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(由学生讨论、分析) 引导学生观察相邻两项间的关系,得到:     对于数列①,从第2项起,每一项与前一项的差都等于 5  ;     对于数列②,从第2项起,每一项与前一项的差都等于 5  ;     对于数列③,从第2项起,每一项与前一项的差都等于 -2.5  ;     对于数列④,从第2项起,每一项与前一项的差都等于 72  ;    由学生归纳和概括出,以上四个数列从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一个常数(即:每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点)。     [等差数列的概念]   对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征,尝试着给等差数列下个定义:   等差数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列。   这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。那么对于以上四组等差数列,它们的公差依次是5,5,-2.5,72。     提问:如果在与中间插入一个数A,使,A,成等差数列数列,那么A应满足什么条件?   由学生回答:因为a,A,b组成了一个等差数列,那么由定义可以知道: A-a=b-A                 所以就有 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,这时,A叫做a与b的等差中项。 不难发现,在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项。 如数列:1,3,5,7,9,11,13…中5是3和7的等差中项,1和9的等差中项。9是7和11的等差中项,5和13的等差中项。 看来,从而可得在一等差数列中,若m+n=p+q则      [等差数列的通项公式] 对于以上的等差数列,我们能不能用通项公式将它们表示出来呢?这是我们接下来要学习的内容。 ⑴、我们是通过研究数列的第n项与序号n之间的关系去写出数列的通项公式的。下面由同学们根据通项公式的定义,写出这四组等差数列的通项公式。 由学生经过分析写出通项公式: ①     这个数列的第一项是5,第2项是10(=5+5),第3项是15(=5+5+5),第4项是20(=5+5+5+5),……由此可以猜想得到这个数列的通项公式是 ②  这个数列的第一项是48,第2项是53(=48+5),第3项是58(=48+5×2),第4项是63(=48+5×3),由此可以猜想得到这个数列的通项公式是 ③  这个数列的第一项是18,第2项是15.5(=18-2.5),第3项是13(=18-2.5×2),第4项是10.5(=18-2.5×3),第5项是8(=18-2.5×4),第6项是5.5(=18-2.5×5)由此可以猜想得到这个数列的通项公式是 ④  这个数列的第一项是10072,第2项是10144(=10172+72),第3项是10216(=10072+72×2),第4项是10288(=10072+72×3),第5项是10360(=10072+72×4),由此可以猜想得到这个数列的通项公式是 ⑵、那么,如果任意给了一个等差数列的首项和公差d,它的通项公式是什么呢?   引导学生根据等差数列的定义进行归纳:                     (n-1)个等式      所以                            ……   思考:那么通项公式到底如何表达呢?                         ……     得出通项公式:由此我们可以猜想得出:以为首项,d为公差的等差数列的通项公式为:    也就是说,只要我们知道了等差数列的首项和公差d,那么这个等差数列的通项就可以表示出来了。 选讲:除此之外,还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式:   (迭加法): 是等差数列,所以                                                                                                            ……                                             两边分别相加得                  所以                    (迭代法):是等差数列,则有                                                                                                                                                                                                        ……                                                           所以             [例题分析]   例1、⑴求等差数列8,5,2,…的第20项. ⑵-401是不是等差数列-5,-9,-13,…的项?如果是,是第几项? 分析:⑴要求出第20项,可以利用通项公式求出来。首项知道了,还需要知道的是该等差数列的公差,由公差的定义可以求出公差;       ⑵这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题。要判断这个数是不是数列中的项,就是要看它是否满足该数列的通项公式,并且需要注意的是,项数是否有意义。 解:⑴由=8,d=5-8=-3,n=20,得     ⑵由=-5,d=-9-(-5)=-4,得这个数列的通项公式为由题意知,本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立。     解这个关于n的方程,得n=100,即-401是这个数列的第100项。 例题评述:从该例题中可以看出,等差数列的通项公式其实就是一个关于、、d、n(独立的量有3个)的方程;另外,要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项,当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数,如果不是正整数,那么它就不是数列中的项。 (放投影片)例2.某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元,即最初的4km(不含4千米)计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,需要支付多少车费? 解:根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4km时,每增加1km,乘客需要支付1.2元.所以,我们可以建立一个等差数列来计算车费.    令=11.2,表示4km处的车费,公差d=1.2。那么当出租车行至14km处时,n=11,此时需要支付车费  答:需要支付车费23.2元。 例题评述:这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用,要学会从实际问题中抽象出等差数列模型,用等差数列的知识解决实际问题。 (放投影片)思考例题:例3 已知数列的通项公式为其中p、q为常数,且p≠0,那么这个数列一定是等差数列吗? 分析:判定是不是等差数列,可以利用等差数列的定义,也就是看(n>1)是不是一个与n无关的常数。 解:取数列中的任意相邻两项(n>1), 求差得     它是一个与n无关的数. 所以是等差数列。 课本左边“旁注”:这个等差数列的首项与公差分别是多少? 这个数列的首项。由此我们可以知道对于通项公式是形如的数列,一定是等差数列,一次项系数p就是这个等差数列的公差,首项是p+q.   例题评述:通过这个例题我们知道判断一个数列是否是等差数列的方法:如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数,那么这个数列必定是等差数列。     [探究]   引导学生动手画图研究完成以下探究:   ⑴在直角坐标系中,画出通项公式为的数列的图象。这个图象有什么特点?   ⑵在同一个直角坐标系中,画出函数y=3x-5的图象,你发现了什么?据此说一说等差数列与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系。   分析:⑴n为正整数,当n取1,2,3,……时,对应的可以利用通项公式求出。经过描点知道该图象是均匀分布的一群孤立点;   ⑵画出函数y=3x-5的图象一条直线后发现数列的图象(点)在直线上,数列的图象是改一次函数当x在正整数范围内取值时相应的点的集合。于是可以得出结论:等差数列的图象是一次函数y=px+q的图象的一个子集,是y=px+q定义在正整数集上对应的点的集合。   该处还可以引导学生从等差数列中的p的几何意义去探究。     [随堂练习]   例1之后:课本45页“练习”第1题;   例2之后:课本45页“练习”第2题;   [课堂小结]   本节主要内容为:   ①等差数列定义:即(n≥2)   ②等差数列通项公式:(n≥1)   推导出公式:   (五)评价设计   1、已知是等差数列.   ⑴ 是否成立?呢?为什么?   ⑵ 是否成立?据此你能得出什么结论?    是否成立?据此你又能得出什么结论?   2、已知等差数列的公差为d.求证: 查看更多

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