资料简介
大同四中联盟校 2019—2020 学年第二学期
高三年级高考模拟试题
文科数学
本试卷共 6 页 满分：150 分 考试用时：120 分钟
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知圆 ，直线 ，若圆 上总存在到直线 的距离为 的点，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．《张丘建算经》是早于《九章算术》的我国另一部数学著作，在《算经》中有一题：某女
子善于织布，一天比一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布 尺， 天共
织布 尺，
则该女子织布每天增加（ ）
A． 尺 B． 尺 C． 尺 D． 尺
5．已知直线 与双曲线 无公共点，则双曲线离心率的取值范
围
为（ ）
1{ | 2 4}4
xA x= ≤ ≤ { | 2 2 }B x y x x= = − + − A B =
}2{ }0{ [ 2,2]− [0,2]
z (1 ) 1 2z i i+ = + z
2 2: 1O x y+ = : 0l x y m+ + = O l 1
m
( , 2 2] [2 2, )−∞ − +∞ [ 2 2,2 2]−
( , 1] [1, )−∞ − +∞ [ 1,1]−
5 30
390
7
4
29
16
15
8
31
16
xy = )0,0(12
2
2
2
>>=− bab
y
a
xA． B． C． D．
6．某兴趣小组合作制作了一个手工制品，并将其绘制成如图所示的三视图，其中侧视图中的
圆的
半径为 ，则制作该手工表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．在 中， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
8．从某中学抽取 名学生进行阅读调查，发现每年读短篇文章量都在 篇至 篇之间，
频率
分布直方图如图所示，则对这 名学生的阅读量判断正确的为（ ）
A． 的值为 B．平均数约为
C．中位数大约为 D．众数约为
9．已知椭圆 左、右焦点分别为 、 ， 为椭圆上一点，且
，若 的最小值为 ，则椭圆的离心率为（ ）
[ 2, )+∞ (1 2]， ( 2]−∞， ]3,2[
3
π5 π01 π512 + 24 12π+
ABC∆ 2=∆ABCS 5AB = 1AC = BC =
52 32 32 34 52 24
100 50 350
100
a 0.004 200
183.3 350
)0(12
2
2
2
>>=+ bab
y
a
x
1F 2F P
1 2| | | |PF PFλ= λ
2
1A． B． C． D．
10．已知 ，则 取得最小值时 的值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数 的图象在 处的切线与直线 垂直．执行如图所示
的程序框图，若输出的 的值为 ，则判断框中 的值可以为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 为 上的奇函数，且满足 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都
必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
2
1
2
2
3
1
3
5
），（
20
πα ∈
21 tantan 2tan
αα α
−+ α
12
π
6
π
4
π
2
π
2( )f x x ax= +
2
1=x 2 0x y+ =
k 15 t
13
14 15
14
16
15
17
16
)(xf R ( 2) ( ) 0f x f x− − − = (2019)f e= −
(1)f =
e− 1
e
− e 1
e13．设 ， 满足约束条件 ，若目标函数 的最大值与最小值分别
为 ， ，则 ．
14． ， ， ， 的夹角为 ，则 与 的夹角为 ．
15．在三棱锥 中， 平面 ， ， ，则三棱锥
外接球的表面积为 ．
16 ． 已 知 点 到 直 线 的 最 大 距 离 为 ， 则
．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12 分）在正项等比数列 中，已知 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和 ．
18．（12 分）新高考 最大的特点就是取消文理科，除语文、数学、外语之外，从物理、
化学、生物、政治、历史、地理这 科中自由选择三门科目作为选考科目．某研究机构为了了
解学生对全理（选择物理、化学、生物）的选择是否与性别有关，觉得从某学校高一年级的
