资料简介
一次函数动点问题
1 如图，直线 的解析表达式为 ，且 与 轴交于点 ，直线 经过点 ，直
线 ， 交于点 ．
（1）求点 的坐标；
（2）求直线 的解析表达式；
（3）求 的面积；
（4）在直线 上存在异于点 的另一点 ，使得
与 的面积相等，请直接写出点 的坐标．
2 如图,以等边△OAB 的边 OB 所在直线为 x 轴,点 O 为坐标原点,使点 A 在第一象限建立平面
直角坐标系，其中△OAB 边长为 6 个单位，点 P 从 O 点出发沿折线 OAB 向 B 点以 3 单位/秒
的速度向 B 点运动,点 Q 从 O 点出发以 2 单位/秒的速度沿折线 OBA 向 A 点运动，两点同时
出发，运动时间为 t（单位：秒），当两点相遇时运动停止.
① 点 A 坐标为_____________，P、Q 两点相遇时交点的坐标为________________;
② 当 t=2 时， ____________;当 t=3 时， ____________;
③ 设△OPQ 的面积为 S，试求 S 关于 t 的函数关系式;
④ 当△OPQ 的面积最大时，试求在 y 轴上能否找一点 M，使得以 M、P、Q 为顶点的三角形
是 Rt△，若能找到请求出 M 点的坐标，若不能找到请简单说明理由。
1l 3 3y x= − + 1l x D 2l A B，
1l 2l C
D
2l
ADC△
2l C P
ADP△ ADC△ P
x
y
O
A
B x
y
O
A
B x
y
O
A
B
S =△OPQ OPQS =△3 如图，在 Rt△AOB 中，∠AOB=90°，OA=3cm，OB=4cm，以点 O 为坐标原点建立坐标系，
设 P、Q 分别为 AB、OB 边上的动点它们同时分别从点 A、O 向 B 点匀速运动，速度均为
1cm/秒，设 P、Q 移动时间为 t（0≤t≤4）
（1）过点 P 做 PM⊥OA 于 M，求证：AM：AO=PM：BO=AP：AB，并求出 P 点的坐标
（用 t 表示）
（2）求△OPQ 面积 S（cm2），与运动时间 t（秒）之间的函数关系式，当 t 为何值时，S
有最大值？最大是多少？
（3）当 t 为何值时，△OPQ 为直角三角形？
（4）证明无论 t 为何值时，△OPQ 都不可能为正三角形。若点 P 运动速度不变改变 Q 的
运动速度，使△OPQ 为正三角形，求 Q 点运动的速度和此时 t 的值。
[来源:学。科。网]
6 如图，在平面直角坐标系中．四边形 OABC 是平行四边形．直线 经过 O、C 两点．点 A 的坐标为(8，o)
，点 B 的坐标为(11．4)，动点 P 在线段 OA 上从点 O 出发以每秒 1 个单位的速度向点 A 运动，同时动点 Q
从点 A 出发以每秒 2 个单位的速度沿 A→B→C 的方向向点 C 运动，过点 P 作 PM 垂直于 x 轴，与折线 O 一
C—B 相交于点 M。当 P、Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点 P、Q 运动的时间为 t
秒( )．△MPQ 的面积为 S．
（1）点 C 的坐标为___________，直线 的解析式为_ __________．(每空 l 分，共 2 分)
（2）试求点 Q 与点 M 相遇前 S 与 t 的函数关系式，并写出相应的 t 的取值范围。
（3）试求题(2)中当 t 为何值时，S 的值最大，并求出 S 的最大值。
（4）随着 P、Q 两点的运动，当点 M 在线段 CB 上运动时，设 PM 的延长线与直线 相交于点 N。试探究：
当 t 为何值时，△QMN 为等腰三角形？请直接写出 t 的值．
l
0t >
l
l4、如图(1),在矩形 ABCD 中,AB=10cm,BC=8cm,点 P 从 A 出发, 沿 A→B→C→D 路线运动,到 D 停止;点 Q 从 D
出发,沿 D→C→B→A 路线运动,到 A 停止. 若点 P、点 Q 同时出发,点 P 的速度为 1cm/s,点 Q 的速度为
2cm/s,as 时点 P、点 Q 同时改变速度,点 P 的速度变为 bcm/s,点 Q 的速度变为 dcm/s .图(2)是点 P 出发 x
秒后△APD 的面积 S1(cm2)与 x(s)的函数关系图象;图(3)是点 Q 出发 x 秒后△AQD 的面积 S 2(cm2)与 x(s)
的函数关系图象.
