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专题十五 坐标系与参数方程 第四十一讲 坐标系与参数方程 2019 年 1..(2019 全国 I 理 22)[选修 4—4:坐标系与参数方程] 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 (t 为参数).以坐标原点 O 为极 点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 . (1)求 C 和 l 的直角坐标方程; (2)求 C 上的点到 l 距离的最小值. 2.(2019 全国 II 理 22)[选修 4-4:坐标系与参数方程] 在极坐标系中,O 为极点,点 在曲线 上,直线 l 过点 且与 垂直,垂足为 P. (1)当 时,求 及 l 的极坐标方程; (2)当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时,求 P 点轨迹的极坐标方程. 3.(2019 全国 III 理 22)[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分) 如图,在极坐标系 Ox 中, , , , ,弧 , , 所在圆的圆心分别是 , , ,曲线 是弧 ,曲线 是弧 ,曲 线 是弧 . (1)分别写出 , , 的极坐标方程; (2)曲线 由 , , 构成,若点 在 M 上,且 ,求 P 的极坐标. 4.(2019 天津理 12)设 ,直线 和圆 ( 为参数)相 2 2 2 1 1 4 1 tx t ty t  −= +  = + , 2 cos 3 sin 11 0ρ θ ρ θ+ + = 0 0 0( , )( 0)M ρ θ ρ > : 4sinC ρ θ= (4,0)A OM 0 = 3 θ π 0 ρ (2,0)A ( 2, )4B π ( 2, )4C 3π (2, )D π AB BC CD (1,0) (1, )2 π (1, )π 1M AB 2M BC 3M CD 1M 2M 3M M 1M 2M 3M P | | 3OP = a∈R 2 0ax y− + = 2 2cos , 1 2sin x y θ θ = +  = + θ 切,则 的值为 . 2010-2018 年 1.(2018 北京)在极坐标系中,直线 与圆 相切,则 =___. 2.(2017 北京)在极坐标系中,点 A 在圆 上,点 P 的坐 标为 ),则 的最小值为___________. 3.(2017 天津)在极坐标系中,直线 与圆 的公共点的个 数为_____. 4.(2016 北京)在极坐标系中,直线 与圆 交于 两点,则 ____. 5.(2015 广东)已知直线 的极坐标方程为 ,点 的极坐标为 ,则点 到直线 的距离为 . 6.(2015 安徽)在极坐标系中,圆 上的点到直线 距离的最大值 是 7.(2018 全国卷Ⅰ) [选修 4–4:坐标系与参数方程](10 分) 在直角坐标系 中,曲线 的方程为 .以坐标原点为极点, 轴正半轴 为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 . (1)求 的直角坐标方程; (2)若 与 有且仅有三个公共点,求 的方程. 8.(2018 全国卷Ⅱ)[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分) 在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数),直线 的参数 方程为 ( 为参数). (1)求 和 的直角坐标方程; a cos sin ( 0)a aρ θ ρ θ+ = > =2cosρ θ a 2 2 cos 4 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − + = (1,0) | |AP 4 cos( ) 1 06 ρ θ π− + = 2sinρ θ= cos 3 sin 1 0ρ θ ρ θ− − = 2cosρ θ= ,A B | |AB = l 2 sin( ) 24 πρ θ − = Α 72 2, )4 πΑ( Α l 8sinρ θ= ( )3 R πθ ρ= ∈ xOy 1C | | 2y k x= + x 2C 2 2 cos 3 0ρ ρ θ+ − = 2C 1C 2C 1C xOy C 2cos , 4sin , =  = x θ y θ θ l 1 cos 2 sin = +  = + x t α y t α t C l (2)若曲线 截直线 所得线段的中点坐标为 ,求 的斜率. 9.