注：压缩包层级关系提取自源文件，您看到的所有资料结构都和您下载的源文件一致
2020数学中考复习讲义（共237页）
资料简介
目录
第一单元 数与式
第 1 课 有理数 -------------------------------01
第 2 课 实数 -------------------------------- 06
第 3 课 整式-----------------------------------10
第 4 课 分式-----------------------------------15
第 5 课 二次根式--------------------------------18
第二单元 方程与不等式
第 6 课 一次方程（组）--------------------------22
第 7 课 分式方程---------------------------------27
第 8 课 一元一次不等式（组）---------------------31
第 9 课 一元二次方程-----------------------------36
第三单元 三角形
第 10 课 图形初步---------------------------------41
第 11 课 三角形与多边形-----------------------------------------49
第 12 课 全等三角形-----------------------------------------------56
第 13 课 特殊三角形-----------------------------------------------63
第 14 课 相似三角形------------------------------------------------70
第 15 课 解直角三角形---------------------------------------------76
第四单元 四边形
第 16 课 平行四边形-----------------------------------------------83
第 17 课 特殊的平行四边形--------------------------------------89第五单元 函数
第 18 课 函数基础知识-----------------------------------------------96
第 19 课 一次函数-----------------------------------------------------109
第 20 课 反比例函数--------------------------------------------------111
第 21 课 二次函数-----------------------------------------------------119
第六单元 圆
第 22 课 圆的基本性质-----------------------------------------------126
第 23 课 圆的证明------------------------------------------------------135
第 24 课 圆的计算-------------------------------------------------------142
第七单元 图形变化
第 25 课 图形变换--------------------------------------------------------149
第 26 课 视图与投影-----------------------------------------------------156
第 27 课 尺规作图---------------------------------------------------------164
第八单元 统计与概念
第 28 课 统计---------------------------------------------------------------171
第 29 课 概率---------------------------------------------------------------178第二轮 小微专题复习
微专题 1 实数的运算-------------------------------------------------------186
微专题 2 整式的运算-------------------------------------------------------187
微专题 3 分式的运算-------------------------------------------------------188
微专题 4 方程与方程组-----------------------------------------------------189
微专题 5 分式方程----------------------------------------------------------190
微微专题 6 不等式与不等式组-----------------------------------------191
微微专题 7 求函数解析式----------------------------------------------192
微微专题 8 方程（组）与不等式应用------------------------------193
微微专题 9 一元二次方程应用--------------------------------------195
微微专题 10 分式方程应用--------------------------------------------196
微微专题 11 函数应用--------------------------------------------------197
微微专题 12 解直角三角形的应用-----------------------------------199
微微专题 13 统计--------------------------------------------------------201
微微专题 14 概率---------------------------------------------------------204
微微专题 15 三角形----------------------------------------------------205
微微专题 16 平行四边形---------------------------------------------206
微微专题 17 特殊平行四边-------------------------------------------207
微微专题 18 圆的证明-------------------------------------------------208
微微专题 19 图形的折叠----------------------------------------------209第三轮综合性问题复习
微微专题 21 规律探究与猜想----------------------------------211
微微专题 22 阅读理解题----------------------------------------215
微微专题 23 选择填空压轴题----------------------------------218
第 2 课时 与几何有关的压轴题----------------------------222
微微专题 24 代数综合题------------------------------------------225
微微专题 25 几何综合题------------------------------------------229
微微专题 26 代数与几何综合题（1）---------------------------232
微微专题 27 代数与几何综合题（2）--------------------------234第 1 页 共 237 页
第一单元 数与式
第 1 课 有理数
有理数是中考命题的重要内容之一，是初中数学基础知识，在中考中点有一定比例，它
通常以选择、填空、计算的形式出现 ，这部分试题难度不大，主要考查学生对概念的理解
及基础知识的运用能力。试题十分有规律：在相反数、倒数、绝对值中选一题，轮流考；科
学记数法几乎年年考。
知识清单
知识点一 有理数的有关概念
知识点二 科学记数法和近似数
科学记数法
把一个数写成 10na 的形式(其中1 10a≤ ＜ ， n 为整数)，这种记数法称
为科学记数法.
近似数 一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
知识点三 有理数的运算
名称 内容
运算法则 加法法则、减法法则、乘法法则、除法法则、乘方与开方等．
运算律 交换律、结合律、分配律.
运算顺序 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号的，若没有括
号，在同一级运算中，要从左到右进行运算.
课前小测
1．（相反数）﹣ 1
2
的相反数是（ ）
A． 1
2 B．2 C．﹣ 1
2 D．﹣2
名称 定义 性质
数轴 规定了原点、单位长度、正方向的直线． 数轴上的点与实数一一对应.
相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反
数，即实数 a 的相反数是 a- .
(1)若 a 、 b 互为相反数，则 0a b+ = ；
(2)在数轴上，表示相反数的两个数的点
位于原点两侧，且到原点的距离相等.
绝对值
在数轴上表示数 a 的点与原点的距离，
记作 a .
( 0)
( 0)
a aa a a
ìï= í-ïî
≥
≤
倒数
乘积为 1 的两个数互为倒数，非零实数
a 的倒数为 1
a
．
(1)若 a ， b 互为倒数，则 1ab = ；
(2)0 没有倒数；
(3)倒数等于本身的数是 1 或－1.第 2 页 共 237 页
2．（绝对值）﹣1 的绝对值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．0 D．±1
3．（倒数）8 的倒数是（ ）
A．﹣8 B．8 C．﹣ 1
8 D． 1
8
4．（数的比较）比﹣1 小 2 的数是（ ）
A．3 B．1 C．﹣2 D．﹣3
5．（科学记数法）数据 1800000 用科学记数法表示为（ ）
A．1.86 B．1.8×106 C．18×105 D．18×106
经典回顾
考点一 有理数有关概念
【例 1】（2019•长春）如图，数轴上表示﹣2 的点 A 到原点的距离是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣ 1
2 D． 1
2
【点拔】本题考查了数轴与绝对值，解答此题的关键是熟练掌握绝对值的意义．
【例 2】（2019•广东）实数 a、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子
成立的是（ ）
A．a＞b B．|a|＜|b| C．a+b＞0 D． a
b
＜0
【点拔】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是
要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
考点二 科学记数法与近似数
【例 3】（2019•广东）某网店 2019 年母亲节这天的营业额为 221000 元，将数
221000 用科学记数法表示为（ ）
A．2.21×106 B．2.21×105 C．221×103 D．0.221×106
【点拔】本题考查科学记数法，解答本题的关键是明确科学记数法的表示方法．
考点三 有理数的运算第 3 页 共 237 页
【例 4】（2019•梧州）计算：﹣5×2+3÷ 1
3
﹣（﹣1）．
【点拔】此题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是正确掌握相关运算法
则．
对应训练
1．（2019•成都）比﹣3 大 5 的数是（ ）
A．﹣15 B．﹣8 C．2 D．8
2．（2019•孝感）计算﹣19+20 等于（ ）
A．﹣39 B．﹣1 C．1 D．39
3．（2018•广东）四个实数 0、 1
3
、﹣3.14、2 中，最小的数是（ ）
A．0 B． 1
3 C．﹣3.14 D．2
4．（2019•广东）﹣2 的绝对值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． 1
2 D．±2
5．（2015•广东）在数﹣3，﹣2，0，3 中，大小在﹣1 和 2 之间的数是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．3
6．（2016•广东）如图，a 与 b 的大小关系是
A．a＜b B．a＞b C．a=b D．b=2a
7．（2018•广东）据有关部门统计，2018 年“五一小长假”期间，广东各大景
点共接待游客约 14420000 人次，将数 14420000 用科学记数法表示为（ ）
A．1.442×107 B．0.1442×107 C．1.442×108 D．0.1442×108
8．（2019•湖州）计算：（﹣2）3+ 1
2
×8．
中考冲刺
基础夯实
1．（2019•广西）如果温度上升 2℃记作+2℃，那么温度下降 3℃记作（ ）
A．+2℃ B．﹣2℃ C．+3℃ D．﹣3℃
2．（2019•玉林）9 的倒数是（ ）
A． 1
9 B．﹣ 1
9 C．9 D．﹣9
3．（2019•哈尔滨）﹣9 的相反数是（ ）第 4 页 共 237 页
A．﹣9 B．﹣ 1
9 C．9 D． 1
9
4．（2019•安徽）在﹣2，﹣1，0，1 这四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
5．（2019•淄博）比﹣2 小 1 的数是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
6．（2019•天津）计算（﹣3）×9 的结果等于（ ）
A．﹣27 B．﹣6 C．27 D．6
7．（2019•大庆）小明同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，搜
索到与之相关的结果条数为 608000，这个数用科学记数法表示为（ ）
A．60.8×104 B．6.08×105 C．0.608×106 D．6.08×107
8．（2019•厦门）计算：10＋8×（－ 1
2
）2－2÷ 1
5
．
9．（2019•湛江期末）为了加强校园周边治安综合治理，警察巡逻车在学校旁边
的一条东西方向的公路上执行治安巡逻，如果规定向东为正，向西为负，从
出发点开始所走的路程（单位：千米）为：
+2，﹣3，+2，+1，﹣2，﹣1，﹣2
（1）此时，这辆巡逻车司机如何向警务处描述他现在的位置？
（2）已知每千米耗油 0.25 升，如果警务处命令其巡逻车马上返回出发点，这
次巡逻共耗油多少升？
能力提升
10．（2019•滨海模拟）计算（﹣1）2019 的结果等于（ ）
A．﹣2019 B．2019 C．﹣1 D．1
11．（2019•盘锦）2018 年 1 月至 8 月，沈阳市汽车产量为 60 万辆，其中 60 万
用科学记数法表示为（ ）
A．6×104 B．0.6×105 C．6×106 D．6×105
12．（2019•鄂尔多斯）禽流感病毒的半径大约是 0.00000045 米，它的直径用科
学记数法表示为（ ）
A．0.9×10﹣7 米 B．9×10﹣7 米 C．9×10﹣6 米 D．9×107 米
13．（2019•湛江期末）已知 31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，…，则
32018 的个位数字为（ ）第 5 页 共 237 页
A．3 B．1 C．9 D．7
14．（2019•湛江模拟）已知|a﹣1|+|b+2|＝0，则 a﹣b 的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3
15．（2019•东莞期末）数轴上，到原点距离是 8 的点表示的数是（ ）
A．8 和﹣8 B．0 和﹣8 C．0 和 8 D．﹣4 和 4
16．（2019•中山期末）若数轴上点 A 和点 B 分别表示数﹣3 和 1，则点 A 和点 B
之间的距离是（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
17．（2019•广东模拟）如图，数轴上有三个点 A、B、C，若点 A 与 B 表示的数
互为相反数，则点 C 表示的数是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
18．（2019•广州期末）如图，已知 A，B 两点在数轴上，点 A 在原点 O 的左边，
表示的数为﹣10，点 B 在原点的右边，且 BO＝3AO．点 M 以每秒 3 个单位
长度的速度从点 A 出发向右运动．点 N 以每秒 2 个单位长度的速度从点 O 出
发向右运动（点 M，点 N 同时出发）．
（1）数轴上点 B 对应的数是 ，点 B 到点 A 的距离是 ；
（2）经过几秒，原点 O 是线段 MN 的中点？
（3）经过几秒，点 M，N 分别到点 B 的距离相等？
【解答】解：（1）30，40；
（2）设经过 y 秒，原点 O 是线段 MN 的中点，得
﹣10+3y+2y＝0，解得 y＝2．
答：经过几秒，原点 O 是线段 MN 的中点；
（3）设经过 x 秒，点 M、点 N 分别到点 B 的距离相等，得
3x﹣40＝30﹣2x 或 10+3x＝2x，解得 x＝14 或 x＝10．
答：经过 14 秒或 10 秒，点 M、点 N 分别到点 B 的距离相等．第 6 页 共 237 页
第 2 课 实数
实数也是中考命题的重要内容之一，是初中数学的基础知识，在中考复习中要掌握实数
的加、减、乘、除、乘方、开方及简单的混合运算（以三步为主），并能运用运算律简化计
算。近 5 年试题规律：简单的选择计算题和以绝对值、乘方、平方根、零次幂、负整数指数
幂、三角函数值等组成的综合运算。
知识清单
知识点一 平方根、算术平方根、立方根
名称 定义 性质
平方根
如果 2x a= ( 0)a≥ )，那么这个数 x 就
叫做 a 的平方根．记作 a± .
正数的平方根有两个，它们互为相反
数；负数没有平方根；0 的平方根是 0.
算术
平方根
如果 2x a= ( 0)a＞ ，那么这个正数 x 就
叫做 a 的算术平方根．记作 a .
0 的算术平方根是 0.
立方根
若 3x a= ，则 x 叫做 a 的立方根，记作
3 a .
正数有一个正的立方根；0 的立方根是
0；负数有一个负的立方根.
知识点二 实数的运算
名称 内容
运算法则 特别地， 0 1a = (其中 0a ≠ )， 1p
pa a
- = (其中 p 为正整数， 0a ≠ ).
运算性质 有理数的一切运算性质和运算律都适应于实数运算.
运算特点 对绝对值、零指数幂、负指数幂、二次根式、特殊三角函数值等的加减运算．
课前小测
1．（算术平方根）4 的算术平方根是（ ）
A．﹣2 B．±2 C．2 D．16
2．（平方根）16 的平方根是（ ）
A．4 B．16 C．±4 D．±16
3．（立方根）8 的立方根是（ ）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．24
4．（无理数的概念）下列四个数中，无理数是（ ）
A．﹣ 2
3 B．﹣ 3 C．0 D． 2-
5．（实数的运算）计算： 2- +20﹣2﹣1= ．第 7 页 共 237 页
经典回顾
考点一 实数有关概念
【例 1】（2019•广东）化简 24 的结果是（ ）
A．﹣4 B．4 C．±4 D．2
【点拔】此题主要考查了算术平方根的性质和应用，求一个非负数的算术平方根
时，可以借助平方运算来寻找．
【例 2】（2018•广东）一个正数的平方根分别是 x+1 和 x﹣5，则 x= ．
【点拔】熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关键．
考点二 实数的运算
【例 3】（2019•云南）计算：32+（x﹣5）0﹣ +（﹣1）﹣1．
【点拨】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
对 应 训 练
1． （2016•广东）9 的算术平方根是 ．
2． （2018•广东）已知 a b- +|b﹣1|=0，则 a+1= ．
3． （2017•广东）计算：|﹣7|﹣（1﹣π）0+（ 1
3
）﹣1．
4． （2018•广东）计算：|﹣2|﹣20180+（ 1
2
）﹣1．
中考冲刺
夯实基础
1．（2019•绵阳）若 a ＝2，则 a 的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D． 2
2．（2019•桂林）9 的平方根是（ ）
A．3 B．±3 C．﹣3 D．9
3．（2019•大庆）有理数﹣8 的立方根为（ ）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．±4
4．（2019•十堰）下列实数中，是无理数的是（ ）第 8 页 共 237 页
A．0 B．﹣3 C． 1
3 D． 3
5．（2019•包头）计算|﹣ 9 |+（ 1
3
）﹣1 的结果是（ ）
A．0 B． 8
3 C．10
3 D．6
6．（2019•南通）计算：22﹣（ 3 ﹣1）0＝ ．
7．（2019•柳州）计算：22+|﹣3|﹣ 4 +π0．
8．（2019•河池）计算：30+ 8 ﹣（ 1
2
）﹣2+|﹣3|．
9．（2019•桂林）计算：（﹣1）2019﹣ 12 +tan60°+（π﹣3.14）0．
能力提升
10．（2019•徐州）化简：| 3 －2|＝ ．
11．（2019•辽阳）6﹣ 3 的整数部分是 ．
12．（2019•宁夏）实数 a 在数轴上的位置如图，则|a﹣ 3 |＝ ．
13．（2019•成都）如图，数轴上点 A 表示的实数是 ．
14．（2018•常德）已知实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的
是（ ）
A．a＞b B．|a|＜|b| C．ab＞0 D．﹣a＞b
15．（2019•遵义）计算：2sin60°+| 3 ﹣2|+（﹣1）﹣1﹣ 3 8
16．（2019•湛江模拟）如图，一只蚂蚁从点 A 沿数轴向右直爬 2 个单位到达点
B，点 A 表示﹣ 2 ，设点 B 所表示的数为 m．
（1）求 m 的值；
（2）求|m﹣1|+（m+6）0 的值．第 9 页 共 237 页
17．（2019•广东模拟）如图 1，这是由 8 个同样大小的立方体组成的魔方，体积
为 64．
（1）求出这个魔方的棱长．
（2）图中阴影部分是一个正方形 ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．
（3）把正方形 ABCD 放到数轴上，如图 2，使得 A 与﹣1 重合，那么 D 在数轴
上表示的数为 ．第 10 页 共 237 页
第 3 课 整式
整式内容考纲要求考查幂的有关运算、整式的运算和因式分解。近 5 年试题规律：一般
以选择题、填空题形式考查：幂的运算、整式的加减乘除、乘法公式和因式分解（直接用公
式不超过两次）或以解答题形式出现化简求值题和规律探索题。
知识清单
知识点一 整式的相关概念
单项式
概念 由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式(单独的一个数或一个字母也
是单项式).
系数 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.
次数 单项式中的所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
多项式
概念 几个单项式的和叫做多项式.
项 多项式中的每个单项式叫做多项式的项.
次数 一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数.
整式 单项式与多项统称为整式.
同类项 所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．
知识点二 整式的运算
整
式
加
减
合并同类项 (1)字母和字母的指数不变；
(2)系数相加减作为新的系数.
添括号
去括号
添(去)括号：括号前面是“＋”号，添(去)括号都不改变符号；括
号前面是“－”号，添(去)括号都要改变符号.
幂
的
运
算
同底数幂相乘 m n m na a a +× =
注意： 0a ≠ ， 0b≠ ，且 m 、 n 都为整数.
幂的乘方 ( )m n mna a=
积的乘方 ( )n n nab a b=
同底数幂相除 m n m na a a -¸ =
整
式
乘
法
单项式乘单项式 把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有
的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
单项式乘多项式 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即：
( )a m n am an+ = + .
多项式乘多项式 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的
积相加，即 ( )( )m n a b ma mb na nb+ + = + + + .
整
式
除
法
单项式除单项式 把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里
含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
多项式除单项式 先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商
相加.
乘
法
公
式
平方差公式 2 2( )( )a b a b a b+ - = - .
