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人教版高中数学选择性必修第一册2.5.1《直线与圆的位置关系》导学案(含答案)

2024-05-05
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2.5.1直线与圆的位置关系导学案1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.重点：判断直线与圆的位置关系难点：直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题直线与圆的位置关系的判断方法直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系及判断点睛：几何法更为简洁和常用.1.直线3x+4y=5与圆x2+y2=16的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.相切或相交一、情境导学 “海上生明月，天涯共此时。”，表达了诗人望月怀人的深厚情谊。在海天交于一线的天际,一轮明月慢慢升起,先是探出半个圆圆的小脑袋,然后冉冉上升,和天际线相连,再跃出海面,越来越高,展现着迷人的风采.这个过程中,月亮看作一个圆,海天交线看作一条直线,月出的过程中也体现了直线与圆的三种位置关系:相交、相切和相离.在平面几何中，我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系，前面我们学习了直线的方程，圆的方程，已经用方程研究两条直线的位置关系，下面我们未必用方程研究两条直线位置关系的方法，利用直线和圆的方程通过定量计算研究直线与圆的位置关系。二、典例解析例1已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时,直线与圆(1)有两个公共点;(2)只有一个公共点;(3)没有公共点?直线与圆的位置关系的判断方法直线与圆的位置关系反映在三个方面:一是点到直线的距离与半径大小的关系;二是直线与圆的公共点的个数;三是两方程组成的方程组解的个数. 因此,若给出图形,可根据公共点的个数判断;若给出直线与圆的方程,可选择用几何法或代数法,几何法计算量小,代数法可一同求出交点.解题时可根据条件作出恰当的选择.例2过点A(4,-3)作圆C:(x-3)2+(y-1)2=1的切线,求此切线的方程.变式探究过点Q(3,0)作圆x2+y2=4的切线,求此切线方程.切线方程的求法1.求过圆上一点P(x0,y0)的圆的切线方程:先求切点与圆心连线的斜率k,则由垂直关系,切线斜率为-,由点斜式方程可求得切线方程.若k=0或斜率不存在,则由图形可直接得切线方程为y=b或x=a.2.求过圆外一点P(x0,y0)的圆的切线时,常用几何方法求解设切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y-kx0+y0=0,由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,进而切线方程即可求出.但要注意,此时的切线有两条,若求出的k值只有一个时,则另一条切线的斜率一定不存在,可通过数形结合求出.例3求直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长.求直线与圆相交时弦长的两种方法(1)几何法:如图①,直线l与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半径为r,弦长为|AB|,则有()2+d2=r2,即|AB|=2. 图①(2)代数法:如图②所示,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=|x1-x2|=|y1-y2|(直线l的斜率k存在).图②跟踪训练1已知直线l经过直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点,且与直线x+y-2=0垂直.(1)求直线l的方程;(2)若圆C的圆心为点(3,0),直线l被该圆所截得的弦长为2,求圆C的标准方程.例3．如图，台风中心从地以每小时千米的速度向东北方向（北偏东）移动，离台风中心不超过千米的地区为危险区域.城市在地的正东千米处.请建立恰当的平面直角坐标系，解决以下问题：(1)求台风移动路径所在的直线方程；(2)求城市处于危险区域的时间是多少小时？ 1.直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是( )A.过圆心B.相切C.相离D.相交但不过圆心2.若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切,则m的值是( )A.0或2B.2C.D.或23.经过点M(2,1)作圆x2+y2=5的切线,则切线的方程为 . 4.直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|= . 5．如图所示,一座圆拱（圆的一部分）桥,当水面在图位置m时,拱顶离水面2m,水面宽12m,当水面下降1m后,水面宽多少米?参考答案：知识梳理1.解析:圆心到直线的距离为d==10,即m>0或m 查看更多

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