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《第11章一元一次不等式》一、填空1．用“＞”或“＜”填空：（1）若a＞b，则a+c b+c；（2）若m+2＜n+2，则m﹣4 n﹣4；（3）若b＞﹣1，则b+1 0；（4）若a＜b，则﹣3a ﹣3b；（5）若＞，则a b；（6）若a＜b，则﹣2a+1 ﹣2b+1．2．判断下列各题的推导是否正确，并说明理由．（1）因为7.5＞5.7，所以﹣7.5＜﹣5.7；（2）因为a+8＞4，所以a＞﹣4；（3）因为4a＞4b，所以a＞b；（4）因为﹣1＞﹣2，所以﹣a﹣1＞﹣a﹣2．3．写出使下列推理成立的条件．（1）4m＞2m： ；（2）如果a＞b，那么ac＜bc： ；（3）如果a＞b，那么ac2＞bc2： ；（4）如果ax＜b，那么x＞： ．4．若a＞b，c＜0，用“＞”或“＜”填空：（1）a+3 b+1；（2）﹣a ﹣b；（3）ac2 bc2；（4） ．5．若是一元一次不等式，则m= ．6．不等式x﹣1≥﹣3的解集为 ，其中不等式的负整数解为 ．7．不等式3（x+1）≥5x﹣3的正整数解是 ．8．若不等式（2k+1）x＜2k+1的解集是x＞1，则k的范围是 ．第18页（共18页）
9．解不等式：2（x+1）﹣3（x+2）＜0；并把解集在数轴上表示出来．二、选择10．下列不等式变形正确的是（ ）A．由4x﹣1＞2，得4x＞1B．由5x＞3，得x＞C．由＞0，得y＞2D．由﹣2x＜4，得x＞﹣211．若a＜b＜0，则下列式子：①a+1＜b+2；②＞1；③a+b＜ab；④＜中，正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个12．若不等式ax＞b的解集是x＞，则a的范围是（ ）A．a≥0B．a≤0C．a＞0D．a＜0三、解答13．根据不等式的性质，把下列不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式，并说出每次变形的依据．（1）x+3＜﹣2；（2）x＞﹣1；（3）7x＞6x﹣4；（4）﹣x﹣1＜0．14．（1）甲在不等式﹣10＜0的两边都乘﹣1，竟得到10＜0！为什么？（2）乙在不等式2x＞5x两边同除以x，竟得到2＞5！又是为什么？（3）你能利用不等式的性质将不等式“a＞b”变形为“b＜a”吗？试试看．15．一辆12个座位的汽车上已有4名乘客，到一个站后又上来x个人，车上仍有空位，可以得到怎样的不等式？并判断x的取值范围．第18页（共18页）
16．比较两个数的大小可以通过它们的差来判断．例如要比较a和b的大小，那么：当a﹣b＞0时，一定有a＞b；当a﹣b=0时，一定有a=b；当a﹣b＜0时，一定有a＜b．反之也成立．因此，我们常常将要比较的两个数先作差计算，再根据差的符号来判断这两个数的大小．根据上述结论，试比较x4+2x2+2与x4+x2+2x的大小关系．17．下面是解不等式的部分过程，如果错误，说明错误原因并改正；如果正确，说明理由．（1）由2x＞﹣4，得x＜﹣2；（2）由16x﹣8＞32﹣24x，得2x﹣1＞4﹣3x；（3）由﹣3x＞12，得x＜﹣4．18．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：（1）7+x＞3；（2）x＜1；（3）4+3x＞6﹣2x．19．解答下列各题：（1）x取何值时，代数式3x+2的值不大于代数式4x+3的值？（2）当m为何值时，关于x的方程x﹣1=m的解不小于3？（3）求不等式2x﹣3＜5的最大整数解．第18页（共18页）
20．某辆汽车油箱中原有油60L，汽车每行驶1km耗油0.08L，请你估计行驶多少千米后油箱中的油少于20L．21．小丽在学了这节内容后，总结出：解一元一次不等式，就是利用不等式的性质把所要求的不等式转化为“x＞a”或“x＜a”的形式．你同意小丽的观点吗？请自编、自解一个一元一次不等式，再体会小丽的说法． 第18页（共18页）