完全平方公式 2 2 2( ) 2a b a ab b .第 11 页 共 237 页
知识点三 因式分解
定义 把一个多项式化成几个整式乘积的形式，就是因式分解.
方法
提公因式法 ( )ma mb mc m a b c+ + = + +
公式法 2 2 ( )( )a b a b a b- = + - ； 2 2 22 ( )a ab b a b
步骤
(1)若有公因式，应先提公因式；
(2)看是否可用公式；
(3)检查各因式能否继续分解.
课前小测
1．（同底数幂相乘）计算 a2•a 的结果是（ ）
A．a2 B．2a3 C．a3 D．2a2
2．（积的乘方）计算：（﹣2x）3=（ ）
A．6x3 B．﹣6x3 C．﹣8x3 D．8x3
3．（整式运算）计算：2（x﹣y）+3y= ．
4．（平方差公式）计算（x﹣1）（x+1）= ．
5．（因式分解）因式分解：m2﹣4= ．
经典回顾
考点一 整式的运算
【 例 1】 （2019•广东）下列计算正确的是（ ）
A．b6÷b3＝b2 B．b3•b3＝b9 C．a2+a2＝2a2 D．（a3）3＝a6
【点拔】此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的乘法运
算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【例 2】（2019•广东）已知 x＝2y+3，则代数式 4x﹣8y+9 的值是 ．
【点拔】此题主要考查了整式的加减以及代数式求值，正确将原式变形是解
题关键．
【例 3】（2019•凉山州）先化简，再求值：（a+3）2﹣（a+1）（a﹣1）﹣2（2a+4），
其中 a＝﹣ 1
2
．
【点拔】本题主要考查整式的混合运算，完全平方公式和平方差公式是解题
的关键，同时，去括号是易错点
考 点 二 因 式 分 解第 12 页 共 237 页
【 例 4】 （2018•广东）分解因式：x2﹣2x+1= ．
【点拨】本题考查了公式法分解因式，运用完全平方公式进行因式分解，熟记公
式是解题的关键．
对应训练
1． （2017•广东）下列运算正确的是（ ）
A．a+2a=3a2 B．a3•a2=a5 C．（a4）2=a6 D．a4+a2=a4
2． （ 2014•广 东 ） 计 算 ： 2x3÷ x= ．
3． （ 2016•广 东 ） 分解因式：m²﹣4= .
4． （2017•广东）分解因式：a2+a= ．
5． （ 2017•广州）分解因式：xy2﹣9x= ．
6．（2017•广东）已知 4a+3b=1，则整式 8a+6b﹣3 的值为 ．
中考冲刺
夯实基础
1．（ 2019•怀 化 ） 单项式﹣5ab 的系数是（ ）
A．5 B．﹣5 C．2 D．﹣2
2．（ 2019•安 徽 ） 计算 a3•（﹣a）的结果是（ ）
A．a2 B．﹣a2 C．a4 D．﹣a4
3．（ 2019•大 连 ） 计算（﹣2a）3 的结果是（ ）
A．﹣8a3 B．﹣6a3 C．6a3 D．8a3
4．（ 2019•娄 底 ） 下列计算正确的是（ ）
A．（﹣2）3＝8 B．（a2）3＝a6 C．a2•a3＝a6 D．4x2﹣2x＝2x
5．（ 2019•莱 芜 ） 下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．a3﹣a2＝a C．（a2）3＝a5 D．a3÷a2＝a
6．（ 2019•泸 州 ） 计算 3a2•a3 的结果是（ ）
A．4a5 B．4a6 C．3a5 D．3a6
7．（ 2019•柳 州 ） 计算：x（x2﹣1）＝（ ）
A．x3﹣1 B．x3﹣x C．x3+x D．x2﹣x
8．（ 2019•雅 安 ） 化简 x2﹣（x+2）（x﹣2）的结果是 ．
9．（ 2019•无 锡 ） 计算：（a+3）2＝ ．第 13 页 共 237 页
10．（ 2019•连 云 港 ） 计算（2﹣x）2＝ ．
11．（ 2019•长 春 ） 分解因式：ab+2b＝ ．
12．（ 2019•黔 东 南 州 ） 分解因式：9x2﹣y2＝ ．
13．（ 2019•温 州 ） 分解因式：m2+4m+4＝ ．
14．（ 2019•宁 波 ） 先化简，再求值：（x﹣2）（x+2）﹣x（x﹣1），其中 x
＝3．
能力提升
15．分解因式 3x2﹣27y2＝ ．
16．因式分解：4ax2﹣4ax+a＝ ．
17．如果 a﹣b﹣2＝0，那么代数式 1+2a﹣2b 的值是 ．
18．观察一列数：﹣3，0，3，6，9，12，…，按此规律，这一列数的第 21 个数
是 ．
19．归纳“T”字形，用棋子摆成的“T”字形如图所示，按照图①，图②，图③的规
律摆下去，摆成第 n 个“T”字形需要的棋子个数为 ．
20．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n 为非负整
数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”
（a+b）0＝1
（a+b）1＝a+b
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
…
则（a+b）9 展开式中所有项的系数和是（ ）第 14 页 共 237 页
A．128 B．256 C．512 D．1024第 15 页 共 237 页
第 4 课 分式
本内容多考查分式的意义、性质，运算也是中考热点之一，主要考查学生对概念的理解
和运用基础知识 、计算能力。近 5 年试题规律：分式的和分式的简单计算以选择、填空题
出现，分式的化简求值以解答题出现，是高频考点。
知识清单
知识点一 分式的概念
分
式
概念 形如A
B(A、B 是整式，且 B 中含有字母，且 B≠0)的式子叫做分式.
有意义的条件 分母不为 0.
值为零的条件 分子为 0，且分母不为 0.
知识点二 分式的基本性质
基本性质 A
B
＝A×M
B×M
，A
B
＝A÷M
B÷M(M 是不为零的整式).
约分 把分式的分子和分母中的公因式约去，叫做分式的约分.
通分 根据分式的基本性质，把异分母的分式化为同分母的分式，这一过程叫做分式
的通分.
知识点三 分式的运算
分式乘除 a
b·c
d
＝ac
bd
，a
b
÷c
d
＝a
b·d
c
＝ad
bc.
分式乘方 (a
b)n＝an
bn(n 为整数).
分式加减 a
c ± b
c
＝a±b
c
，a
b ± c
d
＝ad±bc
bd .
混合运算 在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后
进行加减运算．遇到有括号，先算括号里面的.
课前小测
1．（分式的意义）要使分式
1
x
x + 有意义，则 x 应满足的条件是（ ）
A．x≠1 B．x≠﹣1 C．x≠0 D．x＞1
2．（负指数幂）计算 3﹣2 的结果是（ ）
A．﹣9 B．﹣9 C． 1
9 D．﹣ 1
9
3．（约分）约分 2
5
25
x
x
的结果为（ ）
A． 5
x B．
5
x C． 1
5x D． 5
25x
4．（分式的乘除）计算
2x y x y
x y xy
-·- 的结果是（ ）第 16 页 共 237 页
A． 1
x B． x
y C．y D．x
5．（分式的加减）计算 1
1 1
x
x x
-- - 的结果是（ ）
A．﹣1 B．1 C．1+x D．1﹣x
经典回顾
考 点 一 分 式 的 意 义
【 例 1】 （2019•宁波）若分式 1
2x
有意义，则 x 的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x≠2 C．x≠0 D．x≠﹣2
【点拔】分式有意义的条件是分母不等于零．
考点二 分式的运算
【 例 2】 （2019•永州）先化简，再求值： 2
a
a a •
2 1
1
a
a
﹣
1
a
a
，其中 a＝2．
【点拔】解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
考点三 分式的化简求值
【 例 2】（2019•广东）先化简，再求值：（
2
x
x
﹣ 1
2x
）÷
2
2 4
x x
x
，其中 x＝ 2 ．
【点拔】熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
对应训练
1．（2019•衡阳）如果分式 1
1x
在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ）
A．x≠﹣1 B．x＞﹣1 C．全体实数 D．x＝﹣1
2．（2019•江西）计算 1
a ÷（﹣ 2
1
a
）的结果为（ ）
A．a B．﹣a C．﹣ 3
1
a D． 3
1
a
3．（2019•山西）化简 2
1
x
x
﹣
1
x
x
的结果是 ．
4．（2019•武汉）计算 2
2
16
a
a
﹣ 1
4a
的结果是 ．
5． （2018•广东）先化简，再求值：
22
4
a
a + •
2
2
16
4
a
a a
-
- ，其中 a= 3
2
．第 17 页 共 237 页
6． （2017•广东）先化简，再求值：（ 1
2x - + 1
2x + ）•（x2﹣4），其中 x= 5 ．
中考冲刺
夯实基础
1．若代数式 1
3
x
x
有意义，则实数 x 的取值范围是（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝3 C．x≠﹣1 D．x≠3
2．若分式
2 1
1
x
x
的值等于 0，则 x 的值为（ ）
A．±1 B．0 C．﹣1 D．1
3．分式 1
3 x
可变形为（ ）
A． 1
3 x B．﹣ 1
3 x C． 1
3x D．﹣ 1
3x
4．计算： 22
y
x • x
y
＝ ．
5．计算：
2
1
x
x + 1
1 x
＝ ．
6．化简：
2
2
2 1
1
x x
x
÷
2
1
x x
x
．
能力提升
7．一辆货车送货上山，并按原路下山．上山速度为 a 千米/时，下山速度为 b 千
米/时．则货车上、下山的平均速度为（ ）千米/时．
A． 1
2
（a+b） B． ab
a b C．
2
a b
ab
D． 2ab
a b
8．计算： 2
1a ÷ 2
2 4
1
a
a
+ 1
2 a
9．先化简，再求值：（ 1
2
x
x
﹣1）÷
2
2
2
4 4
x x
x x
，其中 x＝ 3 ．
10．先化简，再求值： 2
3
6 9
x
x x
÷（1﹣ 6
3x
），其中，x＝ ﹣3．第 18 页 共 237 页
第 5 课 二次根式
本节内容考纲要求考查平方根、立方根的有关概念运算和有关运算。近 5 年试题规律：
命题难度不大，考查重点是二次根式的意和二次根的化简求值，有时会涉及一些综合运算，
分母有理化内容不要求分母出现两个二次根式的有理化。
知识清单
知识点一 二次根式的有关概念
二次根式 一般地，形如 a ( 0)a≥ 的式子叫做二次根式.
最简二次根式 必须同时满足：(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；(2)被开方
数的因数是整数，因式是整式(分母中不应含有根号).
知识点二 二次根式的性质
两个重要的性质 2( )a a= ( 0)a≥ ； 2a a= .
积的算术平方根 ab a b= × ( 0a≥ ， 0b≥ ).
商的算术平方根 a a
b b
= ( 0a≥ ， 0b＞ ).
知识点三 二次根式的运算
加减 先将各根式化为最简二次根式，然后合并同类的二次根式.
乘除 a b ab× = ( 0a≥ ， 0b≥ )； a a
bb
= ( 0a≥ ， 0b＞ ).
混合运算 与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算，最后算加减，有括号的先算
括号里面的(或先去括号).
课前小测
1．（二次根式的意义）二次根式 1x + 中，x 的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1 B．x＞﹣1 C．x≥0 D．x≠﹣1
2．（最简二次根式）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． 1
2 B． 0.2 C． 8 D． 7
3．（二次根式的性质）计算 2( 3)- 的结果为（ ）
A．±3 B．﹣3 C．3 D．9第 19 页 共 237 页
4．（二次根式的化简）化简 20 的结果是（ ）
A．2 10 B．2 5 C．4 5 D．4 10
5．（二次根式的运算）化简 18 ÷ 2 的结果是（ ）
A．9 B．3 C．3 D．2
经典回顾
考 点 一 二 次 根 式 的 意 义
【例1】（2019•黄石）若式子 1
2
x
x
在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥1 且 x≠2 B．x≤1 C．x＞1 且 x≠2 D．x＜1
【点拔】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
考 点 二 二 次 根 式 的 运 算
【例 2】（2019•南通）化简 12 的结果是（ ）
A．4 3 B．2 3 C．3 2 D．2 6
【点拔】掌握二次根式的性质： 2a ＝|a|是解题的关键．
【 例 3】 （2019•大连）计算：（ 3 ﹣2）2+ 12 +6 1
3
【点拔】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的
混合运算顺序和运算法则．
对 应 训 练
1．（2019•甘肃）使得式子
4
x
x
有意义的 x 的取值范围是（ ）
A．x≥4 B．x＞4 C．x≤4 D．x＜4
2．（2019•河池）下列式子中，为最简二次根式的是（ ）
A． 1
2 B． 2 C． 4 D． 12
3．（2019•安徽）计算 18 ÷ 2 的结果是 ．第 20 页 共 237 页
4．（2019•衡阳）计算： 27 ﹣ 3 ＝ ．
5．（2019•天津）计算（ 3 +1）（ 3 ﹣1）的结果等于 ．
6．（2019•长沙）计算：|﹣ 2 |+（ 1
2
）﹣1﹣ 6 ÷ 3 ﹣2cos60°．
明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书
中考冲刺
夯实基础
1．（2019•云南）要使 1
2
x 有意义，则 x 的取值范围为（ ）
A．x≤0 B．x≥﹣1 C．x≥0 D．x≤﹣1
2．（2019•山西）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． 1
2 B． 12
7 C． 8 D． 3
3．（2019•株洲）计算： 2 × 8 ＝（ ）
A．4 2 B．4 C． 10 D．2 2
4．（2019•兰州）计算： 12 ﹣ 3 ＝（ ）
A． 3 B．2 3 C．3 D．4 3
5．（2019•益阳）下列运算正确的是（ ）
A． 22（ ） ＝﹣2 B．（2 3 ）2＝6 C． 2 + 3 ＝ 5 D． 2 × 3 ＝ 6
6．（2019•黄冈）计算（ 3 ）2+1 的结果是 ．
7．（2019•遵义）计算 3 5 ﹣ 20 的结果是 ．
8．（2019•锦州）计算：（2 5 +3 2 ）（2 5 ﹣3 2 ）＝ ．
能力提升
9．（2019•常州）下列各数中与 2+ 3 的积是有理数的是（ ）
A．2+ 3 B．2 C． 3 D．2﹣ 3
10．（2019•淄博）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为 2 和 8，则第 21 页 共 237 页
图中阴影部分的面积为（ ）
A． 2 B．2 C．2 2 D．6
11．（2019•营口）一个长方形的长和宽分别为 10 和 2 2 ，则这个长方形的面
积为 ．
12．（2019•扬州）计算：（ 5 ﹣2）2018（ 5 +2）2019 的结果是 ．
13．（2019•益阳）观察下列等式：
①3﹣2 2 ＝（ 2 ﹣1）2，
②5﹣2 6 ＝（ 3 ﹣ 2 ）2，
③7﹣2 12 ＝（ 4 ﹣ 3 ）2，
…
请你根据以上规律，写出第 6 个等式 ．
14．（2019•枣庄）观察下列各式：
2 2
1 11 1 2
＝1+ 1
1 2
＝1+（1﹣ 1
2
），
2 2
1 11 2 3
＝1+ 1
2 3
＝1+（ 1
2
﹣ 1
3
），
2 2
1 11 3 4
＝1+ 1
3 4
＝1+（ 1
3
﹣ 1
4
），
…
请利用你发现的规律，计算：
2 2
1 11 1 2
+ 2 2
1 11 2 3
+ 2 2
1 11 3 4
+…+ 2 2
1 11 2018 2019
，其结果为
．
15．（2019•南充）计算：（1﹣π）0+| 2 ﹣ 3 |﹣ 12 +（ 1
2
）﹣1．第 22 页 共 237 页
第二单元 方程与不等式
第 6 课 一次方程（组）
本节内容考纲要求考查方程的有关概念、一次方程（组）的求解及应用。近 5 年试题规
律：一次方程（组）的解法多为基础题可以是选择、填空，也可以是解答题；一次方程（组）
的应用是近几年的热点考题。
知识清单
知识点一 一元一次方程及解法
等式的性质 性质 1：等式两边加(或减)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；
性质 2：等式两边乘(或除以)同一个数(除数不能为 0)，所得结果仍是等式.
方程的概念 含有未知数的等式叫做方程.
方程的解 使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.
一元一次方
程的概念 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 1 的整式方程是一元一次方程.
一元一次方
程的解法 一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1.
知识点二 二元一次方程组及解法
二元一次方
程的概念 含有两个未知数，并且未知项的次数是 1 的整式方程叫做二元一次方程.
二元一次方
程组的概念
一般地，含有两个的未知数的 1 个二元一次方程合在一起，就组成了一个二
元一次方程组.
二元一次方
程组的解 二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
二元一次方
程组的解法
解二元一次方程组的方法步骤：二元一次方程组――→
消元
转化 一元一次方程．
消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有代入消元法和加减消元法两种.
