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第三章 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题3.3.2 简单的线性规划问题第二课时 线性规划的实际应用课时分层训练1．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克，B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )A．1800元 B．2400元C．2800元D．3100元解析：选C 设每天分别生产甲产品x桶，乙产品y桶，相应的利润为z元，于是有得z＝300x＋400y，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x＋400y＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点A(4,4)时，相应直线在y轴上的截距达到最大，此时z＝300x＋400y取得最大值，最大值是z＝300×4＋400×4＝2800，即该公司可获得的最大利润是2800元．故选C.2．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )A．36万元B．31.2万元
C．30.4万元D．24万元解析：选B 设投资甲项目为x万元，投资乙项目为y万元，获得利润为z万元，则z＝0.4x＋0.6y，且作出不等式组表示的区域，如图所示，作直线l0：0.4x＋0.6y＝0，并将l0向上平移到过A点时z取得最大值，由解得即zmax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)，故选B.3．某学校用800元购买A、B两种教学用品，A种用品每件100元，B种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A、B两种用品应各买的件数为( )A．2,4B．3,3C．4,2D．不确定解析：选B 设买A种用品x件，B种用品y件，剩下的钱为z元，则求z＝800－100x－160y取得最小值时的整数解(x，y)，用图解法求得整数解为(3,3)，即买A种用品3件，B种用品3件．故选B.4．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )A．2000元B．2200元C．2400元D．2800元解析：选B 设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，得线性约束条件目标函数z＝400x＋300y，画图可知，当平移直线400x＋300y＝0至经过点(4,2)时，z取得最小值2200.
5．某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱解析：选B 设甲车间加工x箱原料，乙车间加工y箱原料，甲、乙两车间每天总获利为z元．依题意，得z＝7×40x＋4×50y＝280x＋200y，作出可行域如图中阴影部分，联立⇒知z在A点取得最大值．6．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：
ab(万吨)c(百万元)A50%13B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为(百万元)．解析：设购买铁矿石A，B分别为x，y万吨，购买铁矿石的费用为z(百万元)，则目标函数z＝3x＋6y.由得记P(1,2)，画出可行域，如图所示．当目标函数z＝3x＋6y过点P(1,2)时，z取到最小值，且最小值为zmin＝3×1＋6×2＝15.答案：157．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．解析：设生产A产品x件，B产品y件，由已知可得约束条件为即目标函数为z＝2100x＋900y，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分．作直线2100x＋900y＝0，即7x＋3y＝0，当直线经过点M时，z取得最大值，联立解得M(60,100)．则zmax＝2100×60＋900×100＝216000(元)．答案：216000
8．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，则黄瓜的种植面积应为亩．解析：设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x亩、y亩，总利润为z万元，则目标函数为z＝(0.55×4x－1.2x)＋(0.3×6y－0.9y)＝x＋0.9y.线性约束条件为即画出可行域，如图中阴影部分所示．作出直线l0：x＋0.9y＝0，向上平移至过点A时，z取得最大值，由得A点坐标为(30,20)．答案：309．某人承担一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个，现有两种规格的原料，甲种规格每张3m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使得总用料面积最小．解：设需要甲种原料x张，乙种原料y张，由题意可得所用原料的总面积为z＝3x＋2y，作出可行域如图．作直线l0：3x＋2y＝0，并将l0向上平移，x有最小值．当过直线2x＋y＝5和直线x＋2y＝4的交点A(2,1)时，∴最优解为x＝2，y＝1，∴使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小．
