资料简介
专题十五 坐标系与参数方程
第四十一讲 坐标系与参数方程
2019 年
1..（2019 全国 I 理 22）[选修 4—4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （t 为参数）．以坐标原点 O 为极
点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ．
（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；
（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值．
2.（2019 全国 II 理 22）[选修 4-4：坐标系与参数方程]
在极坐标系中，O 为极点，点 在曲线 上，直线 l 过点
且与 垂直，垂足为 P.
（1）当 时，求 及 l 的极坐标方程；
（2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程.
3.（2019 全国 III 理 22）[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
如图，在极坐标系 Ox 中， ， ， ， ，弧 ， ，
所在圆的圆心分别是 ， ， ，曲线 是弧 ，曲线 是弧 ，曲
线 是弧 .
（1）分别写出 ， ， 的极坐标方程；
（2）曲线 由 ， ， 构成，若点 在 M 上，且 ，求 P 的极坐标.
4.（2019 天津理 12）设 ，直线 和圆 （ 为参数）相
2
2
2
1
1
4
1
tx t
ty t
−= +
= +
，
2 cos 3 sin 11 0ρ θ ρ θ+ + =
0 0 0( , )( 0)M ρ θ ρ > : 4sinC ρ θ=
(4,0)A OM
0 = 3
θ π
0
ρ
(2,0)A ( 2, )4B
π
( 2, )4C
3π
(2, )D π AB BC
CD (1,0) (1, )2
π
(1, )π 1M AB 2M BC
3M CD
1M 2M 3M
M 1M 2M 3M P | | 3OP =
a∈R 2 0ax y− + = 2 2cos ,
1 2sin
x
y
θ
θ
= +
= +
θ
切，则 的值为 .
2010-2018 年
1．(2018 北京)在极坐标系中，直线 与圆 相切，则
=___．
2．（2017 北京）在极坐标系中，点 A 在圆 上，点 P 的坐
标为 ），则 的最小值为___________．
3．（2017 天津）在极坐标系中，直线 与圆 的公共点的个
数为_____．
4．（2016 北京）在极坐标系中，直线 与圆 交于
两点，则 ____．
5．（2015 广东）已知直线 的极坐标方程为 ，点 的极坐标为
，则点 到直线 的距离为 ．
6．（2015 安徽）在极坐标系中，圆 上的点到直线 距离的最大值
是
7．(2018 全国卷Ⅰ) [选修 4–4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 中，曲线 的方程为 ．以坐标原点为极点， 轴正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
(1)求 的直角坐标方程；
(2)若 与 有且仅有三个公共点，求 的方程．
8．(2018 全国卷Ⅱ)[选修 4－4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的参数
方程为 （ 为参数）．
(1)求 和 的直角坐标方程；
a
cos sin ( 0)a aρ θ ρ θ+ = > =2cosρ θ a
2 2 cos 4 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − + =
(1,0) | |AP
4 cos( ) 1 06
ρ θ π− + = 2sinρ θ=
cos 3 sin 1 0ρ θ ρ θ− − = 2cosρ θ= ,A B
| |AB =
l 2 sin( ) 24
πρ θ − = Α
72 2, )4
πΑ( Α l
8sinρ θ= ( )3 R
πθ ρ= ∈
xOy 1C | | 2y k x= + x
2C 2 2 cos 3 0ρ ρ θ+ − =
2C
1C 2C 1C
xOy C 2cos ,
4sin ,
=
=
x θ
y θ θ l
1 cos
2 sin
= +
= +
x t α
y t α t
C l
(2)若曲线 截直线 所得线段的中点坐标为 ，求 的斜率．
9．(2018 全国卷Ⅲ)[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 的 参 数 方 程 为 ，（ 为 参 数 ），过 点
且倾斜角为 的直线 与 交于 ， 两点．
(1)求 的取值范围；
(2)求 中点 的轨迹的参数方程．
10．(2018 江苏)C．[选修 4—4：坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)
在极坐标系中，直线 的方程为 ，曲线 的方程为 ，求直线
被曲线 截得的弦长．