(1)参照图(2),求 a、b 及图(2)中 c 的值;
(2)求 d 的值;
(3)设点 P 离开点 A 的路程为 y1(cm),点 Q 到 A 还需走的路程为 y2(cm), 请分别写出动点 P、Q 改变速度
后 y1、y2 与出发后的运动时间 x(s)的函数关系式,并求出 P、Q 相遇时 x 的值;
(4)当点 Q 出发_______s 时,点 P、点 Q 在运动路线上相距的路程为 25cm.
5、如图，正方形 的边长为 5， 为 边上一动点，设 的长为 ，
的面积为 ， 与 之间的函数关系式，及自变量 的取值范围
12．如图 1，在直角梯形 ABCD 中，动点 P 从点 B 出发，沿 BC，CD 运动至点 D 停止．设点 P 运动的路程
为 ，△ABP 的面积为 y，如果 y 关于 x 的函数图象如图 2 所示，则△BCD 的面积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
(1)
P
Q C
BA
D
x(秒)
(2)
20
8
40
caO
S1(cm2)
x(秒)
(3)
22
40
O
S2(cm2)
ABCD P CD DP x
ADP∆ y y x x
x
图 1
2O 5 xA B
C
P
D
图 213．（2009 威海）如图，△ABC 和的△DEF 是等腰直角三角形，
∠C=∠F=90°，AB=2.DE=4．点 B 与点 D 重合，点 A,B(D),E
在同一条直线上，将△ABC 沿 方向平移，至点 A 与点
E 重合时停止．设点 B,D 之间的距离为 x，△ABC 与△DEF 重叠
部分的面积为 y，则准确反映 y 与 x 之间对应关系的图象是（ ）
40．（2009 年济南）如图，点 G、D、C 在直线 a 上，点 E、F、A、B 在直线 b 上，若
从如图所示的位置出发，沿直线 b 向右匀速运动，直到 EG 与 BC 重合．运动过程中 与矩形
重合部分的面积（S）随时间（t）变化的图象大致是（ ）
45．（2009 年牡丹江）如图，平面直角坐标系中，在边长为 1 的正方形 的边上有一动点 沿
运动一周，则 的纵坐标 与点 走过的路程 之间的函数关系用图象表示大致
是（ ）
46．如图，动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 运动至点 B 后，立即按原路返回，点 P 在运动过程中速度大小
