天天资源网 / 小学数学 / 教学同步 / 人教版 / 四年级上册 / 5 平行四边形和梯形 / 平行四边形和梯形 / 新人教版四年级数学上册第五单元《平行四边形的和梯形》
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实用标准文案学 科数学备课教师文忠授课时间第周月日教学内容第五单元《平行四边形和梯形》第一课时：垂直和平行教学目标知识与技能：1、让学生结合生活情境，通过自主探究活动，初步认识平行线、垂线。2、通过讨论交流，使学生独立思考能力与合作精神得到和谐发展。3、在比较分析、综合的观察与思维中渗透分类的思想方法。过程与方法通过观察、操作学习活动，让学生经历认识垂直与平行线的过程，掌握其特征。情感态度和价值观：培养学生学以致用的习惯，体会数学的应用与美感，激发学生学习数学的兴趣、增强自信心。教学重点难点 重点通过学生的自主探究活动，初步认识平行线与垂线。难点理解永不相交的含义教学方法自主探究、合作学习教具准备课件铅笔、小棒、展示板、三角板、直尺、手工纸、教学过程 一、创设情境，引入新课通过创设情境，联系生活，提出问题：两根铅笔落在地上后可能会形成哪些图形？二、探索比较，掌握特征（一）动手操作，反馈展示。1、每个同学先独立思考，把可能出现的图形用铅笔摆一摆，摆完后，小组长组织大家把可能出现的图形用小棒摆在展示板上。2、教师巡视，参与讨论，了解情况。3、集中显示典型图形，强化图形表征。（1）展示其中一个小组的展示板。（2）除了展示板上的这几种情况，其他小组还有补充吗？（二）小组讨论交流，探索图形特征。1、整理图形，把其中具有代表性的图形通过电脑课件来展示，并编上序号。这些图形，同学们能不能对它们进行分类呢？可以分成几类？为什么这样分？2、尝试把摆出的图形进行分类。（教师参与讨论，强调学生说明分类的标准）3、把铅笔想象成直线，再次分类。4、根据研究需要，按照“相交”和“不相交”的标准进行分类。师：同学们，我们在对物体进行分类时，可以有不同的分类标准，也就有了不同的分类结果。根据我们今天这堂课研究的需要，如果按照“相交”或者“不相交”来分的话，大家认为应该怎样分？（三）归纳特征，构建新知1、通过同学们自己的探索研究，我们发现了在同一平面内，两条直线的相互位置关系的两种不同情况：一种是相交，一种是不相交。2、再次分类，并归纳“平行”与“垂直”的特征，让学生质疑。3、今天我们就要一起来认识认识平行与垂直。（揭示课题）4、其实我们天天都在和垂线与平行线打交道。你们看：书本面相邻的两边是互相垂直的，相对的两边是互相平行的。同学们，你们还能找一找、想一想你的身边还有哪些物体的边是互相垂直的，哪些物体的边是互相平行的？找到后快快把你的发现告诉同组的同学5、学生试着说概念师归纳总结并板书。互相平行和互相垂直、垂线和垂足的概念三、解释应用，巩固新知（一）折纸教后修改精彩文档
实用标准文案1、同学们已经找到了生活中很多的平等线与垂线，那要是给每个同学一张这样的不规则纸，你们能动手折一折，折出垂线与平行线吗？这可有一定难度，愿意接受挑战吗？2、学生动手折垂线，教师巡视，进行个别指导。3、大家都折出垂线了吗？哪个小老师愿意向全班同学展示一下你是怎样折的？4、请在刚才折的基础上，再折一折，使两条折痕互相平行。有困难的，可以和小组同学讨论讨论。5、学生演示。师：大家可真不简单，能够动手折出垂线和平行线！现在，请迅速把这些纸收好。这几个小组的动作可真快，看来，你们已经养成了良好的学习习惯！（二）拓展练习：61页3题折一折。四、全课总结，完善认知同学们，你觉得这节课里你表现怎样？你有什么收获和体会？五．作业：1、同步练习2、书面作业板书设计两条直线的相互位置关系的两种不同情况：一种是相交，一种是不相交。 按照“相交”和“不相交”的标准进行分类。 