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选择性必修第二册期末模块检测试卷能力提升B卷解析版学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________题型:8(单选)+4(多选)+4(填空)+6(解答),满分150分,时间:120分钟一、单选题1.已知数列是公差不为0的等差数列,其前项和为,若,则()A.3B.C.-3D.【答案】D【分析】设数列是公差为,,根据等差数列的通项公式及前项和公式计算可得;【详解】解:设数列是公差为,,首项为,因为所以,所以,所以所以故选:D2.在数列中,,,则()A.B.C.D.3【答案】A【分析】根据已知分析数列的周期性,可得答案.【详解】解:∵,,∴,,,.∴该数列是周期数列,周期. 又,∴,故选:A.3.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,13,…该数列的特点是:前两个数都是1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”,若是“斐波那契数列”,则的值为().A.B.1C.D.2【答案】B【分析】由已知数列的特点依次求出,,,的值,发现这些数依次为,进而可求出答案【详解】由题设可知,斐波那契数列为:其特点为:前两个数为1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,由此可知:,,,,,则.故选:B.4.已知数列满足,设,为数列的前n项和.若对任意恒成立,则实数t的最小值为()A.1B.2C.D.【答案】C 【分析】先求出的通项,再利用裂项相消法可求,结合不等式的性质可求实数t的最小值.【详解】时,,因为,所以时,,两式相减得到,故时不适合此式,所以,当时,,当时,,所以;所以t的最小值;故选:C.【点睛】方法点睛:数列求和关键看通项的结构形式,如果通项是等差数列与等比数列的和,则用分组求和法;如果通项是等差数列与等比数列的乘积,则用错位相减法;如果通项可以拆成一个数列连续两项的差,那么用裂项相消法;如果通项的符号有规律的出现,则用并项求和法.5.已知各项均为正数的等比数列{},=5,=10,则=A.B.7C.6D.【答案】A【解析】试题分析:由等比数列的性质知,a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9成等比数列,所以a4a5a6=故答案为考点:等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识,转化与化归的数学思想.6.定义:如果函数在区间上存在,满足 ,,则称函数是在区间上的一个双中值函数,已知函数是区间上的双中值函数,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】A【详解】,∵函数是区间上的双中值函数,∴区间上存在,满足∴方程在区间有两个不相等的解,令,则,解得∴实数的取值范围是.故选:A.7.若函数满足,则的值为().A.1B.2C.0D.【答案】C 【分析】求导得到,取带入计算得到答案.【详解】,则,则,故.故选:C.【点睛】本题考查了求导数值,意在考查学生的计算能力和应用能力.8.已知是定义在上的偶函数,当时,(其中为的导函数),若,则的解集为()A.B.C.D.【答案】A【分析】由,结合已知条件有偶函数在上单调减,上单调增,再由即可求解集.【详解】由,而知:在上单调减,而,即,又知:,∴在上有,又是定义在上的偶函数,则在上为偶函数,∴在上单调增,即,可得,综上,有,故选:A【点睛】 思路点睛:由与组成的复合型函数式,一般可以将其作为某函数导函数的一部分,构造出原函数,再利用奇偶性、单调性求函数不等式的解集.二、多选题9.设是等差数列,是其前项的和,且,,则下列结论正确的是()A.B.C.D.与均为的最大值【答案】BD【分析】设等差数列的公差为,依次分析选项即可求解.【详解】根据题意,设等差数列的公差为,依次分析选项:是等差数列,若,则,故B正确;又由得,则有,故A错误;而C选项,,即,可得,又由且,则,必有,显然C选项是错误的.∵,,∴与均为的最大值,故D正确;故选:BD.【点睛】本题考查了等差数列以及前项和的性质,需熟记公式,属于基础题.10.已知正项数列的前项和为,若对于任意的,,都有,则下列结论正确的是()A.B.C.若该数列的前三项依次为,,,则D.