名学生中随机抽取男生，女生各 人进行模拟选科．经统计，选择全理的人数比不选全理的
人数多 人．
（1）请完成下面的 列联表；
（2）估计有多大把握认为选择全理与性别有关，并说明理由；
（3）现从这 名学生中已经选取了男生 名，女生 名进行座谈，从中抽取 名代表作问卷
调查，求至少抽到一名女生的概率．
x y
1 0
2 3 6 0
3 2 6 0
x y
x y
x y
− + ≤
+ − ≤
− + ≥
yxz 2−=
M m M m+ =
| | 2a = | | 1b = a b 60° b 2a b−
P ABC− PA ⊥ ABC 2PA AB= = 30ACB∠ = °
P ABC−
5 cos ,2 5 s n( )iP θ θ 0: x yl k+ + = 25
k =
{ }na 1031 =+ aa 4053 =+ aa
{ }na
nn ab 2log= 2( }1){ n
nb− 100 100S
3 3+
6
650
25
10
2 2×
50 3 2 2附： ，其中 ．
19．（12 分）如图，已知四棱锥 中， 平面 ， 为等边三角形，
， 是 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求点 到平面 的距离．
20．（12 分）已知抛物线 ，其焦点为 ，直线 过点 与 交于 、
两点，当 的斜率为 时， ．
（1）求 的值；
（2）在 轴上是否存在一点 满足 （点 为坐标原点）？若存在，求
点的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（12 分）已知函数 ， ．
（1）设函数 ，若 是函数 的唯一极值点，求实数 的取值范
围；
（2）若函数 有两个零点 ， ，证明： ．
请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
【选修 4-4：坐标系与参数方程】
))()()((
)( 2
2
dbcadcba
bcadnK ++++
−= dcban +++=
P ABCD− CD ⊥ PAD PAD∆
AB CD∥ M PD
AM ⊥ PCD
1 22AB AD CD= = = M PBC
2: 2 ( 0)C x py p= > F l F C M N
l 1 | | 8MN =
p
y P OPM OPN∠ = ∠ O P
( )
xef x mx
= − )(ln)( xxmxg −=
)()()( xgxfxF += 1=x )(xF m
)()( xxfxh = 1x 2x 1 2( ) ( ) 0h x h x′ ′+ >22．（10 分）在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）．以坐标
原 点 为 极 点 ， 以 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 ， 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 的 极 坐 标 方 程 为
．
（1）求曲线 的普通方程；
（2）已知 ，直线 与曲线 交于 ， 两点，求 的最大值．
【选修 4-5：不等式选讲】
23．（10 分）已知函数 ．
（1）求不等式 的解集；
（2）设函数 ，若存在 使 成立，求实数 的取值范
围．
xOy l 1 cos
2 sin
x t
y t
α
α
= +
= + t
x C
2cos 4sin 0ρ θ θ+ − =
C
(1,2)M l C P Q 2 2| | | |MP MQ+
( ) | 1| | 2 |f x x x= − + +
03)( ≤−− xxf
( ) ( ) 2 | 2 |g x f x x= − + x 2( ) 2g x λ λ≥ − λ大同四中联盟校 2019—2020 学年第二学期
高三年级高考模拟试题
文科数学参考答案及评分标准
一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1． 【答案】A
【解析】由 ，得 ，即 ，
由 ，得 ，所以 ，所以 ．
2． 【答案】A
【解析】由 ，得 ，所以 在复平面内对应的点位于第一象
限．
3． 【答案】B
【解析】若圆 上只有一点到直线 的距离为 时，圆心 到直线的距离为 ，故要使圆 上
总 存 在 到 直 线 的 距 离 为 的 点 ， 则 圆 心 到 直 线 的 距 离 ， 即 ， 即
．
4． 【答案】B
【解析】本题可以转为等差数列问题：已知首项 ，前 项的和 ，求公差 ，
由等差数列的前 项公式可得， ，解得 ．
5． 【答案】B
【解析】双曲线的一条渐近线为 ，因为直线 与双曲线无公共点，故有 ，
即 ， ，所以 ，所以 ．
6． 【答案】D
【解析】由三视图可知，该手工制品是由两部分构成，每一部分都是相同圆锥的四分之一，