参考答案与试题解析一、填空1．用“＞”或“＜”填空：（1）若a＞b，则a+c ＞ b+c；（2）若m+2＜n+2，则m﹣4 ＜ n﹣4；（3）若b＞﹣1，则b+1 ＞ 0；（4）若a＜b，则﹣3a ＞ ﹣3b；（5）若＞，则a ＞ b；（6）若a＜b，则﹣2a+1 ＞ ﹣2b+1．【考点】不等式的性质．【分析】（1）根据不等式的性质1，进而得出答案；（2）根据不等式的性质1，进而得出答案；（3）根据不等式的性质1，进而得出答案；（4）根据不等式的性质2，进而得出答案；（5）根据不等式的性质2，进而得出答案；（6）根据不等式的性质2，进而得出答案．【解答】解：（1）若a＞b，则a+c＞b+c；（2）若m+2＜n+2，则m﹣4＜n﹣4；（3）若b＞﹣1，则b+1＞0；（4）若a＜b，则﹣3a＞﹣3b；（5）若＞，则a＞b；（6）若a＜b，则﹣2a+1＞﹣2b+1．故答案为：（1）＞；（2）＜；（3）＞；（4）＞；（5）＞；（6）＞．【点评】此题主要考查了不等式的性质，正确把握不等式的性质是解题关键． 2．判断下列各题的推导是否正确，并说明理由．（1）因为7.5＞5.7，所以﹣7.5＜﹣5.7；（2）因为a+8＞4，所以a＞﹣4；（3）因为4a＞4b，所以a＞b；第18页（共18页）
（4）因为﹣1＞﹣2，所以﹣a﹣1＞﹣a﹣2．【考点】不等式的性质．【分析】（1）根据不等式的性质2，进而得出答案；（2）根据不等式的性质1，进而得出答案；（3）根据不等式的性质2，进而得出答案；（4）根据不等式的性质1，进而得出答案．【解答】解：（1）因为7.5＞5.7，所以﹣7.5＜﹣5.7，正确，利用不等式两边同乘以一个负数不等号的方向改变；（2）因为a+8＞4，所以a＞﹣4，正确，利用不等式两边同加上或减去同一个数不等号的方向不变；（3）因为4a＞4b，所以a＞b；正确，利用不等式两边同除以一个数不等号的方向不变；（4）因为﹣1＞﹣2，所以﹣a﹣1＞﹣a﹣2，正确，利用不等式两边同加上或减去同一个数不等号的方向不变．【点评】此题主要考查了不等式的性质，正确把握不等式的性质是解题关键． 3．写出使下列推理成立的条件．（1）4m＞2m： m＞0 ；（2）如果a＞b，那么ac＜bc： c＜0 ；（3）如果a＞b，那么ac2＞bc2： c≠0 ；（4）如果ax＜b，那么x＞： a＜0 ．【考点】不等式的性质．【分析】（1）根据不等式的基本性质得出即可；（2）根据不等式的基本性质（不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向要改变）得出即可；（3）根据不等式的基本性质（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不发生变化）得出即可；（4）根据不等式的基本性质（不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向要改变）得出即可．第18页（共18页）
【解答】解：（1）当m＞0时，4m＞2m，故答案为：m＞0；（2）∵a＞b，c＜0，∴ac＜bc，故答案为：c＜0；（3）当c≠0时，当a＞b时，ac2＞bc2，故答案为：c≠0；（4）当a＜0时，∵ax＜b，∴x＞，故答案为：a＜0【点评】本题考查了不等式的基本性质的应用，注意：不等式的基本性质是：①不等式的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，不等式的符号不改变；②不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不改变；③不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向要改变． 4．若a＞b，c＜0，用“＞”或“＜”填空：（1）a+3 ＞ b+1；（2）﹣a ＜ ﹣b；（3）ac2 ＞ bc2；（4） ＞ ．【考点】不等式的性质．【分析】（1）根据不等式的性质1，进而得出答案；（2）根据不等式的性质2，进而得出答案；（3）根据不等式的性质2，进而得出答案；（4）根据不等式的性质2，进而得出答案．【解答】解：（1）a+3＞b+1；第18页（共18页）