教学反思审批学 科数学备课教师文忠授课时间第周月日教学内容第二课时：画垂线教学目标知识与技能：1、使学生明确垂线的重要性质，直线外一点到这条直线间的距离垂线最短。学会用三角板准确的画垂线。2、培养学生良好的学习习惯。初步培养学生空间想象能力。过程与方法通过动手操作活动，使学生经历画垂线的过程，培养学生的作图能力。。情感态度和价值观：通过活动，让学生从中感受到学习的乐趣，体会到成功的喜悦，从而提高学习的兴趣。教学重点难点重点学会用三角板准确的画垂线难点准确的画出垂线。使学生明确垂线的重要性质，直线外一点到这条直线间的距离垂线最短。教学方法自主探究、合作学习教具准备课件三角板、直尺精彩文档
实用标准文案教学过程一、复习导入：1、回忆一下，你记得什么叫垂直吗？2、看我们的数学书，每两条边都是怎样的？怎样用三角板画垂线呢？这节课我们来学习画垂线板书课题：画垂线二、探究新知1、过直线上一点画这条直线的垂线三角板上有一个角是直角，通常可以用三角尺来画垂线。先画一条直线。2）把三角板的一条直角边与这条直线重合，沿着另一条直角边画出的直线就是前一条直线的垂线（直角顶点是垂足）。强调：让三角板的直角顶点落在给定的这点上。过直线外一点画这条直线的垂线：画线前让三角尺的另一条直角边通过这个已知点。强调：一般用左手持三角板，右手画线。当要求直线通过其一点时，要考虑到笔画的粗细度，三角板的边与已知点之间可稍留一些空隙。教师讲解示范后，学生自己动手尝试着画一个，然后互相交流一下。1）过直线外一点画这条直线垂线，该怎么画呢？学生动手尝试，小组内交流。2）直线外一点Ａ与直线上任意一点连接起来，可以画出很多条线段。学生独立的画出几条线段，其中包括一条垂线。小组内研究交流：这几条线段在长度上有什么特点？小结：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。三、巩固练习1、58页“做一做”2、思考：我们在测定跳远成绩时，怎样测量比较准确呢？为什么？3、63页11题怎样修路最近呢？4、你能用一把直尺和一个量角器画一条直线的垂线吗？四、课堂小结通过学习画垂线，你有什么体会？五、作业练习画垂线1、同步练习2、书面作业教后修改板书设计从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。把三角板的一条直角边与这条直线重合，沿着另一条直角边画出的直线就是前一条直线的垂线（直角顶点是垂足） 教学反思审批精彩文档
实用标准文案学 科数学备课教师文忠授课时间第周月日教学内容第三课时：画平行线教学目标知识与技能：1、会用三角尺和直尺熟练准确的画出一组平行线。2、会利用画垂线的方法准确的画出长方形。3、培养学生作图的能力。过程与方法通过操作活动，使学生经历画平行线的全过程，培养学生作图的能力。情感态度和价值观：通过活动，让学生从中感受到学习的乐趣，体会到成功的喜悦，从而提高学习的兴趣。教学重点难点重点：巩固对平行线的认识，会用三角尺和直尺准确的画出一组平行线。难点：准确的画出垂线和一组平行线。会利用画垂线和画平行线的方法准确的画出长方形。教学方法自主探究、合作学习教具准备课件直尺或三角板教学过程一、复习导入1、回忆一下，什么叫平行线？2、我们身边哪些物体的边是互相平行的。我们怎么样才能画出一组平行线呢？这节课我们就来学习画平行线板书课题：画平行线二、探究新知１．可以用直尺和三角尺画平行线。步骤：１）．用左手固定直尺，用右手将三角尺的一条直角边紧贴着直尺，沿另一条直角边画一条直线。２）．将三角尺紧贴着直尺移动位置，再画出一条直线，这条直线与第一步画出的直线平行。可以用画平行线的方法检验两条直线是不是互相平行。２大家用自己手中的直尺和三角板自己画一组平行线，然后小组内的同学互相检查，对方画的是否平行。3、小组活动：在你所画的这组平行线之间画几条与平行线垂直的线段，量一量这些线段的长度，你能发现什么？