1 2 44
x≤ ≤ 2 2x− ≤ ≤ [ 2,2]A = −
xxy −+−= 22 2=x {2}B = {2}A B =
(1 ) 1 2z i i+ = + 1 2 3 1
1 2 2
iz ii
+= = ++ z
O l 1 O 2 O
l 1 O 2d ≤ | | 2
2
m ≤
2 2 2 2m− ≤ ≤
51 =a 30 39030 =S d
n 30 29390 30 5 2 d
×= × + 16
29d =
xa
by = xy = 1≤
a
b
2
2 1b
a
≤
2 2 2
2
2 2 1 1b c a ea a
−= = − ≤ 22 ≤e 21 ≤< e且圆锥的底面半径为 ，高为 ，故母线长为 ，
故每部分的表面积为 ，
故两部分表面积为 ．
7． 【答案】D
【解析】 ，
所以 ，所以 或 ，
当 时，由余弦定理可得， ，
同理， 时， ．
8．【答案】C
【解析】由 ，解得 ，
故 A 错；
由 A 可知， ，所以平均数为
，故 B 错误；
居民月用电量在 的频率为 ，
居民月用电量在 的频率为： ，
∴这 户居民月用电量的中位数大约为 ，故 C 正确；
由频率分布直方图可知，众数大约为 ，故 D 错误．
9． 【答案】C
【解析】由 ，得 ，当 最小且 最大时， 取得最小值
，
所以 ，所以 ，所以离心率 ．
10． 【答案】C
【解析】 ，当且仅当 ，即
3 4 5
1 1 1 12 4 3 6 5 9 12 62 4 2 4
π π π× × × + × × × + × = +
24 12π+
1 1sin 5 1 sin 22 2ABCS AB AC A A∆ = ⋅ ⋅ = × × × =
5
4sin =A 5
3cos =A 5
3−
5
3cos =A 2 2 2 cos 2 5AB AC AB BC AC A+ − × × == ×
5
3cos −=A 4 2BC =
(0.0024 0.0036 0.0060 0.0024 0.0012) 50 1a+ + + + + × = 0.0044a =
0.0044a = 0.0024 50 75 0.0036 50 125 0.0060 50× × + × × + ×
175 0.0044 50 225 0.0024 50 275 0.0012 50 325 186× + × × + × × + × × =
[50,150) (0.0024 0.0036) 50 0.3+ × =
[150,200) 0.0060 50 0.3× =
100 0.5 0.3150 50 183.30.3
−+ × ≈
175
1 2| | | |PF PFλ= 1
2
| |
| |
PF
PF
λ= 1| |PF 2| |PF λ
2
1
1
2
a c
a c
− =+ ca 3=
3
1==
a
ce
21 tan 1 1tan (tan ) 12tan 2 tan
αα αα α
−+ = + ≥ αα
tan
1tan = 1tan =α时等号成立，所以 = ．
11．
【答案】B
【解析】 ，则 的图象在 处的切线斜率 ，
由于切线与直线 垂直，则有 ，则 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，由于输出的 的值为 ，故总共循环了 次，
此时 ，故 的值可以为 ．
12． 【答案】C
【解析】由 为 上的奇函数，且 ，得 ，
故函数 的周期为 ，所以 ，所以 ．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．【答案】
【解析】 ， 满足约束条件 的可行域如下图，
由 ，得 ；由 ，得 ，
将目标函数化为 ，由图可知，当直线 经过点 时目标函数取得最小
值，
α
4
π
axxf +=′ 2)( ( )y f x=
2
1=x afk +=′= 1)2
1(
2 0x y+ = 1)1)(2
1( −=+− a 1a =
2( ) ( 1)f x x x x x= + = +
1
11
)(
1
+−=
kkkf
1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( )2 2 3 1S k k
= − + − + + − + k 15 15
1 1 1 1 1 15(1 ) ( ) ( )2 2 3 15 16 16S = − + − + + − = t 15
14
)(xf R ( 2) ( ) 0f x f x− − − = ( 2) ( )f x f x− = −
)(xf 4 (2019) (3) ( 3) (1)f f f f e= = − − = − = − (1)f e=
40
13
−
x y
1 0
2 3 6 0
3 2 6 0
x y
x y
x y
− + ≤
+ − ≤
− + ≥
2 3 6 0