11．（2017 新课标Ⅰ）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ，( 为参
数)，直线 的参数方程为 ( 为参数)．
(1)若 ，求 与 的交点坐标；
(2)若 上的点到 距离的最大值为 ，求 ．
12．（2017 新课标Ⅱ）在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立
极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
(1) 为曲线 上的动点，点 在线段 上，且满足 ，求点 的
轨迹 的直角坐标方程；
(2)设点 的极坐标为 ，点 在曲线 上，求 面积的最大值．
13．（2017 新课标Ⅲ）在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ( 为参数)，
直线 的参数方程为 （ 为参数）．设 与 的交点为 ，当 变化时，
的轨迹为曲线 ．
C l (1, 2) l
xOy O
cos
sin
x
y
θ
θ
=
=
θ
(0, 2)− α l O A B
α
AB P
l πsin( ) 26
ρ θ− = C 4cosρ θ= l
C
xOy C 3cos
sin
x
y
θ
θ
=
=
θ
l 4
1
x a t
y t
= +
= − t
1a = − C l
C l 17 a
xOy x
1C cos 4ρ θ =
M 1C P OM | | | | 16OM OP⋅ = P
2C
A (2, )3
π
B 2C OAB∆
xOy 1l 2x t
y kt
= +
= t
2l
2x m
my k
= − + =
m 1l 2l P k P
C
(1)写出 的普通方程；
(2)以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 ：
， 为 与 的交点，求 的极径．
14．（2017 江苏）在平面坐标系中 中，已知直线 的参考方程为 （ 为参
数），曲线 的参数方程为 （ 为参数）．设 为曲线 上的动点，求点
到直线 的距离的最小值．
15．（2016 年全国 I）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （t 为参
数，a＞0）．在以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ：
．
（I）说明 是哪种曲线，并将 的方程化为极坐标方程；
（II）直线 的极坐标方程为 ，其中 满足 ，若曲线 与 的公共点
都在 上，求 a．
16．（2016 年全国 II）在直角坐标系 中，圆 C 的方程为 ．
（I）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；
（II）直线 l 的参数方程是 （t 为参数），l 与 C 交于 A、B 两点， ，
求 l 的斜率．
17．（2016 年全国 III）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为
参数），以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标
方程为 ．
（Ⅰ）写出 的普通方程和 的直角坐标方程；
C
x 3l (cos sin )ρ θ θ+ −
2 0= M 3l C M
xOy l
8
2
x t
ty
= − + =
t
C
22
2 2
x s
y s
= =
s P C P
l
xOy 1C cos
1 sin
x a t
y a t
=
= +
x 2C
4cosρ θ=
1C 1C
3C 0=aθ 0a 0tan =2a 1C 2C
3C
xOy ( )2 26 25x y+ + =
cos
sin
x t
y t
α
α
=
= 10AB =
xOy 1C 3 cos
sin
x
y
α
α
= =
α
2C
sin( ) 2 24
ρ θ π+ =
1C 2C
（Ⅱ）设点 P 在 上，点 Q 在 上，求 的最小值及此时 P 的直角坐标．
18．（2016 江苏）在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方程为 ，
椭圆 的参数方程为 ，设直线 与椭圆 相交于 两点，求线
段 的长．
19 ．（ 2015 新 课 标 Ⅰ ） 在 直 角 坐 标 系 中 ， 直 线 ： ， 圆 ：
，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求 ， 的极坐标方程；
（ Ⅱ ） 若 直 线 的 极 坐 标 方 程 为 , 设 与 的 交 点 为 , , 求
的面积．
20．（2015 新课标Ⅱ）在直角坐标系 中，曲线 ： （ 为参数， ≠0）
其中 ，在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ：
， ： ．
（Ⅰ）求 与 交点的直角坐标；
（Ⅱ）若 与 相交于点 A， 与 相交于点 B，求 的最大值．
21．（2015 江苏）已知圆 C 的极坐标方程为 ，求圆 C 的半径.