数列为递减的等差数列 【答案】AC【分析】令,则,根据,可判定A正确;由,可判定B错误;根据等差数列的性质,可判定C正确;,根据,可判定D错误.【详解】令,则,因为,所以为等差数列且公差,故A正确;由,所以,故B错误;根据等差数列的性质,可得,所以,,故,故C正确;由,因为,所以是递增的等差数列,故D错误.故选:AC.【点睛】解决数列的单调性问题的三种方法;1、作差比较法:根据的符号,判断数列是递增数列、递减数列或是常数列;2、作商比较法:根据或与1的大小关系,进行判定;3、数形结合法:结合相应的函数的图象直观判断.11.对于函数,下列说法正确的是()A.在处取得极大值B.有两个不同的零点C.D.若在上恒成立,则【答案】ACD【分析】 求得函数的导数,根据导数的符号,求得函数的单调区间和极值,可判定A正确;根据函数的单调性和,且时,,可判定B不正确;由函数的单调性,得到,再结合作差比较,得到,可判定C正确;分离参数得到在上恒成立,令,利用导数求得函数的单调性与最值,可判定D正确.【详解】由题意,函数,可得,令,即,解得,当时,,函数在上单调递增;当时,,函数在上单调递减,所以当时,函数取得极大值,极大值为,所以A正确;由当时,,因为在上单调递增,所以函数在上只有一个零点,当时,可得,所以函数在上没有零点,综上可得函数在只有一个零点,所以B不正确;由函数在上单调递减,可得,由于,则,因为,所以,即,所以,所以C正确;由在上恒成立,即在上恒成立, 设,则,令,即,解得,所以当时,,函数在上单调递增;当时,,函数在上单调递减,所以当时,函数取得最大值,最大值为,所以,所以D正确.故选:ACD.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用,以及恒成立问题的求解,着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力,对于恒成立问题,通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题.12.已知等比数列首项,公比为,前项和为,前项积为,函数,若,则()A.为单调递增的等差数列B.C.为单调递增的等比数列D.使得成立的的最大值为6【答案】BCD【分析】令,利用可得,,B正确;由可得A错误;由可得C正确;由,,可推出,可得D正确.【详解】 令,则,,,因为是等比数列,所以,即,,,B正确;,是公差为的递减等差数列,A错误;,是首项为,公比为的递增等比数列,C正确;,,,时,,时,,时,,,时,,又,,所以使得成立的的最大值为6,D正确.故选:BCD【点睛】关键点点睛:利用等比数列的性质、通项公式、求和公式、数列的单调性求解是解题关键.三、填空题13.求和:___________.【答案】【解析】易知该数列的通项,故该数列的前n项和为14.朱载堉(1536-1611)是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家,他的著作《律学新说》中制作了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制,各相邻两律之间的频率之比完全相等,亦称“十二等程律”,即一个八度13个音,相邻两个音之间的频率之比相等,且最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设第三个音的频率为 ,第七个音的频率为,则______.【答案】【分析】将每个音的频率看作等比数列,利用等比数列知识可求得结果.【详解】由题知:一个八度13个音,且相邻两个音之间的频率之比相等,可以将每个音的频率看作等比数列,一共13项,且,最后一个音是最初那个音的频率的2倍,,,,.故答案为:【点睛】关键点点睛:构造等比数列求解是解题关键.15.已知是,的等差中项,是,的等比中项,则______.【答案】【分析】由题意得,,消去,可得,化简得,得,则有【详解】由题设可知:由是,的等差中项,则①,是,的等比中项,则②, 则有①②可知:③,,,则将③式变形得:,即,则.故答案为:.【点睛】关键点点睛:此题考查等差中项、等比中项的应用,考查三角函数恒等变换公式的应用,解题的关键是由已知条件得,,消去,可得,再利用三角函数恒等变换公式化简可得结果,考查转化思想和计算能力,属于中档题16.为了评估某种治疗肺炎药物的疗效,现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量.