3 2 6 0
x y
x y
+ − =
− + = )13
30,13
6(−A 1 0
3 2 6 0
x y
x y
− + =
− + = )3,4( −−B
22
1 zxy −=
22
1 zxy −= A所以 ；
当直线 经过点 时目标函数取得最大值，所以 ，
所以有 ．
14． 【答案】
【解析】 ，所以 ，设 与 的夹角为 ，
则 ，又因为 ，所以 ．
15．【答案】
【解析】设 外接圆的半径为 ，则 ，∴ ，
设三棱锥 外接球的半径为 ，则 ，
故外接球的表面积 ．
16．【答案】 或
【解析】点 到直线 的距离 ，
当 时， ，所以 ；
当 时， ，所以 ．
综上， 或 ．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12 分）在正项等比数列 中，已知 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）设公比为 ，则由题意可知： ，
13
66
min −=z
22
1 zxy −= B 2max =z
66 2 4
3
0
131
−− + =
120°
2 2 2| | | | 4 4 | | 42a b a a b b= −− ⋅ + = | 2 | 2a b =− b 2a b− θ
( 2 ) 1cos 2| || 2 |
b a b
b a b
θ ⋅ −= = −
−
[0 ,180 ]θ ∈ ° ° 120θ = °
π20
ABC∆ r 4sin2 AB
A Br C∠= = 2r =
P ABC− R 2 2 2( ) 52
PAR r= + =
24 20S Rπ π= =
5− 5
P l | 5 cos 2 5 sin |
2
kd
θ θ+ +=
0k ≥ 5 5 2
2
kd
+≤ = 5k =
0k < | 5 | 5 5 2
2 2
k kd
− + −≤ = = 5k = −
5k = − 5
{ }na 1031 =+ aa 4053 =+ aa
{ }na
nn ab 2log= 2( }1){ n
nb− 100 100S
q
2
1
2 2
1
(1 ) 10
(1 ) 40
a q
a q q
+ = + =又 ，所以 ，所以 = ．
（2） ，∴
．
18．（12 分）新高考 最大的特点就是取消文理科，除语文、数学、外语之外，从物理、
化学、生物、政治、历史、地理这 科中自由选择三门科目作为选考科目．某研究机构为了了
解学生对全理（选择物理、化学、生物）的选择是否与性别有关，觉得从某学校高一年级的
名学生中随机抽取男生，女生各 人进行模拟选科．经统计，选择全理的人数比不选全理的
人数多 人．
（1）请完成下面的 列联表；
（2）估计有多大把握认为选择全理与性别有关，并说明理由；
（3）现从这 名学生中已经选取了男生 名，女生 名进行座谈，从中抽取 名代表作问卷
调查，求至少抽到一名女生的概率．
附： ，其中 ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．
【解析】（1）依题意可得列联表：
0q >
=
=
2
21
q
a 1
1
−= n
n qaa n2
nb n= 2 2 2 2 2 2
100 1 2 3 4 99 100S b b b b b b= − + − + − − +
2 2 2 2 2 21 2 3 4 99 100 3 7 11 195 199= − + − + − − + = + + + + +
50(3 199) 50502
+= =
3 3+
6
650
25
10
2 2×
50 3 2 2
))()()((
)( 2
2
dbcadcba
bcadnK ++++
−= dcban +++=（2） ，
∴ 的把握认为选择全理与性别有关．
（3）设 名男生分别为 ， ， ，两名女生分别为 ， ．
从 名 学 生 中 抽 取 名 所 有 的 可 能 为 ， ， ，
共 种，
不包含女生的基本事件有 ，共 种，故所求概率 ．
19．（12 分）如图，已知四棱锥 中， 平面 ， 为等边三角形，
， 是 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求点 到平面 的距离．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）∵ 平面 ， 平面 ，∴ ，
∵ ， 是 的中点，∴ ，
又 ，∴ 平面 ．
（2）∵ ， 平面 ，∴ 平面 ，
∴ ，∴ ．
同理在 中， ，在梯形 中，易得 ．
2
2 50 (20 15 10 5) 8.333 7.87930 20 25 25K
× × − ×= ≈ >× × ×
99.5%
3 1 2 3 4 5
5 2 (1,2),(1,3) (1,4),(1,5) (2,3),(2,4)