(2018 全国卷Ⅲ)[选修 4—4:坐标系与参数方程](10 分) 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 的 参 数 方 程 为 ,( 为 参 数 ),过 点 且倾斜角为 的直线 与 交于 , 两点. (1)求 的取值范围; (2)求 中点 的轨迹的参数方程. 10.(2018 江苏)C.[选修 4—4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) 在极坐标系中,直线 的方程为 ,曲线 的方程为 ,求直线 被曲线 截得的弦长. 11.(2017 新课标Ⅰ)在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ,( 为参 数),直线 的参数方程为 ( 为参数). (1)若 ,求 与 的交点坐标; (2)若 上的点到 距离的最大值为 ,求 . 12.(2017 新课标Ⅱ)在直角坐标系 中,以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立 极坐标系,曲线 的极坐标方程为 . (1) 为曲线 上的动点,点 在线段 上,且满足 ,求点 的 轨迹 的直角坐标方程; (2)设点 的极坐标为 ,点 在曲线 上,求 面积的最大值. 13.(2017 新课标Ⅲ)在直角坐标系 中,直线 的参数方程为 ( 为参数), 直线 的参数方程为 ( 为参数).设 与 的交点为 ,当 变化时, 的轨迹为曲线 . C l (1, 2) l xOy O cos sin x y θ θ =  = θ (0, 2)− α l O A B α AB P l πsin( ) 26 ρ θ− = C 4cosρ θ= l C xOy C 3cos sin x y θ θ =  = θ l 4 1 x a t y t = +  = − t 1a = − C l C l 17 a xOy x 1C cos 4ρ θ = M 1C P OM | | | | 16OM OP⋅ = P 2C A (2, )3 π B 2C OAB∆ xOy 1l 2x t y kt = +  = t 2l 2x m my k = − + = m 1l 2l P k P C (1)写出 的普通方程; (2)以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设 : , 为 与 的交点,求 的极径. 14.(2017 江苏)在平面坐标系中 中,已知直线 的参考方程为 ( 为参 数),曲线 的参数方程为 ( 为参数).设 为曲线 上的动点,求点 到直线 的距离的最小值. 15.(2016 年全国 I)在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 (t 为参 数,a>0).在以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 : . (I)说明 是哪种曲线,并将 的方程化为极坐标方程; (II)直线 的极坐标方程为 ,其中 满足 ,若曲线 与 的公共点 都在 上,求 a. 16.(2016 年全国 II)在直角坐标系 中,圆 C 的方程为 . (I)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求 C 的极坐标方程; (II)直线 l 的参数方程是 (t 为参数),l 与 C 交于 A、B 两点, , 求 l 的斜率. 17.(2016 年全国 III)在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为 参数),以坐标原点为极点,以 x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 的极坐标 方程为 . (Ⅰ)写出 的普通方程和 的直角坐标方程; C x 3l (cos sin )ρ θ θ+ − 2 0= M 3l C M xOy l 8 2 x t ty = − + = t C 22 2 2 x s y s  = = s P C P l xOy 1C cos 1 sin x a t y a t =  = + x 2C 4cosρ θ= 1C 1C 3C 0=aθ 0a 0tan =2a 1C 2C 3C xOy ( )2 26 25x y+ + = cos sin x t y t α α =  = 10AB = xOy 1C 3 cos sin x y α α  = = α 2C sin( ) 2 24 ρ θ π+ = 1C 2C (Ⅱ)设点 P 在 上,点 Q 在 上,求 的最小值及此时 P 的直角坐标. 18.(2016 江苏)在平面直角坐标系 中,已知直线 的参数方程为 , 椭圆 的参数方程为 ,设直线 与椭圆 相交于 两点,求线 段 的长. 19 .( 2015 新 课 标 Ⅰ ) 在 直 角 坐 标 系 中 , 直 线 : , 圆 : ,以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求 , 的极坐标方程; ( Ⅱ ) 若 直 线 的 极 坐 标 方 程 为 , 设 与 的 交 点 为 , , 求 的面积. 20.