资料简介
北师大版2021年数学九年级下册《直角三角形的边角关系》单元测试二一、精心选一选(每小题3分，共30分)1．计算：cos245°＋sin245°=( )A.B．1C.D.2．把△ABC三边的长度都缩小为原来的，则锐角A的正弦值( )A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．不能确定3．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB的值等于( )A.B.C.D．14．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=50°，AB=10，则BC的长为( )A．10tan50°B．10sin40°C．10sin50°D.5．已知α为锐角，且sin(α－10°)=，则α等于( )A．45°B．55°C．60°D．65°6．已知锐角α满足等式3cos2α－8cosα＋4=0，则cosα的值为( )A.B．2C．2或D．以上都不对7．若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是( )A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若BD∶AD=1∶4，则tan∠BCD的值是( )A.B.C.D．29．如图，某校数学兴趣小组用测倾器测量某大桥的桥塔高度，在距桥塔AB底部50米的C处，测得桥塔顶部A的仰角为41.5°，已知测倾器CD的高度为1米，则桥塔AB的高度为( )(参考数据：sin41.5°≈0.663，cos41.5°≈0.749，tan41.5°≈0.885)
A．34米B．38米C．45米D．50米10．转化思想是中学数学中一种常用且有效的解题方法，在本章中这种思想的作用更为突出．通过添加辅助线将非直角三角形问题转化为两个最熟悉的(锐角为30°和45°)直角三角形来解决．试用此方法解决下面问题：如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，AB=6，则AC的长度是( )A．3B．3C．5D．3二、细心填一填(每小题3分，共24分)11．计算：tan245°－1=．12．某坡面的坡度为1∶，则坡角是．13．如图，在坡屋顶的设计图中，AB=AC，屋顶的宽度l为10米，坡角α为35°，则坡屋顶高度h为米．(结果精确到0.1米；参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)14．如图，P是∠α的边OA上的一点，且点P的坐标为(1，)，则sinα=．15．如图，海中有一个小岛A，它的周围15海里内有暗礁，今有货船由西向东航行，开始在A岛南偏西60°的B处，往东航行20海里后到达该岛南偏西30°的C处后，货船继续向东航行，你认为货船航行途中触礁的危险．(填“有”或“没有”)16．如图，小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30米，则电梯楼的高BC为米．(精确到0.1米；参考数据：≈1.414，≈1.732)
17．直线y=kx－1与y轴相交所成的锐角为60°，则k=．18．如图，两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯，若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则图中点P与液面的距离是．三、耐心做一做(共66分)19．(8分)计算：(1)2sin30°－tan60°＋tan45°； (2)cos245°＋tan60°·cos30°－3tan230°＋4sin230°.20．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=15，∠B=60°，解这个直角三角形．
21．已知锐角α使关于x的一元二次方程x2－2sinα·x＋sinα－=0有两个相等的实数根，求α的度数．22．如图，有一热气球到达离地面高度为36米的A处时，仪器显示正前方一高楼顶部B的仰角是37°，底部C的俯角是60°.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？(结果精确到0.1米；参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73)
23．为解决某地的干旱问题，在山洞C里发现了暗河(如图)．经勘察，在山洞的西面有一条南北走向的公路连接着A，B两村庄，山洞C位于A村庄南偏东30°方向，且位于B村庄南偏东60°方向．为方便A，B两村庄的村民取水，需从山洞C处向公路AB紧急修建一条最近的简易公路CD.现已知A，B两村庄相距6千米．(1)求这条最近的简易公路CD的长；(精确到0.01千米)(2)每修建1千米的简易公路需费用16000元，请求出修建该简易公路的最低费用．(精确到个位；参考数据：≈1.414，≈1.732)24．(11分)(2015·淄博)如图1是一把折叠椅子，图2是椅子完全打开支稳后的侧面示意图，其中AD和BC表示两根较粗的钢管，EG表示座板平面，EG和BC相交于点F，MN表示地面所在的直线，EG∥MN，EG距MN的高度为42cm，AB=43cm，CF=42cm，∠DBA=60°，∠DAB=80°.求两根较粗钢管AD和BC的长．(结果精确到0.1cm；参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，sin60°≈0.87，cos60°≈0.5，tan60°≈1.73)
25．如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠(AP>AM)，点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处．(1)判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？(不需说明理由)(2)如果AM=1，sin∠DMF=，求AB的长．参考答案一、精心选一选(每小题3分，共30分)1．计算：cos245°＋sin245°=( B )A.B．1C.D.2．把△ABC三边的长度都缩小为原来的，则锐角A的正弦值( A )A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．不能确定3．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB的值等于( C )A.B.C.D．14．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=50°，AB=10，则BC的长为( B )A．10tan50°B．10sin40°C．10sin50°D.5．已知α为锐角，且sin(α－10°)=，则α等于( B )A．45°B．55°C．60°D．65°
