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平面与平面平行的性质课时测试(带答案)时提升作业(八)平面与平面平行的性质一、选择题(每小题3分,共18分)1(2013•安徽高考)在下列说法中,不是公理的是(  )A平行于同一个平面的两个平面相互平行B过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内D如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线【解析】选A选项具体分析结论A两个平面平行的性质定理不是公理B空间图形的公理2是公理空间图形的公理1是公理D空间图形的公理3是公理2(2014•广州高二检测)设a,b,为不重合的直线,α,β,γ为不重合的平面,则下列说法中,正确的个数为(  )(1)若α∥β,aα,bβ则a∥ b(2)若α∥β,aα,B∈β,则在β内过点B存在唯一一条直线与a平行(3)若α∥β,β∥γ,则α∥γA1个B2个3个D0个【解析】选B(1)错误,a与b无公共点,则a∥b或a与b异面(2)正确,由面面平行的性质定理知(2)正确,(3)正确3(2014•西安高一检测)一条直线若同时平行于两个相交平面,那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是(  )A异面B相交平行D不能确定【解析】选设α∩β=l,a∥α,a∥β,过直线a作与α,β都相交的平面γ,记α∩γ=b,β∩γ=则a∥b,且a∥,所以b∥又b⊈β,β,所以b∥β又bα,α∩β=l,所以b∥l,a∥ l4(2014•成都高二检测)平面α截一个三棱锥,如果截面是梯形,则平面α必定和这个三棱锥的(  )A底面平行B一个侧面平行平行于两条相对的棱D仅与一条棱平行【解题指南】画出三棱锥结合面面平行的性质逐一验证【解析】选D当平面α平行于某一个面时,截面为三角形,故A,B错,当平面α∥SA时,如图所示SA平面SAB,平面SAB∩α=DG,所以SA∥DG,同理SA∥EF,所以DG∥EF,同理若B∥α时得到GF∥DE,因为截面是梯形,所以只能有一条棱与之平行(2014•重庆高一检测)棱长为2的正方体ABD-A1B11D1中,是棱AA1的中点,过,,D1作正方形的截面,则截面的面积为(  )A9B18D【解题指南】由点、线、面的位置关系作出截面,依据图形求出面积即可【解析】选B如图,由面面平行的性质知截面与平面AB1的交线N是△AA1B的中位线,所以截面是梯形D1N,其中N=,D1=2N=D1=,所以梯形的高为h==,所以S=(+2)×=6如图所示,P是三角形AB所在平面外一点,平面α∥平面AB,α分别交线段PA,PB,P于A′,B′,′若PA′∶AA′=2∶,求△A′B′′与△AB的面积比为(  )A2∶B2∶74∶49D9∶2【解题指南】相似三角形面积之比等于边长之比的平方【解析】选因为平面α∥平面AB,平面α∩平面PAB=A′B′,平面AB∩平面PAB=AB,所以A′B′∥AB所以A′B′∶AB=PA′∶ PA又PA′∶AA′=2∶,所以A′B′∶AB=2∶7同理B′′∶B=2∶7,A′′∶A=2∶7,所以△A′B′′∽△AB,所以S△A′B′′∶S△AB=4∶49二、填空题(每小题4分,共12分)7平面α∥平面β,△AB和△A′B′′分别在平面α和平面β内,若对应顶点的连线共点,则这两个三角形________【解析】由于对应顶点的连线共点,则AB与A′B′共面,由平面与平面平行的性质知AB∥A′B′,同理A∥A′′,B∥B′′,故两个三角形相似答案:相似8(2014•吉安高二检测)如图正方体ABD-A1B11D1中过BD1的平面,分别与AA1,1交于,N,则四边形BND1的形状为________【解析】设过BD1的平面为α,因为平面ABB1A1∥平面DD11,α∩平面ABB1A1=B,α∩平面DD11=D1N,所以B∥D1N,同理可