资料简介
平顶山市 2020 届高三开学检测(线上)
一､选择题､在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.若复数 z 满足 ,则复数 z 在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知双曲线 的两条渐近线的夹角为 ，则双曲线 的方程不可能为（ ）
A. B. C. D.
4.设向量 满足 ,现有如下命题:命题 的值可能为 9；命题 “ ”
的充要条件为“ ，则下列命题中,真命题为( )
A. p B. C. D.
5.已知 ，且 ，则 （ ）
A. B. 7 C. 或－7 D. 或 7
6.函数 在 上 图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.
的
{ }1,2,3,6A = { }| 2 4xB x= > A B =
{ }6 { }3,6 { }1,2 { }2,3,6
1(1 2 0)z i− =
C 60° C
2
2 13
x y− =
2 2
13 9
x y− =
2 2
13 12
y x− =
2 2
121 7
y x− =
,m n 2, 3m n= = : 2p m n− :q ( 2 )m n m− ⊥
1, 3cos m n< >=
p q∧ ( )p q∧﹁ ( )p q∨ ﹁
( )0,α π∈ 3sin 5
α = tan 4
πα + =
1
7
− 1
7
− 1
7
( ) 3sin 2
x
x xf
e
x = + [ ]2 ,2π π−7.德国数学家莱布尼兹(1646 年-1716 年)于 1674 年得到了第一个关于 π 的级数展开式,该公式于明朝初年
传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692 年-1765 年)为提高我国的
数学研究水平,从乾隆初年(1736 年)开始,历时近 30 年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了
展开三角函数和反三角函数的 6 个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算 π 开创了先
河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于 π 的级数展开式”计算 π 的近似值(其中 P 表示 π 的近似值),
若输入 ,则输出的结果是( )
A. B.
C. D.
8.已知等差数列 的前 n 项和为 ,且 , ,若 ( ,且 ),则 i 的
取值集合是( )
A. B. C. D.
9.若 , , ,则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
10.张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三
棱锥 的每个顶点都在球 的球面上， 底面 ， ，且 ，
，利用张衡的结论可得球 的表面积为（ ）
A. 30 B. C. 33 D.
11.一个圆锥的母线长为 ，且母线与底面所成角为 ，则该圆锥内切球的表面积为（ ）
10n＝
1 1 1 14(1 )3 5 7 17P = − + − +⋅⋅⋅+ 1 1 1 14(1 )3 5 7 19P = − + − +⋅⋅⋅−
1 1 1 14(1 )3 5 7 21P = − + − +⋅⋅⋅+ 1 1 1 14(1 )3 5 7 21P = − + − +⋅⋅⋅−
{ }na nS 3 3S = − 12 24S = 0+ =i ja a *,i j N∈ 1 i j≤ <
{1,2,3} {6,7,8} {1,2,3,4,5} 6 7 8 }10{ 9, , , ,
0.60.5a＝ 0.50.6b＝ 0.52c＝
b c a> > c a b> > a b c> > c b a> >
A BCD− O AB ⊥ BCD BC CD⊥ 3AB CD= =
2BC = O
10 10 12 10
2 2 2+
4
πA. B. C. D.
12.已知 是定义在 上 函数 的导函数，若 ，且当 时，
，则不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
二､填空题
13.函数 的最小值为______.
14.已知实数 ， 满足 ，则 的最大值为____________.
15.“北斗三号”卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R,若其近地点､远地点离地面的
距离大约分别是 , ,则“北斗三号”卫星运行轨道的离心率为__________.
16.若一个数列的第 项等于这个数列的前 项的乘积，则称该数列为“ 积数列”若各项均为正数的等
比数列 是一个“2020 积数列”，且 ，则当其前 项的乘积取最大值时， 的最大值为______.
三､解答题:解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题,每个试题考生
都必须作答.第 22､23 题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共 60 分
17. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 .
（1）求角 ；
（2）若 ，且 外接圆的半径为 1，求 的面积.
18.某农科所为改良玉米品种,对已选出的一组玉米的茎高进行统计,获得茎叶图(单位:厘米),设茎高大于或
等于 180 厘米的玉米为高茎玉米,否则为矮茎玉米.
抗倒伏 易倒伏 总计
矮茎
高茎
的
2π 8π 8 2
3
π ( )6 2 2 π+
( )f x′ R ( )f x ( ) ( ) 3f x f x x= − + 0x ≥
( ) 23
2f x x′ > ( ) ( ) 22 1 2 3 3 1f x f x x x+ − < + +
1 ,02
−
1, 2
−∞ −
1 ,2
+∞
1, 2
−∞
( ) 29 1f x x x= + −
x y
2
3
3 6
x y
x y
x y
+ ≥
+ ≤
− ≤
2z x y= +
2
3 R 4R
m m m
{ }na 1 1a > n n
ABC∆ A B C a b c 52 sin cos cos2c A a B b A
π + = +
A
3a b c= + ABC∆ ABC∆总计
（1）请完成以上 列联表,并判断是否可以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下,认为抗倒伏与玉米矮
茎有关?
（2）为改良玉米品种,现采用分层抽样的方法从抗倒伏的玉米中抽出 5 株,再从这 5 株玉米中选取 2 株进行
杂交试验,则选取的植株均为矮茎的概率是多少?
参考公式: (其中 )
参考数据:
0.10 0.05 0.010 0.001
2 706 3.841 6.635 10.828
19.已知首项为 的等比数列 的前 项和为 ，且 ， ， 成等差数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）对于数列 ，若存在一个区间 ，均有 ，则称 为数列 的“容值区
间”.设 ，试求数列 的“容值区间”长度的最小值.
20.已知 ， ，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，且 .
（1）求点 的轨迹 的方程；
.
2 2×
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
( )2
0P K k
0k
3
2
{ }na n ( )*
nS n N∈ 22S− 3S 44S
{ }na
{ }nA M ( )1,2,3iA M i∈ = ⋅⋅⋅ M { }nA
1
n n
n
b S S
= + { }nb
( 2,0)A − (2,0)B PA 1k PB 2k 1 2
3
4k k = −
P C（2）设 ， ，连接 并延长，与轨迹 交于另一点 ，点 是 中点， 是坐标原点，
记 与 的面积之和为 ，求 的最大值.
21.已知函数 ，其中 a 为非零常数．
讨论 的极值点个数，并说明理由；
若 ， 证明： 在区间 内有且仅有 1 个零点； 设 为 的极值点， 为
的零点且 ，求证： ．
(二)选考题:考生从 22､23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时
22.在直角坐标系 中，曲线 参数方程 （ 为参数）.直线 的参数方程
（ 为参数）.
（Ⅰ）求曲线 在直角坐标系中 普通方程；
（Ⅱ）以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线 截直线 所得线段的中点极坐标
为 时，求直线 的倾斜角.
23.已知函数 ．
（1）求不等式 的解集；
（2）若 的最大值为 ， 、 、 为正数且 ，求证： ．
的
的
1( 1,0)F − 2 (1,0)F 1PF C Q R 2PF O
1QFO 1PF R S S
( ) ( )1 xf x alnx x e= − −
( )1 ( )f x
( )2 a e> ( )i ( )f x ( )1,+∞ ( )ii 0x ( )f x 1x
( )f x 1 1x > 0 0 12x lnx x+ >
xOy C 2 3 cos
2sin
x
y
β
β
= =
β l
3 cos
1 sin
x t
y t
α
α
= + = +
t
C
O x C l
2, 6
π
l
( ) 3 2f x x x= − −
( ) 2f x ≥
( )f x m a b c a b c m+ + = 2 2 2 3a b c+ + ≥
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