资料简介
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第一讲 八类抽象函数方程性质的探讨
抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出函数满足的一些特征或性质的
函数．抽象函数方程的性质因能有效考查学生的抽象思维能力、逻辑推理能力以及后继学习
的潜能一直是高考的热点。本节主要探讨八类典型抽象函数方程的性质．
类型 1 型
原型 正比例函数
性质 设函数 定义在 上，满足 ，若 时， 恒大于
，则 有如下性质：① ；② 是 上的奇函数；③ 在 上单调递增．
证明 ①令 ，得 ，故 ；
②令 ， ，有 ， ，故 是 上的奇函数；
③任取 ， ，设 ，则 ，于是 ，令 ， ，
则 ，得 ，故 是 上的增函数．
思考 1 （ ， ， 均不为零）型
原型 反比例函数
分析 对 两边取倒数，得 ，令
，有 ，由类型 1 知， ，故
（ ）．
类型 2 型
原型 一次函数
性质 已知函数 定义域为 ，对任意 都有 ，且
，当 时， ，则 在 上单调递增．
证明 令 ，得 ；令 ， ，得 ．
( ) ( ) ( )f m n f m f n+ = +
( )0y kx k= ≠
( )f x R ( ) ( ) ( )f m n f m f n+ = + 0x > ( )f x
0 ( )f x (0) 0f = ( )f x R ( )f x R
0m n= = (0) (0) (0)f f f+ = (0) 0f =
m x= n x= − ( ) ( ) (0) 0f x f x f+ − = = ( ) ( )f x f x− = − ( )f x R
1x 2x R∈ 1 2x x> 1 2 0x x− > ( )1 2 0f x x− > 1m n x+ = 2m x=
1 2n x x= − ( ) ( ) ( )1 2 1 2f x f x f x x= + − ( )2f x> ( )f x R
( ) ( ) ( )
( ) ( )
f m f nf m n f m f n
+ = + ( )f m ( )f n ( )f m n+
( ) af x x
= ( )0a ≠
( ) ( ) ( )
( ) ( )
f m f nf m n f m f n
+ = + ( ) ( ) ( )
1 1 1
f m n f m f n
= ++
( ) ( )
1g x f x
= ( ) ( ) ( )g m n g m g n+ = + ( )g x kx= ( ) 1 af x kx x
= =
1a k
=
( ) ( ) ( )f m n f m f n b+ = + +
( )0y kx b k= − ≠
( )f x R ,m n R∈ ( ) ( ) ( )f m n f m f n b+ = + +
( ) 0f b = x b> ( ) 0f x > ( )f x R
m n b= = ( )2f b b= 2m b= n b= − ( ) 2f b b− = −
2
任取 ， ，设 ，令 ， ，则 ，有
，
．
因为 ，则 ，于是 ，因此 ，故 是
上的增函数
或者在 两边同时加上 ，令 ，
问题可转化为类型 1．
思考 2 (或 )（ ）型
分析 若 是定义在正整数集 上的函数，对任意 ，满足
(或 )（ ），则
（ ）．
令 ， ，运用累加法可得
（ ， ）．
类型 3 型
原型 指数函数
性质 已知定义在 上的函数 满足对任意 都有 ，且
当 时， ，则有如下性质：① ；② ；③当 时，
；④ 在 上单调递增；
证明 ①令 ， ，有 ，因为 ，故 ；
②令 ， ，有 ；
③当 时， ，则 ， ，故 ；
1x 2x R∈ 1 2x x> 1m n x+ = 2n x= 1 2m x x= −
( ) ( ) ( )1 1 2 2f x f x x f x b= − + + ( ) ( ) ( )1 2 1 2f x f x f x x b− = − + ( )1 2f x x b b b= − + − +
( ) ( )1 2f x x b f b b b= − + + − + +
( )1 2f x x b= − +
1 2x x> 1 2x x b b− + > ( )1 2 0f x x b− + > ( ) ( )1 2f x f x> ( )f x
R
( ) ( ) ( )f m n f m f n b+ = + + b ( ) ( )g x f x b= +
( ) ( ) ( )f x y f x f y kx+ = + + ( ) ( ) ( )f x y f x f y kxy+ = + + 0k ≠
( )f x N+ ,x y N+∈
( ) ( ) ( )f x y f x f y kx+ = + + ( ) ( ) ( )f x y f x f y kxy+ = + + 0k ≠ ( ) 2f x ax bx= +
x N+∈
1y = ( ) ( ) ( )1 1f x f x f kx+ = + + ( ) ( )2 12 2
k kf x n f n = + −
2ax bx= +