在小组内交流一下全班汇报小结：平行线间的距离是相等的。４．小组讨论：怎样画一个长３厘米、宽２厘米的长方形？长方形的对边是互相平行的。相邻的两条边是互相垂直的。可以用垂线或平行线的方法来画。全班汇报组内研究的画法：先画一条长３厘米的线段，再过两个端点在线段的同侧分别画两条与它垂直的２厘米长的线段，最后把两条线段的端点用线连接起来。三、巩固新知：1、独立画一个边长是４厘米的正方形。2、利用所学的画平行线和垂线的方法，自己设计一幅图画。教后修改精彩文档
实用标准文案四、课堂小结通过学习画平行线，你有什么体会五、作业60“做一做”板书设计 步骤：１）．用左手固定直尺，用右手将三角尺的一条直角边紧贴着直尺，沿另一条直角边画一条直线。２）．将三角尺紧贴着直尺移动位置，再画出一条直线，这条直线与第一步画出的直线平行。可以用画平行线的方法检验两条直线是不是互相平行 教学反思审批学 科数学备课教师文忠授课时间第周月日教学内容第四课时：平行四边形和梯形教学目标知识与技能：１．使学生理解平行四边形和梯形的概念及特征。2．使学生了解学过的所有四边形之间的关系，并会用集合图表示。过程与方法：通过操作活动，使学生经历认识平行四边形和梯形的全过程，掌握它们的特征。情感态度和价值观：通过活动，让学生从中感受到学习的乐趣，体会到成功的喜悦，从而提高学习的兴趣。教学重点难点重点理解平行四边形和梯形的概念及特征。了解学过的所有四边形之间的关系，并会用集合图表示。难点理解平行四边形和梯形的概念及特征。用集合图表示学过的所有四边形之间的关系。教学方法自主探究、合作学习教具准备课件图形，剪子，七巧板教学过程一、创设情景 感知图形１．出示例1，我们认识过平行四边形，你能说出哪些地方见过平行四边形？（64页）2．在我们美丽的校园中，你能找到哪些四边形？ 梯子的侧面－梯形3．画出你喜欢的一个四边形。说一说什么样的图形是四边形？展示学生画出的四边形，请学生标出它们的名称。长方形 平行四边形 教后修改精彩文档
实用标准文案梯形 正方形 4．小组交流：从四边形的特点来看，四边形可以分成几类？学生讨论交流二、探究新知1．归纳平行四边形和梯形的概念有什么特点的图形是平行四边形？两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。强调说明：只要四边形的每组对边分别平行，就能确定它的每组对边相等。因此平行四边形的定义是两组对边分别平行的四边形。提问：①生活中你见过这样的图形吗？ 它们的外形像什么？②这些图形有几条边？几个角？是什么图形？③这几个四边形有边有什么特点？④它是平行四边形吗？⑤你们在量这些图形时，是否发现它们都有一个共同的特点？如果有，是什么？只有一组对边平行的四边形叫做梯形。５．现在你有什么问题吗？长方形和正方形是平行四边形吗？为什么？四边形平行四边形长方形正方形梯形６．用集合图表示四边形之间的关系。我们学过的长方形、正方形、平行四边形、刚刚认识的梯形，你能用这个集合圈来表示他们的关系吗？７．判断：①长方形是特殊的平行四边形。（ ）②两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。（ ）③一个梯形中只有一组对边平行。（ ）三、巩固练习1、在梯形里画两条线段，把它分割成三个三角形。你有几种画法？学生展示2、七巧板拼一拼用两块拼一个梯形用三块拼一个梯形③用一套七巧板拼一个平行四边形下面的图形中有（ ）个大小不同的梯形。精彩文档
实用标准文案用两个完全一样的梯形，能拼成一个平行四边形吗？把１张梯形纸剪一次，再拼成一个平行四边形。 拿一张长方行纸，不对折，剪一次，再拼出一个梯形。 四、课堂小结通过这节课的学习，你有何体会和收获？五、作业１．把一个平行四边形剪成两个图形，然后拼成一个三角形，这个三角是什么三角形？有几种剪拼的方法？２．把一张平行四边形的纸剪一下，分成两个梯形，有多少种剪法？板书设计 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 四边形平行四边形长方形正方形梯形教学反思审批精彩文档