课前小测
1．（一元一次方程）方程 3x=﹣9 的解是（ ）
A．x=﹣6 B．x=﹣2 C．x=﹣3 D．x=﹣27
2．（二次一次方程组）二元一次方程组 2
2
x y
x y
ì + =ïí - = -ïî
的解是（ ）
A． 0
2
x
y
ì =ïí = -ïî
B． 0
2
x
y
ì =ïí =ïî
C． 2
0
x
y
ì =ïí =ïî
D． 2
0
x
y
ì = -ïí =ïî
3．（方程的解）若关于 x 的方程 ax﹣4=a 的解是 x=3，则 a 的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1第 23 页 共 237 页
4．（二元一次方程的解）如果关于 x，y 的二元一次方程 kx﹣3y=1 有一组解是
2
1
x
y
ì =ïí =ïî
，则 k 的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
5．（方程组的应用）为了绿化校园，30 名学生共种 78 棵树苗．其中男生每人
种 3 棵，女生每人种 2 棵，该班男生有 x 人，女生有 y 人，根据题意，所列方程
组是 ．
经典回顾
考点一 一元一次方程的解法
【 例 1】 （2018•攀枝花）解方程： 3
2
x - ﹣ 2 1
3
x + =1．
【点拔】注意：在去分母时，应该将分子用括号括上，切勿漏乘不含有分母的项．
考点二 二元一次方程组的解法
【 例 2】 （2019•广州）解方程组： 1
3 9
x y
x y
．
【点拔】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：
代入消元法与加减消元法．
考点三 一次方程（组）的应用
【 例 3】（2019•广东）某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球
共 60 个，已知每个篮球的价格为 70 元，每个足球的价格为 80 元．
（1）若购买这两类球的总金额为 4600 元，求篮球，足球各买了多少个？
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程
组是解题的关键．
对应训练
1．（2019•湘西州）若关于 x 的方程 3x﹣kx+2＝0 的解为 2，则 k 的值为 ．
2．（2019•成都）若 m+1 与﹣2 互为相反数，则 m 的值为 ．
3．（2019•毕节市）某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高 40%后标价，在某次第 24 页 共 237 页
电商购物节中，为促销该商品，按标价 8 折销售，售价为 2240 元，则这种商
品的进价是 元．
4．（2019•黔东南州）已知 x a
y b
是方程组 2 6
2 3
x y
x y
的解，则 a+b 的值为 ．
5．（2017•广东）学校团委组织志愿者到图书馆整理一批新进的图书．若男生每
人整理 30 本，女生每人整理 20 本，共能整理 680 本；若男生每人整理 50 本，
女生每人整理 40 本，共能整理 1240 本．求男生、女生志愿者各有多少人？
6． （ 2015•广 东 ） 某 电 器 商 场 销 售 A、 B 两 种 型 号 计 算 器 ， 两 种 计 算
器 的 进 货 价 格 分 别 为 每 台 30 元 ，40 元 ，商 场 销 售 5 台 A 型 号 和 1 台
B 型 号 计 算 器 ， 可 获 利 润 76 元 ； 销 售 6 台 A 型 号 和 3 台 B 型 号 计 算
器 ，可 获 利 润 120 元 ． 求 商 场 销 售 A、 B 两 种 型 号 计 算 器 的 销 售 价 格
分 别 是 多 少 元 ？
中考冲刺
夯实基础
1．（2019•怀化）一元一次方程 x﹣2＝0 的解是（ ）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝0 D．x＝1
2．（2019•海南模拟）代数式 m﹣2 与 1﹣2m 的差是 0，则 m 等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2019•白云区二模）解方程 5
2
x + 1
3
x =1 时，去分母后得到的方程是（ ）
A．3（x﹣5）+2（x﹣1）＝1 B．3（x﹣5）+2x﹣1＝1
C．3（x﹣5）+2（x﹣1）＝6 D．3（x﹣5）+2x﹣1＝6
4．（2019•杭州）已知九年级某班 30 位学生种树 72 棵，男生每人种 3 棵树，女
生每人种 2 棵树，设男生有 x 人，则（ ）
A．2x+3（72﹣x）＝30 B．3x+2（72﹣x）＝30
C．2x+3（30﹣x）＝72 D．3x+2（30﹣x）＝72
5．（2019•常州）若 1
2
x
y
是关于 x、y 的二元一次方程 ax+y＝3 的解，则 a＝ ．
6．（2019•自贡）某活动小组购买了 4 个篮球和 5 个足球，一共花费了 466 元，
其中篮球的单价比足球的单价多 4 元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球第 25 页 共 237 页
的单价为 x 元，足球的单价为 y 元，依题意，可列方程组为 ．
7．（2019•福建）解方程组： 5
2 4
x y
x y
．
8．（2019•娄底）某商场用 14500 元购进甲、乙两种矿泉水共 500 箱，矿泉水的
成本价与销售价如表（二）所示：
类别 成本价（元/箱） 销售价（元/箱）
甲 25 35
乙 35 48
求：（1）购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
（2）该商场售完这 500 箱矿泉水，可获利多少元？
能力提升
9．（2019•南充）关于 x 的一元一次方程 2xa﹣2+m＝4 的解为 x＝1，则 a+m 的值
为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
10．（2019•阜新）某种衬衫因换季打折出售，如果按原价的六折出售，那么每
件赔本 40 元；按原价的九折出售，那么每件盈利 20 元，则这种衬衫的原价
是（ ）
A．160 元 B．180 元 C．200 元 D．220 元
11．（2019•宁波）小慧去花店购买鲜花，若买 5 支玫瑰和 3 支百合，则她所带
的钱还剩下 10 元；若买 3 支玫瑰和 5 支百合，则她所带的钱还缺 4 元．若只
买 8 支玫瑰，则她所带的钱还剩下（ ）
A．31 元 B．30 元 C．25 元 D．19 元
12．（2019•南通）已知 a，b 满足方程组 3 2 4
2 3 6
a b
a b
，则 a+b 的值为（ ）
A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4
13．（2019•贺州）已知方程组 2 3
2 5
x y
x y
，则 2x+6y 的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
14．（2019•苏州）若 a+2b＝8，3a+4b＝18，则 a+b 的值为 ．第 26 页 共 237 页
15．（2019•枣庄）对于实数 a、b，定义关于“⊗ ”的一种运算：a★b＝2a+b，例
如 3★4＝2×3+4＝10．
（1）求 4★（﹣3）的值；
（2）若 x★（﹣y）＝2，（2y）★x＝﹣1，求 x+y 的值．
16．（2019•百色）一艘轮船在相距 90 千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地
到乙地顺流航行用 6 小时，逆流航行比顺流航行多用 4 小时．
（1）求该轮船在静水中的速度和水流速度；
（2）若在甲、乙两地之间建立丙码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙
地所用的航行时间相同，问甲、丙两地相距多少干米？第 27 页 共 237 页
第 7 课 分式方程
本节内容考纲要求考查分式方程的解法及其应用，会检验分式方程的根。近 5 年试题规
律：只考查可转化为一元一次方程的分式方程，且所含有的分式不超过两个；解题容易漏掉
检验，考生须谨记。
知识清单
知识点一 分式方程及解法
概念 分母里含有未知数的方程叫做分式方程.
解法
解分式方程的基本思路是将分式方程转化为整式方程，具体步骤是：
(1)去分母，在方程的两边都乘以最简公分母，化成整式方程；
(2)解这个整式方程；
(3)验根，把整式方程的根代入最简公分母，如果不为 0，则整式方程的解是
原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
注意事项
(1)去分母时，单独的数字或字母易漏乘以最简公分母，因此要注意每一项都
要乘以最简公分母．
(2)求得未知数的值后，一定要将所求得的未知数的值代入最简公分母中检验
是否是原方程的解．
知识点二 分式方程的应用
注意事项 列分式方程解应用题的步骤跟列一次方程(组)解应用题不一样的是：要检验
两次，既要检验求出来的解是否为原方程的根，又要检验是否符合题意．
课前小测
1．（分式方程）分式方程 1
2x + = 2
x
的解是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
2．（分式方程）分式方程 2
3x - = 3
x
的解为（ ）
A．3 B．﹣3 C．9 D．﹣9
3．（分式方程）方程 1
3x - = 3
1x - 的解为（ ）
A．x=0 B．x=﹣1 C．x=3 D．x=4
4．（分式方程）分式方程 1
2x - + 4
2 x- =1 的解是 ．
5．（分式方程的应用）小王做 90 个零件所需要的时间和小李做 120 个零件所用
的时间相同，又知每小时小王与小李两人共做 35 个机器零件．求小王、小李每
小时各做多少个零件？设小王每小时做 x 个零件，则可列方程 ．
经典回顾第 28 页 共 237 页
考点一 分式方程的解法
【 例 1】 （2019•自贡）解方程：
1
x
x
﹣ 2
x
＝1．
【点拔】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
考点二 分式方程的应用
【 例 2】 （2018•广东）某公司购买了一批 A、B 型芯片，其中 A 型芯片的单价
比 B 型芯片的单价少 9 元，已知该公司用 3120 元购买 A 型芯片的条数与用 4200
元购买 B 型芯片的条数相等．求该公司购买的 A、B 型芯片的单价各是多少元？
【点拨】解分式方程的应用的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程．
对 应 训 练
1． （2015•广东）分式方程 3
1x + = 2
x
的解是 ．
2．（2019•临沂）解方程： 5
2x
＝ 3
x
．
3．（2019•大庆）某工厂现在平均每天比原计划多生产 50 台机器，现在生产 600
台机器所需时间与原计划生产 450 机器所需时间相同，求该工厂原来平均每
天生产多少台机器？
4． （ 2016•广东）某工程队修建一条长 1200m 的道路，采用新的施工方式，工
效提升了 50%，结果提前 4 天完成任务．求这个工程队原计划每天修建道路多少
米？
中考冲刺
夯实基础
1．（2019•百色）方程 1
1x
＝1 的解是（ ）
A．无解 B．x＝﹣1 C．x＝0 D．x＝1
2．（2019•益阳）解分式方程
2 1
x
x + 2
1 2x
＝3 时，去分母化为一元一次方程，
正确的是（ ）
A．x+2＝3 B．x﹣2＝3
C．x﹣2＝3（2x﹣1） D．x+2＝3（2x﹣1）
3．（2019•广州）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做 8 个，甲第 29 页 共 237 页
做 120 个所用的时间与乙做 150 个所用的时间相等，设甲每小时做 x 个零件，
下列方程正确的是（ ）
A．120
x
＝ 150
8x B． 120
8x
＝150
x
C． 120
8x
＝150
x D．120
x
＝ 150
8x
4．（2019•永州）方程 2
1x
＝ 1
x
的解为 x＝ ．
5．（2019•鞍山）为了美化校园环境，某中学今年春季购买了 A，B 两种树苗在
校园四周栽种，已知 A 种树苗的单价比 B 种树苗的单价多 10 元，用 600 元购
买 A 种树苗的棵数恰好与用 450 元购买 B 种树苗的棵数相同．若设 A 种树苗
的单价为 x 元，则可列出关于 x 的方程为 ．
6．（2018•柳州）解方程 2
x
＝ 1
2x
．
7．（2019•长春）为建国 70 周年献礼，某灯具厂计划加工 9000 套彩灯，为尽快
完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的 1.2 倍，结果提前 5 天完成任
务．求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量．
能力提升
8．（2018•阿坝州）若 x＝4 是分式方程 2a
x
＝ 1
3x
的根，则 a 的值为（ ）
A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4
9．（2019•鸡西）已知关于 x 的分式方程 2
3
x m
x
＝1 的解是非正数，则 m 的取值
范围是（ ）
A．m≤3 B．m＜3 C．m＞﹣3 D．m≥﹣3
10．（2019•襄阳）定义：a*b＝ a
b
，则方程 2*（x+3）＝1*（2x）的解为
．
11．（2019•烟台）若关于 x 的分式方程 3
2
x
x
﹣1＝ 3
2
m
x
有增根，则 m 的值为 ．
12．（2019•江西）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也
直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段 A﹣B﹣C 横穿双向
行驶车道，其中 AB＝BC＝6 米，在绿灯亮时，小明共用 11 秒通过 AC，其中
通过 BC 的速度是通过 AB 速度的 1.2 倍，求小明通过 AB 时的速度．设小明
通过 AB 时的速度是 x 米/秒，根据题意列方程得： ．第 30 页 共 237 页
13．（2019•乐山）如图，点 A、B 在数轴上，它们对应的数分别为﹣2，
1
x
x
，
且点 A、B 到原点的距离相等．求 x 的值．
14．（2019•西藏）绿水青山就是金山银山，为了创造良好的生态环境，防止水
土流失，某村计划在荒坡上种树 600 棵，由于青年志愿者支援，实际每天种
树的棵树是原计划的 2 倍，结果提前 4 天完成任务，则原计划每天种树多少
棵？第 31 页 共 237 页
第 8 课 一元一次不等式（组）
本节内容考纲要求考查不等式的基本性质，求不等式（组）的解集，并会在数轴上表示
其解集，用一元一次不等式解实际问题。近 5 年试题规律：直接考查一元一次不等式（组）
的解法，或渗透在分式、二次根式的意义，函数的取值范围，三角形的三边不相等关系中考
查，是必考内容，特别提醒：已经不考查一元一次不等式组的应用题。
知识清单
知识点一 不等式的概念及性质
不等式的
有关概念
用不等号连接起来的式子叫做不等式，使不等式成立的未知数的取值范围叫做
不等式的解集.
不等式的
基本性质
性质 1 若 a＜b，则 a±c＜b±c.
性质 2 若 a＜b 且 c＞0，则 ac＜bc(或a
c
＜b
c).
性质 3 若 a＜b 且 c＜0，则 ac＞bc(或a
c
＞b
c).
知识点二 一元一次不等式(组)的解法
一元一次不
等式的解法 (1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为 1.
不等式组的
解法
一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集，并表示在数轴上，再求出他
们的公共部分，就得到不等式组的解集.
不等式组的
解集情况
(b＜a)
x a
x b
ìïíïî
＞
≥ x a＞ 同大取大
x a
x b
ìïíïî
＜
≤ x b≤ 同小取小
x a
x b
ìïíïî
＜
≥ b x a≤ ＜ 大小小大中间找
x a
x b
ìïíïî
＞
≤ 无解 大大小小无处找
知识点三 不等式的应用
步骤 (1)审清题意；(2)设未知数；(3)列不等式；(4)解不等式；(5)检验作答．
课前小测
1．（不等式的性质）若 a＞b，则下列式子正确的是（ ）
A．﹣4a＞﹣4b B． 1
2 a＜ 1
2 b
C．4﹣a＞4﹣b D．a﹣4＞b﹣4第 32 页 共 237 页
2．（一元一次不等式）不等式 x﹣3＞0 的解集是（ ）
A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＞3 D．x＜3
3．（不等式的整数解）不等式 x﹣4＜0 的正整数有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．无数多个
4．（不等式组的解集）不等式组 1
1
x
x
ì -ïíïî
＞
≤ 的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．（一元一次不等式组）不等式组 1 3
2 1
x
x x
ì +ïí -ïî
＜
＞ 的解集是（ ）
A．x＞1 B．x＜2 C．1≤x≤2 D．1＜x＜2
经典回顾
考点一 一元一次不等式的解法
【 例 1】 （2019•南通）解不等式 4 1
3
x ﹣x＞1．
【点拔】解一元一次不等式的关键是按一般步骤进行解题，注意易错事项．
考 点 二 一 元 一 次 不 等 式 组 的 解 法
【 例 2】 （2019•广东）解不等式组： 1 2
2( 1) 4
x
x
＞
＞
【点拔】本题考查了解一元一次不等式组，利用不等式组的解集的表示方法是解
题关键．
考点三 一元一次不等式的应用
【 例 3】 （2019•广东）某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共
60 个，已知每个篮球的价格为 70 元，每个足球的价格为 80 元．
（2）若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可购买多少个篮
球？
【点拔】此题考查了一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用，根据
各数量间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．第 33 页 共 237 页
对 应 训 练
1．（2019•上海）如果 m＞n，那么下列结论错误的是（ ）
A．m+2＞n+2 B．m﹣2＞n﹣2 C．2m＞2n D．﹣2m＞﹣2n
2． （2018•广东）不等式 3x﹣1≥x+3 的解集是（ ）
A．x≤4 B．x≥4 C．x≤2 D．x≥2
3． （2016•广东）不等式组
1 2 2
2 1
3 2
x x
x x
ì - -ïí -ïî
≤
＞
的解集是 ．
4．（2019•淄博）解不等式 5
2
x +1＞x﹣3．
5．（2019•常州）解不等式组 1 0
3 8
x
x x
＞
≤ 并把解集在数轴上表示出来．
6．（2015•广东）某电器商场销售 A、B 两种型号计算器，两种计算器的进货价
格分别为每台 30 元，40 元．商场准备用不多于 2500 元的资金购进 A、B 两种型
号计算器共 70 台，问最少需要购进 A 型号的计算器多少台？
中考冲刺
夯实基础
1．（2018•南宁）若 m＞n，则下列不等式正确的是（ ）
A．m﹣2＜n﹣2 B．
4
m ＞
4
n C．6m＜6n D．﹣8m＞﹣8n
2．（2019•大连）不等式 5x+1≥3x﹣1 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2019•赤峰）不等式组 1 2
9 2
x
x x
≥
＜ 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．第 34 页 共 237 页
C． D．
4．（2019•重庆）某次知识竞赛共有 20 题，答对一题得 10 分，答错或不答扣 5
分，小华得分要超过 120 分，他至少要答对的题的个数为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
5．（2019•泰州）不等式组 1
3
x
x
＜
＜ 的解集为 ．
6．（2019•抚顺）不等式组 2 3 5
2 0
x
x
≥
≥ 的解集是 ．
7．（2019•苏州）解不等式组： 1 5
2( 4) 3 7
x
x x
＜
＞
8．（2019•桂林）为响应国家“足球进校园”的号召，某校购买了 50 个 A 类足球
和 25 个 B 类足球共花费 7500 元，已知购买一个 B 类足球比购买一个 A 类足
球多花 30 元．
（1）求购买一个 A 类足球和一个 B 类足球各需多少元？
（2）通过全校师生的共同努力，今年该校被评为“足球特色学校”，学校计划
用不超过 4800 元的经费再次购买 A 类足球和 B 类足球共 50 个，若单价不变，
则本次至少可以购买多少个 A 类足球？
声明：试 题解析著作权 属菁优网所有 ，未经
能力提升
9．（2019•宿迁）不等式 x﹣1≤2 的非负整数解有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
10．（2019•衡阳）不等式组 2 3
4 2
x x
x
＞
＞ 的整数解是（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．1
11．（2019•南充）关于 x 的不等式 2x+a≤1 只有 2 个正整数解，则 a 的取值范
围为（ ）
A．﹣5＜a＜﹣3 B．﹣5≤a＜﹣3 C．﹣5＜a≤﹣3 D．﹣5≤a≤﹣3
12．（2019•甘肃）不等式组 2 0
2 1
x
x x
≥
＞ 的最小整数解是 ．第 35 页 共 237 页
13．（2019•扬州）解不等式组
4( 1) 7 13
84 3
x x
xx
≤
＜ ，并写出它的所有负整数解．
14．（2019•张家界）某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化，已知甲种树苗每棵
30 元，乙种树苗每棵 20 元，且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的 2 倍少 40 棵，
购买两种树苗的总金额为 9000 元．
（1）求购买甲、乙两种树苗各多少棵？
（2）为保证绿化效果，社区决定再购买甲、乙两种树苗共 10 棵，总费用不
超过 230 元，求可能的购买方案？第 36 页 共 237 页
第 9 课 一元二次方程
本节内容考纲要求考查一元二次方程有关概念，会用配方法、公式法、因式分解法解一
元二次方程，不解方程判别方程根的情况，用一元二次方程解实际问题。近 5 年试题规律：
只考简单的一元二次方程的解法，会在选择题中考查一元二次方程的根的情况，而一元二次
方程的应用是高频考点，特别是增长率问题更是反复出现，不容忽视。
知识清单
知识点一 一元二次方程的概念及解法
一元二次方
程的概念
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫做一元二次方
程．它的一般形式是 ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
一元二次方
程的解法
解一元二次方程的基本思想是降次，主要方法有：直接开平方法、配方法、公
式法、因式分解法等.