不变，则以点 A 为圆心，线段 AP 长为半径的圆的面积 S 与点 P 的运动时间 t 之间的函数图象大致为（ ）
8．如图，正方形 的边长为 10，点 E 在 CB 的延长线上， ，点 P 在边 CD 上运动（C、D 两
点除外），EP 与 AB 相交于点 F，若 ，四边形 的面积为 ，则 关于 的函数关系式是 ．
ABCD P
A B C D A→ → → → P y P s
ABCD 10EB =
CP x= FBCP y y x
D E→
a b Rt GEF∥ ， △
GEF△ ABCD
O
S
t O
S
t O
S
t O
S
t
A P B
A． B． C． D．
（第 8 题）
G D C
E F A B b
a
（第 11 题
图）
s
tO
A
．
s
tO
B
．
C
．
s
tO
D
．
s
tO
1 2 3 4
1
2
y
sO 1 2 3 4
1
2
y
sO s 1 2 3 4
1
2
y
sO1 2 3 4
1
2
y
O
A. B. C. D.
P
D
C
B
F
A
E2、如图，直线 与 x 轴、y 轴分别交于点 E、F，点 E 的坐标为（-8，0），点 A 的坐标为（-6，0
）。
（1）求 的值；
（2）若点 P（ ， ）是第二象限内的直线上的一个动点，在点 P 的运动过程中，
试写出△OPA 的面积 S 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；
（3）探究：当点 P 运动到什么位置时，△OPA 的面积为
27
8 ，并说明理由。
选择与填空：
1 如图 1，在直角梯形 ABCD 中，动点 P 从点 B 出发，沿 BC，CD 运动至点 D 停止．设点 P 运动的路程为
，△ ABP 的面积为 y，如果 y 关于 x 的函数图象如图 2 所示，则△BCD 的面积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2 如图，△ABC 和的△DEF 是等腰直角三角形，
∠C=∠F=90°，AB=2.DE=4．点 B 与点 D 重合，点 A,B(D),E
在同一条直线上，将△ABC 沿 方向平移，至点 A 与点
E 重合时停止．设点 B,D 之间的距离为 x，△ABC 与△DEF 重叠
部分的面积为 y，则准确反映 y 与 x 之间对应关系的图象是（ ）
3 如图，点 G、D、C 在直线 a 上，点 E、F、A、B 在直线 b 上，若 从如图所示的位置出
发，沿直线 b 向右匀速运动，直到 EG 与 BC 重合．运动过程中 与矩形 重合部分的面积（S）
随时间（t）变化的图象大致是（ ）
6y kx= +
k
x y
x
图 1
2O 5 xA B
C
P
D
图 2
D E→
a b Rt GEF∥ ， △
GEF△ ABCD
G D C
E F A B b
a
（第 11 题
图）
s
tO
A
．
s
tO
B
．
C
．
s
tO
D
．
s
tO4 如图，平面直角坐标系中，在边长为 1 的正方形 的边上有一动点 沿 运
动一周，则 的纵坐标 与点 走过的路程 之间的函数关系用图象表示大致是（ ）
5 如图，动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 运动至点 B 后，立即按原路返回，点 P 在运动过程中速度大小不
变，则以点 A 为圆心，线段 AP 长为半径的圆的面积 S 与点 P 的运动时间 t 之间的函数图象大致为（ ）
6 如图，正方形 的边长为 10，点 E 在 CB 的延长线上， ，点 P 在边 CD 上运动（C、D 两点
除外），EP 与 AB 相交于点 F，若 ，四边形 的面积为 ，则 关于 的函数关系式是 ．
解答：
7 如图(1),在矩形 ABCD 中,AB=10cm,BC=8cm,点 P 从 A 出发, 沿 A→B→C→D 路线运动,到 D 停止;点 Q 从 D
出发,沿 D→C→B→A 路线运动,到 A 停止. 若点 P、点 Q 同时出发,点 P 的速度为 1cm/s,点 Q 的速度为
2cm/s,as 时点 P、点 Q 同时改变速度,点 P 的速度变为 bcm/s,点 Q 的速度变为 dcm/s .图(2)是点 P 出发
x 秒后△APD 的面积 S1(cm2)与 x(s)的函数关系图象;图(3)是点 Q 出发 x 秒后△AQD 的面积 S 2(cm2)与
x(s)的函数关系图象.
(1)参照图(2),求 a、b 及图(2)中 c 的值;
(2)求 d 的值;
(3)设点 P 离开点 A 的路程为 y1(cm),点 Q 到 A 还需走的路程为 y2(cm), 请分别写出动点 P、Q 改变速度
后 y1、y2 与出发后的运动时间 x(s)的函数关系式,并求出 P、Q 相遇时 x 的值;
(4)当点 Q 出发_______s 时,点 P、点 Q 在运动路线上相距的路程为 25cm.