（2）﹣a＜﹣b；（3）ac2＞bc2；（4）＞．故答案为：（1）＞，（2）＜，（3）＞，（4）＞．【点评】此题主要考查了不等式的性质，正确把握不等式的性质是解题关键． 5．若是一元一次不等式，则m= 1 ．【考点】一元一次不等式的定义．【分析】根据一元一次不等式的定义，2m﹣1=1，求解即可．【解答】解：根据题意2m﹣1=1，解得m=1．故答案为：m=1．【点评】本题考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件． 6．不等式x﹣1≥﹣3的解集为 x≥﹣2 ，其中不等式的负整数解为 ﹣2，﹣1 ．【考点】一元一次不等式的整数解．【分析】首先移项，然后合并同类项即可解不等式，然后确定不等式的负整数解即可．【解答】解：移项，得：x≥﹣3+1，即x≥﹣2．则负整数解是：﹣2，﹣1．故答案是：x≥﹣2；﹣2，﹣1．【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式是关键． 7．不等式3（x+1）≥5x﹣3的正整数解是 1，2，3 ．【考点】一元一次不等式组的整数解．【专题】计算题．【分析】先求出不等式的解集，然后求其正整数解．【解答】解：∵不等式3（x+1）≥5x﹣3的解集是x≤3，∴正整数解是1，2，3．第18页（共18页）
【点评】本题考查不等式的解法及整数解的确定．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 8．若不等式（2k+1）x＜2k+1的解集是x＞1，则k的范围是 k＜﹣ ．【考点】解一元一次不等式．【专题】计算题．【分析】本题中不等式的解的不等号与原不等式的不等号正好相反，所以，2k+1＜0，据此即可求得k的取值范围．【解答】解：∵不等式（2k+1）x＜2k+1的解集是x＞1，∴2k+1＜0，∴k＜﹣．【点评】本题考查的是不等式两边同除以一个负数时不等号的方向改变． 9．解不等式：2（x+1）﹣3（x+2）＜0；并把解集在数轴上表示出来．【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．【分析】去括号整理后，应把含x的项移到不等号的左边，移项及合并后两边都除以不等号的系数即可．【解答】解：去括号得，2x+2﹣3x﹣6＜0，移项及合并得，﹣x＜4，系数化为1，得x＞﹣4．解集在数轴上表示为：【点评】本题需注意的知识点是：在不等式两边都除以一个负数时，应只改变不等号的方向，余下该怎么除还怎么除． 二、选择10．下列不等式变形正确的是（ ）第18页（共18页）
A．由4x﹣1＞2，得4x＞1B．由5x＞3，得x＞C．由＞0，得y＞2D．由﹣2x＜4，得x＞﹣2【考点】不等式的性质．【分析】根据不等式的性质1，可判断A，根据不等式的性质2，可判断B、C，根据不等式的性质3，可判断D．【解答】解：A4x﹣1＞2，4x＞3，故A错误；B5x＞3，x＞，故B错误；C，y＞0，故C错误；D﹣2x＜4，x＞﹣2，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了不等式的性质，注意不等式的性质3，两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变． 11．若a＜b＜0，则下列式子：①a+1＜b+2；②＞1；③a+b＜ab；④＜中，正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】不等式的性质．【分析】根据不等式的基本性质判断．【解答】解：∵a＜b∴a+1＜b+1＜b+2因而①一定成立；a＜b＜0即a，b同号．并且|a|＞|b|因而②＞1一定成立；④＜一定不成立；∵a＜b＜0即a，b都是负数．∴ab＞0a+b＜0∴③a+b＜ab一定成立．正确的有①②③共有3个式子成立．故选C．【点评】本题比较简单的作法是用特殊值法，如令a=﹣3b=﹣2代入各式看是否成立． 12．若不等式ax＞b的解集是x＞，则a的范围是（ ）第18页（共18页）
A．a≥0B．a≤0C．a＞0D．a＜0【考点】解一元一次不等式．【专题】常规题型．【分析】根据不等式的性质2，不等式的两边同时除以一个正数，不等号的方向不改变，即a＞0．【解答】解：∵不等式ax＞b的解集是x＞，∴a＞0，故选C．【点评】本题考查了利用不等式的基本性质解不等式的能力，要熟练掌握． 三、解答13．根据不等式的性质，把下列不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式，并说出每次变形的依据．（1）x+3＜﹣2；（2）x＞﹣1；（3）7x＞6x﹣4；（4）﹣x﹣1＜0．【考点】不等式的性质．【分析】（1）先移项，再合并即可；（2）不等式的两边都乘以3即可；（3）先移项，再合并即可；（4）先移项，再不等式的两边都乘以﹣1即可．【解答】解：（1）∵x+3＜﹣2，∴x＜﹣2﹣3（不等式的基本性质1），∴x＜﹣5（合并同类项）；（2）∵x＞﹣1，∴x＞﹣3（不等式的基本性质2）；第18页（共18页）
