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专题十六 不等式选讲
第四十二讲 不等式选讲
答案部分
2019 年
1.解析（1）因为 ，又 ，故有
.
所以 .
（2）因为 为正数且 ，故有
=24.
所以 .
2．解析（1）当 a=1 时， .
当 时， ；当 时， .
所以，不等式 的解集为 .
（2）因为 ，所以 .
当 ， 时，
所以， 的取值范围是 .
3．解析（1）由于
，
2 2 2 2 2 22 , 2 , 2a b ab b c bc c a ac+ ≥ + ≥ + ≥ 1abc =
2 2 2 1 1 1ab bc caa b c ab bc ca abc a b c
+ ++ + ≥ + + = = + +
2 2 21 1 1 a b ca b c
+ + ≤ + +
, , a b c 1abc =
3 3 3 3 3 33( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( )a b b c c a a b b c a c+ + + + + ≥ + + +
=3( + )( + )( + )a b b c a c
3 (2 ) (2 ) (2 )ab bc ac≥ × × ×
3 3 3( ) ( ) ( ) 24a b b c c a+ + + + + ≥
( )=| 1| +| 2|( 1)f x x x x x− − −
1x < 2( ) 2( 1) 0f x x= − − < 1x ≥ ( ) 0f x ≥ ( ) 0f x < ( ,1)−∞ ( )=0f a 1a ≥ 1a ≥ ( ,1)x∈ −∞ ( )=( ) +(2 )( )=2( )( 1)
(0,1)x∈ | 1| | 1|x ax x+ − − > (0,1)x∈ | 1| 1ax − < 0≤a (0,1)x∈ | 1| 1− ≥ax 0a > | 1| 1ax − < 20 x a < < 2 1≥ a 0 2< ≤a a (0,2]
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2．【解析】(1)当 时，
可得 的解集为 ．
(2) 等价于 ．
而 ， 且 当 时 等 号 成 立 ． 故 等 价 于
．
由 可得 或 ，所以 的取值范围是 ．
3．【解析】(1)
的图像如图所示．
(2)由(1)知， 的图像与 轴交点的纵坐标为 2，且各部分所在直线斜率的最大
值为 3，故当且仅当 且 时， 在 成立，因此 的
最小值为 5．
4．D．【证明】由柯西不等式，得 ．
因为 ，所以 ，
1=a
2 4, 1,
( ) 2, 1 2,
2 6, 2.
+ −
= −
≤
≤
x x
f x x
x x
( ) 0≥f x { | 2 3}− ≤ ≤x x
( ) 1≤f x | | | 2 | 4+ + − ≥x a x
| | | 2 | | 2 |+ + − +≥x a x a 2=x ( ) 1≤f x
| 2 | 4+ ≥a
| 2 | 4+ ≥a 6−≤a 2≥a a ( , 6] [2, )−∞ − +∞
13 , ,2
1( ) 2, 1,2
3 , 1.
x x
f x x x
x x
− < − = + − 2 4 0x x+ − ≤ 1 171 2x
− +< ≤ ( ) ( )f x g x≥ 1 17{ | 1 }2x x − +− < ≤ [ 1,1]x∈ − ( ) 2g x = ( ) ( )f x g x≥ [ 1,1]− [ 1,1]x∈ − ( ) 2f x ≥ ( )f x [ 1,1]− ( 1)f − (1)f ( 1) 2f − ≥ (1) 2f ≥ 1 1a− ≤ ≤ a [ 1,1]− 5 5 6 5 5 6( )( )a b a b a ab a b b+ + = + + + 3 3 2 3 3 4 4( ) 2 ( )a b a b ab a b= + − + + 2 2 24 ( )ab a b= + − 4≥ 3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b+ = + + + 2 3 ( )ab a b= + + 23( )2 ( )4 a b a b ++ +≤
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，
所以 ，因此 ．
7．【解析】（1） ，
当 时， 无解；
当 时，由 得， ，解得
当 时，由 解得 ．
所以 的解集为 ．
（2）由 得 ，而
且当 时， ．
故 m 的取值范围为 ．
8．【解析】证明：由柯西不等式可得： ，
因为
所以 ，
因此 .