知识点二 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
根的判别
式的定义 关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为 b2－4ac.
判别式与
根的关系
(1)b2－4ac＞0 一元二次方程有两个不相等的实数根；
(2)b2－4ac＝0 一元二次方程有两个相等的实数根；
(3)b2－4ac＜0 一元二次方程没有实数根.
注意事项
(1)在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，那么要加上
二次项系数不为 0 这个限制条件；
(2)利用根与系数的关系解题时，要注意根的判别式 b2－4ac≥0.
知识点三 一元二次方程的应用
注意事项
正确列出一元二次方程的前提是准确理解题意、找出等量关系，进而达到求解
的目的．在此过程中往往要借助示意图、列表格等手段帮助我们分析数量关系，
并能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理．
课前小测
1．（一般形式）一元二次方程 2x2﹣6x=9 的二次项系数、一次项系数、常数项
分别为（ ）
A．6，2，9 B．2，﹣6，9
C．2，﹣6，﹣9 D．﹣2，6，9
2．（直接开平方法）方程 x2=4 的解是（ ）
A．x=2 B．x=﹣2
C．x1=1，x2=4 D．x1=2，x2=﹣2
3．（因式分解法）方程 x（x﹣3）=0 的解为（ ）
A．x=0 B．x1=0，x2=3
C．x=3 D．x1=1，x2=3第 37 页 共 237 页
4．（配方法）一元二次方程 x2+4x=5 配方后可变形为（ ）
A．（x+2）2=5 B．（x+2）2=9
C．（x﹣2）2=9 D．（x﹣2）2=21
5．（判别式）方程 x2﹣4x+5=0 根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
经典回顾
考点一 一元二次方程的解法
【 例 1】 （2015•广东）解方程：x2﹣3x+2=0．
【点拔】灵活选择适当方法来解一元二次方程，事半功倍．
考点二 一元二次方程的判别式
【 例 2】 （2018•广东）关于 x 的一元二次方程 x2﹣3x+m=0 有两个不相等的实
数根，则实数 m 的取值范围是（ ）
A．m＜ 9
4 B．m≤ 9
4 C．m＞ 9
4 D．m≥ 9
4
【点拨】一元二次方程根的情况：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）
△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
考点三 一元二次方程的应用
【 例 3】 （2019•广州）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，正加速布局以 5G
等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东 5G 基站的数量约 1.5 万座，
计划到 2020 年底，全省 5G 基站数是目前的 4 倍，到 2022 年底，全省 5G 基
站数量将达到 17.34 万座．
（1）计划到 2020 年底，全省 5G 基站的数量是多少万座？
（2）按照计划，求 2020 年底到 2022 年底，全省 5G 基站数量的年平均增长
率．
【点拔】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二
次方程是解题的关键．
对应训练第 38 页 共 237 页
1．（2019•甘肃）若一元二次方程 x2﹣2kx+k2＝0 的一根为 x＝﹣1，则 k 的值为
（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 或﹣1 D．2 或 0
2．（2019•金华）用配方法解方程 x2﹣6x﹣8＝0 时，配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝17 B．（x﹣3）2＝14 C．（x﹣6）2＝44 D．（x﹣3）2＝1
3．（2019•咸宁）若关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+m＝0 有实数根，则实数 m 的
取值范围是（ ）
A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1
4．（2019•徐州）方程 x2﹣4＝0 的解是 ．
5．（2019•桂林）一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝0 的根是 ．
6．（2019•贺州）2016 年，某贫困户的家庭年人均纯收入为 2500 元，通过政府
产业扶持，发展了养殖业后，到 2018 年，家庭年人均纯收入达到了 3600 元．
（1）求该贫困户 2016 年到 2018 年家庭年人均纯收入的年平均增长率；
（2）若年平均增长率保持不变，2019 年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能
达到 4200 元？
中考冲刺
夯实基础
1．（2019•广东模拟）一元二次方程 x2﹣3x﹣4＝0 的一次项系数是（ ）
A．1 B．﹣3 C．3 D．﹣4
2．（2019•南通）用配方法解方程 x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x+4）2＝﹣9 B．（x+4）2＝﹣7 C．（x+4）2＝25 D．（x+4）2＝7
3．（2019•铜仁市）一元二次方程 4x2﹣2x﹣1＝0 的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
4．（2019•湘潭）已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣4x+c＝0 有两个相等的实数根，
则 c＝（ ）
A．4 B．2 C．1 D．﹣4
5．（2019•淮安）若关于 x 的一元二次方程 x2+2x﹣k＝0 有两个不相等的实数根，
则 k 的取值范围是（ ）第 39 页 共 237 页
A．k＜﹣1 B．k＞﹣1 C．k＜1 D．k＞1
6．（2019•济宁）已知 x＝1 是方程 x2+bx﹣2＝0 的一个根，则方程的另一个根是
．
7．（2019•扬州）一元二次方程 x（x﹣2）＝x﹣2 的根是 ．
8．（2019•齐齐哈尔）解方程：x2+6x＝﹣7
9．（2019•常德）解方程：x2﹣3x﹣2＝0．
10．（2019•邵阳）2019 年 1 月 14 日，国新办举行新闻发布会，海关总署新闻发
言人李魁文在会上指出：在 2018 年，我国进出口规模创历史新高，全年外贸
进出口总值为 30 万亿元人民币．有望继续保持全球货物贸易第一大国地位．预
计 2020 年我国外贸进出口总值将达 36.3 万亿元人民币．求这两年我国外贸进
出口总值的年平均增长率．
能力提升
11．（2019•兰州）x＝1 是关于 x 的一元二次方程 x2+ax+2b＝0 的解，则 2a+4b
＝（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．﹣1 D．﹣6
12．（2019•内江）一个等腰三角形的底边长是 6，腰长是一元二次方程 x2﹣8x+15
＝0 的一根，则此三角形的周长是（ ）
A．16 B．12 C．14 D．12 或 16
13．（2019•通辽）一个菱形的边长是方程 x2﹣8x+15＝0 的一个根，其中一条对
角线长为 8，则该菱形的面积为（ ）
A．48 B．24 C．24 或 40 D．48 或 80
14．（2019•资阳）a 是方程 2x2＝x+4 的一个根，则代数式 4a2﹣2a 的值是 ．
15．（2019•铁岭）若关于 x 的一元二次方程 ax2﹣8x+4＝0 有两个不相等的实数
根，则 a 的取值范围是 ．
16．（2019•鞍山）关于 x 的方程 x2+3x+k﹣1＝0 有两个相等的实数根，则 k 的
值为 ．
17．（2019•北京）关于 x 的方程 x2﹣2x+2m﹣1＝0 有实数根，且 m 为正整数，
求 m 的值及此时方程的根．
18．（2019•襄阳）改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一第 40 页 共 237 页
块长（AD）16m，宽（AB）9m 的矩形场地 ABCD 上修建三条同样宽的小路，
其中两条与 AB 平行，另一条与 AD 平行，其余部分种草．要使草坪部分的总
面积为 112m2，则小路的宽应为多少？第 41 页 共 237 页
第三单元 三角形
第 10 课 图形初步
本节内容考纲要求考查相交线、平行线有关知识，是图形的基础知识。近 5 年试题规律：
平行线的基础考查一般出现在选择、填空题，部分内容渗透到作图或图形的证明等解答题中，
不作单一考查。
知识清单
知识点一 直线、射线、线段
直线公理 经过两点，有且只有一条直线.
线段公理 两点之间，线段最短.
两点间的距离 连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离.
知识点二 角
角的概念
定义 1 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.
定义 2
一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形
叫做角.
互为余角 定义 如果两个角的和等于 90°，那么这两个角互余.
性质 同角(或等角)的余角相等.
互为补角 定义 如果两个角的和等于 180°，那么这两个角互补.
性质 同角(或等角)的补角相等.
知识点三 相交线
对顶角 对顶角相等.
垂直
性质 1 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
性质 2 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.
点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的
距离.
知识点四 平行线
概念 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.
公理 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
推论 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
判定
同位角相等，两直线平行.
内错角相等，两直线平行.
同旁内角互补，两直线平行.
性质
两直线平行，同位角相等.
两直线平行，内错角相等.
两直线平行，同旁内角互补.
平行线间的距离 定义 过平行线上的一点作另一条平行线的垂线，垂线段的长度叫
做两条平行线间的距离.
性质 两条平行线间的距离处处相等.
知识点五 命题
命题的概念 判断一件事情的句子叫做命题.第 42 页 共 237 页
命题的分类 命题分为真命题和假命题.
命题的组成 命题题设和结论两个部分组成.
课前小测
1．（余角的性质）∠α=35°，则∠α的余角的度数为（ ）
A．65° B．55° C．45° D．25°
2．（对顶角的性质）如图，已知∠1=120°，则∠2 的度数是（ ）
A．120° B．90° C．60° D．30°
3．（垂直的性质）如图，点 O 为直线 AB 上一点，OC⊥OD．如果∠1=35°，那
么∠2 的度数是（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
4．（平行的性质）如图，AB∥CD，如果∠B=20°，那么∠C 的度数是（ ）
A．40° B．20° C．60° D．70°
5．（平行的判定）如图，不能判定直线 a∥b 的条件是（ ）
A．∠1=∠3 B．∠1=∠4 C．∠2+∠4=180° D．∠1=∠5
经典回顾
考 点 一 相 交 线 的 性 质
【 例 1】 （2019•广东模拟）已知：如图直线 AB 与 CD 相交于点 O，OE⊥AB，第 43 页 共 237 页
∠COE＝60°，则∠BOD 等于 度．
【点拔】本题考查了垂线，利用了垂线的定义，余角的性质，对顶角的性质．
考 点 二 平 行 线 的 性 质
【 例 2】 （2019•十堰）如图，直线 a∥b，直线 AB⊥AC，若∠1＝50°，则∠2
＝（ ）
A．50° B．45° C．40° D．30°
【点拔】本题考查了平行线的性质，余角角的定义，熟记性质并准确识图是
解题的关键．
考 点 三 命 题 与 定 理
【 例 3】 （2019•桂林）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等
B．两个锐角的和是钝角
C．直角三角形都相似
D．正六边形的内角和为 360°
【点拔】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、钝角
及锐角的定义、相似三角形的判定及正多边形的内角和公式，难度不大．
对 应 训 练
1．（2017•广东）已知∠A＝70°，则∠A 的补角为（ ）
A．110° B．70° C．30° D．20°
2．（2018•广东）如图，AB∥CD，则∠DEC＝100°，∠C＝40°，则∠B 的大小
是（ ）第 44 页 共 237 页
A．30° B．40° C．50° D．60°
3．（2019•新疆）如图，AB∥CD，∠A＝50°，则∠1 的度数是（ ）
A．40° B．50° C．130° D．150°
4．（2019•甘肃）如图，将一块含有 30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，
若∠1＝48°，那么∠2 的度数是（ ）
A．48° B．78° C．92° D．102°
5．（2019•广东）如图，已知 a∥b，∠1＝75°，则∠2＝ ．
6．（2019•黄冈）如图，直线 AB∥CD，直线 EC 分别与 AB，CD 相交于点 A、
点 C，AD 平分∠BAC，已知∠ACD＝80°，则∠DAC 的度数为 ．
中考冲刺第 45 页 共 237 页
夯实基础
1．（2016•柳州）如图，在直线 l 上有 A、B、C 三点，则图中线段共有（ ）
A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条
2．（2017•黔南州）如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根
木桩，然后拉一条直的参照线，其运用到的数学原理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．过一点有且只有一条直线和已知直线平行
3．（2017•随州）某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分（如图），
发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数
学知识是（ ）
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
4．（2017•百色）如图，AM 为∠BAC 的平分线，下列等式错误的是（ ）第 46 页 共 237 页
A． 1
2
∠BAC＝∠BAM B．∠BAM＝∠CAM
C．∠BAM＝2∠CAM D．2∠CAM＝∠BAC
5．（2018•邵阳）如图所示，直线 AB，CD 相交于点 O，已知∠AOD＝160°，则
∠BOC 的大小为（ ）
A．20° B．60° C．70° D．160°
6．（2019•常州）如图，在线段 PA、PB、PC、PD 中，长度最小的是（ ）
A．线段 PA B．线段 PB C．线段 PC D．线段 PD
7．（2019•邵阳）如图，已知两直线 l1 与 l2 被第三条直线 l3 所截，下列等式一定
成立的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠2+∠4＝180° D．∠1+∠4＝180°
8．（2019•南通）如图，AB∥CD，AE 平分∠CAB 交 CD 于点 E，若∠C＝70°，
则∠AED 度数为（ ）
A．110° B．125° C．135° D．140°
9．（2018•昆明）如图，过直线 AB 上一点 O 作射线 OC，∠BOC＝29°18′，则第 47 页 共 237 页
∠AOC 的度数为 ．
10．（2018•河南）如图，直线 AB，CD 相交于点 O，EO⊥AB 于点 O，∠EOD
＝50°，则∠BOC 的度数为 ．
11．（2019•广州）如图，点 A，B，C 在直线 l 上，PB⊥l，PA＝6cm，PB＝5cm，
PC＝7cm，则点 P 到直线 l 的距离是 cm．
12．（2019•南京）结合图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”
的推理形式：∵ ，∴a∥b．
能力提升
1．（2019•遵义）如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝104°，则∠4 的度数是（ ）
A．74° B．76° C．84° D．86°
2．（2019•陕西）如图，OC 是∠AOB 的角平分线，l∥OB，若∠1＝52°，则∠2
的度数为（ ）第 48 页 共 237 页
A．52° B．54° C．64° D．69°
3．（2019•随州）如图，直线 ll∥12，直角三角板的直角顶点 C 在直线 l1 上，一
锐角顶点 B 在直线 l2 上，若∠1＝35°，则∠2 的度数是（ ）
A．65° B．55° C．45° D．35°
4．（2018•益阳）如图，AB∥CD，∠1＝∠2．求证：AM∥CN．
5．（2019•汉阳区期末）如图，A、B、C 三点在同一直线上，∠1＝∠2，∠3＝
∠D．求证；BD∥CE．
6．（2019•天心区期中）如图所示，已知：∠1＝∠2，∠A＝35°，∠C＝∠D．
（1）证明：BD∥CE；
（2）求∠F 的度数．第 49 页 共 237 页
第 11 课 三角形与多边形
三角形是平面几何的基础知识，考纲要求考查三角形的有关概念，三边之间的关系，三
角形的内角和，多边形的内角和、外角和等。近 5 年试题规律：三角的内角与外角的性质，
三角形的三边关系，三角形的中位线，多以选择、填空题出现，着重考查基础；也常常渗透
到折叠、旋转等图形变换综合题中。
知识清单
知识点一 三角形的概念及其分类
三角形
概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所得到的图形叫做三角形.
分类
按角分类
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
按边分类
不等边三角形
等腰三角形
底与腰不相等的等腰三角形
等边三角形
知识点二 三角形有关的线段
高 锐角三角形的三条高相交于三角形的内部；直角三角形的三条高相交于直角顶
点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部.
中线 三角形的三条中线相交于一点，每一条中线都将三角形分成面积相等的两部分.
角平分线 三角形的三条角平分线相交于一点，这个点是三角形的内心，这个点到三边的
距离相等.
三边关系 三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边.
稳定性 三角形具有稳定性，四边形没有稳定性.
三角形的
中位线
定义 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
性质 三角形的中位线平行第三边，并且等于第三边的一半.
知识点三 与三角形有关的角
定理 三角形三个内角的和等于 180°.
推论 直角三角形的两个锐角互余.
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
知识点四 多边形
多边形的定义 在同一平面内，若干条不在同一直线上的线段首尾相接组成的图形叫
做多边形.
多边形的
性质
内角和 n 边形内角和为公式：180 ( 2)n按 - .
外角和 任意多边形的外角和为 360°.
对角线 n 边形从一个顶点出发可以画 ( 3)n - 条对角线，一共可以画 ( 3)
2
n n - 条
对角线.
正多边形 定义 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.第 50 页 共 237 页
性质 正 n 边形的每一个内角的度数都是相等，每一个外角都是相等.
