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高中数学 2.3.3直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质课件新人教A必修2

2023-08-26
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2．3.3直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质学习目标预习导学典例精析栏目链接 1．理解直线与平面垂直的性质定理，平面与平面垂直的性质定理，并能利用性质定理解决有关问题．2．了解直线与平面，平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系．学习目标预习导学典例精析栏目链接典例精析题型一线面垂直性质的应用学习目标预习导学典例精析栏目链接例1如右图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD. 学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接►跟踪训练1．如图，已知直线a⊥α，直线b⊥β，且AB⊥a，AB⊥b，平面α∩β＝c.求证：AB∥c.证明：过点B引直线a′∥a，a′与b确定的平面设为γ，∵a′∥a，AB⊥a，∴AB⊥a′，又AB⊥b，a′∩b＝B，∴AB⊥γ.∵b⊥β，c⊂β，∴b⊥c.①∵a⊥α，c⊂α，∴a⊥c.又a′∥a，∴a′⊥c.②由①②可得c⊥γ，又AB⊥γ，∴AB∥c. 题型二面面垂直性质的应用学习目标预习导学典例精析栏目链接例2如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．学习目标预习导学典例精析栏目链接证明：利用线面垂直的判定、面面垂直的性质来解．(1)如图，在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F.∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC，PA⊂平面PAC，∴DF⊥AP.作DG⊥AB于G.同理可证DG⊥AP.DG，DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.(2)如图，连接BE并延长交PC于H.∵E是△PBC的垂心，学习目标预习导学典例精析栏目链接∴PC⊥BE.又已知AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE.又∵BE∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE.∴PC⊥AB.又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.又∵PC∩PA＝P.∴AB⊥平面PAC.∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．点评：证明线面垂直、面面垂直、线线垂直不要局限于一个方面，有时需考虑多种情况的综合．学习目标预习导学典例精析栏目链接►跟踪训练2．如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.(1)证明：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝1，AD＝2，求二面角BPCA的正切值．学习目标预习导学典例精析栏目链接证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.∵PC⊥平面BDE，∴PC⊥BD.又∵PA∩PC＝P，BD⊄平面PAD.∴BD⊥平面PAC.(2)设AC与BD交于点O，连接OE，∵PC⊥平面BDE，∴PC⊥OE.又∵BO⊥平面PAC，∴PC⊥BO.∴PC⊥平面BOE.∴PC⊥BE.∵OE∩BO＝O∴∠BEO为二面角BPCA的平面角．∵BD⊥平面PAC，∴BD⊥AC，∴四边形ABCD为正方形学习目标预习导学典例精析栏目链接题型三综合应用学习目标预习导学典例精析栏目链接例3如右图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC边的中点，能否在棱上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．学习目标预习导学典例精析栏目链接(1)证明：设G为AD的中点，连接PG，∵△PAD为正三角形，∴PG⊥AD.在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，∴BG⊥AD.又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PGB.∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB.(2)解析：当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.取PC的中点F，连接DE，EF，DF，学习目标预习导学典例精析栏目链接在△PBC中，FE∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE，而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E.PB⊂平面PGB，GB⊂平面PGB，PB∩GB＝B，∴平面DEF∥平面PGB.由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD.点评：空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等等，还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件．对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题．学习目标预习导学典例精析栏目链接►跟踪训练3．如图，在三棱锥PABC中，△PAB是等边三角形，∠PAC＝∠PBC＝90°.(1)证明：AB⊥PC；(2)若PC＝4，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱锥PABC的体积．学习目标预习导学典例精析栏目链接证明：(1)因为△PAB是等边三角形，所以PB＝PA，因为∠PAC＝∠PBC＝90°，PC＝PC，所以Rt△PBC≌Rt△PAC，所以AC＝BC.如图，取AB中点D，连接PD，CD，则PD⊥AB，CD⊥AB，又因为PD∩CD＝D，所以AB⊥平面PDC，所以AB⊥PC. 学习目标预习导学典例精析栏目链接(2)解析：作BE⊥PC，垂足为E，连接AE.因为Rt△PBC≌Rt△PAC，所以AE⊥PC，AE＝BE.由已知，平面PAC⊥平面PBC，故∠AEB＝90°.因为∠AEB＝90°，∠PEB＝90°，AE＝BE，AB＝PB，所以Rt△AEB≌Rt△BEP，所以△AEB，△PEB，△CEB都是等腰直角三角形．由已知PC＝4，得AE＝BE＝2，△AEB的面积S＝2.因为PC⊥平面AEB，所以三棱锥PABC的体积V＝·S·PC＝. 查看更多

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