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1.3.2球的体积和表面积高效演练知能提升;A级基础巩固一、选择题1.若一个球的体积扩大到原来的27倍，则它的表面积扩大到原来的（）A.3倍B.3^3倍C.9倍D.9^3倍R'解析：由r=27V,得“=3斤，—=3/n'\Z则球的表面积比s':5=（^—J=9.答案：C2.用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为"，则球的表面积为（）8Ji32兀A.〒B.38-J2JIC.8兀D.—解析：设球的半径为乩则截面圆的半径为仰二1,所以截面圆的面积为S=n（寸#_1）*=（#_1）兀=兀，所以#=2,所以球的表面积S=4兀#=8n.答案：03.如图所示，是某儿何体的三视图，则该儿何体的体积为（侧视图俯视图A.9ji+42B.36n+18
解析：由三视图可知该儿何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积r=|n^3+3X3X2答案:D1.设长方体的匕宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A.3JiaB.6Jic?2D.24naA.12na2解析：设该球的半径为只所以(2/=(2»+/+/=6/所以球的表面积为5—4兀#=6Jia.答案;B5.下图是一个几何体的三视图，根据图中数据,可得几何体的表面积是（）CT32止视图'2”侧视图俯视图B.4ji+32A.4ji+24C.22nD.12jt解析：由三视图可知，该儿何体上部分为半径为1的球，下部分为底边长为2,高为3的正四棱柱，儿何体的表面积为4兀+32.答案：B二、填空题6.（2017•天津卷）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为.解析：设正方体的棱长为⑦则6/=18,所以a=y[3.设球的半径为斤，则由题意知2斤=駆+空+/=3,
3所以R=W4.49故球的体积卩=§兀#=§开xM=-n.9答案:討7•两个球的表面积之差为4871,它们的大圆周长Z和为12兀，则这两个球的半径Z差为解析：由题意设两球半径分别为爪m,4n#—4nr=48n[^―r=12则：B|J,2n斤+2"=12兀斤+厂=6.所以R—r=2.答案：2&（2017•江苏卷）如图，在圆柱内有一个球0,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,Vx记圆柱〃@的体积为X,球0的体积为％,则&的值是解析：设球0的半径为斤,因为球0与圆柱的上、下底面及母线均相切,所以圆柱〃@的高为2斤，底面半径为尺2'答案：I三、解答题9.某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r=l,7=3,试求该组合体的表面积和体积.解：组合体的表血积S=4兀r+2Jirl=4兀X12+2nX1X3=10—因为圆柱的体积5柱=Tirl=nX12X3=3Ji,
44又两个半球的体积2A半球=§兀,413因此组合体的体积1/=371+§兀=~71'9.如图，一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3cm,瓶里所装的水深为8cm,将一个钢球完全浸入水屮，瓶屮水的髙度上升到&5cm,求钢球的半径.解：设球的半径为斤,解得：R=\.5（cm）,所以所求球的半径为1.5cm.B级能力提升1.用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为n,则球的体积为（）8n8、吃ji厂32JiA.—-B.—C.8yJ2nD.——解析：截面面积为—则该小圆的半径为1,设球的半径为斤，则#=12+12=2,所以,K=|nR=*平兀.答案：B2.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨吋，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆府直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨蜃是寸.（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）解析：圆台的轴截面是下底长为12寸，上底长为28寸，高为18寸的等腰梯形，雨水线恰y（10+10X6+6?）X9为中位线，故雨水线直径是20寸，所以降水量为-―^=3（寸）.答案：33.体积相等的正方体、球、等边圆柱（轴截面为正方形的圆柱）的表面积分别是S,试比较它们的大小.解：设正方体的棱长为臼，球的半径为忆等边圆柱的底面半径为八贝ljS=6a,$=4兀#,&=6h2< 所以R=3由题意知，所以$=4Ji242.所以$V$・2312=引54兀又6/>3勺£7=引莎TZ即$>$.所以S,Si,&的大小关系是SWS\.
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