(2015 新课标Ⅱ)在直角坐标系 中,曲线 : ( 为参数, ≠0) 其中 ,在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 : , : . (Ⅰ)求 与 交点的直角坐标; (Ⅱ)若 与 相交于点 A, 与 相交于点 B,求 的最大值. 21.(2015 江苏)已知圆 C 的极坐标方程为 ,求圆 C 的半径. 22.(2015 陕西)在直角坐标系 中,直线 的参数方程为 ( 为参数).以 原 点 为 极 点 , 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 , ⊙ 的 极 坐 标 方 程 为 . (Ⅰ)写出⊙ 的直角坐标方程; (Ⅱ) 为直线 上一动点,当 到圆心 的距离最小时,求 的直角坐标. 1C 2C | |PQ xOy l ( ) 11 ,2 3 ,2 x t t y t  = +  = 为参数 C ( )cos , 2sin , x y θ θθ =  = 为参数 l C ,A B AB xOy 1C 2x = − 2C 2 2( 1) ( 2) 1x y− + − = x 1C 2C 3C ( ) 4 R πθ ρ= ∈ 2C 3C M N 2C MN∆ xOy 1C cos , sin , x t y t α α =  = t t 0 α π 1 2a = + 2.1【解析】圆的普通方程为 ,即 . 设圆心为 ,所以 . 3.2【解析】直线的普通方程为 , 圆的普通方程为 , 因为圆心到直线的距离 ,所以有两个交点. 4.2【解析】将 化为直角坐标方程为 ,将 ρ=2cos θ 化为直角坐标方程为 ,圆心坐标为(1,0),半径 r=1,又(1,0)在直线 上,所以|AB|=2r=2. 5. 【解析】由 得 ,所以 , 故直线 的直角坐标方程为 ,而点 对应的直角坐标为 ,所以点 到直线 : 的距离为 . 6.6【解析】圆 即 ,化为直角坐标方程为 , 直线 ,则 ,化为直角坐标方程为 ,圆心 到直线 的距离为 ,所以圆上的点到直线距离的最大值为 6. 7.【解析】(1)由 , 得 的直角坐标方程为 . (2)由(1)知 是圆心为 ,半径为 的圆. 由题设知, 是过点 且关于 轴对称的两条射线.记 轴右边的射线为 , 轴左边的射线为 .由于 在圆 的外面,故 与 有且仅有三个公共点等价于 与 只有一个公共点且 与 有两个公共点,或 与 只有一个公共点且 与 有 两个公共点. 2 2 2 4 4 0x y x y+ − − + = 2 2( 1) ( 2) 1x y− + − = (1,2)C min| | | | 2 1 1AP PC r= − = − = 2 3 2 1 0x y+ + = 2 2( 1) 1x y+ − = 3 14d = < cos 3 sin 1 0ρ θ ρ θ− − = 3 1 0x y− − = 2 2( 1) 1x y− + = 3 1 0x y− − = 5 2 2 2 sin( ) 24 πρ θ - = 22 (sin cos ) 22 ρ θ θ´ - = 1y x- = l 1 0x y- + = 7(2 2, )4A π (2, 2)A - (2, 2)A - l 1 0x y- + = | 2 2 1| 5 2 22 + + = 8sinρ θ= 2 8 sinρ ρ θ= 2 2( 4) 16x y+ - = 3 πθ = tan 3θ = 3 0x y- = (0,4) | 4 | 2 4 - = cosx ρ θ= siny ρ θ= 2C 2 2( 1) 4x y+ + = 2C ( 1,0)A − 2 1C (0,2)B y y 1l y 2l B 2C 1C 2C 1l 2C 2l 2C 2l 2C 1l 2C 当 与 只有一个公共点时, 到 所在直线的距离为 ,所以 ,故 或 . 经检验,当 时, 与 没有公共点;当 时, 与 只有一个公共点, 与 有两个公共点. 当 与 只有一个公共点时, 到 所在直线的距离为 ,所以 ,故 或 . 经检验,当 时, 与 没有公共点;当 时, 与 没有公共点. 综上,所求 的方程为 . 8.【解析】(1)曲线 的直角坐标方程为 . 当 时, 的直角坐标方程为 , 当 时, 的直角坐标方程为 . (2)将 的参数方程代入 的直角坐标方程,整理得关于 的方程 .① 因为曲线 截直线 所得线段的中点 在 内,所以①有两个解,设为 , ,则 . 又 由 ① 得 , 故 , 于 是 直 线 的 斜 率 . 9.【解析】(1) 的直角坐标方程为 . 当 时, 与 交于两点. 当 时 , 记 , 则 的 方 程 为 . 与 交 于 两 点 当 且 仅 当 ,解得 或 ,即 或 . 