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6.2.4向量的数量积第1课时向量的数量积的物理背景和数量积1..理解并掌握平面向量的数量积的定义、投影向量;2.会求平面向量的数量积、投影向量;3.熟记平面向量数量积的性质;4.能运用数量积的性质解决问题;1..教学重点:平面向量数量积的定义及投影向量;2.教学难点:平面向量数量积的定义的理解和对数量积的应用。1.向量的夹角的定义:已知两个非零向量,O是平面上的任意一点,作则叫做向量的。显然,当时,;当时,。2.向量的数量积的定义已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量叫做a与b的(或),记作,即.规定零向量与任一向量的数量积为.3.投影向量的定义:如图(1)设是两个零向量,,我们考虑如下的变换:过AB的起点A和终点B,分别作CD所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到,我们称上述变换为向量在向量投影 (project).,叫做向量在向量上的。如图(2),我们可以在平面内任取一点O,作,过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则就是向量在向量上的。4.向量的数量积的性质设a与b都是非零向量,θ为a与b的夹角.(1)a⊥b⇔.(2)当a与b同向时,a·b=;当a与b反向时,a·b=.(3)a·a=或|a|==.(4)|a·b|≤.一、探索新知思考1:一个物体在力F的作用下产生的位移s,那么力F所做的功应当怎样计算?思考2:功是一个矢量还是标量?它的大小由那些量确定?1.向量的夹角的定义:已知两个非零向量,O是平面上的任意一点,作则叫做向量的。显然,当时,;当时,。如果的夹角是,我们就说垂直,记作。 思考3:如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量,其结果又该如何表述?2.数量积的定义:已知两个非零向量,它们的夹角为,我们把数量叫做向量的数量积(或内积),记作,即。规定:零向量与任一向量的数量积为。说明:(1)两向量的数量积是一个数量,而不是向量,符号由夹角决定.(2)中间的“”在向量运算中不能省略掉,也不能换成“”;(3)运用数量积公式时,一定注意两向量的夹角范围是[0°,180°]。思考4.向量的数量积是一个数量,那么它什么时候为正,什么时候为负?结论:数量积符号由的符号所决定。例1.已知的夹角,求。3.投影向量的定义:如图(1)设是两个零向量,,我们考虑如下的变换:过AB的起点A和终点B,分别作CD所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到,我们称上述变换为向量在向量投影(project).,叫做向量在向量上的。如图(2),我们可以在平面内任取一点O,作,过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则就是向量在向量上的。 探究1:如图,设与方向相同的单位向量为,与的夹角为,那么与之间有怎样的关系?探究2:两个非零向量相互平行或垂直时,投影向量具有特殊性,你能得出向量的数量积的特殊性质吗?牛刀小试:1.已知在当时,试判断的形状。1.在△ABC中,BC=5,AC=8,∠C=60°,则·=(  )A.20 B.-20C.20D.-202.设e1,e2是两个平行的单位向量.则下面的结果正确的是(  ) A.e1·e2=1B.e1·e2=-1C.|e1·e2|=1D.|e1·e2| 查看更多

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