（3）∵7x＞6x﹣4，∴7x﹣6x＞﹣4（不等式的基本性质1），x＞﹣4（合并同类项）；（4）﹣x﹣1＜0，﹣x＜1（不等式的基本性质1），x＞﹣1（不等式的基本性质3）．【点评】本题考查了不等式的基本性质的应用，注意：不等式的基本性质是：①不等式的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，不等式的符号不改变；②不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不改变；③不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向要改变． 14．（1）甲在不等式﹣10＜0的两边都乘﹣1，竟得到10＜0！为什么？（2）乙在不等式2x＞5x两边同除以x，竟得到2＞5！又是为什么？（3）你能利用不等式的性质将不等式“a＞b”变形为“b＜a”吗？试试看．【考点】不等式的性质．【分析】（1）根据不等式的基本性质3判断即可；（2）根据已知求出x是负数，根据不等式的基本性质3判断即可；（3）移项，再两边都除以﹣1即可．【解答】解：（1）不对，不等式的两边都乘以﹣1，不等式的符号要改变，即10＞0；（2）2x＞5x∴2x﹣5x＞0，﹣3x＞0，∴x＜0，即不等式的两边都除以一个负数x，不等式的符号要改变，即2＜5；（3）能，如∵a＞b，∴﹣b＞﹣a，∴b＜a．第18页（共18页）
【点评】本题考查了不等式的基本性质的应用，注意：不等式的基本性质是：①不等式的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，不等式的符号不改变；②不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不改变；③不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向要改变． 15．一辆12个座位的汽车上已有4名乘客，到一个站后又上来x个人，车上仍有空位，可以得到怎样的不等式？并判断x的取值范围．【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式．【分析】根据题意可得：车上的原有人数+上来x个人＜12，再解不等式即可．【解答】解：由题意得：4+x＜12，解得：x＜8．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系，列出不等式． 16．比较两个数的大小可以通过它们的差来判断．例如要比较a和b的大小，那么：当a﹣b＞0时，一定有a＞b；当a﹣b=0时，一定有a=b；当a﹣b＜0时，一定有a＜b．反之也成立．因此，我们常常将要比较的两个数先作差计算，再根据差的符号来判断这两个数的大小．根据上述结论，试比较x4+2x2+2与x4+x2+2x的大小关系．【考点】不等式的性质．【分析】先作差：（x4+2x2+2）﹣（x4+x2+2x），然后根据差的符号来判断这两个数的大小．【解答】解：∵（x4+2x2+2）﹣（x4+x2+2x），=x4+2x2+2﹣x4﹣x2﹣2x=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1．在实数范围内，无论x取何值，（x﹣1）2+1＞0总成立，∴∵（x4+2x2+2）﹣（x4+x2+2x）＞0，第18页（共18页）
∴x4+2x2+2＞x4+x2+2x．【点评】本题考查了不等式的性质．（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 17．下面是解不等式的部分过程，如果错误，说明错误原因并改正；如果正确，说明理由．（1）由2x＞﹣4，得x＜﹣2；（2）由16x﹣8＞32﹣24x，得2x﹣1＞4﹣3x；（3）由﹣3x＞12，得x＜﹣4．【考点】不等式的性质．【专题】计算题．【分析】（1）根据等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变进行判断；（2）根据等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变进行判断；（3）根据不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变进行判断．