1l 2C A 1l 2 2 | 2 | 2 1 k k − + = + 4 3k = − 0k = 0k = 1l 2C 4 3k = − 1l 2C 2l 2C 2l 2C A 2l 2 2 | 2 | 2 1 k k + = + 0k = 4 3k = 0k = 1l 2C 4 3k = 2l 2C 1C 4 | | 23y x= − + C 2 2 14 16 + =x y cos 0α ≠ l tan 2 tanα α= ⋅ + −y x cos 0α = l 1=x l C t 2 2(1 3cos ) 4(2cos sin ) 8 0α α α+ + + − =t t C l (1,2) C 1t 2t 1 2 0+ =t t 1 2 2 4(2cos sin ) 1 3cos α α α ++ = − +t t 2cos sin 0α α+ = l tan 2α= = −k O 2 2 1x y+ = 2 α π= l O 2 α π≠ tan kα = l 2y kx= − l O 2 2| | 1 1 k < + 1k < − 1k > ( , )4 2 α π π∈ ( , )2 4 α π 3π∈ 综上, 的取值范围是 . (2) 的参数方程为 为参数, . 设 , , 对应的参数分别为 , , ,则 , 且 , 满足 . 于是 , .又点 的坐标 满足 所以点 的轨迹的参数方程是 为参数, . 10.C.【解析】因为曲线 的极坐标方程为 , 所以曲线 的圆心为 ,直径为 4 的圆. 因为直线 的极坐标方程为 , 则直线 过 ,倾斜角为 , 所以 A 为直线 与圆 的一个交点. 设另一个交点为 B,则∠OAB= . 连结 OB,因为 OA 为直径,从而∠OBA= , 所以 . 因此,直线 被曲线 截得的弦长为 . x B O A l α ( , )4 4 π 3π l cos , ( 2 sin x t t y t α α = = − + 4 4 απ 3π< < ) A B P At Bt Pt 2 A B P t tt += At Bt 2 2 2 sin 1 0t t α− + = 2 2 sinA Bt t α+ = 2 sinPt α= P ( , )x y cos , 2 sin . P P x t y t α α = = − + P 2 sin 2 ,2 2 2 cos22 2 x y α α  =  = − − (α 4 4 απ 3π< < ) C =4cosρ θ C (2,0) l πsin( ) 26 ρ θ− = l (4,0)A π 6 l C π 6 π 2 π4cos 2 36AB = = l C 2 3 11.【解析】(1)曲线 的普通方程为 . 当 时,直线 的普通方程为 . 由 解得 或 . 从而 与 的交点坐标为 , . (2)直线 的普通方程为 ,故 上的点 到 的距离为 . 当 时, 的最大值为 .由题设得 ,所以 ; 当 时, 的最大值为 .由题设得 ,所以 . 综上, 或 . 12.【解析】(1)设 的极坐标为 , 的极坐标为 . 由椭圆知 , . 由 得 的极坐标方程 . 因此 的直角坐标方程为 . (2)设点 的极坐标为 .由题设知 , ,于是 面积 C 2 2 19 x y+ = 1a = − l 4 3 0x y+ − = 2 2 4 3 0 19 x y x y + − = + = 3 0 x y =  = 21 25 24 25 x y  = −  = C l (3,0) 21 24( , )25 25 − l 4 4 0x y a+ − − = C (3cos ,sin )θ θ l | 3cos 4sin 4 | 17 ad θ θ+ − −= 4a −≥ d 9 17 a + 9 17 17 a + = 8a = 4a < − d 1 17 a− + 1 17 17 a− + = 16a = − 8a = 16a = − P ( , )ρ θ ( 0)ρ > M 1( , )ρ θ 1( 0)ρ > | |OP ρ= 1 4| | cosOM ρ θ= = | | | | 16OM OP⋅ = 2C 4cosρ θ= ( 0)ρ > 2C 2 2( 2) 4( 0)x y x− + = ≠ B ( , )B ρ α ( 0)B ρ > | | 2OA = 4cosB ρ α= OAB∆ 1 | | sin2 BS OA AOBρ= ⋅ ⋅ ∠ 4cos | sin( ) |3 πα α= − 32 | sin(2 ) |3 2 πα= − − . 当 时, 取得最大值 . 所以 面积的最大值为 . 13.【解析】(1)消去参数 得 的普通方程 ; 消去参数 得 的普通方程 . 设 ,由题设得 ,消去 得 . 所以 的普通方程为 (2) 的极坐标方程为 联立 得 . 故 ,从而 代入 得 ,所以交点 的极径为 . 14.【解析】直线 的普通方程为 . 因为点 在曲线 上,设 , 从而点 到直线 的的距离 , 当 时, . 