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平面与平面垂直的性质定理(典型)

2023-04-28
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2.3.4平面与平面垂直的性质（１）利用定义（２）利用判定定理［线面垂直　　　面面垂直］AB线面垂直面面垂直线线垂直面面垂直的判定［作出二面角的平面角，证明平面角是直角］ αβEF思考1如图，长方体中，α⊥β,(1)α里的直线都和β垂直吗？(2)什么情况下α里的直线和β垂直？与AD垂直不一定思考2垂足为B，那么直线AB与平面β的位置关系如何？αβABDCE垂直 ∵,∴AB⊥BE.又由题意知AB⊥CD,且BECD=B垂足为B.∴AB⊥则∠ABE就是二面角的平面角.证明:在平面内作BE⊥CD,αβABDCE 平面与平面垂直的性质定理符号表示:DCAB两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．面面垂直线面垂直思考3设平面⊥平面，点P在平面内，过点P作平面的垂线a，直线a与平面具有什么位置关系?aβαP直线a在平面内 αβAbal分析：寻找平面α内与a平行的直线. 解：在α内作垂直于交线的直线b，∵∴∵∴a∥b.又∵∴a∥α.即直线a与平面α平行.结论：垂直于同一平面的直线和平面平行（）.αβAbal αβAbalB垂直 abαβlγmn 如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这两个平面的交线垂直于这个平面.结论αβγl如图：两个平面垂直应用举例例1如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，过动点C的直线VC垂直于⊙O所在平面，D、E分别是VA、VC的中点，直线DE与平面VBC有什么关系？试说明理由．平面VAC⊥平面VBC及DE⊥VC．AC垂直于平面VBC及DE∥AC. 例2．S为三角形ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.求证：AB⊥BC.SCBAD证明：过A点作AD⊥SB于D点.∵平面SAB⊥平面SBC,∴AD⊥平面SBC，∴AD⊥BC.又∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.AD∩SA=A∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AB. 练习：1.如图，以正方形ABCD的对角线AC为折痕，使△ADC和△ABC折成相垂直的两个面，求BD与平面ABC所成的角。ABCDDABCOO折成 2.如图，平面AED⊥平面ABCD，△AED是等边三角形，四边形ABCD是矩形，（1）求证：EA⊥CDMDECAB（2）若AD＝1，AB＝，求EC与平面ABCD所成的角。 (2012·北京模拟)如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点.(1)求证：BM∥平面ADEF；(2)求证：平面BDE⊥平面BEC. 【证明】(1)取DE中点N，连接MN，AN.在△EDC中，M，N分别为EC，ED的中点，所以MN∥CD，且MN=CD.由已知AB∥CD，AB=CD，所以MN∥AB,且MN=AB,所以四边形ABMN为平行四边形.所以BM∥AN.又因为AN平面ADEF，且BM平面ADEF，所以BM∥平面ADEF. (2)因为四边形ADEF为正方形，所以ED⊥AD，又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD.又因为ED平面ADEF，所以ED⊥平面ABCD.所以ED⊥BC. 在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，可得BC=，在△BCD中，BD=BC=，CD=4，所以BC⊥BD，BD∩ED=D,所以BC⊥平面BDE，又因为BC平面BCE，所以平面BDE⊥平面BEC. 2.几个结论1.平面与平面垂直的性质定理：面面垂直线面垂直αβγlαβAbalβαPaa∥αDCAB αβaAB线线垂直线面垂直线线平行面面平行面面垂直垂直、平行关系小结查看更多

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