22．（2015 陕西）在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）．以
原 点 为 极 点 ， 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， ⊙ 的 极 坐 标 方 程 为
．
（Ⅰ）写出⊙ 的直角坐标方程；
（Ⅱ） 为直线 上一动点，当 到圆心 的距离最小时，求 的直角坐标．
1C 2C | |PQ
xOy l ( )
11 ,2
3 ,2
x t
t
y t
= +
=
为参数
C ( )cos ,
2sin ,
x
y
θ θθ
=
=
为参数 l C ,A B
AB
xOy 1C 2x = − 2C
2 2( 1) ( 2) 1x y− + − = x
1C 2C
3C ( )
4 R
πθ ρ= ∈ 2C 3C M N
2C MN∆
xOy 1C cos ,
sin ,
x t
y t
α
α
=
= t t
0 α π 1 2a = +
2．1【解析】圆的普通方程为 ，即 ．
设圆心为 ，所以 ．
3．2【解析】直线的普通方程为 ，
圆的普通方程为 ，
因为圆心到直线的距离 ，所以有两个交点．
4．2【解析】将 化为直角坐标方程为 ，将 ρ=2cos
θ 化为直角坐标方程为 ，圆心坐标为(1,0)，半径 r=1，又(1，0)在直线
上，所以|AB|=2r=2．
5． 【解析】由 得 ，所以 ，
故直线 的直角坐标方程为 ，而点 对应的直角坐标为
，所以点 到直线 ： 的距离为 ．
6．6【解析】圆 即 ，化为直角坐标方程为 ，
直线 ，则 ，化为直角坐标方程为 ，圆心 到直线
的距离为 ，所以圆上的点到直线距离的最大值为 6．
7．【解析】(1)由 ， 得 的直角坐标方程为 ．
(2)由(1)知 是圆心为 ，半径为 的圆．
由题设知， 是过点 且关于 轴对称的两条射线．记 轴右边的射线为 ，
轴左边的射线为 ．由于 在圆 的外面，故 与 有且仅有三个公共点等价于
与 只有一个公共点且 与 有两个公共点，或 与 只有一个公共点且 与 有
两个公共点．
2 2 2 4 4 0x y x y+ − − + = 2 2( 1) ( 2) 1x y− + − =
(1,2)C min| | | | 2 1 1AP PC r= − = − =
2 3 2 1 0x y+ + =
2 2( 1) 1x y+ − =
3 14d = < cos 3 sin 1 0ρ θ ρ θ− − = 3 1 0x y− − = 2 2( 1) 1x y− + = 3 1 0x y− − = 5 2 2 2 sin( ) 24 πρ θ - = 22 (sin cos ) 22 ρ θ θ´ - = 1y x- = l 1 0x y- + = 7(2 2, )4A π (2, 2)A - (2, 2)A - l 1 0x y- + = | 2 2 1| 5 2 22 + + = 8sinρ θ= 2 8 sinρ ρ θ= 2 2( 4) 16x y+ - = 3 πθ = tan 3θ = 3 0x y- = (0,4) | 4 | 2 4 - = cosx ρ θ= siny ρ θ= 2C 2 2( 1) 4x y+ + = 2C ( 1,0)A − 2 1C (0,2)B y y 1l y 2l B 2C 1C 2C 1l 2C 2l 2C 2l 2C 1l 2C
当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故
或 ．
经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 只有一个公共点，
与 有两个公共点．
当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故
或 ．
经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 没有公共点．
综上，所求 的方程为 ．
8．【解析】(1)曲线 的直角坐标方程为 ．
当 时， 的直角坐标方程为 ，
当 时， 的直角坐标方程为 ．
(2)将 的参数方程代入 的直角坐标方程，整理得关于 的方程
．①
因为曲线 截直线 所得线段的中点 在 内，所以①有两个解，设为 ， ，则
．
又 由 ① 得 ， 故 ， 于 是 直 线 的 斜 率
．
9．【解析】(1) 的直角坐标方程为 ．
当 时， 与 交于两点．
当 时 ， 记 ， 则 的 方 程 为 ． 与 交 于 两 点 当 且 仅 当
，解得 或 ，即 或 ．
1l 2C A 1l 2 2
| 2 | 2
1
k
k
− + =
+
4
3k = − 0k =
0k = 1l 2C 4
3k = − 1l 2C 2l
2C
2l 2C A 2l 2 2