因此当点 的坐标为 时,曲线 上点 到直线 的距离取到最小值 . 15.【解析】(1) ( 均为参数) ∴ ① cos 1 sin x a t y a t =  = + t ( )22 21x y a+ − = 2 3+≤ 12 πα = − S 2 3+ OAB∆ 2 3+ t 1l ( ):l y k x= −1 2 m 2l ( ):l y xk = +2 1 2 ( , )P x y ( ) ( ) y k x y xk  = − = + 2 1 2 k ( )x y y− = ≠2 2 4 0 C ( )x y y− = ≠2 2 4 0 C ( )cos sinρ θ θ− =2 2 2 4 ( ),θ π θ π≠0< <2 ( ) ( ) cos sin cos sin ρ θ θ ρ θ θ  − =  2 2 2 4 + - 2=0 ( )cos sin cos sinθ θ θ θ− =2 + tanθ = − 1 3 cos sinθ θ2 29 1= , =10 10 ( )cos sinρ θ θ2 2 2- =4 ρ 2=5 M 5 l 2 8 0x y− + = P C 2(2 ,2 2 )P s s P l 2 2 2 2 | 2 4 2 8| 2( 2) 4 5( 1) ( 2) s s sd − + − += = − + − 2s = min 4 5 5d = P (4,4) C P l 4 5 5 ∴ 为以 为圆心, 为半径的圆.方程为 ∵ ∴ 即为 的极坐标方程 (2) 两边同乘 得 即 ② :化为普通方程为 ,由题意: 和 的公共方程所在直线即为 ①—②得: ,即为 ∴ ,∴ 16.【解析】(Ⅰ)整理圆的方程得 , 由 可知圆 的极坐标方程为 . (Ⅱ)记直线的斜率为 ,则直线的方程为 , 由垂径定理及点到直线距离公式知: , 即 ,整理得 ,则 . 17.【解析】(Ⅰ) 的普通方程为 , 的直角坐标方程为 . (Ⅱ)由题意,可设点 的直角坐标为 ,因为 是直线, 所以 的最小值,即为 到 的距离 的最小值, . 当且仅当 时, 取得最小值,最小值为 , 1C ( )0 1, a 2 2 22 1 0x y y a+ − + − = 2 2 2 sinx y yρ ρ θ+ = =, 2 22 sin 1 0aρ ρ θ− + − = 1C 2 4cosC ρ θ=: ρ 2 2 2 24 cos cosx y xρ ρ θ ρ ρ θ= = + = , 2 2 4x y x∴ + = ( )2 22 4x y− + = 3C 2y x= 1C 2C 3C 24 2 1 0x y a− + − = 3C 21 0a− = 1a = 2 2 12 11 0x y+ + + = 2 2 2 cos sin x y x y ρ ρ θ ρ θ  = +  =  = C 2 12 cos 11 0ρ ρ θ+ + = k 0kx y− = 2 2 6 1025 21 k k  − = −   +   2 2 36 90 1 4 k k =+ 2 5 3k = 15 3k = ± 1C 2 2 13 x y+ = 2C 4 0x y+ − = P ( 3 cos ,sin )α α 2C | |PQ P 2C ( )d α | 3 cos sin 4 |( ) 2 | sin( ) 2 |32 d α α πα α+ −= = + − 2 ( )6k k Z πα π= + ∈ ( )d α 2 此时 的直角坐标为 . 18.【解析】椭圆 的普通方程为 ,将直线 的参数方程 , 代入 ,得 ,即 , 解得 , . 所以 . 19.【解析】(Ⅰ)因为 , ∴ 的极坐标方程为 , 的极坐标方程为 . (Ⅱ)将 代入 ,得 , 解得 = , = ,|MN|= - = , 因为 的半径为 1,则 的面积 = . 20.【解析】(Ⅰ)曲线 的直角坐标方程为 ,曲线 的直角坐标方程为 .联立 解得 或 所以 与 交点的直角坐标为 和 . (Ⅱ)曲线 的极坐标方程为 ,其中 . 因此 得到极坐标为 , 的极坐标为 . 所以 , P 3 1( , )2 2 C 2 2 14 yx + = l 11 2 3 2 x t y t  = +  = 2 2 14 yx + = 2 2 3( )1 2(1 ) 12 4 t t+ + = 27 16 0t t+ = 1 0t = 2 16 7t = − 1 2 16| | 7AB t t= − = cos , sinx yρ θ ρ θ= = 1C cos 2ρ θ = − 2C 2 2 cos 4 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − + = = 4 πθ 2 2 cos 4 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − + = 2 3 2 4 0ρ ρ− + = 1 ρ 2 2 2 ρ 2 1 ρ 2 ρ 2 2C 2C MN o1 2 1 sin 452 × × × 1 2 2C 2 2 2 0x y y+ − = 3C 2 2 2 3 0x y x+ − = 2 2 2 2 2 0, 2 3 0, x y y x y x  + − = + − = 0, 0, x y =  = 3 ,2 3 ,2 x y  =  = 2C 1C (0,0) 3 3( , )2 2 1C ( , 0)Rθ α ρ ρ= ∈ ≠ 0 α π≤ < A (2sin , )α α B (2 3 cos , )α α 2sin 2 3 cosAB α α= − 4 in( )3s πα= − 当 时, 取得最大值,最大值为 . 