得BN∥D1,所以四边形BND1为平行四边形答案:平行四边形9(2013•汉中高一检测)已知平面α∥β∥γ,两条直线l,分别与平面α,β,γ相交于点A,B,和点D,E,F已知AB=6,而= ,则A=________【解析】三平行平面截空间两条直线所得线段成比例,则=;而=,所以=,所以=,所以B=9,所以A=AB+B=1答案:1三、解答题(每小题10分,共20分)10(2014•成都高二检测)平面四边形ABD的四个顶点A,B,,D均在平行四边形A′B′′D′所确定的平面α外且在平面α的一侧,AA′,BB′,′,DD′互相平行,求证:四边形ABD是平行四边形【证明】因为四边形A′B′′D′是平行四边形,所以A′D′∥B′′,因为AA′∥BB′,且AA′,A′D′是平面AA′D′D内的两条相交直线,BB′,B′′是平面BB′′内的两条相交直线,所以平面AA′D′D∥平面BB′′,又因AD,B分别是平面ABD与平面AA′D′D,平面BB′′的交线,故AD∥B,同理可证AB∥D,所以四边形ABD是平行四边形11如图,ABD-A1B11D1是正四棱柱,E是棱B的中点求证:BD1∥平面1DE【解题指南】证线面平行,可转化为面面平行,方法一过BD1作平行平面或转化为线线平行,方法二在面内找一平行线【证明】方法一:如图所示,取AD的中点,连接B,D1,E,则有ED,1D1D,所以E1D1,所以四边形E1D1是平行四边形,所以1E∥ D1,又1E⊈平面BD1,D1平面BD1,所以1E∥平面BD1,又DBE,所以四边形BED是平行四边形,所以DE∥B,又DE⊈平面BD1,B平面BD1,所以DE∥平面BD1,又DE平面1DE,1E平面1DE,DE∩1E=E,所以平面1DE∥平面BD1,又BD1平面BD1,BD1⊈平面1DE,所以BD1∥平面1DE方法二:如图所示,连接D1,交D1于点F,连接EF,则点F是D1的中点,又E是棱B的中点,所以EF∥BD1,又BD1⊈平面1DE,EF平面1DE,所以BD1∥平面1DE一、选择题( 每小题4分,共16分)1如图所示,在棱长为2的正方体ABD-A1B11D1中,A1B1的中点是P,则过点A1作与截面PB1平行的截面为(  )A三角形B梯形矩形D平行四边形【解析】选D作出截面如图所示平面A1EF,其中E,F分别为AB,1D1的中点由正方体中相对面互相平行,利用面面平行的性质定理可证四边形为平行四边形2正方体ABD-A1B11D1的棱长为3,点E在A1B1上且B1E=1,平面α∥平面B1E,若平面α∩平面AA1B1B=A1F,则AF的长为(  )A1B12D3【解析】选A因为平面α∥平面B1E,平面α∩平面AA1B1B=A1F,平面B1E∩平面AA1B1B=BE,所以A1F∥BE,又A1E∥BF,所以四边形A1EBF是平行四边形,所以A1E=BF=2,AF=13,N,P为三个不重合的平面,a,b,为三条不同的直线,则下列说法中,不正确的是(  )A①②  B②③  ②④  D③④【解析】选B①,④分别是直线和平面平行的传递性,正确;②中a与b还可能异面或相交;③中与N还可能相交【拓展延伸】“平行”关系结论大荟萃空间的平行关系,有些具有“传递性”,有些不具有,本题中的各种说法用字描述为:①平行于同一条直线的两条直线平行②平行于同一个平面的两条直线不一定平行③ 平行于同一条直线的两个平面不一定平行④平行于同一个平面的两个平面平行⑤平行于同一个平面的直线与平面不一定平行4(2014•杭州高二检测)设平面α∥平面β,A,∈α,B,D∈β,直线AB与D交于S,若AS=18,BS=9,D=34,则S=(  )A68B68或D2【解题指南】本题有两种情况,(1)交点S在两平面之间,(2)交点S在两平面同侧【解析】选如图(1)所示,AB,D交于S,因为α∥β,所以A∥BD所以=,即=,故S=如图(2)所示,AB,D交于S,因为α∥β,所以A∥BD,所以=,即=得S=68二、填空题(每小题分,共10分)(2014•宿迁高一检测)如图,在三棱柱AB-A1B11中,是A11的中点,平面AB1∥平面B1N,A∩平面B1N=N,若AN=A,则=________【解析】因为平面AB1∥平面B1N,平面A1A1∩平面AB1=A,平面B1N∩平面A1A1=1N,所以1N∥A,又A∥A11,所以四边形AN1为平行四边形,所以AN=1=A11= A,所以N为A的中点,=答案:【变式训练】如图所示,平面四边形ABD所在的平面与平面α平行,且四边形ABD在平面α内的平行投影A1B11D1是一个平行四边形,则四边形ABD的形状一定是________【解析】由平行投影定义知,AA1∥BB1,而ABD所在的平面与平面α平行,则AB∥A1B1,所以四边形ABB1A1为平行四边形,同理四边形1D1D为平行四边形,所以ABD,从而四边形ABD为平行四边形答案:平行四边形6如图,四棱锥P-ABD的底面是平行四边形,PA=PB=AB=2,E,F分别是AB,D的中点,平面AGF∥平面PE,PD∩平面AGF=G,ED与AF相交于点H,则GH=________【解题指南】先证明点H是DE的中点,再由平面AGF∥平面PE推出GH∥PE,最后在等边三角形PAB中求PE,利用三角形中位线的性质求GH【解析】因为四边形ABD是平行四边形,所以AB∥D,AB=D因为E,F分别是AB,D的中点,所以AE=FD,又∠EAH=∠DFH,∠AEH=∠FDH,所以△AEH≌△FDH,所以EH=DH因为平面AGF∥ 平面PE,平面PED∩平面AGF=GH,平面PED∩平面PE=PE,所以GH∥PE,又由H是DE的中点,所以G是PD的中点因为PA=PB=AB=2,所以PE=2×sin60°=,所以GH=PE=答案:三、解答题(每小题12分,共24分)7在正方体ABD-A1B11D1中,如图(1)求证:平面AB1D1∥平面1BD(2)试找出体对角线A1与平面AB1D1和平面1BD的交点E,F,并证明:A1E=EF=F【解析】(1)因为在正方体ABD-A1B11D1中,ADB11,所以四边形AB11D是平行四边形,所以AB1∥1D又因为1D平面1BD,AB1⊈平面1BD所以AB1∥平面1BD同理B1D1∥平面1BD又因为AB1∩B1D1=B1,AB1平面AB1D1,B1D1平面AB1D1,所以平面AB1D1∥平面1BD(2)如图,连接A11交B1D1于点1,连接A1与A1交于点E又因为A1 平面AB1D1,所以点E也在平面AB1D1内,所以点E就是A1与平面AB1D1的交点连接A交BD于,连接1与A1交于点F,则点F就是A1与平面1BD的交点下面证明A1E=EF=F因为平面A11∩平面AB1D1=E1,平面A11∩平面1BD=1F,平面AB1D1∥平面1BD,所以E1∥1F在△A11F中,1是A11的中点,所以E是A1F的中点,即A1E=EF;同理可证F∥AE,所以F是E的中点,即F=FE,所以A1E=EF=F8如图,线段PQ分别交两个平行平面α,β于A,B两点,线段PD分别交α,β于,D两点,线段QF分别交α,β于F,E两点,若PA=9,AB=12,BQ=12,△AF的面积为72,求△BDE的面积【解题指南】求△BDE的面积,看起似乎与本节内容无关,事实上,已知△AF的面积,若△BDE与△AF的对应边有联系的话,可以利用△AF的面积求出△BDE的面积【解析】因为平面QAF∩α=AF,平面QAF∩β=BE,又α∥β,所以AF∥BE同理可证:A∥BD,所以∠FA与∠EBD相等或互补,即sin∠FA=sin∠EBD由FA∥BE,得BE∶AF=QB∶QA=12∶24=1∶2,所以BE=AF由BD∥A,得A∶BD=PA∶PB=9∶21=3∶ 7,所以BD=A又因为△AF的面积为72,即AF•A•sin∠FA=72所以S△DBE=BE•BD•sin∠EBD=•AF•A•sin∠FA=•AF•A•sin∠FA=×72=84所以△BDE的面积为84 查看更多

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