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专题二 函数概念与基本初等函数Ⅰ
第六讲 函数综合及其应用
答案部分
1．A【解析】解法一 函数 的图象如图所示，当 的图象经过点 时，可
知 ．当 的图象与 的图象相切时，由 ，得
，由 ，并结合图象可得 ，要使 恒成立，当
时 ， 需 满 足 ， 即 ， 当 时 ， 需 满 足 ， 所 以
．
解法二 由题意 时， 的最小值 2，所以不等式 等价于
在 上恒成立．
当 时，令 ，得 ，不符合题意，排除 C、D；
当 时，令 ，得 ，不符合题意，排除 B；
选 A．
2．B【解析】由 知 的图像关于直线 对称，
又函数 的图像也关于直线 对称，
所以这两个函数图像的交点也关于直线 对称，
不妨设 ，则 ，即 ，
同理 ，……，由 ，
x
y
–1–2–3–4 1 2 3 4
–1
1
2
3
4
5
6
O
( )f x | |2
xy a= + (0,2)
2a = ±
2
xy a= + 2y x x
= + 2
2
x a x x
+ = +
2 2 4 0x ax− + = 0∆ = 2a = ( ) | |2
xf x a+≥
0a ≤ 2a− ≤ 2 0a− ≤ ≤ 0a > 2a ≤
2 2a− ≤ ≤
0x = ( )f x ( ) | |2
xf x a+≥
| | 22
x a+ ≤ R
2 3a = 0x = | 2 3 | 22
x + >
2 3a = − 0x = | 2 3 | 22
x − >
( ) (2 )f x f x= − ( )f x 1x =
2 2| 2 3| |( 1) 4 |y x x x= − − = − − 1x =
1x =
1 2 mx x x< < ⋅⋅⋅ < 1 12 mx x+ = 1 2mx x+ = 2 1 2mx x −+ = 1 2 1 m i m i x x x x = = + + ⋅⋅⋅+∑
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所以 ，
所以 ，故选 B．
3．B【解析】由已知可设 ，则 ，因为 为偶函
数，所以只考虑 的情况即可．若 ，则 ，所以 ．故选 B．
4．B【解析】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗
油量 升．而这段时间内行驶的里程数 千米．所以这
段时间内，该车每 100 千米平均耗油量为 升，故选 B．
5 ． B 【 解 析 】 采 用 特 殊 值 法 ， 若 ， 则
， ， ， ，由此
可知最低的总费用是 ．
6．B【解析】由题意可知 过点（3，0.7），（4，0.8）（5，0.5），
代入 中可解得 ，
∴
∴当 分钟时，可食用率最大．
7．D【解析】设年平均增长率为 ，原生产总值为 ，则 ，解得
，故选 D．
8．A【解析】解法一 由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点(0，0)，(2，0)，在(0，
0)处的切线方程为 y= -x，在(2，0)处的切线方程为 y= 3x-6，以此对选项进行检验．A
选项， ，显然过两个定点，又 ，
则 ，故条件都满足，由选择题的特点知应选 A．
解法二 设该三次函数为 ，则
2 ( 0)( )
2 ( 0)−
≥=
2 26 2 4 4x b x x+ − − > − 3y x b= + 24y x= − 3y x b= +
2 2 4( 0)x y y+ = ≥ | | 2
10
b > 2 10b >
b (2 10, )+∞
y x m
34m 1m 4 mx
2 4 4 420 4 10(2 ) 80 20( ) 80 20 2 160y x x xx x x
×= × + + = + + + × ⋅ =≥
( ) Af x ∈ ⇔ ( )y f x= x D∈
R ( )y f x= x D∈ ,R b R a D⇔ ∀ ∈ ∃ ∈
( )f a b= | |1( ) ( )2
xf x = (0,1]
[ 1,1]− ( )f x B∈ ( )f x
( ) ( )f x g x B+ ∈ 1M ( ) ( )f x g x B+ ∈
1 1[ , ]M M− 1M− ≤ ( )f x 1( )g x M+ ≤ ( )g x B∈ 2M
( )g x 2 2[ , ]M M− 2 2( )M g x M− ≤ ≤
2 2( )M g x M− ≤- ≤ 1 2( )M M− + ( )f x 1 2M M+
( )f x B∈ ( )f x A∈ ( ) ( )f x g x B+ ∉
0a > , ( )x f x→ +∞ → +∞ 0a < 2, ( )x f x→ − → +∞ ( )f x 0a = 2( ) 1 xf x x = + ( 2, )− +∞