6．已知锐角α满足等式3cos2α－8cosα＋4=0，则cosα的值为( A )A.B．2C．2或D．以上都不对7．(2015·淄博)若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是( B )A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若BD∶AD=1∶4，则tan∠BCD的值是( C )A.B.C.D．2 ,第9题图) ,第10题图)9．如图，某校数学兴趣小组用测倾器测量某大桥的桥塔高度，在距桥塔AB底部50米的C处，测得桥塔顶部A的仰角为41.5°，已知测倾器CD的高度为1米，则桥塔AB的高度为( C )(参考数据：sin41.5°≈0.663，cos41.5°≈0.749，tan41.5°≈0.885)A．34米B．38米C．45米D．50米10．转化思想是中学数学中一种常用且有效的解题方法，在本章中这种思想的作用更为突出．通过添加辅助线将非直角三角形问题转化为两个最熟悉的(锐角为30°和45°)直角三角形来解决．试用此方法解决下面问题：如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，AB=6，则AC的长度是( D )A．3B．3C．5D．3二、细心填一填(每小题3分，共24分)11．计算：tan245°－1=__0__．12．某坡面的坡度为1∶，则坡角是__30°__．13．如图，在坡屋顶的设计图中，AB=AC，屋顶的宽度l为10米，坡角α为35°，则坡屋顶高度h为__3.5__米．(结果精确到0.1米；参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70),第13题图) ,第14题图)
,第15题图) ,第16题图)14．如图，P是∠α的边OA上的一点，且点P的坐标为(1，)，则sinα=____．15．如图，海中有一个小岛A，它的周围15海里内有暗礁，今有货船由西向东航行，开始在A岛南偏西60°的B处，往东航行20海里后到达该岛南偏西30°的C处后，货船继续向东航行，你认为货船航行途中__没有__触礁的危险．(填“有”或“没有”)16．如图，小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30米，则电梯楼的高BC为__82.0__米．(精确到0.1米；参考数据：≈1.414，≈1.732)17．直线y=kx－1与y轴相交所成的锐角为60°，则k=__±__．18．如图，两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯，若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则图中点P与液面的距离是__6_cm__．三、耐心做一做(共66分)19．(8分)计算：(1)2sin30°－tan60°＋tan45°； (2)cos245°＋tan60°·cos30°－3tan230°＋4sin230°.解：(1)2－ (2)220．(8分)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=15，∠B=60°，解这个直角三角形．解：∠A=30°，AB=10，BC=5
21．(8分)已知锐角α使关于x的一元二次方程x2－2sinα·x＋sinα－=0有两个相等的实数根，求α的度数．解：由题意得b2－4ac=(2sinα)2－4(sinα－)=0，即4sin2α－4sinα＋3=0，解得sinα=.∵α为锐角，∴α=60°22．(9分)如图，有一热气球到达离地面高度为36米的A处时，仪器显示正前方一高楼顶部B的仰角是37°，底部C的俯角是60°.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？(结果精确到0.1米；参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73)解：过A作AD⊥CB，垂足为点D.在Rt△ADC中，AD===12≈20.76.在Rt△ADB中，BD=AD·tan37°≈20.76×0.75=15.57≈15.6(米)，则气球应至少再上升15.6米
23．(10分)为解决某地的干旱问题，在山洞C里发现了暗河(如图)．经勘察，在山洞的西面有一条南北走向的公路连接着A，B两村庄，山洞C位于A村庄南偏东30°方向，且位于B村庄南偏东60°方向．为方便A，B两村庄的村民取水，需从山洞C处向公路AB紧急修建一条最近的简易公路CD.现已知A，B两村庄相距6千米．(1)求这条最近的简易公路CD的长；(精确到0.01千米)(2)每修建1千米的简易公路需费用16000元，请求出修建该简易公路的最低费用．(精确到个位；参考数据：≈1.414，≈1.732)解：(1)过C作CD⊥AB，垂足是D.由题意知，∠A=30°，∠DBC=60°，∴∠ACB=30°，∴BC=AB=6km.在Rt△BCD中，CD=BC·sin60°=3≈5.20(km)(2)5.20×16000=83200(元)24．(11分)(2015·淄博)如图1是一把折叠椅子，图2是椅子完全打开支稳后的侧面示意图，其中AD和BC表示两根较粗的钢管，EG表示座板平面，EG和BC相交于点F，MN表示地面所在的直线，EG∥MN，EG距MN的高度为42cm，AB=43cm，CF=42cm，∠DBA=60°，∠DAB=80°.求两根较粗钢管AD和BC的长．(结果精确到0.1cm；参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，sin60°≈0.87，cos60°≈0.5，tan60°≈1.73)解：
如图，作FH⊥AB于H，DQ⊥AB于Q，则FH=42cm.在Rt△BFH中，BF=≈≈48.28，∴BC=BF＋CF=48.28＋42≈90.3(cm)．在Rt△BDQ中，BQ=.在Rt△ADQ中，AQ=.∵BQ＋AQ=AB=43，∴＋=43，解得DQ≈56.999.在Rt△ADQ中，AD=≈≈58.2(cm)，则两根较粗钢管AD和BC的长分别为58.2cm，90.3cm25．(12分)如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠(AP>AM)，点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处．(1)判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？(不需说明理由)(2)如果AM=1，sin∠DMF=，求AB的长．解：(1)有三对相似三角形，即△AMP∽△BPQ∽△CQD (2)设AP=x，∴由折叠知BP=AP=EP=x，AB=DC=2x.由△AMP∽△BPQ得=，∴BQ=x2.由△AMP∽△CQD得=，∴CQ=2，∴AD=BC=BQ＋CQ=x2＋2，MD=AD－AM=x2＋1.∵在Rt△FDM中，sin∠DMF=，DF=DC=2x，∴=，变形得3x2－10x＋3=0，解得x1=3，x2=(不合题意，舍去)，∴AB=2x=6
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