设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为,甲、乙两人服用该药物后,血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示.给出下列四个结论:①在时刻,甲、乙两人血管中的药物浓度相同;②在时刻,甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同;③在这个时间段内,甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同;④在,两个时间段内,甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.其中所有正确结论的序号是_____. 【答案】①③④【分析】理解平均变化率和瞬时变换率的意义,结合图象,判断选项.【详解】①在时刻,为两图象的交点,即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同,故①正确;②甲、乙两人在时刻的切线的斜率不相等,即两人的不相同,所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同,故②不正确;③根据平均变换率公式可知,甲、乙两人的平均变化率都是,故③正确;④在时间段,甲的平均变化率是,在时间段,甲的平均变化率是,显然不相等,故④正确.故答案为:①③④【点睛】思路点睛:本题是一道识图的实际应用问题,判断的关键是理解两个概念,瞬时变化率和平均变化率,结合导数的几何意义可知瞬时变化率就是在此点处切线的斜率,平均变化率是.四、解答题17.设数列的前n项和为,从条件①,②,③中任选一个,补充到下面问题中,并给出解答.已知数列的前n项和为,,____.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前n和.【答案】(1)答案见解析;(2)答案见解析.【分析】(1)若选①可得为常数数列,即可求出;若选②利用可得,即可得为常数数列,即可求出;若选③利用可得,即可得到数列是以1为首项,1为公差的等差数列,从而得解; (2)利用错位相减法求和;【详解】选条件①时,(1)时,整理得,所以.(2)由(1)得:,设,其前项和为,所以①,②,①②得:,故,所以.选条件②时,(1)由于,所以①,当时,②,①②得:,,整理得,所以.(2)由(1)得:,设,其前项和为,所以①,②, ①②得:,故,所以.选条件③时,由于,①②①②时,,整理得(常数),所以数列是以1为首项,1为公差的等差数列.所以.(2)由(1)得:,设,其前项和为,所以①,②,①②得:,故,所以.【点睛】数列求和的方法技巧:(1)倒序相加:用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和.(2)错位相减:用于等差数列与等比数列的积数列的求和.(3)分组求和:用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和.18.已知为等差数列,为等比数列,,,.(1)求和的通项公式; (2)对任意的正整数,设,求数列的前项和.【答案】(1),;(2).【分析】(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,根据题意可得出关于、的方程组,解出这两个量的值,利用等差数列和等比数列的通项公式可求得数列和的通项公式;(2)设数列的前项和中奇数项的和为,偶数项的和为,推导出:当为正奇数时,,当为正偶数时,,利用裂项相消法可求出,利用错位相减法可求得,进而可求得数列的前项和.【详解】(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,由,,则,可得,所以,因为,,所以,整理得,解得,所以;(2)设数列的前项和中奇数项的和为,偶数项的和为,当为奇数时,,当为偶数时,,对任意的正整数,,,①, 由①得,②,①②得,化简得.因此,数列的前项和为.【点睛】方法点睛:数列求和的常用方法:(1)对于等差等比数列,利用公式法直接求和;(2)对于型数列,其中是等差数列,是等比数列,利用错位相减法求和;(3)对于型数列,利用分组求和法;(4)对于型数列,其中是公差为的等差数列,利用裂项相消法求和.19.已知函数().(1)若函数有两个极值点,求的取值范围;(2)证明:当时,.【答案】(1);(2)证明见解析.