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十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学
专题 05 三角函数
1.(2019·全国 2·理 T10 文 T11)已知 α∈ 0,π
2 ,2sin 2α=cos 2α+1,则 sin α=( )
A.1
5 B. 5
5 C. 3
3 D.2 5
5
【答案】B
【解析】∵2sin 2α=cos 2α+1,
∴4sin αcos α=2cos2α.
∵α∈（0,π
2）,∴cos α>0,sin α>0,
∴2sin α=cos α.
又 sin2α+cos2α=1,
∴5sin2α=1,即 sin2α=1
5.
∵sin α>0,∴sin α= 5
5 .
故选 B.
2.(2019·全国 2·文 T8)若 x1=π
4,x2=3π
4 是函数 f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点,则 ω=( )
A.2 B.3
2 C.1 D.1
2
【答案】A
【解析】由题意,得 f(x)=sin ωx 的周期 T=2π
ω =2 3π
4 ― π
4 =π,解得 ω=2,故选 A.
3.(2019·全国 2·理 T9)下列函数中,以π
2为周期且在区间 π
4,π
2 单调递增的是( )
A.f(x)=|cos 2x| B.f(x)=|sin 2x|
C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x|
【答案】A
【解析】y=|cos 2x|的图象为 ,由图知 y=|cos 2x|的周期为π
2,且在区间（π
4,π
2）内单调
递增,符合题意;y=|sin 2x|的图象为 ,由图知它的周期为π
2,但在区间（π
4,π
2）内单调递
减 , 不 符 合 题 意 ; 因 为 y=cos|x|=cos x, 所 以 它 的 周 期 为 2π, 不 符 合 题 意 ;y=sin |x| 的 图 象 为
2
,由图知其不是周期函数,不符合题意.故选 A.
4.(2019·天津·理 T7)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|0)在区间[0,2π]上有且仅有 5 个零点,
∴5π≤2πω+π
5a D.c>a>b
【答案】C
【解析】∵a=sin 33°,b=cos 55°=sin 35°,c=tan 35°=sin35°
cos35°,
∴sin35°
cos35°>sin 35°>sin 33°.∴c>b>a.故选 C.
46.(2014·全国 1·文 T7)在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos(2x + π
6),④y=tan(2x - π
4)中,最小正周
期为 π 的所有函数为( )
A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③
【答案】A
【解析】由于 y=cos|2x|=cos 2x,所以该函数的周期为2π
2 =π;由函数 y=|cos x|的图象易知其周期为 π;函数
y=cos(2x + π
6)的周期为2π
2 =π;函数 y=tan（2x-π
4）的周期为π
2,故最小正周期为 π 的函数是①②③,故选 A.
47.(2014·全国 1·理 T6)如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角 x 的始边为射线 OA,终
边为射线 OP,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M,将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f(x),则 y=f(x)在
[0,π]的图象大致为( )
【答案】C
【解析】由题意知|OM|=|cos x|,f(x)=|OM||sin x|=|sin xcos x|=1
2|sin 2x|,由此可知 C 项中图符合.故
选 C.
48.(2014·浙江·理 T4)为了得到函数 y=sin 3x+cos 3x 的图象,可以将函数 y= 2cos 3x 的图象 ( )
A.向右平移π
4个单位 B.向左平移π
4个单位
C.向右平移 π
12个单位 D.向左平移 π
12个单位
【答案】C
【解析】y=sin 3x+cos 3x= 2cos(3푥 - π
4) = 2cos[3(푥 - π
12)],因此需将函数 y= 2cos 3x 的图象向右平移
π
12个单位.故选 C.
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49.(2013·浙江·理 T6)已知 α∈R,sin α+2cos α= 10
2 ,则 tan 2α=( )
A.4
3 B.3
4
C.-3
4 D.-4
3
【答案】C
【解析】由 sin α+2cos α= 10
2 ,得 sin α= 10
2 -2cos α. ①
把①式代入 sin2α+cos2α=1 中可解出 cos α= 10
10 或 cos α=3 10
10 ,
当 cos α= 10
10 时,sin α=3 10
10 ;
当 cos α=3 10
10 时,sin α=- 10
10 .
∴tan α=3 或 tan α=-1
3,∴tan 2α=-3
4.
50.(2013·大纲全国·文 T2)已知 α 是第二象限角,sin α= 5
13,则 cos α=( )
A.-12
13 B.- 5
13
C. 5
13 D.12
13
【答案】A
【解析】∵α 是第二象限角,∴cos α=- 1 - sin2훼=- 1 - ( 5
13)2
=-12
13.故选 A.
51.(2013·广东·文 T4)已知 sin(5π
2 + α) = 1
5,那么 cos α=( )
A.-2
5 B.-1
5
C.1
5 D.2
5
【答案】C
【解析】∵sin(5π
2 + 훼)=sin(π
2 + 훼)=cos α=1
5,
∴cos α=1
5.
52.(2013·全国 2·文 T6)已知 sin 2α=2
3,则 cos2(α + π
4)=( )
A.1
6 B.1
3 C.1
2 D.2
3
【答案】A
【解析】由降幂公式变形,可得 cos2(훼 + π
4) =
1 + cos(2훼 + π
2)
2 = 1 - sin2훼
2 =
1 - 2
3
2 = 1
6.
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53.(2012·全国·理 T9)已知 ω>0,函数 f(x)=sin(ωx + π
4)在(π
2,π)单调递减,则 ω 的取值范围是 ( )
A.[1
2,5
4] B.[1
2,3
4] C.(0,1
2] D.(0,2]
【答案】A
【解析】结合 y=si n ωx 的图象可知 y=sin ωx 在[ π
2휔,3π
2휔]单调递减,而 y=sin（ωx+π
4）=sin[ω（x+ π
4휔）],
可知y=sin ωx的图象向左平移 π
4휔个单位之后可得y=sin(휔푥 + π
4)的图象,故y=sin(휔푥 + π
4)在[ π
4휔,5π
4휔]单调递
减,故应有[π
2,π] ⊆ [ π
4휔,5π
4휔],解得1
2≤ω≤5
4.
54.(2012·全国·文 T9)已知 ω>0,0
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