资料简介
绝密★考试结束前2021学年第一学期浙江省开学考高三数学考生须知：1.本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效。4.考试结束后，只需上交答题卷。选择题部分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.已知集合，集合，则（）A.空集B.C.D.2.复数的虚部是（）A.iB.C.1D.-13.已知直线：与直线：相互垂直，则实数m的值是（）A.0.B.1C.-1D.4.已知，，是三个不同的平面，，.则下列命题成立的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则5.如图所示为学生常用的等腰直角三角形三角板，下图中，，均为等腰直角三角形，直角边长度分别为和，两斜边距离为1.现将该三角板绕斜边进行旋转，则图中阴影部分形成的几何体体积是（）（单位）A.B.C.D.
6.函数的图象可能是（）A.B.C.D.7.如图，在梯形中，，E，F是的两个三等分点，G，H是的两个三等分点，分别交，于M，N，若，则实数的值是（）A.B.C.D.8.已知a，，则“”是“函数存在最小值”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.即不充分也不必要条件
9.已知双曲线C：（，）的两条渐近线为，，若双曲线C的右支上存在一点P，使得点P到，的距离之和为b，则双曲线C离心率的取值范围是（）A.B.C.D.10.设，，，（其中自然对数的底数）则（）A.B.C.D.非选择题部分二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11.已知角的终边经过点，则___________，___________.12.已知，若直线l：被圆所截，则截得的弦长最短为___________.，此时直线l的方程为___________.13.若，，则___________.14.已知多项式，则________，___________.15.抛掷三枚质地均匀的硬币，则事件“恰好有两枚硬币正面朝上”的概率为___________，记正面朝上的硬币枚数为随机变量，则的数学期望是___________.16.设的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C.若的面积为，则的最小值是___________.17.已知平面向量，，满足，，且，则当取到最小值时，___________.三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）18.（本小题满分14分）已知函数.（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）若函数（）在上有两个零点，求m的取值范围.19.（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，为等边三角形.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若M为棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值.20.（本小题满分15分）已知数列的前n项积为，，且对一切均有.（Ⅰ）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列的前n项和为，求证：.21.（本小题满分15分）22.（本小题满分15分）已知，，（其中e为自然对数的底数）.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若，函数有两个零点，，求证：.高三数学学科答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）12345678910DCABCAACCD试题解析：
第5题：大的三棱锥体积减去挖空部分（可以看做2个圆台体积减去1个圆柱体积），.第6题：是偶函数，排除B，当时，，，；第7题：，，不妨设，则，，，，选A.第8题：，函数存在最小值（也可从图像角度看，当时，直线斜率非负），，反之，可举反例，，故选C.第9题：两条渐近线方程为：，设，P在双曲线C的右支上一点，故，，，，，故选C.第10题：令，则，，，考虑到，可得，化简得等号当且仅当时取到，故时，排除A，B，下面比较a，b大小，由得，，故，故选D.高三数学学科答案第2页共11页二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）
11.12.13.414.12315.16.17.试题解析第14题：考虑一次项系数：；下面赋值法：令，得：；令，得，故.第15题：，服从二项分布），故，.第16题：的面积为，得原式，其中，当时取到最小值.（当，，时取到最小值）第17题：由，得：，进一步得到：，又，故，当且仅当，，，
解得：，，；或，，时取等号，当，，时，，.∴当，，时，，.∴综上三、解答题（本大题共5小题，共74分）18.（7+7=14分）（Ⅰ）（2分）（4分）（代入给1分）函数的单调递增区间即是
函数的单调递减区间（5分）由，得，（6分）所以单调增区间为，（7分）（Ⅱ）记，函数（）在上有两个零点，即是函数，的图像与直线有两个交点（8分）由（1）的解答知，故（10分）∵，∴，的图像如图所示，（12分）数形结合，可知（14分）（结论端点开闭错误扣1分）19.（7+8=15分）【参考答案】：（I）证明：设，则取中点为H，连接，，（1分）
∵为等边三角形，∴，（2分）又，，∴面（3分）∴，H为中点，∴（4分）∴，∴（5分），同理由，得（6分）又，∴平面（7分）（Ⅱ）方法一：如图，设O为底面正方形的中心，连接，，交点记为F，由（Ⅰ）可知平面，∴（8分）又，∴面；∴面面，（9分）∴在平面的射影在直线上，为直线与平面所成角的平面角．（10分）在中，，，，，（12分）（线段长度有错酌情给1分）∴（14分）∴（15分）
方法二：底面是是正方形，由（I）可知，，两两垂直，分别以，，所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．（8分）设，则有，，，，（10分）设平面的法向量为，∵，（11分）则有：∴（13分）又有，设直线与平面所成角为q∴（15分）备注：用等体积法求角，对应评分标准酌情给分。20（8+7=15分）【参考答案】（Ⅰ）∵对一切均有，∴（1分）
又，（2分）∴，即（3分）∴时，，得：（5分）∴为等差数列，首项，公差∴，（7分）∴一切，（8分）（Ⅱ）∵，∴（9分）∴（10分）先证明，对一切，（11分）令，则当时，（12分）即在上单调递减，（13分）故，∴，（14分）∴∴（15分）备注：最后一部分也可直接求导等其他方法，对应评分标准酌情给分。21.（8+7=15分）【参考答案】：22.（7+8=15分）【参考答案】:
（I）解：（2分）∵，∴时，，∴时，增区间为：，减区间为：；（4分）时，，∴时，增区间为：；（5分）时，，，∴时，增区间为：，减区间为：；（7分）（备注：单调区间开闭不扣分，但处应为开。）（Ⅱ）解：由（1）知，时，增区间为：，减区间为：；且时，，，函数的大致图像如下图所示（9分）因为时，函数有两个零点，，所以，即，不妨设，则；先证：，即证：
因为，所以，又在单调递增，所以即证：又，所以即证：，（11分）令函数，，则因为，所以，，故函数在单调递增，所以因为，所以，，即（14分）所以.（15分）（Ⅱ）解法二：因为时，函数有两个零点，，则两个零点必为正实数，（）等价于有两个正实数解；（9分）令（）则（），在单调递增，在单调递减，且（10分）令，，则（11分）
所以在单调递增，（12分）又，故，又，所以，又，所以，，又在单调递增，所以（14分）（中间过程可酌情给1分）所以.（15分）（Ⅱ）解法三：还可能出现以下证明方法：因为时，函数有两个零点，，则两个零点必为正实数，（）等价于有两个正实数解；（9分）则，因为.......，所以（给出证明得3分，否则扣这3分）（12分）由得，（14分）所以.（15分）备注：若用对数均值不等式证明需对用到的对数均值不等式给与证明，否则扣3分。）欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org
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