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专题二 函数概念与基本初等函数Ⅰ
第五讲 函数与方程
2019 年
2019 年
1.（2019全国Ⅲ文5）函数 在[0，2π]的零点个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
2. （ 2019 天 津 文 8 ）（ 8 ） 已 知 函 数 若 关 于 的 方 程
恰有两个互异的实数解，则 的取值范围为
（A） （B）
（C） （D）
3.（2019 江苏 14）设 是定义在 R 上的两个周期函数， 的周期为 4，
的周期为 2，且 是奇函数.当 时， ，
，其中 k>0.若在区间(0，9]上，关于 x 的方程 有 8
个
不同的实数根，则 k 的取值范围是 .
2010-2018 年
一、选择题
1．（2017 新课标Ⅲ）已知函数 有唯一零点，则 =
A． B． C． D．1
2．（2017 山东）设 ，若 ，则
A．2 B．4 C．6 D．8
2 , 0 1,
( ) 1 , 1.
x x
f x
xx
= >
x
1( ) ( )4f x x a a R= − + ∈ a
5 9,4 4
5 9,4 4
5 9, {1}4 4
5 9, {1}4 4
( ) 2sin sin2f x x x= −
( ), ( )f x g x ( )f x ( )g x
( )f x 2( ]0,x∈ 2( ) 1 ( 1)f x x= − −
( 2),0 1
( ) 1 ,1 22
k x x
g x
x
+ < ≤= − < ≤ ( ) ( )f x g x= 2 1 1( ) 2 ( )x xf x x x a e e− − += − + + a 1 2 − 1 3 1 2 ,0 1( ) 2( 1) , 1 x xf x x x <
≤
( ) 3 (2 )g x f x= − −
y ( ) ( )f x g x= −
2( )f x ax bx c= + + a
( )f x ( )f x
( )f x (2,8) ( )y f x=
( ) 12 +−= xxf ( ) kxxg = ( ) ( )f x g x=
k
），（
2
10 ），（ 12
1 ），（ 21 ），（ ∞+2
( ) 2
6 logf x xx
= − ( )f x
( )0,1 ( )1,2 ( )2,4 ( )4,+∞
1 3, ( 1,0]( ) 1
, (0,1]
xf x x
x x
− ∈ −= +
∈
( ) ( )g x f x mx m= − −
( 1,1]− m
9 1( , 2] (0, ]4 2
− −
11 1( , 2] (0, ]4 2
− −
9 2( , 2] (0, ]4 3
− −
11 2( , 2] (0, ]4 3
− −
( )f x R 0x ≥ 2( ) = 3f x x x−
( ) ( ) + 3g x f x x= −
{1, 3} { 3, 1,1, 3}− − {2 7 ,1, 3}− { 2 7 , 1, 3}− −
1 1( )f x x=
( ) ( )2 2( ) 2 , .f x x x x x R= − ⊗ − ∈ ( )y f x c= − x
c
( ] 3, 2 1, 2
−∞ − − ( ] 3, 2 1, 4
−∞ − − −
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（C） （D）
18．（2011 福建）若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值
范围是
（A）（ 1,1） （B）（ 2,2）
（C）（ ∞， 2）∪（2，+∞） （D）（ ∞， 1）∪（1，+∞）
19．(2011 全国新课标)函数 的图像与函数 的图像所有交
点的横坐标之和等于
（A）2 （B）4 （C）6 （D）8
20． (2011 山东)已知 是 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 时，
，则函数 的图象在区间[0,6]上与 轴的交点的个数为
（A）6 （B）7 （C）8 （D）9
21．（2010 年福建）函数 ，的零点个数为
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
22．(2010 天津)函数 的零点所在的一个区间是
（A）（ 2， 1） （B）（ 1，0） （C）（0，1） （D）（1，2）
23．（2010 广东）“ ”是“一元二次方程 有实数解”的
（A）充分非必要条件 （B）充分必要条件
（C）必要非充分条件 （D）非充分非必要条件
24．（2010 浙江）设函数 ，则在下列区间中函数 不存在零点的
是
（A） （B） （C） （D）
二、填空题