| 2 | 2
1
k
k
+ =
+
0k = 4
3k =
0k = 1l 2C 4
3k = 2l 2C
1C 4 | | 23y x= − +
C
2 2
14 16
+ =x y
cos 0α ≠ l tan 2 tanα α= ⋅ + −y x
cos 0α = l 1=x
l C t
2 2(1 3cos ) 4(2cos sin ) 8 0α α α+ + + − =t t
C l (1,2) C 1t 2t
1 2 0+ =t t
1 2 2
4(2cos sin )
1 3cos
α α
α
++ = − +t t 2cos sin 0α α+ = l
tan 2α= = −k
O
2 2 1x y+ =
2
α π= l O
2
α π≠ tan kα = l 2y kx= − l O
2
2| | 1
1 k
< + 1k < − 1k > ( , )4 2
α π π∈ ( , )2 4
α π 3π∈
综上， 的取值范围是 ．
(2) 的参数方程为 为参数， ．
设 ， ， 对应的参数分别为 ， ， ，则 ，
且 ， 满足 ．
于是 ， ．又点 的坐标 满足
所以点 的轨迹的参数方程是 为参数， ．
10．C．【解析】因为曲线 的极坐标方程为 ，
所以曲线 的圆心为 ，直径为 4 的圆．
因为直线 的极坐标方程为 ，
则直线 过 ，倾斜角为 ，
所以 A 为直线 与圆 的一个交点．
设另一个交点为 B，则∠OAB= ．
连结 OB，因为 OA 为直径，从而∠OBA= ，
所以 ．
因此，直线 被曲线 截得的弦长为 ．
x
B
O A
l
α ( , )4 4
π 3π
l
cos ,
(
2 sin
x t
t
y t
α
α
= = − + 4 4
απ 3π< < ) A B P At Bt Pt 2 A B P t tt += At Bt 2 2 2 sin 1 0t t α− + = 2 2 sinA Bt t α+ = 2 sinPt α= P ( , )x y cos , 2 sin . P P x t y t α α = = − + P 2 sin 2 ,2 2 2 cos22 2 x y α α = = − − (α 4 4 απ 3π< < ) C =4cosρ θ C (2,0) l πsin( ) 26 ρ θ− = l (4,0)A π 6 l C π 6 π 2 π4cos 2 36AB = = l C 2 3
11．【解析】（1）曲线 的普通方程为 ．
当 时，直线 的普通方程为 ．
由 解得 或 ．
从而 与 的交点坐标为 ， ．
（2）直线 的普通方程为 ，故 上的点 到 的距离为
．
当 时， 的最大值为 ．由题设得 ，所以 ；
当 时， 的最大值为 ．由题设得 ，所以 ．
综上， 或 ．
12．【解析】（1）设 的极坐标为 ， 的极坐标为 ．
由椭圆知
， ．
由 得 的极坐标方程 ．
因此 的直角坐标方程为 ．
（2）设点 的极坐标为 ．由题设知 ， ，于是
面积
C
2
2 19
x y+ =
1a = − l 4 3 0x y+ − =
2
2
4 3 0
19
x y
x y
+ − = + =
3
0
x
y
=
=
21
25
24
25
x
y
= −
=
C l (3,0) 21 24( , )25 25
−
l 4 4 0x y a+ − − = C (3cos ,sin )θ θ l
| 3cos 4sin 4 |
17
ad
θ θ+ − −=
4a −≥ d 9
17
a + 9 17
17
a + = 8a =
4a < − d 1 17 a− + 1 17 17 a− + = 16a = − 8a = 16a = − P ( , )ρ θ ( 0)ρ > M 1( , )ρ θ 1( 0)ρ >
| |OP ρ= 1
4| | cosOM ρ θ= =
| | | | 16OM OP⋅ = 2C 4cosρ θ= ( 0)ρ >
2C 2 2( 2) 4( 0)x y x− + = ≠
B ( , )B
ρ α ( 0)B
ρ > | | 2OA = 4cosB
ρ α=
OAB∆
1 | | sin2 BS OA AOBρ= ⋅ ⋅ ∠
4cos | sin( ) |3
πα α= −
32 | sin(2 ) |3 2
πα= − −
．
当 时， 取得最大值 ．
所以 面积的最大值为 ．
13．【解析】（1）消去参数 得 的普通方程 ；
消去参数 得 的普通方程 ．
设 ，由题设得 ，消去 得 ．
所以 的普通方程为
（2） 的极坐标方程为
联立 得 ．
故 ，从而
代入 得 ，所以交点 的极径为 ．
14．【解析】直线 的普通方程为 .
因为点 在曲线 上，设 ，
从而点 到直线 的的距离 ，
当 时， .
因此当点 的坐标为 时，曲线 上点 到直线 的距离取到最小值 .