实用标准文案学 科数学备课教师文忠授课时间第周月日教学内容第五课时：平行四边形和梯形教学目标知识与技能：1、使学生认识梯形的底和高以及底和高的意义并会画梯形的高。知道什么叫等腰梯形以及等腰梯形和梯形的关系。2、理解平行四边形的特征，并会画高。3、培养学生的空间观念。过程与方法通过动手操作，使学生经历认识梯形的底和高的意义和画高的全过程，进一步培养学生的空间观念。情感态度和价值观：使学生感受到学习的乐趣，体会到成功的喜悦，从而提高学习的兴趣。教学重点难点重点理解平行四边形的特征以及梯形底和高的意义并会画梯形的高。难点理解平行四边形的特征以及梯形底和高的意义并会画梯形的高。教学方法自主探究、合作学习教具准备课件图形，剪子教学过程一、动手操作 感受新知１．平行四边形的特性。同学们已经学过三角形，知道三角形具有稳定性的特性，那么平行四边形有什么特征呢？(1)教师演示。教师拿出一个用四根木条钉成的长方形，两手捏住长方形的两个对角，向相反方向拉，观察两组对边有什么变化？拉成了什么图形？为什么没有变？(2)动手操作。学生自己把准备长方形框拉成了平行四边形，并动手测量一下两线对边是否还平行。(3)归纳。根据刚才的实验、测量，引导学生概括出：平行四边形具有不稳定性。(4)对比。三角形具有稳定性，不容易变形；平行四边形与三角形不同它容易变形，也就是不稳定性。你能举出例子日常生活中应用平行四边形容易变形这一性质的应用吗二：探究新知1．学习平行四边形的底和高。(1)认识平行四边形的底和高。(2)找出相对应的底和高。(3)画平行四边形的高。教师讲解后，学生动手画高，66页“做一做”。2．认识梯形各部分名称。１）结合图说明，说一说梯形个部分的名称。提问：梯形的高是从哪一边到哪一边的垂线？高能不能画在腰上？总结：梯形的高只能从互相平行的一组对边中任意一条边上的一点，向它的对画垂线。再想一想，你怎样区分梯形的底和腰呢？在学生思考的基础上，再次强调：梯形的底和腰是根据对否平行来区分的。教后修改精彩文档
实用标准文案２）认识等腰梯形。(1)小组研究：每组一个等腰梯形，研究它的特点。(2)小组交流汇报。对折后两腰相等，并且重合。用尺子测量后，也同样得到两腰相等的特征。(3)概括。两腰相等的梯形叫做等腰梯形。三、巩固练习1、67页4题，在点子图上画三个不同的梯形，分别画出它们的高，量出上底、下底和高。2、67页6题。剪一剪在平行四边形纸上剪一刀，使剪下的两个图形都是梯形。在梯形纸上剪一刀，使剪下的两个图形有一个是平行四边形。那么另一个图形是什么形呢？四、课堂小结：你对平行四边形和梯形的学习有什么收获和体会？五、作业：练习十一8、11题。板书设计 ★归纳：平行四边形具有不稳定性。★对比：三角形具有稳定性，不容易变形；平行四边形与三角形不同它容易变形，也就是不稳定性。 教学反思审批学 科数学备课教师文忠授课时间第周月日教学内容第六课时：平行四边形和梯形教学目标知识与技能：1、使学生通过实际测量充分感知四边形内角和为360度这一规律。2、提高学生综合运用知识解决问题的能力。。过程与方法通过动手测量，使学生经历充分感知四边形内角和为360度这一规律的全过程，并渗透归纳、猜想和验证的数学思想。情感态度和价值观：使学生感悟到数学的神奇和奥妙，增强学好数学的信心。教学重点难点重点感知四边形内角和是360度这一规律。难点感知四边形内角和是360度这一规律。教学方法自主探究、合作学习精彩文档