10．长江三峡水利枢纽工程是世界上最大的水利枢纽工程，它的建成将会极大地缓解华中和华东地区的电力紧张态势.2005年8月长江三峡电厂四台机组开始发电，每台机组日最大发电量为0.168亿度，每度电输送成本为0.32元；与三峡相近的长江葛洲坝电厂有八台发电机组，每台机组日最大发电量为0.12亿度，每度电输送成本为0.35元．随着经济的发展，江浙地区日均电需求量至少为1.35亿度．(1)假设你是一位电力调度总指挥，请你设计长江电力公司的两大电厂每天各机组发电输送方案；(2)设电力调度总指挥安排三峡电厂x台机组、葛洲坝电厂y台机组发电输送到江浙地区，长江电力公司电力输送成本为z亿元，写出x，y应满足的条件以及z，x，y之间的函数关系式；(3)假设你是长江电力总公司总经理，为使公司电力输送成本最小，每天如何安排两大电厂的机组发电输送，才能满足江浙地区用电的日均需求量．解：(1)根据题设，设计两大电厂每天各机组发电输送方案如下：方案三峡(台)葛洲坝(台)日最大发电量(亿度)1481.6322471.5123461.3924381.464(2)写出x，y应满足的条件为目标函数为z＝0.32×0.168x＋0.35×0.12y.(3)将上述四种方案中所对应的四个点(4,8)，(4,7)，(4,6)，(3,8)分别代入，可知当点为(4,6)时，即采取方案3时，输送成本最低．1．配置A、B两种药剂都需要甲、乙两种原料，用料要求如下表所示(单位：kg)： 原料药剂 甲乙A25B54药剂A、B至少各配一剂，且药剂A、B
每剂售价分别为100元、200元，现有原料甲20kg，原料乙33kg，那么可以获得的最大销售额为( )A．600元B．700元C．800元D．900元解析：选D 设配制药剂A为x剂，药剂B为y剂，则有不等式组成立，即求u＝100x＋200y在上述线性约束条件下的最大值．借助于线性规划可得x＝5，y＝2时，u最大，umax＝900.2．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是( )A．12万元B．20万元C．25万元D．27万元解析：选D 设生产甲产品x吨、乙产品y吨，则获得的利润为z＝5x＋3y.由题意得可行域如图阴影所示．由图可知当x，y在A点取值时，z取得最大值，此时x＝3，y＝4，z＝5×3＋3×4＝27(万元)．3．一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件4元，乙每件7元，甲商品每件卖出去后可赚1元，乙每件卖出去后可赚1.8元．若要使赚的钱最多，那么该商贩购买甲、乙两种商品的件数应分别为( )A．甲7件，乙3件B．甲9件，乙2件C．甲4件，乙5件D．甲2件，乙6件解析：选D 设甲商品x件，乙商品y件，所赚钱数为z，则目标函数为z＝x＋1.8y，约束条件为作出可行域如图所示，由z＝x＋1.8y，得y＝－x＋，斜率为－>－，所以，由图可知直线过点A时，z取得最大值．又
x，y∈N，所以点A不是最优解．点(0,7)，(2,6)，(9,2)都在可行域内，逐一验证可得，当x＝2，y＝6时，z取得最大值，故选D.4．某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为 ( )A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元解析：选C 设租A型车x轴，B型车y辆，租金为z，则画出可行域(图中阴影区域中的整数点)，则目标函数z＝1600x＋2400y在点N(5,12)处取得最小值36800，故选C.5．某赛事组委会要为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件．制作一等奖和二等奖奖品所用原料完全相同，但工艺不同，故价格有所差异．现有甲、乙两家工厂可以制作奖品(一等奖、二等奖奖品符合要求)，甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵，其具体收费情况如下表：则组委会定做该工艺品的费用总和最低为元．解析：设在甲厂做一等奖奖品x件，二等奖奖品y件，则x∈[0,3]，y∈[0,6]，x＋y≤4，x，y∈N，组委会定做该工艺品的费用总和为z＝500x＋400y＋800(3－x)＋600(6－y)＝100(60－3x－2y)，可行域为一个直角梯形OABC内整数点(包含边界图略)，其中O(0,0)，A(3,0)，B(3,1)，C(0,4)．当直线z＝100(60－3x－2y)过点B(3,1)时费用总和取最小值为4900元．
答案：49006．毕业庆典活动中，某班团支部决定组织班里48名同学去水上公园坐船观赏风景，支部先派一人去了解船只的租金情况，看到的租金价格如下表，那么他们合理设计租船方案后，所付租金最少为元．船型每只船限载人数租金(元/只)大船512小船38解析：设租大船x只，小船y只，则租金z＝12x＋8y，作出可行域如图：由图可知，当直线z＝12x＋8y经过点(9.6,0)时，z取最小值，但x，y∈N，∴当x＝9，y＝1时，zmin＝116.答案：1167．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为元．解析：设派用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，则
目标函数z＝450x＋350y，画出可行域如图，当目标函数经过A(7,5)时，利润z最大，为4900元．答案：49008．某研究所计划利用“神十一”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A，B，要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，搭载每件产品有关数据如下表：产品A(件)产品B(件)研制成本、搭载费用之和(万元)2030计划最大投资金额300万元产品质量(千克)105最大搭载质量110千克预计收益(万元)8060试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？解：设“神十一”宇宙飞船搭载产品A，B的件数分别为x，y，最大收益为z，则目标函数为z＝80x＋60y，根据题意可知，约束条件为即作出可行域如图阴影部分所示，作出直线l：80x＋60y＝0，并平移直线l，由图可知，当直线过点M时，z取得最大值，解得M(9,4)，所以zmax＝80×9＋60×4＝960，即搭载A产品9件，B产品4件，可使得总预计收益最大，为960万元．
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