15．【解析】(1) （ 均为参数）
∴ ①
cos
1 sin
x a t
y a t
=
= +
t
( )22 21x y a+ − =
2 3+≤
12
πα = − S 2 3+
OAB∆ 2 3+
t 1l ( ):l y k x= −1 2
m 2l ( ):l y xk
= +2
1 2
( , )P x y
( )
( )
y k x
y xk
= − = +
2
1 2
k ( )x y y− = ≠2 2 4 0
C ( )x y y− = ≠2 2 4 0
C ( )cos sinρ θ θ− =2 2 2 4 ( ),θ π θ π≠0＜ ＜2
( )
( )
cos sin
cos sin
ρ θ θ
ρ θ θ
− =
2 2 2 4
+ - 2=0
( )cos sin cos sinθ θ θ θ− =2 +
tanθ = − 1
3 cos sinθ θ2 29 1= ， =10 10
( )cos sinρ θ θ2 2 2- =4 ρ 2=5 M 5
l 2 8 0x y− + =
P C 2(2 ,2 2 )P s s
P l
2 2
2 2
| 2 4 2 8| 2( 2) 4
5( 1) ( 2)
s s sd
− + − += =
− + −
2s = min
4 5
5d =
P (4,4) C P l 4 5
5
∴ 为以 为圆心， 为半径的圆．方程为
∵
∴ 即为 的极坐标方程
(2)
两边同乘 得
即 ②
：化为普通方程为 ，由题意： 和 的公共方程所在直线即为
①—②得： ，即为
∴ ，∴
16．【解析】（Ⅰ）整理圆的方程得 ，
由 可知圆 的极坐标方程为 ．
(Ⅱ)记直线的斜率为 ，则直线的方程为 ，
由垂径定理及点到直线距离公式知： ，
即 ，整理得 ，则 ．
17．【解析】（Ⅰ） 的普通方程为 ， 的直角坐标方程为 .
（Ⅱ）由题意，可设点 的直角坐标为 ，因为 是直线，
所以 的最小值，即为 到 的距离 的最小值，
．
当且仅当 时， 取得最小值，最小值为 ，
1C ( )0 1， a 2 2 22 1 0x y y a+ − + − =
2 2 2 sinx y yρ ρ θ+ = =，
2 22 sin 1 0aρ ρ θ− + − = 1C
2 4cosC ρ θ=：
ρ 2 2 2 24 cos cosx y xρ ρ θ ρ ρ θ= = + = ，
2 2 4x y x∴ + =
( )2 22 4x y− + =
3C 2y x= 1C 2C 3C
24 2 1 0x y a− + − = 3C
21 0a− = 1a =
2 2 12 11 0x y+ + + =
2 2 2
cos
sin
x y
x
y
ρ
ρ θ
ρ θ
= +
=
=
C 2 12 cos 11 0ρ ρ θ+ + =
k 0kx y− =
2
2
6 1025 21
k
k
− = − +
2
2
36 90
1 4
k
k
=+
2 5
3k = 15
3k = ±
1C
2
2 13
x y+ = 2C 4 0x y+ − =
P ( 3 cos ,sin )α α 2C
| |PQ P 2C ( )d α
| 3 cos sin 4 |( ) 2 | sin( ) 2 |32
d
α α πα α+ −= = + −
2 ( )6k k Z
πα π= + ∈ ( )d α 2
此时 的直角坐标为 ．
18．【解析】椭圆 的普通方程为 ，将直线 的参数方程 ，
代入 ，得 ，即 ，
解得 ， .
所以 .
19．【解析】（Ⅰ）因为 ，
∴ 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为
．
（Ⅱ）将 代入 ，得 ，
解得 = ， = ，|MN|= － = ，
因为 的半径为 1，则 的面积 = ．
20．【解析】（Ⅰ）曲线 的直角坐标方程为 ，曲线 的直角坐标方程为
．联立 解得 或
所以 与 交点的直角坐标为 和 ．
（Ⅱ）曲线 的极坐标方程为 ，其中 ．
因此 得到极坐标为 ， 的极坐标为 ．
所以 ，
P 3 1( , )2 2
C
2
2 14
yx + = l
11 2
3
2
x t
y t
= +
=
2
2 14
yx + =
2
2
3( )1 2(1 ) 12 4
t
t+ + = 27 16 0t t+ =
1 0t = 2
16
7t = −
1 2
16| | 7AB t t= − =
cos , sinx yρ θ ρ θ= =
1C cos 2ρ θ = − 2C
2 2 cos 4 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − + =
= 4
πθ 2 2 cos 4 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − + = 2 3 2 4 0ρ ρ− + =
1
ρ 2 2 2
ρ 2 1
ρ 2
ρ 2
2C 2C MN
o1 2 1 sin 452
× × × 1
2
2C 2 2 2 0x y y+ − = 3C
2 2 2 3 0x y x+ − =
2 2
2 2
2 0,
2 3 0,
x y y
x y x
+ − = + − =
0,
0,
x
y
=
=
3 ,2
3 ,2
x
y
=
=
2C 1C (0,0) 3 3( , )2 2
1C ( , 0)Rθ α ρ ρ= ∈ ≠ 0 α π≤ < A (2sin , )α α B (2 3 cos , )α α 2sin 2 3 cosAB α α= − 4 in( )3s πα= −
当 时， 取得最大值，最大值为 ．
21．【解析】 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 ，以极轴为 轴的正半轴，建
立直角坐标系 ．
圆 的极坐标方程为 ，
化简，得 ．
则圆 的直角坐标方程为 ，
即 ，所以圆 的半径为 ．
22．【解析】（Ⅰ）由 ，
从而有 ．
（Ⅱ）设 ，
则 ，
故当 =0 时，| |取最小值，此时 点的直角坐标为 .