课前小测
1．（三角形的稳定性）下列图形具有稳定性的是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
2．（三角形的三边关系）下列长度的三条线段不能组成三角形的是（ ）
A．5，6，11 B．3，4，5 C．2，2，2 D．5，6，10
3．（三角形的内角）在△ABC 中，∠A=80°，∠B=50°，则∠C=（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
4．（三角形的外角）如图，在△ABC 中，∠B=40°，∠C=30°，延长 BA 到 D，
则∠CAD 的度数为（ ）
A．110° B．70° C．80° D．60°
5．（多边形的内角和）一个五边形的内角和为（ ）
A．540° B．450° C．360° D．180°
经典回顾
考点一 内角（和）与外角（和）
【例 1】（2019•广东）一个多边形的内角和是 1080°，这个多边形的边数是
．
【点拔】此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2）
•180 （n≥3）．
考点二 三角形的三边关系
【例 2】（2014•广东）一个等腰三角形的两边长分别是 3 和 7，则它的周长为（ ）
A．17 B．15 C．13 D．13 或 17
【点拔】本题要注意进行分类讨论和三角形三边之间关系．
考点三 三角形的中线第 51 页 共 237 页
【例 3】（2015•广东）如图，△ABC 三边的中线 AD、BE、CF 的公共点为 G，
若 S△ABC=12，则图中阴影部分的面积是 ．
【点拔】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，则：△BGF 的
面积=△BGD 的面积=△CGD 的面积，△AGF 的面积=△AGE 的面积=△CGE 的
面积．
对应训练
1．（2014•广东）一个多边形的内角和是 900°，这个多边形的边数是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
2．（2019•金华）若长度分别为 a，3，5 的三条线段能组成一个三角形，则 a 的
值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．8
3．（2019•营口）如图，AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，AD∥BC，∠B
＝32°，则∠C 的度数是（ ）
A．64° B．32° C．30° D．40°
4．（2019•眉山）如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，∠B＝30°，
∠ADC＝70°，则∠C 的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
5．（2014•广东）如图，在△ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 的中点，若 BC=6，
则 DE= ．第 52 页 共 237 页
6．（2017•广东）一个 n 边形的内角和是 720°，则 n＝ ．
7．（2019•株洲）如图所示，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CM 是斜边 AB 上的
中线，E、F 分别为 MB、BC 的中点，若 EF＝1，则 AB＝ ．
中考冲刺
夯实基础
1．（2018•河北）下列图形具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2019•百色）三角形的内角和等于（ ）
A．90° B．180° C．270° D．360°
3．（2019•梧州）正九边形的一个内角的度数是（ ）
A．108° B．120° C．135° D．140°
4．（2019•湘西州）已知一个多边形的内角和是 1080°，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
5．（2019•徐州）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．2，2，4 B．5，6，12 C．5，7，2 D．6，8，10
6．（2019•福建）已知正多边形的一个外角为 36°，则该正多边形的边数为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
7．（2018•南宁）如图，∠ACD 是△ABC 的外角，CE 平分∠ACD，若∠A＝60°，
∠B＝40°，则∠ECD 等于（ ）第 53 页 共 237 页
A．40° B．45° C．50° D．55°
8．（2019•襄阳）如图，直线 BC∥AE，CD⊥AB 于点 D，若∠BCD＝40°，则
∠1 的度数是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
9．（2019•河南）如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D 的度数为（ ）
A．45° B．48° C．50° D．58°
10．（2019•广西）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1 的度数
为（ ）
A．60° B．65° C．75° D．85°
11．（2019•广东模拟）如图，CE⊥AF，垂足为 E，CE 与 BF 交于点 D，∠F＝
50°，∠C＝30°，求∠EDF 和∠DBA 的度数．第 54 页 共 237 页
12．（2019•湛江期末）如图，在△ABC 中，∠B＝40°，∠C＝70°，AD 是△ABC
的角平分线，点 E 在 BD 上，点 F 在 CA 的延长线上，EF∥AD．
（1）求∠BAF 的度数．
（2）求∠F 的度数．
能力提升
13．（2019•莱芜区）如果一个多边形的内角和是外角和的 5 倍，那么这个多边
形的边数是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
14．（2019•自贡）已知三角形的两边长分别为 1 和 4，第三边长为整数，则该三
角形的周长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
15．（2019•鞍山）如图，某人从点 A 出发，前进 8m 后向右转 60°，再前进 8m
后又向右转 60°，按照这样的方式一直走下去，当他第一次回到出发点 A 时，
共走了（ ）
A．24m B．32m C．40m D．48m
16．（2019•青岛）如图，BD 是△ABC 的角平分线，AE⊥BD，垂足为 F．若∠ABC第 55 页 共 237 页
＝35°，∠C＝50°，则∠CDE 的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
17．（2019•益阳）若一个多边形的内角和与外角和之和是 900°，则该多边形的
边数是 ．
18．（2019•鸡西）如图，四边形 OAA1B1 是边长为 1 的正方形，以对角线 OA1
为边作第二个正方形 OA1A2B2，连接 AA2，得到△AA1A2；再以对角线 OA2 为
边作第三个正方形 OA2A3B3，连接 A1A3，得到△A1A2A3；再以对角线 OA3 为边
作第四个正方形，连接 A2A4，得到△A2A3A4，…，记△AA1A2、△A1A2A3、△A2A3A4
的面积分别为 S1、S2、S3，如此下去，则 S2019＝ ．第 56 页 共 237 页
第 12 课 全等三角形
全等三角形仍是平面几何的基础，考纲要求考查两个三角形的全等的判定。近 5 年试题
规律：全等三角形的判定与性质是必考内容，一般以解答题出现或渗透到作图题、图形变换
综合题中，是基础内容，亦是重点内容。
知识清单
知识点一 全等三角形的性质与判定
定义 能够完全重合的两个图形叫做全等形.
全
等
三
角
形
定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等.
判定
(1)三边分别相等的两个三角形全等(SSS)；
(2)两条边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(SAS)；
(3)两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(ASA)；
(4)两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(AAS)；
(5)斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(HL).
知识点二 角的平分线
性质 角的平分线上的点到角两边的距离相等.
判定 到角两边距离相等的点在角的平分线上.
知识点三 线段的垂直平分线
性质 线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
判定 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
课前小测
1．（全等三角形的性质）如图，△OCA≌△OBD，∠1=40°，∠C=110°，则∠D=
（ ）
A．30° B．40° C．50° D．无法确定
2．（三角形的全等性质）如图，△ABC≌△CDA，若 AB=3，BC=4，则四边形
ABCD 的周长是（ ）
A．14 B．11 C．16 D．12第 57 页 共 237 页
3．（三角形的全等判定）如图，已知 MA∥NC，∠A=∠NCD，且 MB=ND，则
△MAB≌△NCD 的理由是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
4．（三角形的全等判定）如图，点 B、E、C、F 在同一条直线上，AB∥DE，
AB=DE，要用 SAS 证明△ABC≌△DEF，可以添加的条件是（ ）
A．∠A=∠D B．AC∥DF C．BE=CF D．AC=DF
5．（角的平分线）如图，OC 平分∠AOB，P 在 OC 上，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB
于 E．若 PD=3cm，则 PE= cm．
经典回顾
考点一 全等三角形
【例 1】（2019•广州）如图，D 是 AB 上一点，DF 交 AC 于点 E，DE＝FE，FC∥AB，
求证：△ADE≌CFE．
【点拔】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是第 58 页 共 237 页
关键，三角形全等的判定方法有：AAS，SSS，SAS．
【例 2】（2019•桂林）如图，AB＝AD，BC＝DC，点 E 在 AC 上．
（1）求证：AC 平分∠BAD；
（2）求证：BE＝DE．
【点拔】熟练运用三角形全等的判定，得出三角形全等，转化边角关系是解
题关键．
考点二 角的平分线
【例 3】（2019•湖州）如图，已知在四边形 ABCD 中，∠BCD＝90°，BD 平分
∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形 ABCD 的面积是（ ）
A．24 B．30 C．36 D．42
【点拔】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅
助线是解题的关键．
对应训练
1．（2019•安顺）如图，点 B、F、C、E 在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那
么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF 的是（ ）
A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝ED D．BF＝EC
2．（2019•邵阳）如图，已知 AD＝AE，请你添加一个条件，使得△ADC≌△AEB，第 59 页 共 237 页
你添加的条件是 ．（不添加任何字母和辅助线）
3．（2019•永州）已知∠AOB＝60°，OC 是∠AOB 的平分线，点 D 为 OC 上一
点，过 D 作直线 DE⊥OA，垂足为点 E，且直线 DE 交 OB 于点 F，如图所示．若
DE＝2，则 DF＝ ．
4．（2019•南通）如图，有一池塘，要测池塘两端 A，B 的距离，可先在平地上
取一个点 C，从点 C 不经过池塘可以直接到达点 A 和 B．连接 AC 并延长到
点 D，使 CD＝CA．连接 BC 并延长到点 E，使 CE＝CB．连接 DE，那么量
出 DE 的长就是 A，B 的距离．为什么？
5．（2019•益阳）已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝70°，∠D＝110°，
求证：△ABC≌△EAD．第 60 页 共 237 页
中考冲刺
夯实基础
1．（2019•成都）如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B
＝ ．
2．（2019•齐齐哈尔）如图，已知在△ABC 和△DEF 中，∠B＝∠E，BF＝CE，
点 B、F、C、E 在同一条直线上，若使△ABC≌△DEF，则还需添加的一个
条件是 （只填一个即可）．
3．（2019•德州）如图，OC 为∠AOB 的平分线，CM⊥OB，OC＝5，OM＝4，
则点 C 到射线 OA 的距离为 ．
4．（2019•铜仁市）如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE．
求证：BD＝CE．
5．（2019•兰州）如图，AB＝DE，BF＝EC，∠B＝∠E，求证：AC∥DF．第 61 页 共 237 页
6．（2019•黄石）如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，E 为边 BC 上的点，且 AB
＝AE，D 为线段 BE 的中点，过点 E 作 EF⊥AE，过点 A 作 AF∥BC，且 AF、
EF 相交于点 F．
（1）求证：∠C＝∠BAD；
（2）求证：AC＝EF．
能力提升
7．（2019•广东模拟）如图所示，在△ABC 中，∠B=∠C=50°，BD=CF，BE=CD，
则∠EDF 的度数是 ．
8．（2019•湛江模拟）如图为 6 个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=
．
9．（2018•广安）如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB 于 C，若 EC
＝1，则 OF＝ ．第 62 页 共 237 页
10．（2019•莱芜区）如图，已知等边△ABC，CD⊥AB 于 D，AF⊥AC，E 为线
段 CD 上一点，且 CE＝AF，连接 BE，BF，EG⊥BF 于 G，连接 DG．
（1）求证：BE＝BF；
（2）试说明 DG 与 AF 的位置关系和数量关系．第 63 页 共 237 页
第 13 课 特殊三角形
等腰三角形、等边三角形和直角三角形问题一直都是初中数学重点内容和难点内容，内
容丰富，题型多样。近 5 年试题规律：有关等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识点
通常渗透到作图题、解答题中综合考查，题目可易可难，非常灵活，还能与图形变换结合在
一起，作为较难的压轴题。
知识清单
知识点一 等腰三角形与等边三角形
等
腰
三
角
形
概念 有两条边相等的三角形是等腰三角形.
性质
(1)等腰三角形是轴对称图形，一般有一条对称轴；
(2)性质 1：等腰三角形的两底角相等(简写成“等边对等角”)；
(3)性质 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互
重合(简写成“三线合一”).
判定 等角对等边.
等
边
三
角
形
概念 有三条边相等的三角形叫做等边三角形.
性质
(1)具有一般等腰三角形的所有性质；
(2)等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于 60°；
(3)等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴.
判定 (1)三个角都相等的三角形是等边三角形；
(2)有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形.
知识点二 直角三角形
概念 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.
性质
(1)直角三角形的两个锐角互余；
(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
(3)在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
(4)勾股定理：在直角三角形中，两条直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方.
判定
(1)有一个角是直角或两个锐角互余的三角形是直角三角形；
(2)如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形为直角三角形；
(3)勾股定理的逆定理：如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三
角形是直角三角形.
课前小测
1．（等腰三角形的性质）已知等腰三角形的顶角为 40°，则这个等腰三角形的
底角为（ ）
A．40° B．70° C．100° D．140°
2．（等腰三角形的性质）已知等腰三角形的两条边长分别为 4 和 8，则它的周
长为（ ）
A．16 B．20 C．16 或 20 D．14第 64 页 共 237 页
3．（等边三角形的性质）已知等边△ABC 的边长是 6，则它的周长是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．3
4．（直角三角形的性质）在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10，则 BC 的
长是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
5．（勾股定理）在直角三角形中，若勾为 3，股为 4，则弦为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
经典回顾
考点一 等腰三角形与等边三角形
【例 1】（2019•重庆）如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于点 D．
（1）若∠C＝42°，求∠BAD 的度数；
（2）若点 E 在边 AB 上，EF∥AC 交 AD 的延长线于点 F．求证：AE＝FE．
【点拔】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，正确的识别图形是
解题的关键．
【例 2】（2019•攀枝花）如图，在△ABC 中，CD 是 AB 边上的高，BE 是 AC 边
上的中线，且 BD＝CE．求证：
（1）点 D 在 BE 的垂直平分线上；
（2）∠BEC＝3∠ABE．第 65 页 共 237 页
【点拔】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三
角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
考点二 直角三角形与勾股定理
【例 3】（2019•广东）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为 1，每个小
正方形的顶点叫格点，△ABC 的三个顶点均在格点上，以点 A 为圆心的 EF 与
BC 相切于点 D，分别交 AB、AC 于点 E、F．
（1）求△ABC 三边的长；
（2）求图中由线段 EB、BC、CF 及 EF 所围成的阴影部分的面积．
【点拔】本题考查了勾股定理和扇形面积的计算，证得△ABC 是等腰直角三角
形是解题的关键．
对应训练
1．（2018•百色）在△OAB 中，∠O＝90°，∠A＝35°，则∠B＝（ ）
A．35° B．55° C．65° D．145°
2．（2019•抚顺）若一个等腰三角形的两边长分别为 2，4，则第三边的长为
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．2 或 4
3．（2019•天水）如图，等边△OAB 的边长为 2，则点 B 的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（1， 3 ） C．（ 3 ，1） D．（ 3 ， 3 ）第 66 页 共 237 页
4．（2019•上海）如图，已知直线 11∥l2，含 30°角的三角板的直角顶点 C 在 l1
上，30°角的顶点 A 在 l2 上，如果边 AB 与 l1 的交点 D 是 AB 的中点，那么∠1
＝ 度．
5．（2019•黔东南州）如图，点 E 在正方形 ABCD 的边 AB 上，若 EB＝1，EC
＝2，那么正方形 ABCD 的面积为 ．
6．（2019•大庆）如图，一艘船由 A 港沿北偏东 60°方向航行 10km 至 B 港，然
后再沿北偏西 30°方向航行 10km 至 C 港．
（1）求 A，C 两港之间的距离（结果保留到 0.1km，参考数据： 2 ≈1.414，
3 ≈1.732）；
（2）确定 C 港在 A 港的什么方向．第 67 页 共 237 页
中考冲刺
夯实基础
1．（2018•南通）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．2，3，4 C．4，6，7 D．5，11，12
2．（2019•盐城）如图，点 D、E 分别是△ABC 边 BA、BC 的中点，AC＝3，则
DE 的长为（ ）
A．2 B． 4
3 C．3 D． 3
2
3．（2019•兰州）在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠B＝ °．
4．（2019•广安）等腰三角形的两边长分别为 6cm，13cm，其周长为 cm．
5．（2019•怀化）若等腰三角形的一个底角为 72°，则这个等腰三角形的顶角为
．
6．（2019•绥化）如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 D 在 AC 上，且 BD＝BC＝
AD，则∠A＝ 度．
7．（2019•大连）如图，△ABC 是等边三角形，延长 BC 到点 D，使 CD＝AC，
连接 AD．若 AB＝2，则 AD 的长为 ．
8．（2018•南通）如图，沿 AC 方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的
另一边同时施工，从 AC 上的一点 B 取∠ABD＝120°，BD＝520m，∠D＝30°．那
么另一边开挖点 E 离 D 多远正好使 A，C，E 三点在一直线上（ 取 1.732，第 68 页 共 237 页
结果取整数）？
能力提升
9．（2019•成都）将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在起，若
∠1＝30°，则∠2 的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．30°
10．（2019•衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借
助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的
棒 OA，OB 组成，两根棒在 O 点相连并可绕 O 转动、C 点固定，OC＝CD＝
DE，点 D、E 可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE 的度数是（ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
11．（2019•毕节市）如图，以△ABC 的顶点 B 为圆心，BA 长为半径画弧，交
BC 边于点 D，连接 AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC 的大小为 34 度．
12．（2019•东营）已知等腰三角形的底角是 30°，腰长为 2 ，则它的周长是 ．
13．（2019•毕节市）三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图
放置，点 C 在 FD 的延长线上，点 B 在 ED 上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，第 69 页 共 237 页
∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则 CD 的长度是 ．
14．（2019•杭州）如图，在△ABC 中，AC＜AB＜BC．
（1）已知线段 AB 的垂直平分线与 BC 边交于点 P，连接 AP，求证：∠APC
＝2∠B．
（2）以点 B 为圆心，线段 AB 的长为半径画弧，与 BC 边交于点 Q，连接 AQ．若
∠AQC＝3∠B，求∠B 的度数．第 70 页 共 237 页
第 14 课 相似三角形
本节内容考纲要求考查相似三角形的性质和判定，是初中数学的难点内容。近 5 年试题
规律：相似三角形通常与平行四边形、解直角三角形、圆、二次函数等问题综合考查，但选
择、填空题往往是简单的。
知识清单
知识点一 相似图形的有关概念
相似图形 形状相同的图形称为相似图形.
相似
多边形
两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边
形叫做相似多边形.
相似比 相似多边形对应边的比叫做相似比.
相似
三角形
两个三角形的三个角分别相等，三条边成比例，则这两个三角形相似．当相似
比等于 1 时，这两个三角形全等.
知识点二 比例线段
比
例
线
段
定义 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线
段叫做成比例线段.
基本
性质
若a
b
＝c
d
，则 ad＝bc. 当 b＝c 时，b2＝ad，那么 b 是 a、d 的比例中项.
知识点三 平行线分线段成比例
基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比
例.
知识点四 相似三角形的判定
判定 1 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
判定 2 三边成比例的两个三角形相似.
判定 3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
判定 4 两角分别相等的两个三角形相似.
判定 5 满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.
知识点五 相似三角形的性质
性质 1 相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
性质 2
相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和周长的比都等于
相似比.
性质 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方.
知识点六 位似
定义 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的
两个图形叫做位似图形．这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.
性质
(1)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比(位似比)；
(2)在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形
上的对应点的坐标的比等于 k 或﹣k.