21.【解析】 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 ,以极轴为 轴的正半轴,建 立直角坐标系 . 圆 的极坐标方程为 , 化简,得 . 则圆 的直角坐标方程为 , 即 ,所以圆 的半径为 . 22.【解析】(Ⅰ)由 , 从而有 . (Ⅱ)设 , 则 , 故当 =0 时,| |取最小值,此时 点的直角坐标为 . 23.【解析】 ……5 分 (Ⅱ) 22 3sin , 2 3 sinρ θ ρ ρ θ= =得 ( )22 2 2+ 2 3 , + 3 3x y y x y= − =所以 1 3(3 t, t), C(0, 3)2 2P + 又 22 21 3| PC | 3 3 122 2t t t   = + + − = +        5 6 πα = AB 4 Ο x xoy C 2 2 22 2 sin cos 4 02 2 ρ ρ θ θ + − − =    2 2 sin 2 cos 4 0ρ ρ θ ρ θ+ − − = C 2 2 2 2 4 0x y x y+ − + − = ( ) ( )2 21 1 6x y− + + = C 6 t PC P (3,0) 2cos .( ).3sin . x y θ θθ =  = (I )曲线C的参数方程为 为参数 6 0.l x y+ − =直线 的普通方程为2 cos sin lθ θ曲线C上任意一点P( 2 . 3 ) 到 的距离为 5 4cos 3sin 6 .5d θ θ= + − 2 5 45sin( ) 6 , tan .sin30 5 3 dPA θ α α α= = + − =°则 其中 为锐角,且 22 5sin .5PAθ α当 ( + ) =- 1时, 取得最大值,最大值为 24.【解析】(I)C 的普通方程为 . 可得 C 的参数方程为 (t 为参数, ) (Ⅱ)设 D .由(I)知 C 是以 G(1,0)为圆心,1 为半径的上半圆。 因为 C 在点 D 处的切线与 t 垂直,所以直线 GD 与 t 的斜率相同, . 故 D 的直角坐标为 ,即 . 25.【解析】将 消去参数 ,化为普通方程 , 即 : ,将 代入 得, , ∴ 的极坐标方程为 ; (Ⅱ) 的普通方程为 , 由 解得 或 , ∴ 与 的交点的极坐标分别为( ), . 26.【解析】(Ⅰ)由题意有 因此 的轨迹的参数方程为 ( ) (Ⅱ) 点到坐标原点的距离 ( ) 4 5cos 5 5sin x t y t = +  = + t 2 2( 4) ( 5) 25x y− + − = 1C 2 2 8 10 16 0x y x y+ − − + = cos sin x y ρ θ ρ θ =  = 2 2 8 10 16 0x y x y+ − − + = 2 8 cos 10 sin 16 0ρ ρ θ ρ θ− − + = 1C 2 8 cos 10 sin 16 0ρ ρ θ ρ θ− − + = 2C 2 2 2 0x y y+ − = 2 2 2 2 8 10 16 0 2 0 x y x y x y y  + − − + = + − = 1 1 x y =  = 0 2 x y =  = 1C 2C 2, 4 π (2, )2 π 2 5sin( ) 1 .5PAθ α+ =当 时, 取得最小值,最小值为 2 2( 1) 1(0 1)x y y− + = ≤ ≤ 1 cos , sin , x t y t = +  = 0 t x≤ ≤ (1 cos ,sin )t t+ tan 3, 3t t π= = (1 cos ,sin )3 3 π π+ 3 3( , )2 2 ( ) ( )2cos ,2sin , 2cos2 ,2sin 2 ,P Qα α α α ( )cos cos2 ,sin sin 2M α α α α+ + M cos cos2 , sin sin 2 , x y α α α α = +  = + 0 2α π< < M 2 2 2 2cosd x y α= + = + 0 2α π< 查看更多

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