实用标准文案教具准备课件量角器教学过程一、动手操作 引发探究师：这节课我们继续来研究四边形板书课题：平行四边形和梯形二、探究新知展示一个平行四边形，请学生用量角器测量一下每个角的度数。再把四个角的度数相加，是多少度呢？这是一个四边形，其他的四边形是什么情况呢？小组研究，总结规律组内分工测量68页10题中的每个四边形的各个角的度数。汇总填表。共同讨论总结规律。全班汇报交流。出示图形小组内可再任意画一个四边形试一试。小结：任意一个四边形四个角的度数之和都是360度。三、巩固新知１．在表中适当的空格内画“∨”。２．在图中填写合适的四边形名称。四、课堂小结：这节课有什么收获？五、作业：69页12、13题。教后修改板书设计 任意一个四边形四个角的度数之和都是360度。 教学反思审批学 科数学备课教师文忠授课时间第周月日教学内容第七课时：神奇的“莫比乌斯带”教学目标1、让学生认识“莫比乌斯带”，学会将长方形纸条制成莫比乌斯带。2、引导学生通过思考操作发现并验证“莫比乌斯带”的特征，培养学生大胆猜测、勇于探究的求索精神。3、在莫比乌斯带魔术般的变化中感受数学的无穷魅力，拓展数学视野，进一步激发学生学习数学的兴趣，培养学生良好的数学情感。教学重点难点重点：让学生认识“莫比乌斯带”，学会将长方形纸条制成莫比乌斯带。难点：引导学生通过思考操作发现并验证“莫比乌斯带”的特征，培养学生大胆猜测、勇于探究的求索精神教学自主探究、合作学习精彩文档
实用标准文案方法教具准备课件准备剪刀，双面胶、彩笔 长方形纸条教学过程一：听一听古代故事：师：给同学们讲一个故事想听吗？从前有一个小偷，偷了一位很老实的农民的东西，并被当场抓获，人们将小偷送到县衙，县官发现小偷正是自己的儿子。于是他在一张纸条的正面写上：小偷应当放掉，在纸的反面写上：农民应当关押。县官将纸条交给执行官，由他去办理。问：他这样做合理吗？接着讲：执行官他要秉公办事，但又不能更改县太爷的命令。聪明的执行官想了一个巧妙的办法，救下了农民，关押了小偷。同学们想知道他用了一个什么巧妙的办法吗？学完这节课之后，我们就能知道了。出示课题。这节课我们就一起来学习、探究《神奇的莫比乌斯带》。（课件显示）那么看了这个课题你们有什么想法吗？师问１：莫比乌斯带是什么样子的？ 师问２：莫比乌斯带有什么神奇的地方？ 师问３：莫比乌斯带在生活中有哪些应用？ 师：同学们想知道的还真不少，要想知道这些问题还得从这张小小的纸条说起．二：做一做，认识莫比乌斯带1．每个同学拿出一根长方形纸条。看，这是根普通的纸条，但也是一根神奇的纸条呢。先说说它有几条边，几个面？（说：四条边 两个面）2．同学们能将它两头对接起来吗？ 3．小组活动。同学们拿出①号纸条试着做一做。4．小组同学上台汇报。师：说说你是怎样对接的？这样接起来纸条就成了一个环（圈）。 是这样接的同学把作品举起来。摸一摸 看一看，现在它有几条边，几个面？ 师投影：两条边 两个面 像这样有两条边 两个面的纸环我们把它叫（双侧曲面）师：说到这，同学们可能会觉得，这也没什么神奇的呀！是呀，这点小把戏，地球人都知道．奇妙的是我还能把它变成一个面，一条边．（停顿，环视学生）．看，我变出来了是这样的．（学生看师做） （做纸圈）师：这是怎么做出来的？你们能做吗？大家看看老师怎么做？师：好 请看，先把它做成一个普通的纸圈，然后将一段翻转180度，再把它粘好．（学生跟着一起做）教后修改精彩文档