(2,5),(3,4),(3,5),(4,5) 10
(1,2),(1,3),(2,3) 3 3 71 10 10P = − =
P ABCD− CD ⊥ PAD PAD∆
AB CD∥ M PD
AM ⊥ PCD
1 22AB AD CD= = = M PBC
CD ⊥ PAD AM ⊂ PAD AM CD⊥
AP AD= M PD AM PD⊥
PD CD D∩ = AM ⊥ PCD
AB CD∥ CD ⊥ PAD AB ⊥ PAD
AB PA⊥ 2 2 2 2PB PA AB= + =
Rt PCD∆ 52=PC ABCD 2 2BC =所以等腰 底边 上的高为 ，所以 ，
又 ，∵ ， 平面 ，∴ 平面 ，
∴点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，
∵ ，∴ ．
设点 到平面 的距离为 ，则由 ，得 ，
所以 ．
∵点 为 的中点，∴点 到平面 的距离为 ．
20．（12 分）已知抛物线 ，其焦点为 ，直线 过点 与 交于 、
两点，当 的斜率为 时， ．
（1）求 的值；
（2）在 轴上是否存在一点 满足 （点 为坐标原点）？若存在，求
点的
坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1） ，当直线 的斜率为 时，其方程为 ，
设 ， ，由 ，得 ，
把 代入抛物线方程得 ，
所以 ，所以 ，所以 ．
（2）由（1）可知，抛物线 ， ，由题意可知，直线 的斜率存在，
设其方程为 ，将其代入抛物线方程为 ，
则 ， ，
PBC∆ PC 3 153522
1 =××=∆PBCS
1 4 2 42PCDS∆ = × × = AB CD∥ CD ⊂ PCD AB∥ PCD
B PCD A PCD
3AM = 1 1 4 34 33 3 3B PCD PCDV S AM− ∆= ⋅ = × × =
D PBC d D PBC B PCDV V− −= 15 4 3
3 3d =
4 5
5d =
M PD M PBC 2 5
2 5
d =
2: 2 ( 0)C x py p= > F l F C M N
l 1 | | 8MN =
p
y P OPM OPN∠ = ∠ O P
(0, )2
pF l 1 2
pxy +=
),( 11 yxM ),( 22 yxN 2
pxy +=
2
pyx −=
2
pyx −=
2
2 3 04
py py− + =
pyy 321 =+ 1 2| | 4 8MN y y p p= + + = = 2p =
2: 4C x y= (0,1)F l
1+= kxy 0442 =−− kxx
kxx 421 =+ 421 −=xx假设在 轴上存在一点 满足 ，
则 ，即 ，即 ，
所以 ，即 ，
由 于 ， 所 以 ， 即 ， 即 在 轴 上 存 在 点 满 足
．
21．（12 分）已知函数 ， ．
（1）设函数 ，若 是函数 的唯一极值点，求实数 的取值范
围；
（2）若函数 有两个零点 ， ，证明： ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】由 ，可得 ，
∵函数 有唯一极值点 ，∴ ，即 恒成立，
设 ，则 ，
当 时， ，函数 单调递减；当 时， ，函数 单调递增，
所以 ，所以 ，即实数 的取值范围是 ．
（2） ，∵ ， 是函数 的两个零点，
∴ ， ，∴ ，
∴ ．
要证 ，即证 ．
y ),0( tP OPM OPN∠ = ∠
0=+ PNPM kk 1 2
1 2
0y t y t
x x
− −+ = 1 2 2 11 ) 1 ) 0kx t x kx t x+ − + + − =（ （
0))(1(2 2121 =+−+ xxtxkx 0)1( =+tk
Rk ∈ 1−=t )1,0( −P y )1,0( −P
POM PON∠ = ∠
( )
xef x mx
= − )(ln)( xxmxg −=
)()()( xgxfxF += 1=x )(xF m
)()( xxfxh = 1x 2x 1 2( ) ( ) 0h x h x′ ′+ >
( ) (ln )
xeF x m m x xx
= − + − 1( ) ( )( 0)
xx eF x m xx x
−′ = − >
)(xF 1=x 0≥− mx
e x
mx
e x
≥
)0()( >= xx
exc
x
2
)1()( x
xexc
x −=′
10 x ( ) 0c x′ > )(xc
ecxc == )1()( min em ≤ m ],( e−∞
( ) ( ) ( 0)xh x xf x e mx x= = − ≠ 1x 2x )(xh
1
1 mxe x = 2
2 mxe x = 1 2
1 2
x xe em x x
−= −
1 2 1 2