课前小测第 71 页 共 237 页
1．（相似图形）若一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，则此三角形的周长
扩大为原来的 倍．
2．（相似三角形的性质）两三角形的相似比是 2：3，则其面积之比是（ ）
A． 2 ： 3 B．2：3 C．4：9 D．8：27
3．（相似三角形的性质）如图，已知△ADE∽△ABC，若∠ADE=37°，则
∠B= ．
4．（相似三角形的判定）如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，
下列条件中不能判断△ABC∽△AED 的是（ ）
A．∠AED=∠B B．∠ADE=∠C C． AD
AC = AE
AB D． AD
AB = AE
AC
5．（相似三角形的应用）如图，在同一时刻，身高 1.6 米的小丽在阳光下的影
长为 2.5 米，一棵大树的影长为 5 米，则这棵树的高度为（ ）
A．1.5 米 B．2.3 米 C．3.2 米 D．7.8 米
经典回顾
考点一 相似三角形的性质
【例 1】（2018•广东）在△ABC 中，点 D、E 分别为边 AB、AC 的中点，则△ADE
与△ABC 的面积之比为（ ）
A． 1
2 B． 1
3 C． 1
4 D． 1
6
【点拨】利用三角形的中位线定理找出 DE∥BC 是解题的关键．第 72 页 共 237 页
考点二 相似三角形的判定
【例 2】（2019•雅安）如图，每个小正方形的边长均为 1，则下列图形中的三角
形（阴影部分）与△A1B1C1 相似的是（ ）
A． B． C． D．
【点拔】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是学会利用数形结合的思
想解决问题，属于中考常考题型．
考点三 相似三角形的应用
【例 3】（2018•临沂）如图．利用标杆 BE 测量建筑物的高度．已知标杆 BE 高
1.2m，测得 AB=1.6m．BC=12.4m．则建筑物 CD 的高是（ ）
A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m
【点拨】用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
考点四 位似图形
【例 4】（2019•河池）如图，以点 O 为位似中心，将△OAB 放大后得到△OCD，
OA＝2，AC＝3，则 AB
CD
＝ ．
【点拔】此题主要考查了位似变换，正确得出对应边的比值是解题关键．
对应训练
1．（2015•广东）若两个相似三角形的周长比为 2：3，则它们的面积比是 ．第 73 页 共 237 页
2．（2019•内江）如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD＝9，DB＝3，CE＝2，则
AC 的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．（2019•重庆）如图，△ABO∽△CDO，若 BO＝6，DO＝3，CD＝2，则 AB
的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2019•本溪）在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别是 A（4，2），B
（5，0），以点 O 为位似中心，相似比为 1
2
，把△ABO 缩小，得到△A1B1O，
则点 A 的对应点 A1 的坐标为 ．
5．（2019•吉林）在某一时刻，测得一根高为 1.8m 的竹竿的影长为 3m，同时同
地测得一栋楼的影长为 90m，则这栋楼的高度为 m．
6．（2019•黄冈）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，以 AC 为直径的⊙O 交
AB 于点 D，过点 D 作⊙O 的切线交 BC 于点 E，连接 OE．
（1）求证：△DBE 是等腰三角形；
（2）求证：△COE∽△CAB．
中考冲刺
夯实基础
1．（2019•常州）若△ABC～△A′B'C′，相似比为 1：2，则△ABC 与△A'B′C'的周第 74 页 共 237 页
长的比为（ ）
A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4
2．（2019•玉林）如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF 与 AC 交于点 G，则是相
似三角形共有（ ）
A．3 对 B．5 对 C．6 对 D．8 对
3．（2019•常德）如图，在等腰三角形△ABC 中，AB＝AC，图中所有三角形均
相似，其中最小的三角形面积为 1，△ABC 的面积为 42，则四边形 DBCE 的
面积是（ ）
A．20 B．22 C．24 D．26
4．（2019•淮安）如图，l1∥l2∥l3，直线 a、b 与 l1、l2、l3 分别相交于点 A、B、
C 和点 D、E、F．若 AB＝3，DE＝2，BC＝6，则 EF＝ ．
5．（2019•滨州）在平面直角坐标系中，△ABO 三个顶点的坐标分别为 A（﹣2，
4），B（﹣4，0），O（0，0）．以原点 O 为位似中心，把这个三角形缩小
为原来的 1
2
，得到△CDO，则点 A 的对应点 C 的坐标是 ．
6．（2019•黔东南州）如图，在一斜边长 30cm 的直角三角形木板（即 Rt△ACB）
中截取一个正方形 CDEF，点 D 在边 BC 上，点 E 在斜边 AB 上，点 F 在边
AC 上，若 AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形 CDEF 后，剩余部分的面
积为（ ）第 75 页 共 237 页
A．200cm2 B．170cm2 C．150cm2 D．100cm2
能力提升
7．（2019•张家界）如图，在平行四边形 ABCD 中，连接对角线 AC，延长 AB
至点 E，使 BE＝AB，连接 DE，分别交 BC，AC 交于点 F，G．
（1）求证：BF＝CF；
（2）若 BC＝6，DG＝4，求 FG 的长．
8．（2019•湘西州）如图，△ABC 内接于⊙O，AC＝BC，CD 是⊙O 的直径，与
AB 相交于点 G，过点 D 作 EF∥AB，分别交 CA、CB 的延长线于点 E、F，
连接 BD．
（1）求证：EF 是⊙O 的切线；
（2）求证：BD2＝AC•BF．
9．（2019•娄底）如图，点 D 在以 AB 为直径的⊙O 上，AD 平分∠BAC，DC⊥AC，
过点 B 作⊙O 的切线交 AD 的延长线于点 E．
（1）求证：直线 CD 是⊙O 的切线．
（2）求证：CD•BE＝AD•DE．第 76 页 共 237 页
第 15 课 解直角三角形
本节内容考纲要求考查锐角三角函数值，解直角三角形及应用，是初中数学热点问题。
近 5 年试题规律：含有特殊角的三角函数值的混合运算是中考重点内容，解直角三角形在实
际问题中的应用是中考重点内容，也是必考内容，求宽度和高度问题总是轮流考。
知识清单
知识点一 锐角三角函数的概念
正弦 sin A＝∠A 的对边
斜边
＝a
c
余弦 cos A＝∠A 的邻边
斜边
＝b
c
正切 tan A＝∠A 的对边
∠A 的邻边
＝a
b
知识点二 特殊角的三角函数值
三角函数 30° 45° 60°
sin α 1
2
2
2
3
2
cos α 3
2
2
2
1
2
tan α 3
3 1 3
知识点三 解直角三角形
三边关系 a2＋b2＝c2
两锐角关系 ∠A＋∠B＝90°
边角关系
sin A＝cos B＝a
c
cos A＝sin B＝b
c
tan A＝a
b
，tan B＝b
a
知识点四 解直角三角形的应用
方位角 方位线与方向标(上北下南，左西右东)偏离的角度.
仰角、俯角 视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线的上方时为仰角，视线在水平线
的下方时为俯角.
坡度 坡度 i＝tanα＝铅垂距离
水平距离
解 直 角 三 角
形 应 用 的 方
法及步骤
(1)根据题意将实际问题抽象为解直角三角形的数学问题，画出平面几何图
形，弄清已知条件中各量之间的关系；
(2)若三角形是直角三角形，根据边角关系进行计算．若三角形不是直角三
角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决；
(3)解直角三角形的应用题，最后的计算结果常要取近似值，要注意按照精第 77 页 共 237 页
确度的要求正确取值.
课前小测
1．（特殊三角函数值）sin60°=（ ）
A． 3 B． 3
2 C． 3
3 D． 1
2
2．（锐角三角函数的定义）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则 sinA
的值为（ ）
A． 5
13 B．12
13 C． 5
12 D．12
5
3．（锐角三角函数的定义）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4，那么 cosA
的值等于（ ）
A． 3
4 B． 4
3 C． 3
5 D． 4
5
4．（解直角三角形）在△ABC 中，∠C=90°，AB=6，cosA= 1
3
，则 AC 等于（ ）
A．18 B．2 C． 1
2 D． 1
18
5．（解直角三角形的应用）如图，为了测量河岸 A、B 两点的距离，在与 AB 垂
直的方向点 C 处测得 AC=a，∠ACB=50°，那么 AB 等于（ ）
A．asin50° B．atan50° C．acos50° D．
tan50
a
°
经典回顾
考点一 锐角三角函数
【例 1】（2016•广东）如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（4，3），
那么 cosα的值是（ ）第 78 页 共 237 页
A． 3
4 B． 4
3 C． 3
5 D． 4
5
【点拨】本题考查了锐角三角函数的定义，坐标与图形性质，勾股定理，熟记概
念并准确识图求出 OA 的长度是解题的关键．
考点二 特殊三角函数值
【例 2】（2019•怀化）已知∠α为锐角，且 sinα＝ ，则∠α＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【点拔】此题考查的是特殊角的三角函数值，是需要记忆的内容．
考点三 解直角三角形
【例 3】（2019•广东）如图，某校教学楼 AC 与实验楼 BD 的水平间距 CD＝15
米，在实验楼顶部 B 点测得教学楼顶部 A 点的仰角是 30°，底部 C 点的俯角
是 45°，则教学楼 AC 的高度是 米（结果保留根号）．
【点拔】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角
三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
对应训练
1．（2019•天津）2sin60°的值等于（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
2．（2019•雅安）在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则 sinA＝ ．
3．（2019•乐山）如图，在△ABC 中，∠B＝30°，AC＝2，cosC＝ 3
5
．则 AB 边第 79 页 共 237 页
的长为 ．
4．（2019•临沂）鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方
计划沿 AC 方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧 D（A、C、D
共线）处同时施工．测得∠CAB＝30°，AB＝4km，∠ABD＝105°，求 BD 的长．
中考冲刺
夯实基础
1．（2018•大庆）2cos60°＝（ ）
A．1 B． 3 C． 2 D． 1
2
2．（2019•宜昌）如图，在 5×4 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，
△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则 sin∠BAC 的值为（ ）
A． 4
3 B． 3
4 C． 3
5 D． 4
5
3．（2019•广州）如图，有一斜坡 AB，坡顶 B 离地面的高度 BC 为 30m，斜坡
的倾斜角是∠BAC，若 tan∠BAC＝ 2
5
，则此斜坡的水平距离 AC 为（ ）第 80 页 共 237 页
A．75m B．50m C．30m D．12m
4．（2019•湘西州）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝12，AB 的垂直平分线
EF 交 AC 于点 D，连接 BD，若 cos∠BDC＝ 5
7
，则 BC 的长是（ ）
A．10 B．8 C．4 3 D．2 6
5．（2019•苏州）如图，小亮为了测量校园里教学楼 AB 的高度，将测角仪 CD
竖直放置在与教学楼水平距离为 18 3 m 的地面上，若测角仪的高度是
1.5m．测得教学楼的顶部 A 处的仰角为 30°．则教学楼的高度是（ ）
A．55.5m B．54m C．19.5m D．18m
6．（2019•湘潭）我国于 2019 年 6 月 5 日首次完成运载火箭海上发射，这标志
着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站
点 M 处垂直海面发射，当火箭到达点 A 处时，海岸边 N 处的雷达站测得点 N
到点 A 的距离为 8 千米，仰角为 30°．火箭继续直线上升到达点 B 处，此时
海岸边 N 处的雷达测得 B 处的仰角增加 15°，求此时火箭所在点 B 处与发射
站点 M 处的距离．（结果精确到 0.1 千米）（参考数据： 2 ≈1.41， 3 ≈1.73）第 81 页 共 237 页
能力提升
7．（2019•凉山州）如图，在△ABC 中，CA＝CB＝4，cosC＝ 1
4
，则 sinB 的值
为（ ）
A． 10
2 B． 15
2 C． 6
4 D． 10
4
8．（2019•徐州）如图，无人机于空中 A 处测得某建筑顶部 B 处的仰角为 45°，
测得该建筑底部 C 处的俯角为 17°．若无人机的飞行高度 AD 为 62m，则该建
筑的高度 BC 为 m．
（参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）
9．（2019•营口）如图，A，B 两市相距 150km，国家级风景区中心 C 位于 A 市
北偏东 60°方向上，位于 B 市北偏西 45°方向上．已知风景区是以点 C 为圆心、第 82 页 共 237 页
50km 为半径的圆形区域．为了促进旅游经济发展，有关部门计划修建连接 A，
B 两市的高速公路，高速公路 AB 是否穿过风景区？通过计算加以说明．（参
考数据： 3 ≈1.73）
10．（2019•西藏）由我国完全自主设计，自主建造的首艘国产航母于 2018 年 5
月成功完成首次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达 B 处时，测
得小岛 A 在北偏东 60°方向上，航行 20 海里到达 C 点，这时测得小岛 A 在北
偏东 30°方向上，小岛 A 周围 10 海里内有暗礁，如果航母不改变航线继续向
东航行，有没有触礁危险？请说明理由．第 83 页 共 237 页
第四单元 四边形
第 16 课 平行四边形
平行四边形是四边形中应用广泛的一种图形，它是研究特殊四边形的基础，是研究线段
和直线平等的根据之一。近 5 年试题规律：常以选择、填空题考查四边形的性质与判定，属
于基础题；但与折叠、旋转、圆、函数等问题结合在一起考查，却有难度，特别地，平行四
边形是必考内容。
知识清单
知识点一 平行四边形的性质
序号 平行四边形的性质
1 平行四边形的对边平行且相等.
2 平行四边形的对角相等.
3 平行四边形的对角线互相平分.
4 平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点.
知识点二 平行四边形的判定方法
序号 平行四边形的判定方法
1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法).
2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
3 两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
4 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
5 对角线平分的四边形是平行四边形.
课前小测
1．（平行四边形的性质）在ABCD 中，∠A=50°，则∠C 为（ ）
A．40° B．50° C．130° D．140°
2．（平行四边形的性质）已知ABCD 的周长为 24，AB=5，则 BC=（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（平行四边形的性质）平行四边形的对角线（ ）
A．相等 B．不相等 C．互相平分 D．互相垂直
4．（平行四边形的判定）能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相垂直且相等 D．对角线互相平分
5．（平行四边形的判定）四边形 ABCD 中，下列条件不能判定四边形 ABCD 是
平行四边形的是（ ）第 84 页 共 237 页
A．AB∥CD，AD∥BC B．AB∥CD，AB=CD
C．AB=CD，AD=BC D．AD∥BC，AB=CD
经典回顾
考点一 平行四边形的性质
【例 1】已知：如图，在□ABCD 中，点 E、F 分别是边 AD、BC 的中点．求证：
BE＝DF．
【点拔】此题考查了平行四边形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数
形结合思想的应用．
考点二 平行四边形的判定
【例 2】（2019•柳州）平行四边形的其中一个判定定理是：两组对边分别相等的
四边形是平行四边形．请你证明这个判定定理．
已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB＝CD，AD＝BC．
求证：四边形 ABCD 是平行四边形．
证明：
【点拔】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判
定；熟练掌握平行四边形的判定定理，证明三角形全等是解题的关键．
对应训练
1．（2019•泸州）四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，下列四组条件
中，一定能判定四边形 ABCD 为平行四边形的是（ ）第 85 页 共 237 页
A．AD∥BC B．OA＝OC，OB＝OD
C．AD∥BC，AB＝DC D．AC⊥BD
2．（2019•湘潭）如图，在四边形 ABCD 中，若 AB＝CD，则添加一个条件 ，
能得到平行四边形 ABCD．（不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件
即可）
3．（2019•吉林）如图，在□ABCD 中，点 E 在边 AD 上，以 C 为圆心，AE 长
为半径画弧，交边 BC 于点 F，连接 BE、DF．求证：△ABE≌△CDF．
4．（2019•郴州）如图，□ABCD 中，点 E 是边 AD 的中点，连接 CE 并延长交
BA 的延长线于点 F，连接 AC，DF．求证：四边形 ACDF 是平行四边形．
中考冲刺
夯实基础
1．（2018•黔西南州）如图，在□ABCD 中，已知 AC＝4cm，若△ACD 的周长
为 13cm，则□ABCD 的周长为（ ）第 86 页 共 237 页
A．26cm B．24cm C．20cm D．18cm
2．（2018•绥化）下列选项中，不能判定四边形 ABCD 是平行四边形的是（ ）
A．AD∥BC，AB∥CD B．AB∥CD，AB＝CD
C．AD∥BC，AB＝DC D．AB＝DC，AD＝BC
3．（2019•河池）如图，在△ABC 中，D，E 分别是 AB，BC 的中点，点 F 在
DE 延长线上，添加一个条件使四边形 ADFC 为平行四边形，则这个条件是
（ ）
A．∠B＝∠F B．∠B＝∠BCF C．AC＝CF D．AD＝CF
4．（2019•福建）在平面直角坐标系 xOy 中，□OABC 的三个顶点 O（0，0）、
A（3，0）、B（4，2），则其第四个顶点是 ．
5．（2019•达州）如图，□ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E 是 AB 的
中点，△BEO 的周长是 8，则△BCD 的周长为 ．
6．（2019•鸡西）如图，在四边形 ABCD 中，AD＝BC，在不添加任何辅助线的
情况下，请你添加一个条件 ，使四边形 ABCD 是平行四边形．
7．（2019•广安）如图，点 E 是□ABCD 的 CD 边的中点，AE、BC 的延长线交
于点 F，CF＝3，CE＝2，求□ABCD 的周长．第 87 页 共 237 页
8．（2019•遂宁）如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，延长 BC 到 E，使 CE＝
BC，连接 AE 交 CD 于点 F，点 F 是 CD 的中点．求证：
（1）△ADF≌△ECF．
（2）四边形 ABCD 是平行四边形．
能力提升
9．（2019•遂宁）如图，□ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，OE⊥BD 交
AD 于点 E，连接 BE，若□ABCD 的周长为 28，则△ABE 的周长为（ ）
A．28 B．24 C．21 D．14
10．（2019•广州）如图，□ABCD 中，AB＝2，AD＝4，对角线 AC，BD 相交于
点 O，且 E，F，G，H 分别是 AO，BO，CO，DO 的中点，则下列说法正确
的是（ ）
A．EH＝HG
B．四边形 EFGH 是平行四边形
C．AC⊥BD第 88 页 共 237 页
D．△ABO 的面积是△EFO 的面积的 2 倍
11．（2019•梧州）如图，□ABCD 中，∠ADC＝119°，BE⊥DC 于点 E，DF⊥BC
于点 F，BE 与 DF 交于点 H，则∠BHF＝ 度．
12．（2017•抚顺）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合
部分构成了一个四边形 ABCD，当线段 AD＝3 时，线段 BC 的长为 ．
13．（2019•本溪）如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AD⊥CD，∠B＝45°，
延长 CD 到点 E，使 DE＝DA，连接 AE．
（1）求证：AE＝BC；
（2）若 AB＝3，CD＝1，求四边形 ABCE 的面积．
14．（2019•贵阳）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，延长 AD 至点 E，使 DE
＝AD，连接 BD．
（1）求证：四边形 BCED 是平行四边形；
（2）若 DA＝DB＝2，cosA＝ 1
4
，求点 B 到点 E 的距离．第 89 页 共 237 页
第 17 课 特殊的平行四边形
本节内容考纲要求考查矩形、菱形、正方形的性质与判定，是初中数学中的难点问题。
近 5 年试题规律：单独考查矩形、菱形、正方形的性质试题很少出现，近几年，对本节内容，
作了删减，梯形不再考查，试题难度也有所下降。
知识清单
知识点一 矩形
定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
性质
(1)矩形具有平行四边形的所有的性质；
(2)矩形的四个角都是直角，对角线互相平分并且相等；
(3)矩形既是一个轴对称图形，它有两条对称轴；又是中心对称图形，它的对
称中心就是对角线的交点.
判定
(1)定义法；
(2)有三个角是直角的四边形是矩形；
(3)对角线相等的平行四边形是矩形.