25．(2018 江苏)若函数 在 内有且只有一个零点，则
在 上的最大值与最小值的和为 ．
( ) 2 3xf x x= +
1 1, ,4 4
−∞ +∞
3 11, ,4 4
− − +∞
x 2 1 0x mx+ + = m
− −
− − − −
1
1y x
= − 2sin ( 2 4)y x xπ= − ≤ ≤
( )f x R 0 2x≤ < 3( )f x x x= − ( )y f x= x 2 2 3, 0( ) 2 ln , 0 x x xf x x x + −= − + >
≤
− − −
1
4m < 2 0x x m+ + = ( ) 4sin(2 1)f x x x= + − ( )f x [ ]4, 2− − [ ]2,0− [ ]0,2 [ ]2,4 3 2( ) 2 1( )f x x ax a= − + ∈R (0, )+∞ ( )f x [ 1,1]−
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26．(2018 浙江)已知 ，函数 ，当 时，不等式
的解集是______．若函数 恰有 2 个零点，则 的取值范围是____．
27．（2017 江苏）设 是定义在 且周期为 1 的函数，在区间 上，
其中集合 ，则方程 的解的
个数是 ．
28．（2016 山东）已知函数 其中 ．若存在实数 ，使
得关于 的方程 有三个不同的根，则 的取值范围是_______．
29．（2016 年天津）已知函数 在 R 上单调递
减，且关于 的方程 恰有两个不相等的实数解，则 的取值范围是_______．
30．（2016 年浙江）设函数 ．已知 ，且
， ∈R，则实数 =_____， =______．
31．(2015 福建)若 是函数 的两个不同的零点，且 ，
， 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的
值等于 ．
32．（2015 湖北）函数 的零点个数为 ．
33．（2015 湖南）若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是 ．
34．（2014 江苏）已知 是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 时，
．若函数 在区间 上有 10 个零点(互不相同)，则实
数 的取值范围是 ．
35．（2014 福建）函数 的零点个数是_________．
2
, ,
2 4 , ,
x x m
x mx m x m
≤ − + >
,a b ( ) ( )2 0, 0f x x px q p q= − + > >
p q+
)(xf )3,0[∈x
|2
12|)( 2 +−= xxxf axfy −= )( ]4,3[−
a
λ ∈R 2
4,( ) 4 3,
x xf x x x x
λ
λ
−= − + b
x ( )f x b= m
2 (4 3) 3 , 0( ) ( 0 1)
log ( 1) 1, 0a
x a x a xf x a a
x x
+ − + ≠ + + ≥
且
x | ( ) | 2 3
xf x = − a
3 2( ) 3 1f x x x= + + 0a ≠ ( ) ( )f x f a− =
2( )( )x b x a− − x a b
a
b 2−
2( ) 2sin sin( )2f x x x x
π= + −
( ) | 2 2 |xf x b= − − b
2 2, 0( )
2 6 ln , 0
x xf x
x x x
− ≤= − + >
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36．（2014 天津）已知函数 ， ．若方程 恰有 4 个
互异的实数根，则实数 的取值范围为__________．
37．（2012 福建）对于实数 和 ，定义运算“*”： 设 =
，且关于 的方程为 （ ∈R）恰有三个互不相等的实数根
，则 的取值范围是____________．
38．(2011 北京)已知函数 ，若关于 的方程 = 有两个不同的
实根，则数 的取值范围是_______．
39．(2011 辽宁)已知函数 有零点，则 的取值范围是______．
2( ) 3f x x x= + x RÎ ( ) 1 0f x a x- - =
a
a b
2
2
, ,
, ,
a ab a ba b
b ab a b
−∗ = − >
( )f x
(2 1) ( 1)x x− ∗ − x ( )f x m= m
1 2 3, ,x x x 1 2 3x x x
3
2 , 2( )
( 1) , 2
xf x x
x x
≥=
−
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