1 2( ) ( ) 2x x x xh x h x e m e m e e m′ ′+ = − + − = + − = 1 2
1 2
1 2
2
x x
x x e ee e x x
−+ − × −
1 2( ) ( ) 0h x h x′ ′+ > 1 2
1 2
1 2
2 0
x x
x x e ee e x x
−+ − × >−设 ，则 等价于 ，
即证 ，
令 ，且 ，即证 ，则 ，
则 ,令 ，则 ，
故 在 上单调递增，故 ，
所以函数 在 上单调递增，所以 ．
即 对任意 恒成立，所以 ．
请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
【选修 4-4：坐标系与参数方程】
22．（10 分）在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）．以坐标
原 点 为 极 点 ， 以 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 ， 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 的 极 坐 标 方 程 为
．
（1）求曲线 的普通方程；
（2）已知 ，直线 与曲线 交于 ， 两点，求 的最大值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）∵ ，∴ ，
∴ ，即 ．
（ 2 ） 将 直 线 的 参 数 方 程 （ 为 参 数 ） 代 入 的 普 通 方 程
，得 ，则 ， ，
所以 ，
所以 ，即 的最大值为 ．
1 2x x> 1 2
1 2
1 2
2 0
x x
x x e ee e x x
−+ − × >−
1 2 1 2
1 2( )( ) 2( ) 0x x x xx x e e e e− + − − >
1 2 1 2
1 2( )( 1) 2 1) 0x x x xx x e e− −− + − − >（
1 2t x x= − 0t > ( 1) 2( 1) 0t tt e e+ − − > )0)(1(2)1()( >−−+= teettm tt
0,1)1()( >+−=′ tettm t 1)1()( +−= tettϕ ( ) 0tt teϕ′ = >
)()( tmt ′=ϕ (0, )+∞ ( ) (0) 0m t m′ ′> =
)(tm (0, )+∞ ( ) (0) 0m t m> =
( 1) 2( 1) 0t tt e e+ − − > 0t > 1 2( ) ( ) 0h x h x′ ′+ >
xOy l 1 cos
2 sin
x t
y t
α
α
= +
= + t
x C
2cos 4sin 0ρ θ θ+ − =
C
(1,2)M l C P Q 2 2| | | |MP MQ+
2cos 4sin 0ρ θ θ+ − = 2 2 cos 4 sin 0ρ ρ θ ρ θ+ − =
04222 =−++ yxyx 5)2()1( 22 =−++ yx
l 1 cos
2 sin
x t
y t
α
α
= +
= + t C
5)2()1( 22 =−++ yx 2 4cos 1 0t tα+ − = αcos421 −=+ tt 121 −=tt
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2| | | | | | | | ( ) 2 16cos 2 18MP MQ t t t t t t α+ = + = + − = + ≤
2 2| | | | 3 2MP MQ+ ≤ 2 2MP MQ+ 3 2【选修 4-5：不等式选讲】
23．（10 分）已知函数 ．
（1）求不等式 的解集；
（2）设函数 ，若存在 使 成立，求实数 的取值范
围．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）当 时，原不等式可化为 ，无解；
当 时，原不等式可化为 ，从而 ；
当 时，原不等式可化为 ，从而 ．
综上，原不等式的解集为 ．
（2）由 得 ，又 ，
所以 ，即 ，解得 ，所以 的取值范围为 ．
( ) | 1| | 2 |f x x x= − + +
03)( ≤−− xxf
( ) ( ) 2 | 2 |g x f x x= − + x 2( ) 2g x λ λ≥ − λ
2−x 02 ≤−x 21 ≤< x
[0,2]
2( ) 2g x λ λ≥ − 2
max( ) 2g x λ λ≥ − ( ) ( ) 2| 2| | 1| | 2| 3g x f x x x x= − + = − − + ≤
2 2 3λ λ− ≤ 2 2 3 0λ λ− − ≤ 31 ≤≤− λ λ [ 1,3]−
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