ABCD P A B C D A→ → → →
P y P s
ABCD 10EB =
CP x= FBCP y y x
O
S
t O
S
t O
S
t O
S
t
A P B
A． B． C． D．
（第 5 题）
1 2 3 4
1
2
y
sO 1 2 3 4
1
2
y
sO s 1 2 3 4
1
2
y
sO1 2 3 4
1
2
y
O
A. B. C. D.
P
D
C
B
F
A
E8 如图，正方形 的边长为 5， 为 边上一动点，设 的长为 ，
的面积为 ， 与 之间的函数关系式，及自变量 的取值范围
9 如图，直线 与 x 轴、y 轴分别交于点 E、F，点 E 的坐标为（-8，0），点 A 的坐标为（-6，0）
。
（1）求 的值；
（2）若点 P（ ， ）是第二象限内的直线上的一个动点，在点 P 的运动过程中，
试写出△OPA 的面积 S 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；
（3）探究：当点 P 运动到什么位置时，△OPA 的面积为
27
8 ，并说明理由。
八年级数学《一次函数动点问题》练习题
1、如果一次函数 y=-x+1 的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A 点、B 点，点 M 在 x 轴上，并且使以点 A、
B、M 为顶点的三角形是等腰三角形，那么这样的点 M 有（ ）。
A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．7 个
2、直线与 y=x-1 与两坐标轴分别交于 A、B 两点，点 C 在坐标轴上，若△ABC 为等腰三角形，则满足条
件的点 C 最多有（ ）.
A．4 个 B．5 个 C．6 个 D．7 个
(1)
P
Q C
BA
D
x(秒)
(2)
20
8
40
caO
S1(cm2)
x(秒)
(3)
22
40
O
S2(cm2)
ABCD P CD DP x
ADP∆ y y x x
6y kx= +
k
x yx
y
O
B
A
3、直线 与坐标轴分别交于 A、B 两点，动点 P、Q 同时从 O 点出发，同时到达 A 点，运
动停止．点 Q 沿线段 OA 运动，速度为每秒 1 个单位长度，点 P 沿路线 O⇒B⇒A 运动．
（1）直接写出 A、B 两点的坐标；
（2）设点 Q 的运动时间为 t（秒），△OPQ 的面积为 S，求出 S 与 t 之间的函数关系式；
（3）当 时，求出点 P 的坐标，并直接写出以点 O、P、Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点 M
的坐标．
4、如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 交于点 ，分别交 轴于点 和
点 ，点 是直线 上的一个动点．
（1）求点 的坐标．
（2）当 为等腰三角形时，求点 的坐标．
（3）在直线 上是否存在点 ，使得以点
为顶点的四边形是平行四边形？
5、如图：直线 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点， ，点 C(x,y)是直线 y＝kx＋3 上与 A、
B 不重合的动点。
（1）求直线 的解析式；
（2）当点 C 运动到什么位置时△AOC 的面积是 6；
（3）过点 C 的另一直线 CD 与 y 轴相交于 D 点，是否存
在点 C 使△BCD 与△AOB 全等？若存在，请求出点
C 的坐标；若不存在，请说明理由。
二、经典例题：
1、已知，如图在边长为 2 的等边△ABC 中，E 是 AB 边上不同于点 A、点 B 的一动点，过点 E
作 ED⊥BC 于点 D，过点 D 作 DH⊥AC 于点 H，过点 H 作 HF⊥AB 于点 F，设 BE 的长为 x，AF 的
长为 y；
⑴求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 的范围；
⑵当 x 为何值时，点 E 与点 F 重合，判断这 时 △ EDH 为
什么三角形（判断形状，不需证明）.
64
3 +−= xy
5
48=S
xOy 1y x= + 3 34y x= − + A x B
C D AC
A B C， ，
CBD△ D
AB E E D O A， ， ，
3+= kxy 4
3=
OA
OB
3+= kxy
A
y
x
D
COB2、如图，点 A、B、C 的坐标分别是（0，4），（2，4），（6，0）.点 M 是折线 ABC 上一个
动点，MN⊥x 轴于 N ，设 ON 的长为 x,MN 左侧部分多边形的面积为 S.
⑴写出 S 与 x 的函数关系式；
⑵当 x=3 时，求 S 的值.
3、如图，已知在平面直角坐标系中，直线 l
：y=- x+2
分别交两坐标轴于 A、B 两点，M 是线段 AB 上一个动点，设 M 的横坐标为 x,△OMB 的面积为 S
；
⑴写出 S 与 x 的函数关系式；
⑵若△OMB 的面积为 3，求点 M 的坐标；
⑶当△OMB 是以 OB 为底的等腰三角形时,求它的面积；
⑷画出函数 s 图象.
四、自我检测：
如图，直线 OC、BC 的函数关系式分别为 y=x 和 y=-2x+6,动点 P(x,0)在 OB 上移动(0
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