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高中数学高一年级必修二第二章§2、3.3—2、3.4直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质导学案A.学习目标1、知识与技能(1)使学生掌握直线与平面垂直,平面与平面垂直的性质定理;(2)能运用性质定理解决一些简单问题;(3)了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系。2、过程与方法(1)让学生在观察物体模型的基础上,进行操作确认,获得对性质定理正确性的认识;(2)性质定理的推理论证。3、情态与价值通过“直观感知、操作确认,推理证明”,培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力。B.学习重点、难点两个性质定理的证明。C.学法指导直观感知、操作确认,猜想与证明。D.知识链接问题:若一条直线与一个平面垂直,则可得到什么结论?若两条直线与同一个平面垂直呢?E.自主学习让学生自由发言,教师不急于下结论,而是继续引导学生:欲知结论怎样,让我们一起来观察、研探。(自然进入课题内容)F.合作探究1、操作确认观察长方体模型中四条侧棱与同一个底面的位置关系。如图2.3—4,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,棱AA1、BB1、CC1、DD1所在直线都垂直于平面ABCD,它们之间是有什么位置关系?(显然互相平行)然后进一步迁移活动:已知直线a⊥α、b⊥α、那么直线a、b一定平行吗?(一定)我们能否证明这一事实的正确性呢?C1D1abA1B1αDC AB图2.3-4图2.3-52、推理证明引导学生分析性质定理成立的条件,介绍证明性质定理成立的特殊方法——反证法,然后师生互动共同完成该推理过程,最后归纳得出:垂直于同一个平面的两条直线平行。(三)应用巩固例子:课本P.79例4;P.80例5做法:教师给出问题,学生思考探究、判断并说理由,教师最后评议。(四)类比拓展,研探新知类比上面定理:若在两个平面互相垂直的条件下,又会得出怎样的结论呢?例如:如何在黑板面上画一条与地面垂直的直线?引导学生观察教室相邻两面墙的交线,容易发现该交线与地面垂直,这时,只要在黑板上画出一条与这交线平行的直线,则所画直线必与地面垂直。然后师生互动,共同完成性质定理的确认与证明,并归纳性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。(五)巩固深化、发展思维思考1、设平面α⊥平面β,点P在平面α内,过点P作平面β的垂线a,直线a与平面α具有什么位置关系?(答:直线a必在平面α内)思考2、已知平面α、β和直线a,若α⊥β,a⊥β,aα,则直线a与平面α具有什么位置关系?G.归纳小结,课后巩固小结:(1)请归纳一下本节学习了什么性质定理,其内容各是什么?(2)类比两个性质定理,你发现它们之间有何联系?作业:(1)求证:两条异面直线不能同时和一个平面垂直;(2)求证:三个两两垂直的平面的交线两两垂直。H.达标检测1.如果直线l、m与平面α、β、γ之间满足:l=β∩γ,l∥α,m⊂α和m⊥γ,那么(  )A.α⊥γ且l⊥m         B.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥mD.α∥β且α⊥γ解析:如图,平面α为平面AD1,平面β为平面BC1,平面γ为平面AC,∵m⊂α,m⊥γ,由面面垂直的判定定理得α⊥γ,又m⊥γ,l⊂γ,由线面垂直的性质得m⊥l.答案:A2.下列命题中错误的是(  )A.如果α⊥β,那么α内所有直线都垂直于平面βB.如果α⊥β,那么α内一定存在直线平行于平面βC.如果α不垂直于平面β,那么α内一定不存在直线垂直于平面βD.如果α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,那么l⊥γ解析:若α⊥β,则α内必有垂直于β的直线,并非α内所有直线都垂直于β,A错. 答案:A3.线段AB的两端在直二面角αlβ的两个面内,并与这两个面都成30°角,则异面直线AB与l所成的角是(  )A.30°      B.45°C.60°D.75°解析:过B作l的平行线,过A′作l的垂线,两线交于点C,连接AC,则∠ABC即为异面直线AB与l所成的角,由题意,∠ABA′=∠BAB′=30°,所以AA′=AB,BB′=A′C=AB,AB′=AB,所以A′B′=BC=AB,AC=AB,由勾股定理知∠ACB=90°,则∠ABC=45°.答案:B4.在三棱锥P—ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠PCA=90°,△ABC是边长为4的正三角形,PC=4,M是AB边上的一动点,则PM的最小值为(  )A.2         B.2C.4D.4解析:连接CM,则由题意PC⊥平面ABC,可得PC⊥CM,所以PM=,要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可,在△ABC中,当CM⊥AB时CM有最小值,此时有CM=4×=2,所以PM的最小值为2.答案:B5.平面α⊥平面β,α∩β=l,n⊂β,n⊥l,直线m⊥α,则直线m与n的位置关系是________.解析:由题意知n⊥α,而m⊥α,∴m∥n.答案:平行6.如图所示,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AA′⊥A′B′,BB′⊥A′B′,且AA′=3,BB′=4,A′B′=2,则三棱锥A—A′BB′的体积V=________.解析:由题意AA1⊥面A′BB′,BB′⊥面A′B′A,则三棱锥A—A′BB′中,AA′为高,底面△A′BB′为Rt△.∴VA-A′BB′=AA′S△A′BB′=×3××2×4=4.答案:47.如图,沿直角三角形ABC的中位线DE,将平面ADE折起,使得平面ADE⊥平面BCDE得到四棱锥A-BCDE.求证:平面ABC⊥平面ACD.证明:因为AD⊥DE,平面ADE⊥平面BCDE,根据面面垂直的性质定理得AD⊥平面BCDE,所以AD⊥BC,又CD⊥BC,根据线面垂直的判定定理得BC⊥平面ACD,又BC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ACD.8.如图,在四棱锥P—AB CD中,底面ABCD是边长为a的正方形,E、F分别为PC,BD的中点,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=AD.(1)求证:EF∥平面PAD;(2)求三棱锥C—PBD的体积.解:(1)证明:连接AC,如图所示,则F是AC的中点,E为PC的中点,∴EF∥PA.又∵PA⊂平面PAD,EF⊄平面PAD,∴EF∥平面PAD.(2)取AD的中点N,连接PN,如图所示.∵PA=PD,∴PN⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PN⊂平面PAD,∴PN⊥平面ABCD,∴VC—PBD=VP—BCD=S△BCD·PN=·(a·a)·a=. 查看更多

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