ( 0)2 2 2
xf x x
ω ω ω= + − > Rx∈ )(xf
)2,( ππ ω
]8
1,0( )1,8
5[]4
1,0( ]8
5,0( ]8
5,4
1[]8
1,0(
3sin( )6y x k
π ϕ= + +
( )f x x R∈
(sin 2 ) sinf x x= 2(sin 2 )f x x x= +
2( 1) 1f x x+ = + 2( 2 ) 1f x x x+ = +
x x
( )f x ( )f x
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A B C D
6．（2014 新课标 1）如图，圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角 的始
边为射线 ，终边为射线 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，将点 到直
线 的距离表示为 的函数 ，则 = 在[0, ]上的图像大致为
A． B．
C． D．
二、填空题
7．（2017 浙江）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率 ，理论上能把 的
值计算到任意精度。祖冲之继承并发展了“割圆术”，将 的值精确到小数点后七位，其
结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积 ，
x
OA OP P OA M M
OP x ( )f x y ( )f x π
π π
π
6S 6S
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= ．
8．（2017 浙江）已知向量 ， 满足 ， ，则 的最小值
是 ，最大值是 ．
9．（2016 年浙江）已知 ，则 ______．
10．（2014 陕西）设 ，向量 ，若 ，
则 ____．
三、解答题
11．（2018 江苏）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 的一段圆弧 （ 为
此圆弧的中点）和线段 构成．已知圆 的半径为 40 米，点 到 的距离为 50
米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形 ，大棚Ⅱ
内的地块形状为 ，要求 均在线段 上， 均在圆弧上．设 与
所成的角为 ．
(1)用 分别表示矩形 和 的面积，并确定 的取值范围；
(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积
年产值之比为 ．求当 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
12．（2017 江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均
为 32cm，容器Ⅰ的底面对角线 的长为 10 cm，容器Ⅱ的两底面对角线 ，
的长分别为 14cm 和 62cm． 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为 12cm． 现
有一根玻璃棒 ，其长度为 40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）
（1）将 放在容器Ⅰ中， 的一端置于点 处，另一端置于侧棱 上，求 没入水中
部分的长度；
（2）将 放在容器Ⅱ中， 的一端置于点 处，另一端置于侧棱 上，求 没入水中
22cos sin 2 sin( ) ( 0)x x A x b Aω ϕ+ = + + > A =
NM
P
O
A B
CD
a b | | 1=a | | 2=b | | | |+ + −a b a b
20
πθ < < π ( ,0)4 π ( )f x 2 π ( )g x ( )f x ( )g x 0 ( , )6 4x π π∈ 0 0 0 0( ), ( ), ( ) ( )f x g x f x g x 0x 2( ) sin cos cos ( )4f x x x x π= − + ( )f x ABC , ,A B C , ,a b c ( ) 02 Af = 1a = ABC π π( ) 10 3cos sin12 12f t t t= − − [0, 24)t ∈ 11 C ABC∆ CBA ，， cba ，， cba ，， ( )CACA +=+ sin2sinsin cba ，， Bcos
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（3 ）求实数 与正整数 ，使得 在 内恰有 2013 个零
点．
a n ( ) ( ) ( )F x f x ag x= + (0, )nπ
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