2
ka = ( )1 2
kb f= −
( ) ( ) ( )f m n f m f n+ =
( )0, 1xy a a a= > ≠
R ( )f x ,m n R∈ ( ) ( ) ( )f m n f m f n+ =
0x > ( ) 1f x > ( )0 1f = ( ) ( ) 1f x f x− = 0x < ( )0 1f x< < ( )f x R 1m = 0n = ( ) ( ) ( )1 1 0f f f= ( )1 0f ≠ ( )0 1f = m x= n x= − ( ) ( ) ( )0 1f f x f x= − = 0x < 0x− > ( ) 1f x− > ( )
10 1f x
< ( )1 2 1f x x− >
1m n x+ = 2n x= 1 2m x x= − ( ) ( ) ( )1 1 2 2f x f x x f x= −
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 21f x f x f x x f x− = − − ( )1 2 1f x x− > ( )2 0f x >
( ) ( )1 2f x f x> ( )f x R
( ) ( ) ( )f m n f m f n= +
logay x= ( )0, 1a a> ≠
( )f x ( )0,+∞ 1x > ( ) 0f x >
0m > 0n > ( ) ( ) ( )f m n f m f n= + ( )f x
( )1 0f =
( ) ( )xf f x f yy
= −
( )f x ( )0,+∞
0 1x< < ( ) 0f x < 1m n= = ( )1 0f = m n x= n y= xm y = ( ) ( )xf x f f yy = + ( ) ( )xf f x f yy = − 1x ( )2 0,x ∈ +∞ 1 2x x> 1
2
1x
x
> 1
2
0xf x
>
1m n x= 2n x= 1
2
xm x
= ( ) ( )1
1 2
2
xf x f f xx
= +
( )2f x>
( ) ( )1 2f x f x> ( )f x ( )0,+∞
0 1x< < 1 1x > 1 0f x
> m x= 1n x
=
4
有 ，即 ，
因为 ，所以 ．
类型 5 型
原型 幂函数
性质 若函数 满足对任意 都有 ，且 不恒为 ，
当 时 ，则有如下性质：① ；②当 时， ；③ 在
上单调递增．
证明 ①令 ， ，则 ，因为 不恒为 ，故 ；
②当 时，令 ， ，则 ，因为 ，所以 ，
故 ；
③任取 ， ，设 ，则 ，于是 ，
令 ， ，则 ，有 ，又 ，所以
，得 ，故 是 上的增函数．
类型 6 型
原型 函数
性质 设 是定义在 上不恒为零的函数，对一切实数 都满足
，则有如下性质：① ；② 是偶函数；③若
，则 是以 为周期的函数；
证明 ①令 ，则 ，于是 或 ；
当 时，令 ， ，有 ，于是 ，与
不恒为零矛盾，故 ；
( ) ( ) 11f f x f x
= +
( ) 10 f x f x
= +
1 0f x
>
( ) 0f x < ( ) ( ) ( )f m n f m f n= ny x= ( )f x ,m n R∈ ( ) ( ) ( )f m n f m f n= ( )f x 0 1x > ( ) 1f x > ( )1 1f = 0 1x< < ( )0 1f x< < ( )f x ( )0,+∞ m x= 1n = ( ) ( ) ( )1f x f x f= ( )f x 0 ( )1 1f = 0 1x< < m x= 1n x = ( ) ( ) 11 1f f x f x = = 1 1x > 1 1f x
>
( )0 1f x< < 1x ( )2 0,x ∈ +∞ 1 2x x> 1
2
1x
x
> 1
2
1xf x
>
1m n x= 2n x= 1
2
xm x
= ( ) ( )1
1 2
2
xf x f f xx
=
( )2 0f x >
( ) ( ) ( )1
1 2 2
2
1xf x f x f f xx
− = − 0> ( ) ( )1 2f x f x> ( )f x ( )0,+∞
( ) ( ) ( ) ( )2f m n f m n f m f n+ + − =
cosy x=
( )f x R ,m n
( ) ( ) ( ) ( )2f m n f m n f m f n+ + − = ( )0 1f = ( )f x
( ) 0f t = ( )f x 4t
0m n= = ( ) ( ) 22 0 2 0f f= ( )0 0f = ( )0 1f =
( )0 0f = m x= 0n = ( ) ( ) ( ) ( )0 0 2 0f x f x f x f+ + − = ( ) 0f x = ( )f x
( )0 1f =
5
②令 ， ，有 ，得 ，故 为偶函
数；
③ 令 ， ， 得 ， 由 得
， 将 上 式 中 的 换 成 得 ： ， 即
，于是 ，故 是以 为周期
的函数．
类型 7 ( )型
原型 正切函数