9．【解析】(1)如图所示：
33( )2 4
a b+= +
3( ) 8a b+ ≤ 2a b+ ≤
3, 1
( ) 2 1, 1 2
3, 2
x
f x x x
x
− < − = − − >
≤ ≤
1x < − ( )f x 1≥ x−1 2≤ ≤ ( )f x 1≥ x −2 1 1≥ x1 2≤ ≤ ＞2x ( )f x 1≥ ＞2x ( )f x 1≥ { }x x 1≥ ( )f x x x m− +2≥ m x x x x+ − − − +21 2≤ x x x x x x x x+ − − − + − − +2 21 2 +1+ 2≤ x 23 5 5=- - +2 4 4 ≤ 3 2x = 2 51 2 =4x x x x+ − − − + 5- ， 4 ∞ 2 2 2 2 2( ) ( )( )ac bd a b c d+ + +≤ 2 2 2 24, 16,a b c d+ = + = 2( ) 64ac bd+ ≤ 8ac bd+ ≤
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(2)
， ．
当 ， ，解得 或 ， ．
当 ， ，解得 或 ，
或 ，
当 ， ，解得 或 ， 或 ，
综上， 或 或 ，
，解集为 ．
10．【解析】（I）当 时， ，若 ；
当 时， 恒成立；
当 时， ，若 ， ．
综上可得， ．
（Ⅱ）当 时，有 ，
即 ，
则 ，
则 ，
即 ，
证毕．
( )
4 1
33 2 1 2
34 2
x x
f x x x
x x
− −
= − − <
1x −≤ 4 1x − > 5x > 3x < 1x −∴ ≤ 31 2x− < < 3 2 1x − > 1x > 1
3x < 11 3x− < 5x > 3x < 3 32 x
1
3x < 1 3x< < 5x >
( ) 1f x >∴ ( ) ( )1 1 3 53
−∞ + ∞ ， ， ，
1
2x < − ( ) 1 1 22 2f x x x x= − − − = − 11 2x− < < − 1 1 2 2x− ≤ ≤ ( ) 1 1 1 22 2f x x x= − + + = < 1 2x > ( ) 2f x x= ( ) 2f x < 1 12 x
2 2 2 21a b a b+ > +
2 2 2 22 1 2a b ab a ab b+ + + > + +
( ) ( )2 21ab a b+ > +
1a b ab+ < +
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11．【解析】（Ⅰ）当 时， .
解不等式 ，得 .
因此， 的解集为 .
（Ⅱ）当 时，
，当 时等号成立，
所以当 时， 等价于 . ①
当 时，①等价于 ，无解.
当 时，①等价于 ，解得 .
所以 的取值范围是 .
12．【解析】（Ⅰ）当 时，不等式 化为 ，
当 时，不等式化为 ，无解；
当 时，不等式化为 ，解得 ；
当 时，不等式化为 ，解得 ．
所以 的解集为 ．
（Ⅱ）有题设可得， ，所以函数 图象与 轴围成
的三角形的三个顶点分别为 ， 的面积为
．有题设得 ，故 ．所以 的取值范围为 ．
13．【解析】（Ⅰ）∵ ， ，
由题设 ， 得 ．
因此 ．
（Ⅱ）（ⅰ）若 ，则 ，
即 ．
因为 ，所以 ，由（Ⅰ）得 ．
（ⅱ）若 ， 则 ，
2a = ( ) | 2 2 | 2f x x= − +
| 2 2 | 2 6x − + 1 3x−
( ) 6f x ≤ { | 1 3}x x−
x R∈ ( ) ( ) | 2 | |1 2 |f x g x x a a x+ = − + + −
| 2 1 2 |x a x a− + − + |1 |a a= − + 1
2x =
x R∈ ( ) ( ) 3f x g x+ |1 | 3a a− +
1a 1 3a a− +
1a > 1 3a a− + 2a
a [2, )+∞
1a = ( ) 1f x > | 1| 2 | 1| 1 0x x+ − − − >
1x −≤ 4 0x − >
1 1x− < < 3 2 0x − > 2 13 x< < 1x≥ 2 0x− + > 1 2x 2{ | 2}3x x< < 1 2 , 1 ( ) 3 1 2 , 1 1 2 , x a x f x x a x a x a x a − − < − = + − − − + + >
≤ ≤ ( )f x x
2 1( ,0), (2 1,0), ( , 1)3
aA B a C a a
− + + ABC∆
22 ( 1)3 a + 22 ( 1) 63 a + > 2a > a (2, )+∞
2( ) 2a b a b ab+ = + + 2( ) 2c d c d cd+ = + +
a b c d+ = + ab cd> 2 2( ) ( )a b c d+ > +
a b c d+ > +
| | | |a b c d− < − 2 2( ) ( )a b c d− < − 2 2( ) 4 ( ) 4a b ab c d cd+ − < + − a b c d+ = + ab cd> a b c d+ > +
a b c d+ > + 2 2( ) ( )a b c d+ > +
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即 ．
因为 ，所以 ，
于是 ．
因此 ，
综上 是 的充要条件．
14．【解析】（I）由 ，得 ，且当 时取等号．
故 ，且当 时取等号．
所以 的最小值为 ．
（II）由（I）知， ．由于 ，从而不存在 ，
使得 ．
15．【解析】（I）由 ，有 ．
所以 ≥2.