23．【解析】
……5 分
（Ⅱ）
22 3sin , 2 3 sinρ θ ρ ρ θ= =得
( )22 2 2+ 2 3 , + 3 3x y y x y= − =所以
1 3(3 t, t), C(0, 3)2 2P + 又
22
21 3| PC | 3 3 122 2t t t
= + + − = +
5
6
πα = AB 4
Ο x
xoy
C 2 2 22 2 sin cos 4 02 2
ρ ρ θ θ + − − =
2 2 sin 2 cos 4 0ρ ρ θ ρ θ+ − − =
C 2 2 2 2 4 0x y x y+ − + − =
( ) ( )2 21 1 6x y− + + = C 6
t PC P (3,0)
2cos .( ).3sin .
x
y
θ θθ
=
=
（I ）曲线C的参数方程为 为参数
6 0.l x y+ − =直线 的普通方程为2
cos sin lθ θ曲线C上任意一点P( 2 . 3 ) 到 的距离为
5 4cos 3sin 6 .5d θ θ= + −
2 5 45sin( ) 6 , tan .sin30 5 3
dPA θ α α α= = + − =°则 其中 为锐角，且
22 5sin .5PAθ α当 ( + ) =- 1时， 取得最大值，最大值为
24．【解析】（I）C 的普通方程为 ．
可得 C 的参数方程为
（t 为参数， ）
（Ⅱ）设 D .由（I）知 C 是以 G（1,0）为圆心，1 为半径的上半圆。
因为 C 在点 D 处的切线与 t 垂直，所以直线 GD 与 t 的斜率相同， ．
故 D 的直角坐标为 ，即 ．
25．【解析】将 消去参数 ，化为普通方程 ，
即 ： ，将 代入
得， ，
∴ 的极坐标方程为 ；
（Ⅱ） 的普通方程为 ，
由 解得 或 ，
∴ 与 的交点的极坐标分别为( )， ．
26．【解析】（Ⅰ）由题意有 因此
的轨迹的参数方程为 （ ）
（Ⅱ） 点到坐标原点的距离
（ ）
4 5cos
5 5sin
x t
y t
= +
= + t 2 2( 4) ( 5) 25x y− + − =
1C 2 2 8 10 16 0x y x y+ − − + = cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
=
2 2 8 10 16 0x y x y+ − − + =
2 8 cos 10 sin 16 0ρ ρ θ ρ θ− − + =
1C 2 8 cos 10 sin 16 0ρ ρ θ ρ θ− − + =
2C 2 2 2 0x y y+ − =
2 2
2 2
8 10 16 0
2 0
x y x y
x y y
+ − − + = + − =
1
1
x
y
=
=
0
2
x
y
=
=
1C 2C 2, 4
π
(2, )2
π
2 5sin( ) 1 .5PAθ α+ =当 时， 取得最小值，最小值为
2 2( 1) 1(0 1)x y y− + = ≤ ≤
1 cos ,
sin ,
x t
y t
= +
= 0 t x≤ ≤
(1 cos ,sin )t t+
tan 3, 3t t
π= =
(1 cos ,sin )3 3
π π+ 3 3( , )2 2
( ) ( )2cos ,2sin , 2cos2 ,2sin 2 ,P Qα α α α
( )cos cos2 ,sin sin 2M α α α α+ +
M cos cos2 ,
sin sin 2 ,
x
y
α α
α α
= +
= + 0 2α π< < M 2 2 2 2cosd x y α= + = + 0 2α π<
查看更多
Copyright 2004-2019 ttzyw.com All Rights Reserved 闽ICP备18023965号-4
天天资源网声明：本站点发布的文章作品均来自用户投稿或网络整理，部分作品未联系到知识产权人或未发现有相关的知识产权登记