知识点二 菱形
定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
性质
(1)菱形具有平行四边形的所有性质；
(2)菱形的四条边都相等，对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角；
(3)菱形既是一个轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；又是中
心对称图形，它的对称中心就是对角线的交点；
(4)菱形的面积等于对角线乘积的一半.
判定
(1)定义法；
(2)四条边都相等的四边形是菱形；
(3)对角线垂直的平行四边形是菱形.
知识点三 正方形
定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
性质
(1)正方形的四条边相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，并
且每一条对角线平分一组对角，具有矩形和菱形的所有性质；
(2)正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴有四条，对称中心是对
角线的交点.
判定
(1)有一组邻边相等的矩形是正方形；
(2)有一个角是直角的菱形是正方形；
(3)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
课前小测
1．（矩形的性质）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角相等
2．（菱形的性质）菱形不具备的性质是（ ）第 90 页 共 237 页
A．四条边都相等 B．对角线相等
C．是轴对称图形 D．是中心对称图形
3．（菱形的性质）如果菱形的一边长是 8，那么它的周长是（ ）
A．16 B．32 C．16 3 D．32 3
4．（矩形的性质）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，AC=10，
则 OD 的长为（ ）
A． 5
2 B．5 C．5 2 D．10
5．（正方形的性质）正方形的边长是 1，它的对角线长为（ ）
A．1 B．2 C． 2 D．3
经典回顾
考点一 矩形
【例 1】（2018•广东）如图，矩形 ABCD 中，AB＞AD，把矩形沿对角线 AC 所
在直线折叠，使点 B 落在点 E 处，AE 交 CD 于点 F，连接 DE．
（1）求证：△ADE≌△CED；
（2）求证：△DEF 是等腰三角形．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、翻折变换以及矩形的性质，解题
的关键是：（1）根据矩形的性质结合折叠的性质找出 AD=CE、AE=CD；（2）
利用全等三角形的性质找出∠DEF=∠EDF．
考点二 菱形
【例 2】（2019•聊城）在菱形 ABCD 中，点 P 是 BC 边上一点，连接 AP，点 E，第 91 页 共 237 页
F 是 AP 上的两点，连接 DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF．
求证：（1）△ABF≌△DAE；
（2）DE＝BF+EF．
【点拔】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性
质是解题的关键．
考点三 正方形
【例 3】（2019•甘肃）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 的中点，连接 DE，
过点 A 作 AG⊥ED 交 DE 于点 F，交 CD 于点 G．
（1）证明：△ADG≌△DCE；
（2）连接 BF，证明：AB＝FB．
【点拔】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应
用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适
当辅助线构造三角形．
对应训练
1．（2019•岳阳）如图，在菱形 ABCD 中，点 E、F 分别为 AD、CD 边上的点，
DE＝DF，求证：∠1＝∠2．第 92 页 共 237 页
2．（2019•贺州）如图，在矩形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，AD 边上的点，且
AE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当 AC⊥EF 时，四边形 AECF 是菱形吗？请说明理由．
3．（2019•黄冈）如图，ABCD 是正方形，E 是 CD 边上任意一点，连接 AE，作
BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为 F，G．求证：BF﹣DG＝FG．
中考冲刺
夯实基础
1．（2019•赤峰）如图，菱形 ABCD 周长为 20，对角线 AC、BD 相交于点 O，E
是 CD 的中点，则 OE 的长是（ ）
A．2.5 B．3 C．4 D．5
2．如图，在正方形 ABCD 的外侧，作等边△ABE，则∠BED 为（ ）第 93 页 共 237 页
A．15° B．35° C．45° D．55°
3．（2019•广州）如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线 EF 分别交 BC，
AD 于点 E，F，若 BE＝3，AF＝5，则 AC 的长为（ ）
A．4 5 B．4 3 C．10 D．8
4．（2019•十堰）如图，已知菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，E 为 BC
的中点，若 OE＝3，则菱形的周长为 ．
5．（2019•徐州）如图，矩形 ABCD 中，AC、BD 交于点 O，M、N 分别为 BC、
OC 的中点．若 MN＝4，则 AC 的长为 ．
6．（2019•菏泽）如图，E，F 是正方形 ABCD 的对角线 AC 上的两点，AC＝8，
AE＝CF＝2，则四边形 BEDF 的周长是 ．
7．（2019•内江）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 上的一点，点 F 是 CD
延长线上的一点，且 BE＝DF，连结 AE、AF、EF．第 94 页 共 237 页
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若 AE＝5，请求出 EF 的长．
8．（2019•宁波）如图，矩形 EFGH 的顶点 E，G 分别在菱形 ABCD 的边 AD，
BC 上，顶点 F，H 在菱形 ABCD 的对角线 BD 上．
（1）求证：BG＝DE；
（2）若 E 为 AD 中点，FH＝2，求菱形 ABCD 的周长．
能力提升
9．（2016•广东）如图，正方形 ABCD 的面积为 1，则以相邻两边中点连线 EF
为边正方形 EFGH 的周长为（ ）
A． 2 B．2 2 C． 2 +1 D．2 2 +1
10．（2017•广东）如图，已知正方形 ABCD，点 E 是 BC 边的中点，DE 与 AC
相交于点 F，连接 BF，下列结论：①S△ABF＝S△ADF；②S△CDF＝4S△CEF；③S△ADF
＝2S△CEF；④S△ADF＝2S△CDF，其中正确的是（ ）第 95 页 共 237 页
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
11．（2019•广东）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，延长 CB 至 E 使 EB＝2，以
EB 为边在上方作正方形 EFGB，延长 FG 交 DC 于 M，连接 AM，AF，H 为
AD 的 中 点 ， 连 接 FH 分 别 与 AB ， AM 交 于 点 N 、 K ： 则 下 列 结 论 ：
①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；④S△AFN：S△ADM＝1：4．其
中正确的结论有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
12．（2019•潍坊）如图，正方形 ABCD 的边 CD 在正方形 ECGF 的边 CE 上，
连接 DG，过点 A 作 AH∥DG，交 BG 于点 H．连接 HF，AF，其中 AF 交 EC
于点 M．
（1）求证：△AHF 为等腰直角三角形．
（2）若 AB＝3，EC＝5，求 EM 的长．第 96 页 共 237 页
第五单元 函数
第 18 课 函数基础知识
本节内容考纲要求考查函数有关概念，包括函数概定义、自变量的取值范围、函数的图
象等，能要根据具体问题，分析图象之间的变量关系。近 5 年试题规律：常考点有函数的自
变量取值范围，动态问题的函数图象判别是选择压轴题，近几年出现频率较高。
知识清单
知识点一 平面直角坐标系
定义 平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系．坐标平面
内的点与有序数对一一对应.
坐标系内点
的坐标特征
第一象限(＋，＋)；第二象限(－，＋)；
第三象限(－，－)；第四象限(＋，－).
坐标轴上点
的坐标特征
x 轴负半轴(－，0)；x 轴正半轴(＋，0)；
y 轴负半轴(0，－)；y 轴正半轴(0，＋).
象限角平分线
上点坐标特征
一、三象限角平分线上的点，横坐标与纵坐标相等；
二、四象限角平分线上的点，横坐标与纵坐标互为相反数.
知识点二 点到坐标轴以及原点的距离
到 x 轴的距离 点 P(a，b)到 x 轴的距离为 b .
到 y 轴的距离 点 P(a，b)到 y 轴的距离为 a .
知识点三 平移与对称点的坐标
点的平移 将点 P(x，y)向右(或向左)平移 a 个单位，得对应点坐标为(x±a，y)；
将点 P(x，y)向上(或向下)平移 b 个单位，得对应点坐标为(x，y±b).
对称规律
点 P(x，y)关于 x 轴的对称点坐标为(x，－y)；
点 P(x，y)关于 y 轴的对称点坐标为(－x，y).
点 P(x，y)关于原点对称的点坐标为(－x，－y).
知识点四 函数的有关概念
概念 一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量 x 和 y，如果对于 x 的每一
个值，y 都有唯一的值与之对应，那么 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量.
表示方法 列表法、图象法、解析法.
自变量
(1)函数解析式是整式，自变量取值是全体实数；
(2)函数解析式是分式，自变量取值使得分母不等于 0；
(3)函数解析式是偶次根式，自变量要使得被开方数为非负数；
(4)来源于实际问题的函数，自变量要使得实际问题、式子有意义.
课前小测
1．（点的规律）在平面直角坐标系中，点 A（﹣2，4）位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限第 97 页 共 237 页
2．（点的规律）点 P（4，﹣3）到 y 轴的距离是（ ）
A．4 B．3 C．﹣3 D．5
3．（函数的概念）下列各式中，y 不是 x 的函数的是（ ）
A．y=|x| B．y=x C．y=﹣x+1 D．y=±x
4．（自变量取值范围）函数 y= 1
1x - 中，自变量 x 的取值范围是（ ）
A．x≠0 B．x＜1 C．x＞1 D．x≠1
5．（函数的关系式）一个矩形的面积为 20cm，相邻两边长分别为 xcm 和 ycm，
那么 y 与 x 的关系式是（ ）
A．y=20x B．y= 20
x C．y=20﹣x D．y= 20
x
经典回顾
考点一 点的坐标
【例 1】（2016•广东）在平面直角坐标系中，点 P（﹣2，﹣3）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【点拔】象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；
第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
考点二 函数自变量的取值范围
【例 2】（2019•内江）在函数 y＝ 1
3x + 4 x 中，自变量 x 的取值范围是（ ）
A．x＜4 B．x≥4 且 x≠﹣3 C．x＞4 D．x≤4 且 x≠﹣3
【点拔】本题考查的是函数自变量的取值范围，掌握分式有意义的条件、二
次根式有意义的条件是解题的关键．
考点三 函数的图象
【例 3】（2018•广东）如图，点 P 是菱形 ABCD 边上的一动点，它从点 A 出发
沿在 A→B→C→D 路径匀速运动到点 D，设△PAD 的面积为 y，P 点的运动时
间为 x，则 y 关于 x 的函数图象大致为（ ）第 98 页 共 237 页
A． B．
C． D．
【点拔】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，根据点 P 的位置的
不同，分三段求出△PAD 的面积的表达式是解题的关键．
对应训练
1．（2016•广东）在平面直角坐标系中，点 P（﹣2，﹣3）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2019•无锡）函数 y＝ 2 1x 中的自变量 x 的取值范围是（ ）
A．x≠ 1
2 B．x≥1 C．x＞ 1
2 D．x≥ 1
2
3．（2019•黄冈）已知林茂的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反
映的过程是：林茂从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店
买笔，然后再走回家．图中 x 表示时间，y 表示林茂离家的距离．依据图中的
信息，下列说法错误的是（ ）
A．体育场离林茂家 2.5km
B．体育场离文具店 1km
C．林茂从体育场出发到文具店的平均速度是 50m/min
D．林茂从文具店回家的平均速度是 60m/min
4．（2015•广东）如图，已知正△ABC 的边长为 2，E、F、G 分别是 AB、BC、
CA 上的点，且 AE＝BF＝CG，设△EFG 的面积为 y，AE 的长为 x，则 y 关于第 99 页 共 237 页
x 的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2016•广东）如图，在正方形 ABCD 中，点 P 从点 A 出发，沿着正方形的
边顺时针方向运动一周，则△APC 的面积 y 与点 P 运动的路程 x 之间形成的
函数关系图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
中考冲刺
夯实基础
1．（2019•株洲）在平面直角坐标系中，点 A（2，﹣3）位于哪个象限？（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限第 100 页 共 237 页
2．（2019•岳阳）函数 y＝ 2x
x
中，自变量 x 的取值范围是（ ）
A．x≠0 B．x＞﹣2 C．x＞0 D．x≥﹣2 且 x≠0
3．（2019•柳州）已知 A、B 两地相距 3 千米，小黄从 A 地到 B 地，平均速度为
4 千米/小时，若用 x 表示行走的时间（小时），y 表示余下的路程（千米），
则 y 关于 x 的函数解析式是（ ）
A．y＝4x（x≥0） B．y＝4x﹣3（x≥ 3
4
）
C．y＝3﹣4x（x≥0） D．y＝3﹣4x（0≤x≤ 3
4
）
4．（2019•赤峰）如图是九年级某考生做的水滴入一个玻璃容器的示意图（滴水
速度保持不变），能正确反映容器中水的高度（h）与时间（t）之间对应关系
的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2019•资阳）爷爷在离家 900 米的公园锻炼后回家，离开公园 20 分钟后，
爷爷停下来与朋友聊天 10 分钟，接着又走了 15 分钟回到家中．下面图形中
表示爷爷离家的距离 y（米）与爷爷离开公园的时间 x（分）之间的函数关系
是（ ）
A． B．第 101 页 共 237 页
C． D．
6．（2018•临安区）P（3，﹣4）到 x 轴的距离是 ．
7．（2019•上海）已知 f（x）＝x2﹣1，那么 f（﹣1）＝ ．
8．（2019•上海）在登山过程中，海拔每升高 1 千米，气温下降 6℃，已知某登
山大本营所在的位置的气温是 2℃，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高
x 千米时，所在位置的气温是 y℃，那么 y 关于 x 的函数解析式是 ．
能力提升
9．（2019•甘肃）已知点 P（m+2，2m﹣4）在 x 轴上，则点 P 的坐标是（ ）
A．（4，0） B．（0，4） C．（﹣4，0） D．（0，﹣4）
10．（2019•重庆）根据如图所示的程序计算函数 y 的值，若输入 x 的值是 7，则
输出 y 的值是﹣2，若输入 x 的值是﹣8，则输出 y 的值是（ ）
A．5 B．10 C．19 D．21
11．（2019•菏泽）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原
点 O 出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动 1
个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点 A1，第二次移动到点
A2……第 n 次移动到点 An，则点 A2019 的坐标是（ ）
A．（1010，0） B．（1010，1） C．（1009，0） D．（1009，1）
12．（2019•河池）如图，△ABC 为等边三角形，点 P 从 A 出发，沿 A→B→C→A
作匀速运动，则线段 AP 的长度 y 与运动时间 x 之间的函数关系大致是（ ）第 102 页 共 237 页
A． B．
C． D．
13．（2019•锦州）如图，在菱形 ABCD 中，∠B＝60°，AB＝2，动点 P 从点 B
出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿折线 BA→AC 运动到点 C，同时动点 Q
从点 A 出发，以相同速度沿折线 AC→CD 运动到点 D，当一个点停止运动时，
另一个点也随之停止．设△APQ 的面积为 y，运动时间为 x 秒，则下列图象
能大致反映 y 与 x 之间函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
14．（2019•广安）如图，在平面直角坐标系中，点 A1 的坐标为（1，0），以
OA1 为直角边作 Rt△OA1A2 ，并使∠A1OA2 ＝60°，再以 OA2 为直角边作
Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以 OA3 为直角边作 Rt△OA3A4，并使∠A3OA4
＝60°…按此规律进行下去，则点 A2019 的坐标为 ．第 103 页 共 237 页
第 19 课 一次函数
本节内容考纲要求考查一次函数图象、性质及应用，体会一次函数与方程（组）、不等
式之间的联系，一次函数的实际应用。近 5 年试题规律：主要考查一次函数的表达式、图象
及性质，有时以选择、填空题出现，但多以一次函数的应用、一次函数与反比例函数的综合
题出现，可作压轴题。
知识清单
知识点一 一次函数与正比例函数的概念
一次函数 一般地，如果 y＝kx＋b (k、b 是常数，k≠0)，那么 y 叫做 x 的一次函数.
正比例函数 一般地，如果 y＝k (k 是常数，k≠0)，那么 y 叫做 x 的正比例函数.
知识点二 一次函数的图象
图象与性质
一次函数 y＝kx＋b 的图象是经过点(0，b)和( b
k
- ，0)的一条直线．
正比例函数 y＝kx 的图象是经过点(0，0)和(1，k)的一条直线.
平移规律
直线 y＝kx＋b 可以看成是由直线 y＝kx 平移得到，b＞0，向上平移 b 个单位；
b＜0，向下平移 b 个单位.