【解答】解：（1）错误．等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，所以由2x＞﹣4，得x＞﹣2；（2）正确．等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，所以把16x﹣8＞32﹣24x两边都除以8得到2x﹣1＞4﹣3x；（3）正确．不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，所以﹣3x＞12两边都除以﹣3，得到x＜﹣4．【点评】本题考查了不等式的基本性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 18．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：（1）7+x＞3；第18页（共18页）
（2）x＜1；（3）4+3x＞6﹣2x．【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．【分析】（1）通过移项可以求得x的取值范围；（2）化未知数系数为1来求x的取值范围；（3）通过移项、合并同类项，化系数为1来求x的取值范围【解答】解：（1）移项，得x＞﹣4．表示在数轴上为：；（2）不等式的两边同时乘以﹣2，不等号的方向改变，即x＞﹣2，表示在数轴上是：；（3）移项、合并同类项，得5x＞2，化系数为1，得x＞2.5．表示在数轴上为：【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 19．解答下列各题：（1）x取何值时，代数式3x+2的值不大于代数式4x+3的值？第18页（共18页）
（2）当m为何值时，关于x的方程x﹣1=m的解不小于3？（3）求不等式2x﹣3＜5的最大整数解．【考点】解一元一次不等式；一元一次不等式的整数解．【分析】（1）先根据代数式3x+2的值不大于代数式4x+3的值列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可；（2）先把m当作已知条件求出x的值，再根据x的值不小于3得出关于m的不等式，求出m的值即可；（3）先求出不等式的解集，再得出x的最大整数解即可．【解答】解：（1）∵代数式3x+2的值不大于代数式4x+3的值，∴3x+2≤4x+3，解得x≥﹣1．（2）解方程得，x=2m+2，∵方程的解不小于3，∴2m+2≥3，即2m≥1，解得m≥；（3）移项得，2x＜5+3，合并同类项得，2x＜8，x的系数化为1得，x＜4．【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键． 20．某辆汽车油箱中原有油60L，汽车每行驶1km耗油0.08L，请你估计行驶多少千米后油箱中的油少于20L．【考点】一元一次不等式的应用．【分析】读出题意，根据关系式，剩余油量=总油量﹣耗油量，列出关系式解答即可．【解答】解：设估计行驶x千米后油箱中的油少于20L．依题意，得60﹣0.08x＜20，解得，x＞500．答：估计行驶500千米后油箱中的油少于20L．第18页（共18页）
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用．解决问题的关键是读懂题意，依题意列出不等式进行求解． 21．小丽在学了这节内容后，总结出：解一元一次不等式，就是利用不等式的性质把所要求的不等式转化为“x＞a”或“x＜a”的形式．你同意小丽的观点吗？请自编、自解一个一元一次不等式，再体会小丽的说法．【考点】解一元一次不等式．【分析】根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．【解答】解：同意小丽的观点．如2x≥x+2，移项得2x﹣x≥2，解得x≥2．【点评】考查了解一元一次不等式，在解一元一次不等式的步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 第18页（共18页）
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