（Ⅱ） .
当时 ＞3 时， = ，由 ＜5 得 3＜ ＜ ．
当 0＜ ≤3 时， = ，由 ＜5 得 ＜ ≤3．
综上， 的取值范围是（ ， ）．
16．【解析】(Ⅰ)当 = 2时，不等式 ＜ 化为 ，a ( )f x ( )g x | 2 1| | 2 2 | 3 0x x x− + − − − < 2 2a b ab c d cd+ + > + +
a b c d+ = + ab cd>
2 2 2 2( ) ( ) 4 ( ) 4 ( )a b a b ab c d cd c d− = + − < + − = − | | | |a b c d− < − a b c d+ > + | | | |a b c d− < − 1 1 2ab a b ab = + ≥ 2ab ≥ 2a b= = 3 3a b+ 3 32 4 2a b≥ ≥ 2a b= = 3 3a b+ 4 2 2 3 2 6 4 3a b ab+ ≥ ≥ 4 3 6> ,a b
2 3 6a b+ =
0a > ( )f x 1 1 1( ) 2x x a x x a aa a a
= + + − ≥ + − − = + ≥
( )f x
1(3) 3 3f aa
= + + −
a (3)f 1a a
+ (3)f a 5 21
2
+
a (3)f 16 a a
− + (3)f 1 5
2
+
a
a 1 5
2
+ 5 21
2
+
−
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设函数 = ， = ，
其图像如图所示，从图像可知，当且仅当 时， ＜0，
∴原不等式解集是 ．
（Ⅱ）当 ∈[ ， )时， = ，不等式 ≤ 化为 ，
∴ 对 ∈[ ， )都成立，故 ，即 ≤ ，
∴ 的取值范围为( 1， ]．
17．【解析】（Ⅰ） 得
由题设得 ，即 ．
所以 ，即
（Ⅱ）∵
∴
即
y | 2 1| | 2 2 | 3x x x− + − − − y
15 , 2
12, 12
3 6, 1
x x
x x
x x
−
(0,2)x∈ y
y
x21
1
2
{ | 0 2}x x< < x 2 a− 1 2 ( )f x 1 a+ ( )f x ( )g x x 2 a− 1 2 2 a− 2a − a 4 3 a 4 3 1 3a x+ +≤ 2x a −≥ ≥ − 2 2 2 2 2 22 , 2 , 2a b ab b c bc c a ca+ ≥ + ≥ + ≥ 2 2 2a b c ab bc ca+ + ≥ + + ( )2 1a b c+ + = 2 2 2 2 2 2 1a b c ab bc ca+ + + + + = ( )3 1ab bc ca+ + ≤ 1 3ab bc ca+ + ≤ 2 2 2 2 , 2 , 2a b cb a c b a cb c a + ≥ + ≥ + ≥ 2 2 2 ( ) 2( )a b c a b c a b cb c a + + + + + ≥ + + 2 2 2a b c a b cb c a + + ≥ + +
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∴
18．【解析】(1)当 时，
或 或
或 ．
(2)原命题 在 上恒成立
在 上恒成立
在 上恒成立
．
19．【解析】（Ⅰ）当 时， 可化为 ．
由此可得 或 ．
故不等式 的解集为 或 ．
( Ⅱ) 由 得 ，
此不等式化为不等式组 或 ，
即 或 ，
因为 ，所以不等式组的解集为 ，
由题设可得 = ，故 ．
1a = ( ) 3 2f x x≥ + | 1| 2x − ≥
3x ≥ 1x ≤ −
( ) 3 2f x x≥ + { | 3x x ≥ 1}x ≤ −
( ) 0f x ≤ 3 0x a x− + ≤
3 0
x a
x a x
≥
− + ≤ 3 0
x a
a x x
≤
− + ≤
0a > { }| 2
ax x ≤ −
2
a− 1− 2a =
2 2 2
1a b c
b c a
+ + ≥
3a = − ( ) 3 3 2 3f x x x⇔ − + −
2
3 2 3
x
x x
⇔ − + −
2 3
3 2 3
x
x x
<
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