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，所以 ，即④正确，故填①③④．
17．【解析】(1)当 时， 恒成立，公交群体的人均通勤时间不可能
少于自驾群体的人均通勤时间；
当 时，若 ，即 ，解得 （舍）或
；
∴当 时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；
(2)设该地上班族总人数为 ，则自驾人数为 ，乘公交人数为 ．
因此人均通勤时间 ，
整理得： ，
则当 ，即 时， 单调递减；
当 时， 单调递增．
实际意义：当有 的上班族采用自驾方式时，上班族整体的人均通勤时间最短．
适当的增加自驾比例，可以充分的利用道路交通，实现整体效率提升；但自驾人数过多，
则容易导致交通拥堵，使得整体效率下降．
18．【解析】（1）由题意知，点 ， 的坐标分别为 ， ．
将其分别代入 ，得 ，解得 ．
（2）①由（1）知， （ ），则点 的坐标为 ，
设在点 处的切线 交 ， 轴分别于 ， 点， ，
1 1( )2 2f x− ≤ ≤ ( )f x B∈
0 30x< ≤ ( ) 30 40f x = < 30 100x< < 40 ( )f x< 18002 90 40x x + − > 20x < 45x >
45 100x< < n %n x⋅ (1 %)n x⋅ − 30 % 40 (1 %) , 0 30 ( ) 1800(2 90) % 40 (1 %) ,30 100 n x n x xn g x x n x n xx xn ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ( )V r
( ) 0V r′ < ( )V r ( )V r 1, 1, 2b c n= = − ( ) 1nf x x x= + − 1 1 1( ) (1) ( ) 1 02 2 2nf f = − × < ( )f x 1( ,1)2
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又当 时， ，∴ 在 上是单调递增的，
∴ 在区间 内存在唯一的零点；
（2）解法一 由题意知 即 由图像知， 在点
取得最小值 ，在点 取得最大值 ．
解法二 由题意知 ，即 ．…①
，即 ．…②
① +②得 ，
当 时， ；当 时， ．
所以 的最小值 ，最大值 ．
解法三 由题意知 ，
解得 ，
．
又∵ ，∴ ．
当 时， ；当 时， ．
所以 的最小值 ，最大值 ．
(3)当 时, ．
对任意 都有有 等价于 在[-1,1]上的最大值与最
O
-2
c
b
1( ,1)2x∈ 1( ) 1 0nf x nx −′ = + > ( )f x 1( ,1)2
( )f x 1( ,1)2
1 ( 1) 1,
1 (1) 1,
f
f
− −
−
0 2,
2 0,
b c
b c
−
− +
3b c+
(0, 2)− 6− (0,0) 0
1 (1) 1 1f b c− = + + 2 0b c− +
1 ( 1) 1 1f b c− − = − + 2 0b c− − +- -
2× 6 2( ) ( ) 3 0b c b c b c− + + − + = +- -
0, 2b c= = − 3 6b c+ = − 0b c= = 3 0b c+ =
3b c+ 6− 0
( 1) 1 ,
(1) 1 ,
f b c
f b c
− = − +
= + +
(1) ( 1) (1) ( 1) 2,2 2
f f f fb c
− − + − −= =
3 2 (1) ( 1) 3b c f f+ = + − −
1 ( 1) 1,
1 (1) 1,
f
f
− −
−
6 3 0b c− +-
0, 2b c= = − 3 6b c+ = − 0b c= = 3 0b c+ =
3b c+ 6− 0
2n = 2( )f x x bx c= + +
1 2,x x [ 1,1]∈ − 1 2( ) ( ) 4f x f x− ( )f x
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小值之差 ．据此分类讨论如下:
(ⅰ)当 ,即 时, ,与题设矛盾．
(ⅱ)当 ,即 时, 恒成立．
(ⅲ) 当 ,即 时, 恒成立．
综上可知, ．
21．【解析】设包装盒的高为 （cm），底面边长为 （cm），由已知得
（1）
所以当 时， 取得最大值．
（2）
由 （舍）或 =20．
当 时， ； ．
所以当 =20 时，V 取得极大值，也是最小值．
此时 ，即装盒的高与底面边长的比值为 ．
4M
12
b > 2b > (1) ( 1) 2 4M f f b= − − = >
1 02
b− −
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