实用标准文案现在同学们请拿出2号纸条出来开始做，同学之间可以互相帮助．这位同学做出来了，说说你是怎么做出来的？ 师：刚才我说它只有一个面，（那么它是不是一个面呢？）我们一起来动手验证一下，用笔在纸圈中间画一条线，笔尖不离开纸面一直画一圈，你会有什么发现？ 生：又回来了 师：说明了什么？ 生：它只有一个面． 师：我们用手指沿着纸圈的边走一圈，你又发现了什么？（同学们真的很会观察发现） 师：你们知道这样的一个纸圈叫什么名字吗？（板书显示课题：神奇的莫比乌斯带）它是德国数学家莫比乌斯在1858年在偶然间发现的，所以就以他的名字命名叫“莫比乌斯带”，也有人叫它“莫比乌斯圈”，还有人管他叫“怪圈”。三、研究莫比乌斯带莫比乌斯带到底有多神奇呢？下面我们就用“剪”的办法来研究。（老师动手剪，学生观察验证。）老师先拿出平常的纸圈，问：现在老师拿出一号纸条出来剪，如果沿着纸带的中间剪下去，会变成什么样呢？请同学们认真观察老师是怎么剪的？（变成2个分开的纸圈）（一）1/2剪莫比乌斯带1、请同学们自己动手验证一下现在，老师拿出莫比乌斯带，我们也用剪刀沿中线剪开这个莫比乌斯纸圈，同学们猜一猜会变成什么样子？同学们，让我们来猜一猜（启发学生想象力）生１：它会变成两个圈。生２：...........师：要想知道它到底会变成什么样子的，我们该怎样做？生：剪剪看。 师：为了不把它剪断，先看老师是怎样开始剪的？（强调怎样剪）注意安全。 师：剪完的同学举起来给大家看一看，太不可思议了！怎么会变成这个样子呢？ 生：（因为莫比乌斯带是扭了１８０度才粘在一起的，所以剪开后好像伸开了一样，是一个连着的大圈）。汇报（真的是两个圈，并且还套在一起）。 师：学到了这里，你对莫比乌斯带有了怎样的感觉呢？ 生：太神奇了 师：你们说神奇吗？大家还想不想继续研究？（二）1/3剪莫比乌斯带（师剪，学生不用操作） 师：莫比乌斯带的神奇还远远不止这些，让我们继续体会。 请拿出3号纸条，把它做成莫比乌斯带。 师：这个莫比乌斯带的面被平均分成三等分，我们可以沿着任意一条直线剪下去，会有怎样的结果呢？（猜 剪 汇报）生：一个大圈套着一个小圈。 师：下面有情一个同学上台剪。师：大家看看现在是怎样的结果呢？师：（你来说） 生：中间涂色的部分变成了这个小圈，两边沿涂色的部分，剪完后连在一起，变成了这个大圈。 师：你们赞成他的说法吗？你们可真会探索、发现。 刚才我们研究了莫比乌斯带的?和1∕3 线剪开后的情况，感受到了莫比乌斯的神奇。现在我们回到开课的那个故事，哪位同学能根据“莫比乌斯带”的特点帮那个执事官秉公办事，但又不能更改县太爷的命令，想办法，救下了农民，关押了小偷。（投影）聪明的执事官将纸条扭了个弯，用手指将两端捏在一起。然后向大家宣布：根据县太爷的命令放掉农民，关押小偷。县官听了大怒，责问执事官。执事官将纸条捏在手上给县官看，从“应当”二字读起，确实没错。仔细观看字迹，也没有涂改，县官不知其中奥秘，只好自认倒霉。精彩文档
实用标准文案现实可能根本不会发生这样的故事，但是这两个故事却很好地反映出“莫比乌斯带”的特点。四、生活中应用师：莫比乌斯还有很多神奇的地方，大家想对它有更多的了解吗？他不仅好玩有趣，而且还被应用到生活的方方面面。请欣赏图片（课件展示）1、过山车：有些过山车的跑道采用的就是莫比乌斯原理。（投影）3、三叶扭结：中国科技馆的标志性的物体，是由莫比乌斯带演变而成的。（投影）师：请看这是中国科技馆的大厅里耸立着一个巨型的三叶纽结．这个三叶纽结就是莫比乌斯带的原理设计的．它每天不停地旋转着美妙的曲线，带给我们美的享受，让我们享受着数学的神奇，带给我们无限的遐想；师：莫比乌斯带不但很神奇，它在生活中还有许多用处呢？有些机器上的传动带就做成莫比乌斯带形状的，这样就不会只磨损一个面，使传动带的寿命提高了一倍．五、课堂拓展同学们通过今天这节课的学习，是不是觉得莫比乌斯带充满了奥秘呢?有的问题老师也不怎么清楚。我告诉大家，数学中有一门专门研究莫比乌斯带的书叫《拓扑学》（板书）。课后，有兴趣的同学可以和老师一起去研究研究，好吗?六．作业：1、同步练习2、书面作业板书设计 莫比乌斯带不但很神奇，它在生活中还有许多用处呢？有些机器上的传动带就做成莫比乌斯带形状的，这样就不会只磨损一个面，使传动带的寿命提高了一倍．教学反思审批精彩文档
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