【分析】(1)由题意转化为有两个变号零点,再参变分离后得,利用图象求的取值范围;(2)首先构造函数(),求函数的二次导数,分析函数的单调性,并求函数的最值,并证明不等式.【详解】(1)的定义域为,,若函数有两个极值点,则有两个变号零点, 等同于,即水平直线与曲线有两个交点(不是的切线),令,的定义域为,则,令,解得,当时,,在上单调递减,当时,,在上单调递减,则为的极大值,也为最大值,当时,,当时,,当时,且为正数,则的图像如图所示,则此时;(2)证明:令(),则只需证明当时恒成立即可,则,令,则,当时,,,,则,则在时单调递增,又,∴时,,则在时单调递增,∴当时,即当时,.【点睛】 方法点睛:利用导数证明不等式问题,方法如下:(1)直接构造函数法:证明不等式(或)转化为证明或),进而构造辅助函数;(2)适当放缩构造法:一是根据已知条件适当放缩;二是利用常见放缩结论;(3)构造“形似”函数,稍作变形再构造,对原不等式同解变形,根据相似结构构造辅助函数.其中一种重要的技巧就是找到函数在什么地方可以等于零,这往往就是解决问题的突破口.20.已知数列满足(1)求数列的通项公式;(2)求证:.【答案】(1);(2)证明见解析.【分析】(1)由题可知数列为等比数列,公比,进一步求出的通项公式,所以,利用累加法求出数列的通项公式;(2)利用对数列进行放缩,化简求出答案.【详解】(1),所以数列为等比数列,公比,所以,所以(2)证明:【点睛】放缩法的注意事项:(1)放缩的方向要一致。 (2)放与缩要适度。(3)很多时候只对数列的一部分进行放缩法,保留一些项不变(多为前几项或后几项)。(4)用放缩法证明极其简单,然而,用放缩法证不等式,技巧性极强,稍有不慎,则会出现放缩失当的现象。21.设函数(1)若函数在上递增,在上递减,求实数的值.(2))讨论在上的单调性;(3)若方程有两个不等实数根,求实数的取值范围,并证明.【答案】(1)(2)见解析(3),见解析【分析】(1)根据单调区间判断出是极值点,由此根据极值点对应的导数值为求解出的值,并注意验证是否满足;(2)先求解出,然后结合所给区间对进行分类讨论,分别求解出的单调性;(3)构造函数,分析的取值情况,由此求解出的取值范围;将证明通过条件转化为证明,由此构造新函数进行分析证明.【详解】(1)由于函数函数在上递增,在上递减,由单调性知是函数的极大值点,无极小值点,所以,∵,故,此时满足是极大值点,所以;(2)∵, ∴,①当时,在上单调递增.②当,即或时,,∴在上单调递减.③当且时,由得.令得;令得.∴在上单调递增,在上单调递减.综上,当时,在上递增;当或时,在上递减;当且时,在上递增,在上递减.(3)令,当时,,单调递减;当时,,单调递增;故在处取得最小值为又当,由图象知:不妨设,则有, 令在上单调递增,故即,【点睛】本题考查函数与导数的综合运用,涉及到根据单调性求解参数、分类讨论法分析函数的单调性、双变量构造函数问题,难度较难.(1)已知是的极值点,利用求解参数值后,要注意将参数值带回验证是否满足;(2)导数中的双变量证明问题,一般的求解思路是:先通过转化统一变量,然后构造函数分析单调性和取值范围达到证明的目的.22.已知函数,其中.(1)讨论的单调性.(2)是否存在,对任意,总存在,使得成立?若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)答案见解析;(2)存在,.【分析】(1)先求出函数的导数,再对a进行分类讨论,从而求出函数的单调区间;(2)对a进行分类讨论,分为,,三种情况,利用导数研究函数的最值,从而进行分析求解即可.【详解】(1)由,得,当时,对任意,,所以单调递减;当时,令,得,当时,,当时,所以在上单调递增,在上单调递减,综上所述,当时,在上单调递减, 当时,在上单调递增,在上单调递减;(2)存在满足条件的实数,且实数的值为,理由如下:①当,且时,由(1)知,在上单调递减,则时,,则,所以此时不满足题意;②当时,由(1)知,在上,单调递增,在上,单调递减,则当时,,当时,对任意,,所以此时不满足题意;③当时,令(),由(1)知在上单调递增,进而知在上单调递减,所以,,若对任意的,总存在,使得,则,,即,所以,解得,综上,存在满足题意的实数,且实数的值为.【点睛】方法点睛:利用导数研究函数的单调性的一般步骤:①确定函数的定义域;②求导函数;③若求单调区间(或证明单调性),只需在函数的定义域内解(或证明)不等式或(不恒等于0)即可. 查看更多

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