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第二章2.32.3.32.3.4【基础练习】1．在长方体ABCD－ABCD的棱AB上任取一点E，作EF⊥AB于F，则EF与平面111111ABCD的关系是()1111A．平行B．EF⊂平面ABCD1111C．相交且垂直D．相交但不垂直【答案】C【解析】平面ABBA⊥平面ABCD，又EF⊥AB，EF⊂平面ABBA，平面ABBA∩111111111111平面ABCD＝AB，故EF⊥平面ABCD.11111111112．(2019年北京模拟)已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是()A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥βB．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥βC．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β【答案】D【解析】选项A缺少了条件：l⊂α；选项B缺少了条件：α⊥β；选项C缺少了条件：α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直的性质定理的全部条件．3．设α，β，γ为不同的平面，m，n，l为不同的直线，则下列能得出m⊥β的是()A．α⊥β，α∩β＝l，m⊥lB．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．n⊥α，n⊥β，m⊥α【答案】D【解析】对于A，α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，根据面面垂直的性质定理可知，缺少条件m⊂α，故不正确；对于B，α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；对于C，α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；对于D，n⊥α，n⊥β，则α∥β，又m⊥α，则m⊥β，故正确，故选D．ππ4．如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为和，46过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′，B′，则AB∶A′B′等于()
A．2∶1B．3∶1C．3∶2D．4∶3【答案】Aππ【解析】如图，由已知得AA′⊥平面β，∠ABA′＝，BB′⊥平面α，∠BAB′＝，设64321AB2AB＝a，则BA′＝a，BB′＝a，在Rt△BA′B′中，A′B′＝a，所以＝.222A′B′15．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________.【答案】平行【解析】∵α⊥β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l,∴n⊥α.又m⊥α，∴m∥n.6．如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AA′⊥A′B′，BB′⊥A′B′且AA′＝3，BB′＝4，A′B′＝2，则三棱锥A－A′BB′的体积V＝________.
【答案】41【解析】∵α⊥β，α∩β＝A′B′，AA′⊂α，AA′⊥A′B′，∴AA′⊥β.∴V＝S3△1111·AA′＝×A′B′×BB′×AA′＝××2×4×3＝4.A′BB′32327．如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求证：(1)直线PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.【证明】(1)在△PAC中，D，E分别为PC，AC中点，则PA∥DE.又PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴PA∥平面DEF.11(2)△DEF中，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4，DF＝5，∴DF2＝DE2＋EF2，即DE⊥EF.22
又PA⊥AC，即DE⊥AC.∴DE⊥平面ABC.∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC.8．如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC.过A作AF⊥SB，垂足为F.求证：BC⊥SA.【证明】因为平面SAB⊥平面SBC且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.又AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.【能力提升】9．(2019年广西柳州期末)如图，直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为()
A．2B．3C．2D．3【答案】A【解析】如图，连接BC.∵二角面α－l－β为直二面角，AC⊂α，且AC⊥l，∴AC⊥β.又BC⊂β，∴AC⊥BC，∴BC2＝AB2－AC2＝3.又BD⊥CD，∴CD＝BC2－BD2＝2.10．(2019年广东肇庆校级月考)如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cosα∶cosβ＝()
A．3∶2B．3∶3C．5∶2D．5∶3【答案】C【解析】由题意，两个矩形的对角线长分别为AC＝5，BF＝25，可得CF＝29，所以5525cosα＝＝，cosβ＝，所以cosα∶cosβ＝5∶2.25＋4292911．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同的直线，给出4个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中3个论断为条件，余下1个论断为结论，写出你认为正确的一种说法：________(用序号表示)．【答案】②③④⇒①或①③④⇒②【解析】由题意可构造出四种说法(1)①②③⇒④；(2)①②④⇒③；(3)①③④⇒②；(4)②③④⇒①.只有(3)(4)是正确的．
12．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.(1)求证：平面AEC⊥平面BED.6(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E－ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．3【解析】(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.又BD∩BE＝B，故AC⊥平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.3x(2)设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝x，GB＝GD＝.22因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，3可得EG＝x.22由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝x.2三棱锥E－ACD的体积1166V＝×AC·GD·BE＝x3＝.E－ACD32243故x＝2.从而可得AE＝EC＝ED＝6，所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为5.故三棱锥E－ACD的侧面积为3＋25.
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