资料简介
高中数学高一年级必修二第二章§2、3.3—2、3.4直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质导学案Ａ．学习目标1、知识与技能（1）使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；（2）能运用性质定理解决一些简单问题；（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系。2、过程与方法（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；（2）性质定理的推理论证。3、情态与价值通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力。Ｂ．学习重点、难点两个性质定理的证明。Ｃ．学法指导直观感知、操作确认，猜想与证明。D．知识链接问题：若一条直线与一个平面垂直，则可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂直呢？E．自主学习让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。（自然进入课题内容）F.合作探究1、操作确认观察长方体模型中四条侧棱与同一个底面的位置关系。如图2.3—4，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1、BB1、CC1、DD1所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间是有什么位置关系？（显然互相平行）然后进一步迁移活动：已知直线a⊥α、b⊥α、那么直线a、b一定平行吗？（一定）我们能否证明这一事实的正确性呢？C1D1abA1B1αDC
AB图2.3-4图2.3-52、推理证明引导学生分析性质定理成立的条件，介绍证明性质定理成立的特殊方法——反证法，然后师生互动共同完成该推理过程，最后归纳得出：垂直于同一个平面的两条直线平行。（三）应用巩固例子：课本P.79例4；P.80例5做法：教师给出问题，学生思考探究、判断并说理由，教师最后评议。（四）类比拓展，研探新知类比上面定理：若在两个平面互相垂直的条件下，又会得出怎样的结论呢？例如：如何在黑板面上画一条与地面垂直的直线？引导学生观察教室相邻两面墙的交线，容易发现该交线与地面垂直，这时，只要在黑板上画出一条与这交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直。然后师生互动，共同完成性质定理的确认与证明，并归纳性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。（五）巩固深化、发展思维思考1、设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，直线a与平面α具有什么位置关系？（答：直线a必在平面α内）思考2、已知平面α、β和直线a，若α⊥β，a⊥β，aα，则直线a与平面α具有什么位置关系？G.归纳小结,课后巩固小结：（1）请归纳一下本节学习了什么性质定理，其内容各是什么？（2）类比两个性质定理，你发现它们之间有何联系？作业：（1）求证：两条异面直线不能同时和一个平面垂直；（2）求证：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。H．达标检测1．如果直线l、m与平面α、β、γ之间满足：l＝β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么( )A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥mD．α∥β且α⊥γ解析：如图，平面α为平面AD1，平面β为平面BC1，平面γ为平面AC，∵m⊂α，m⊥γ，由面面垂直的判定定理得α⊥γ，又m⊥γ，l⊂γ，由线面垂直的性质得m⊥l.答案：A2．下列命题中错误的是( )A．如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面βB．如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面βC．如果α不垂直于平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，那么l⊥γ解析：若α⊥β，则α内必有垂直于β的直线，并非α内所有直线都垂直于β，A错．
答案：A3.线段AB的两端在直二面角αlβ的两个面内，并与这两个面都成30°角，则异面直线AB与l所成的角是( )A．30° B．45°C．60°D．75°解析：过B作l的平行线，过A′作l的垂线，两线交于点C，连接AC，则∠ABC即为异面直线AB与l所成的角，由题意，∠ABA′＝∠BAB′＝30°，所以AA′＝AB，BB′＝A′C＝AB，AB′＝AB，所以A′B′＝BC＝AB，AC＝AB，由勾股定理知∠ACB＝90°，则∠ABC＝45°.答案：B4．在三棱锥P—ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为( )A．2 B．2C．4D．4解析：连接CM，则由题意PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM＝4×＝2，所以PM的最小值为2.答案：B5．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________．解析：由题意知n⊥α，而m⊥α，∴m∥n.答案：平行6.如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AA′⊥A′B′，BB′⊥A′B′，且AA′＝3，BB′＝4，A′B′＝2，则三棱锥A—A′BB′的体积V＝________.解析：由题意AA1⊥面A′BB′，BB′⊥面A′B′A，则三棱锥A—A′BB′中，AA′为高，底面△A′BB′为Rt△.∴VA－A′BB′＝AA′S△A′BB′＝×3××2×4＝4.答案：47．如图，沿直角三角形ABC的中位线DE，将平面ADE折起，使得平面ADE⊥平面BCDE得到四棱锥A－BCDE.求证：平面ABC⊥平面ACD.证明：因为AD⊥DE，平面ADE⊥平面BCDE，根据面面垂直的性质定理得AD⊥平面BCDE，所以AD⊥BC，又CD⊥BC，根据线面垂直的判定定理得BC⊥平面ACD，又BC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ACD.8．如图，在四棱锥P—AB
CD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC，BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD.(1)求证：EF∥平面PAD；(2)求三棱锥C—PBD的体积．解：(1)证明：连接AC，如图所示，则F是AC的中点，E为PC的中点，∴EF∥PA.又∵PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD.(2)取AD的中点N，连接PN，如图所示．∵PA＝PD，∴PN⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PN⊂平面PAD，∴PN⊥平面ABCD，∴VC—PBD＝VP—BCD＝S△BCD·PN＝·(a·a)·a＝.
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