性质 设 是定义在 上的函数，对一切实数 都满足
( )，则有如下性质：① ；② 是奇函数；③
若 ，则 是以 为周期的函数；
证明 ①令 ，得 ，有 ，故 ；
②令 ， ，有 ，又 ，从而 ，故
是奇函数；
③ 若 ， 令 ， ， 有 ， 从 而
，
，
故 是以 为周期的函数；
0m = n x= ( ) ( ) ( ) ( )0 0 2 0f x f x f x f+ + − = ( ) ( )f x f x− = ( )f x
m x= n t= ( ) ( ) ( ) ( )2f x t f x t f x f t+ + − = ( ) 0f t =
( ) ( ) 0f x t f x t+ + − = x x t+ ( ) ( )2 0f x t f x+ + =
( ) ( )2f x t f x+ = − ( ) ( )4 2f x t f x t+ = − + ( ) ( )f x f x= − − = ( )f x 4t
( ) ( ) ( )
( ) ( )1
f m f nf m n f m f n
++ = − ( ) ( ) 1f m f n ≠
( ) tanf x x=
( )f x R ,m n
( ) ( ) ( )
( ) ( )1
f m f nf m n f m f n
++ = − ( ) ( ) 1f m f n ≠ ( )0 0f = ( )f x
( ) 1f t = ( )f x 4t
0m n= = ( ) ( ) ( )
( ) 2
0 00
1 0
f ff
f
+=
−
( ) ( )20 0 1 0f f + = ( )0 0f =
m x= n x= − ( ) ( ) ( )
( ) ( )0 1
f x f xf f x f x
+ −= − − ( )0 0f = ( ) ( ) 0f x f x+ − =
( )f x
( ) 1f t = m x= n t= ( ) ( ) ( )
( ) ( )1
f x f tf x t f x f t
++ = −
( )
( )
1
1
f x
f x
+= −
( ) ( )
( )
12 1
f x tf x t f x t
+ ++ = − +
( )
( )
( )
( )
11 1
11 1
f x
f x
f x
f x
++ −= +− −
( )
1
f x
= −
( ) ( )
14 2f x t f x t
+ = − +
( )
1
1
f x
= −
= −
( )f x=
( )f x 4t
6
类型 8 型
原型 复合函数
性质 定义在 上的函数 满足对实数 都有
，且 时 ，则有如下性质：
① ；
② 为奇函数；
③ 是 上的减函数．
证明 ①令 得 ，所以 ；
②令 ， ，有 ，从而 ，故
为奇函数；
③任取 ，不妨设 ，
，
由 ， 得 ，即 ，故 ，则 ．
又 ，即 ．
所以 ，于是 ，得 ，
故 是 上的减函数．
从以上分析不难看出，抽象函数方程问题中的特殊值、单调性、奇偶性和周期性等问题往往
紧密联系，赋值、使用定义与合理变形是突破这类问题的关键．另外，有些抽象函数问题有
具体的函数原型，若能由抽象函数的结构，联想到相似结构的原型函数，并由原型函数的相
关结论，预测、猜想抽象函数可能具有的某些性质，常常有利于顺利地解决问题．
( ) ( )
1
m nf m f n f mn
+ + = +
( ) 1ln1
xf x x
−= +
( )1,1− ( )f x ,m n
( ) ( )
1
m nf m f n f mn
+ + = +
( )0,1x∈ ( ) 0f x < ( )0 0f = ( )f x ( )f x ( )1,1− 0m n= = ( ) ( ) ( )0 0 0f f f+ = ( )0 0f = m x= n x= − ( ) ( ) 21 x xf x f x f x − + − = − ( )0 0f= = ( ) ( )f x f x− = − ( )f x ( )1 2, 1,1x x ∈ − 1 2x x>
( ) ( ) ( ) ( ) 1 2
1 2 1 2
1 21
x xf x f x f x f x f x x
−− = + − = −
1 1x < 2 1x < 1 2 1x x −
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
111 1
x x x x x x
x x x x
− − − +− =− −
( )( )1 2
1 2
1 1 01
x x
x x
− +=
( ) ( ) ( )log log loga a af x y f x f y+ = +
( ) ( )logah x f x= ( ) ( ) ( )h x y h x h y+ = + ( )h x kx=
( ) ( )1 log 1ak h f= = ( ) kx xf x a c= = ( )1 0kc a f= = >
( ) xf x c= ( )1 0c f= > ( ) 0f x ≡ x R∈
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