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探讨两直线斜率积差为定值的交点轨迹

2022-10-12
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两直线斜率积差为定值的交点轨迹探求制作软件：PPT、超级画板设计制作：江西省吉水中学孙春生周湖平著名数学家波利亚在谈到数学课的目的时，最为强调的两点之一是：教会年轻人思考，有人说：思考是一种寻觅，是荒漠中的探险，繁华中的寻幽，有目的的思考能使思维活动以一定的方法、在一定的范围内进行，能激发创造热情，不断冲击头脑中旧有的认知结构，构建新的认知结构. 我们注意到两条直线的斜率积满足这常数这一问题，在教材上出现前后呼应的两次，这就不是一个偶然现象。那么这类问题有什么重要结论吗？我们还能探究出斜率和差商为常数的轨迹问题吗？本课中我们能过课本习题利用超级画板一起来做探究性学习。问题1分析：根据动点坐标的求法，设出动点坐标，代入到相应条件中化简可得曲线的轨迹方程评注：要注意动点轨迹的纯粹性与完备性由问题1与问题2，我们分别得出的曲线是椭圆与双曲线，那么进一步我们就很容易地想，斜率满足什么条件，会使得交点的轨迹是圆呢?我们一起来探究。下面我们用几何画板来探讨轨迹方程在K取不同值时，相应的轨迹是什么。例1斜率之积为常数K.zjz点击链接动画：我们不妨把上述一般结论添加上这两个定点后的轨迹称为圆，椭圆，双曲线（有心二次曲线）的统一定义。通过以上的探讨，我们可以引导学生得到如下的一些重要结论。我们在得出以上一些结论后，自然就会想到再作进一步探究：当椭圆左右顶点分别为A，B时，椭圆上的点与A，B两点的连线之积又是一个什么的值呢？例2椭圆上动点与两端点连线斜率积.zjz点击链接动画：通过案例1和案例2题目的比较，学生感叹数学是多么的奇妙和严谨啊！仅一符号之差，就产生了不同的曲线，回顾解题过程，我们通过直线AM，BM的斜率乘积的运算得到了双曲线和椭圆，那么直线AM，BM的斜率加，减，除运算能得到什么呢？于是再作探究：例3斜率之和为常数.zjz点击链接动画：通过探究，能让我们发现问题并把握解决问题的能力，从而在学习过程中，更重视教材后的习题的功能，挖掘其内涵，不仅是教材编著者的匠心独远，而且也是考试命题专家对我们学习教材能力重点关注对象。思考多了，就会乐学，善学，学会思考才能进步，赞可夫有一句名言：“都会学生思考，对学生来说，是一生中最有价值的本钱”。作业：练习册相应练习；《全品练习》第80页第9题，第11题再见！查看更多

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