知识点三 一次函数 y＝kx＋b 的性质
k、b 符号 图象形状 经过的象限 函数的性质
k＞0，b＞0 一、二、三 y 随 x 的增大而增大
k＞0，b＜0 一、三、四 y 随 x 的增大而增大
k＜0，b＞0 一、二、四 y 随 x 的增大而减小
k＜0，b＜0 二、三、四 y 随 x 的增大而减小
知识点四 一次函数的实际应用
在实际问题中，可以根据自变量的取值求函数值，或者由函数值求自变量的值．由于自变量
的取值范围一般受到限制，所以可以根据一次函数的性质求出函数在某个范围的最值.第 104 页 共 237 页
课前小测
1．（正比例函数的性质）关于正比例函数 y=﹣3x，下列结论正确的是（ ）
A．图象不经过原点 B．y 随 x 的增大而增大
C．图象经过第二、四象限 D．当 x= 1
3
时，y=1
2．（一次函数的性质）一次函数 y=﹣2x﹣1 的图象不经过下列各象限中的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（一次函数的性质）若正比例函数 y=3x 的图象经过 A（﹣2，y1），B（﹣1，
y2）两点，则 y1 与 y2 的大小关系为（ ）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1≤y2 D．y1≥y2
4．（一次函数与方程的关系）若直线 y=kx+b 的图象经过点（1，3），则方程
kx+b=3 的解是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（求一次函数解析式）已知一次函数 y=﹣x+b 的图象过点（8，2），那么此
一次函数的解析式为 ．
经典回顾
考点一 一次函数图象与性质
【例 1】函数 y＝x﹣2 的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【点拔】本题考查了一次函数的性质，对于一次函数 y＝kx+b，k＞0，函数经
过第一、三象限，k＜0，函数经过第二、四象限．
考点二 一次函数与方程、不等式
【例 2】（2019•黔东南州）如图所示，一次函数 y＝ax+b（a、b 为常数，且 a
＞0）的图象经过点 A（4，1），则不等式 ax+b＜1 的解集为 ．第 105 页 共 237 页
【点拔】本题考查了一次函数与不等式的关系及数形结合思想的应用．解决
此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数
形结合．
考点三 一次函数的解析式
【例 3】（2019•广东模拟）如图，一次函数 y＝kx+b 的图象经过 A、B 两点，与
x 轴交于点 C．
（1）写出点 A、B、C 的坐标；
（2）求此一次函数的解析式；
（3）求△AOC 的面积．
【点拔】考查一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数的关系式、
以及将点的坐标转化为三角形的底和高，进而求三角形的面积．
考点四 一次函数的应用
【例 4】（2019•新疆）某水果店以每千克 8 元的价格购进苹果若干千克，销售
了部分苹果后，余下的苹果每千克降价 4 元销售，全部售完．销售金额 y（元）
与销售量 x（千克）之间的关系如图，请根据图象提供的信息完成下列问题：
（1）降价前苹果的销售单价是 元/千克；
（2）求降价后销售金额 y（元）与销售量 x（千克）之间的函数解析式，并写
出自变量的取值范围；
（3）该水果店这次销售苹果盈利了多少元？第 106 页 共 237 页
【点拔】本题考查一次函数的应用，解答本题明确题意，利用一次函数的性
质和数形结合的思想解答．
对应训练
1．（2018•常德）若一次函数 y＝（k﹣2）x+1 的函数值 y 随 x 的增大而增大，
则（ ）
A．k＜2 B．k＞2 C．k＞0 D．k＜0
2．（2019•鞍山）如图，若一次函数 y＝﹣2x+b 的图象与两坐标轴分别交于 A，
B 两点，点 A 的坐标为（0，3），则不等式﹣2x+b＞0 的解集为（ ）
A．x＞ B．x＜ C．x＞3 D．x＜3
3．（2018•邵阳）如图所示，一次函数 y＝ax+b 的图象与 x 轴相交于点（2，0），
与 y 轴相交于点（0，4），结合图象可知，关于 x 的方程 ax+b＝0 的解是
．
4．（2016•宜昌）如图，直线 y＝ 3 x+ 3 与两坐标轴分别交于 A、B 两点．
（1）求∠ABO 的度数；
（2）过 A 的直线 l 交 x 轴正半轴于 C，AB＝AC，求直线 l 的函数解析式．第 107 页 共 237 页
5．（2019•深圳）有 A、B 两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，A 发电厂比 B 发电厂
多发 40 度电，A 焚烧 20 吨垃圾比 B 焚烧 30 吨垃圾少 1800 度电．
（1）求焚烧 1 吨垃圾，A 和 B 各发电多少度？
（2）A、B 两个发电厂共焚烧 90 吨的垃圾，A 焚烧的垃圾不多于 B 焚烧的垃
圾两倍，求 A 厂和 B 厂总发电量的最大值．
中考冲刺
夯实基础
1．（2019•广安）一次函数 y＝2x﹣3 的图象经过的象限是（ ）
A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、三、四 D．一、二、四
2．（2019•梧州）直线 y＝3x+1 向下平移 2 个单位，所得直线的解析式是（ ）
A．y＝3x+3 B．y＝3x﹣2 C．y＝3x+2 D．y＝3x﹣1
3．（2019•大庆）正比例函数 y＝kx（k≠0）的函数值 y 随着 x 增大而减小，则
一次函数 y＝x+k 的图象大致是（ ）
A． B．第 108 页 共 237 页
C． D．
4．（2019•铁岭）在平面直角坐标系中，函数 y＝kx+b 的图象如图所示，则下列
判断正确的是（ ）
A．k＞0 B．b＜0 C．k•b＞0 D．k•b＜0
5．（2019•锦州）如图，一次函数 y＝2x+1 的图象与坐标轴分别交于 A，B 两点，
O 为坐标原点，则△AOB 的面积为（ ）
A． B． C．2 D．4
6．（2019•本溪）函数 y＝5x 的图象经过的象限是 ．
7．（2019•成都）已知一次函数 y＝（k﹣3）x+1 的图象经过第一、二、四象限，
则 k 的取值范围是 ．
8．（2019•杭州）某函数满足当自变量 x＝1 时，函数值 y＝0，当自变量 x＝0
时，函数值 y＝1，写出一个满足条件的函数表达式 ．
能力提升
9．（2019•辽阳）若 ab＜0 且 a＞b，则函数 y＝ax+b 的图象可能是（ ）
A． B．第 109 页 共 237 页
C． D．
10．（2019•枣庄）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于 A，B 两点，P 是
线段 AB 上任意一点（不包括端点），过点 P 分别作两坐标轴的垂线与两坐
标轴围成的矩形的周长为 8，则该直线的函数表达式是（ ）
A．y＝﹣x+4 B．y＝x+4 C．y＝x+8 D．y＝﹣x+8
11．（2019•鄂尔多斯）如图，有一条折线 A1B1A2B2A3B3A4B4…，它是由过 A1（0，
0），B1（4，4），A2（8，0）组成的折线依次平移 8，16，24，…个单位得
到的，直线 y＝kx+2 与此折线有 2n（n≥1 且为整数）个交点，则 k 的值为 ．
12．（2019•本溪）如图，点 B1 在直线 l：y＝ 1
2 x 上，点 B1 的横坐标为 2，过 B1
作 B1A1⊥l，交 x 轴于点 A1，以 A1B1 为边，向右作正方形 A1B1B2C1，延长 B2C1
交 x 轴于点 A2；以 A2B2 为边，向右作正方形 A2B2B3C2，延长 B3C2 交 x 轴于点
A3；以 A3B3 为边，向右作正方形 A3B3B4C3，延长 B4C3 交 x 轴于点 A4；…；按
照这个规律进行下去，点∁ n 的横坐标为 （结果用含正整数 n 的代数式表
示）第 110 页 共 237 页
13．（2019•丹东）如图，在平面直角坐标系中，点 A，C 分别在 x 轴、y 轴上，
四边形 ABCO 是边长为 4 的正方形，点 D 为 AB 的中点，点 P 为 OB 上的一
个动点，连接 DP，AP，当点 P 满足 DP+AP 的值最小时，直线 AP 的解析式
为 ．
14．（2019•天门）某农贸公司销售一批玉米种子，若一次购买不超过 5 千克，
则种子价格为 20 元/千克，若一次购买超过 5 千克，则超过 5 千克部分的种子
价格打 8 折．设一次购买量为 x 千克，付款金额为 y 元．
（1）求 y 关于 x 的函数解析式；
（2）某农户一次购买玉米种子 30 千克，需付款多少元？第 111 页 共 237 页
第 20 课 反比例函数
本节内容考纲要求考查反比例函数图象、性质及几何意义，反比例函数的实际应用。近
5 年试题规律：主要考查反比例函数的表达式、图象、性质及几何意义，有时以选择、填空
题出现，但多以一次函数与反比例函数的综合题出现，可作压轴题。
知识清单
知识点一 反比例函数的概念
概念 一般地，形如 y＝k
x
（k 为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，其中 x 是自变量，
y 是 x 的函数．自变量的取值范围是 x≠0．
知识点二 反比例函数的图象与性质
图象 所在象限 性质
k＞0 一、三 在每个象限内，y 随 x 增大而减小.
k＜0 二、四 在每个象限内，y 随 x 增大而增大.
反比例函数 y＝k
x(k≠0)的图象是双曲线，且关于原点对称．
知识点三 反比例函数中 k 的几何意义
k 的几
何意义
反比例函数图象上的点(x，y)具有两数之积(xy＝k)为常数这一特点，则过双曲线
上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形的面积为常数 k .
结
论
的
推
导
如图，过双曲线上任一点 P 作 x 轴、y 轴的垂线 PM、PN，
所得的矩形 PMON 的面积 S＝PM·PN＝ y · x ＝ xy ．
∵y＝k
x
，∴xy＝ k ，∴S＝ k .
拓展
在上图中，易知 S△POM＝S△PON＝ 1
2 k ．所以过双曲线上任意一点，向两坐标轴作
垂线，则以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为常数 1
2 k .
知识点四 确定反比例函数的解析式
方法 待定系数法
步骤 (1)设函数解析式；(2)列方程；(3)确定 k 的值；(4)确定解析式.
知识点五 反比例函数的实际应用
步骤
(1)根据实际情况建立反比例函数模型；
(2)利用待定系数或其他学科的公式等确定函数解析式；
(3)根据反比例函数的性质解决实际问题.第 112 页 共 237 页
课前小测
1．（反比例函数的概念）下列四个函数中，是反比例函数的是（ ）
A．y= 2
x B．y= 2
x C．y=3x﹣2 D．y=x2
2．（反比例函数的性质）反比例函数 y=﹣ 5
x
的图象位于（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、四象限 D．第二、三象限
3．（求反比例函数的解析式）已知点 A（﹣1，5）在反比例函数 y= k
x
的图象上，
则该函数的解析式为（ ）
A．y= 1
x B．y= 25
x C．y= 5
x D．y=5x
4．（反比例函数的几何意义）反比例函数 y=﹣ 3
x
（x＜0）如图所示，则矩形 OAPB
的面积是（ ）
A．3 B．﹣3 C． 3
2 D．﹣ 3
2
5．（反比例函数的图象）矩形的长为 x，宽为 y，面积为 4，则 y 与 x 之间的函
数关系用图象表示大致为（ ）
A． B． C． D．
经典回顾
考点一 反比例函数图象与性质
【例 1】（2018•衡阳）对于反比例函数 y＝﹣ 2
x
，下列说法不正确的是（ ）
A．图象分布在第二、四象限
B．当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大第 113 页 共 237 页
C．图象经过点（1，﹣2）
D．若点 A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且 x1＜x2，则 y1＜y2
【点拔】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数 y＝ k
x
（k≠0），（1）
k＞0，反比例函数图象在一、三象限，在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小；
（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一个象限内，y 随 x 的
增大而增大．
考点二 反比例函数中 k 的几何意义
【例 2】（2019•阜新）如图，点 A 在反比例函数 y＝ 3
x
（x＞0）的图象上，过点
A 作 AB⊥x 轴，垂足为点 B，点 C 在 y 轴上，则△ABC 的面积为（ ）
A．3 B．2 C． 3
2 D．1
【点拔】本题考查了反比例函数的比例系数 k 的几何意义：在反比例函数 y＝ k
x
图象中任取一点，过这一个点向 x 轴和 y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的
面积是定值|k|．
考点三 一次函数与反比例综合
【例 3】（2019•广东）如图，一次函数 y＝k1x+b 的图象与反比例函数 y＝ 2k
x
的
图象相交于 A、B 两点，其中点 A 的坐标为（﹣1，4），点 B 的坐标为（4，
n）．
（1）根据图象，直接写出满足 k1x+b＞ 2k
x
的 x 的取值范围；
（2）求这两个函数的表达式；
（3）点 P 在线段 AB 上，且 S△AOP：S△BOP＝1：2，求点 P 的坐标．第 114 页 共 237 页
【点拔】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，熟练运用
图象上的点的坐标满足图象的解析式是本题的关键．
对应训练
1．（2019•柳州）反比例函数 y＝ 2
x
的图象位于（ ）
A．第一、三象限 B．第二、三象限
C．第一、二象限 D．第二、四象限
2．（2019•赤峰）如图，点 P 是反比例函数 y＝ k
x
（k≠0）的图象上任意一点，
过点 P 作 PM⊥x 轴，垂足为 M．若△POM 的面积等于 2，则 k 的值等于（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
3．（2019•徐州）若 A（x1，y1）、B（x2，y2）都在函数 y＝ 2019
x
的图象上，且
x1＜0＜x2，则（ ）
A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．y1＝﹣y2
4．（2017•广东）如图，在同一平面直角坐标系中，直线 y＝k1x（k1≠0）与双曲
线 y＝ 2k
x
（k2≠0）相交于 A，B 两点，已知点 A 的坐标为（1，2），则点 B
的坐标为（ ）第 115 页 共 237 页
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣2，﹣2）
5．（2015•广东）如图，反比例函数 y＝ k
x
（k≠0，x＞0）的图象与直线 y＝3x 相
交于点 C，过直线上点 A（1，3）作 AB⊥x 轴于点 B，交反比例函数图象于点
D，且 AB＝3BD．
（1）求 k 的值；
（2）求点 C 的坐标；
（3）在 y 轴上确定一点 M，使点 M 到 C、D 两点距离之和 d＝MC+MD 最小，
求点 M 的坐标．
中考冲刺
夯实基础
1．（2019•营口）反比例函数 y＝﹣ 4
x
（x＞0）的图象位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2019•上海）下列函数中，函数值 y 随自变量 x 的值增大而增大的是（ ）
A．y＝
3
x B．y＝﹣
3
x C．y＝ 3
x D．y＝﹣ 3
x
3．（2019•哈尔滨）点（﹣1，4）在反比例函数 y＝ k
x
的图象上，则下列各点在第 116 页 共 237 页
此函数图象上的是（ ）
A．（4，﹣1） B．（﹣ 1
4
，1） C．（﹣4，﹣1） D．（ 1
4
，2）
4．（2019•娄底）如图，⊙O 的半径为 2，双曲线的解析式分别为 y＝ 1
x
和 y＝ 1
x
，
则阴影部分的面积是（ ）
A．4π B．3π C．2π D．π
5．（2019•镇江）已知点 A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）都在反比例函数 y＝﹣ 2
x
的图象上，则 y1 y2．（填“＞”或“＜”）
6．（2019•安顺）如图，直线 l⊥x 轴于点 P，且与反比例函数 y1＝ 1k
x
（x＞0）
及 y2＝ 2k
x
（x＞0）的图象分别交于 A、B 两点，连接 OA、OB，已知△OAB
的面积为 4，则 k1﹣k2＝ ．
7．（2019•玉林）如图，一次函数 y1＝（k﹣5）x+b 的图象在第一象限与反比例
函数 y2＝ k
x
的图象相交于 A，B 两点，当 y1＞y2 时，x 的取值范围是 1＜x＜4，
则 k＝ ．第 117 页 共 237 页
8．（2019•葫芦岛）如图，一次函数 y＝k1x+b 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A，
B 两点，与反比例函数 y＝ 2k
x
的图象分别交于 C，D 两点，点 C（2，4），点
B 是线段 AC 的中点．
（1）求一次函数 y＝k1x+b 与反比例函数 y＝ 2k
x
的解析式；
（2）求△COD 的面积；
（3）直接写出当 x 取什么值时，k1x+b＜ 2k
x
．
能力提升
9．（2019•朝阳）若点 A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）在反比例函数
y＝﹣ 8
x
的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1
10．（2019•莱芜区）如图，直线 l 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，且与反比
例函数 y＝ k
x
（x＞0）的图象交于点 C，若 S△AOB＝S△BOC＝1，则 k＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2019•鸡西）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，平行四边形
OABC 的顶点 A 在反比例函数 y＝ 1
x
上，顶点 B 在反比例函数 y＝ 5
x
上，点 C
在 x 轴的正半轴上，则平行四边形 OABC 的面积是（ ）第 118 页 共 237 页
A． 3
2 B． 5
2 C．4 D．6
12．（2019•随州）如图，矩形 OABC 的顶点 A，C 分别在 y 轴、x 轴的正半轴上，
D 为 AB 的中点，反比例函数 y＝ k
x
（k＞0）的图象经过点 D，且与 BC 交于
点 E，连接 OD，OE，DE，若△ODE 的面积为 3，则 k 的值为 ．
13．（2019•黄冈）如图，一直线经过原点 O，且与反比例函数 y＝ k
x
（k＞0）相
交于点 A、点 B，过点 A 作 AC⊥y 轴，垂足为 C，连接 BC．若△ABC 面积为
8，则 k＝ ．
14．（2019•铜仁市）如图，一次函数 y＝kx+b（k，b 为常数，k≠0）的图象与
反比例函数 y＝﹣12
x
的图象交于 A、B 两点，且与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于
点 D，A 点的横坐标与 B 点的纵坐标都是 3．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求△AOB 的面积；
（3）写出不等式 kx+b＞﹣12
x
的解集．第 119 页 共 237 页
第 21 课 二次函数
本节内容考纲要求考查二次函数概念、图象、性质及应用，能根据具体问题求二次函数
的解析式，二次函数的应用。近 5 年试题规律：二次函数是必考内容，选择题形式一般考查
二次函数的图象与性质，解答题形式一般与三角形、四边形等问题结合起来，难度较大，通
常是压轴题，要么以函数为背景引出动态几何问题，要么以动态图形为背景，渗透二次函数
问题，是数形结合思想的典例。
知识清单
知识点一 二次函数的概念
概念 一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 是常数，a≠0)的函数叫做二次函数．其中 x 是
自变量，a、b、c 分别为函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数
知识点二 二次函数的图象和性质
函数 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
a a＞0 a＜0
图象
开口方向 抛物线开口向上 抛物线开口向下
对称轴 直线 x＝－ b
2a
直线 x＝－ b
2a
顶点坐标 (－ b
2a
，4ac－b2
4a
) (－ b
2a
，4ac－b2
4a
)
最值 当 x＝－ b
2a
时，y 有最小值为4ac－b2
4a
. 当 x＝－ b
2a
时，y 有最大值为4ac－b2
4a
.
增减性
在对称轴的左侧，即当 x＜－ b
2a
时，y
随 x 的增大而减小；在对称轴的右侧，
即当 x＞－ b
2a
时，y 随 x 的增大而增大，
简记左减右增．
在对称轴的左侧，即当 x＜－ b
2a
时，y
随 x 的增大而增大；在对称轴的右侧，
即当 x＞－ b
2a
时，y 随 x 的增大而减小，
简记左增右减.
知识点三 抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a、b、c 是常数)的位置与 a，b，c 的关系
字母或
代数式 字母的符号 图象的特征
a a＞0 开口向上
|a|越大开口越小.a＜0 开口向下
b
b＝0 对称轴为 y 轴.
ab＞0(b 与 a 同号) 对称轴在 y 轴左侧.
ab＜0(b 与 a 异号) 对称轴在 y 轴右侧.
c
c＝0 经过原点.
c＞0 与 y 轴正半轴相交.
c＜0 与 y 轴负半轴相交.第 120 页 共 237 页
b2－4ac
b2－4ac＝0 与 x 轴有一个交点(顶点).
b2－4ac＞0 与 x 轴有两个交点.
b2－4ac＜0 与 x 轴没有交点.
特殊
关系
当 x＝1 时，y＝a+b+c.
当 x＝－1 时，y＝a－b+c.
若 a＋b＋c＞0，即当 x＝1 时，y＞0.
若 a＋b＋c＜0，即当 x＝1 时，y＜0.
知识点四 二次函数平移规律
形如 y＝ax2，y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2＋k 形式的函数图象可以相互平移得到，自变量加减左
右移，函数值加减上下移，简单记为：上加下减，左加右减.
知识点五 确定二次函数的解析式
方法 适用条件及求法
一般式 若已知条件是图象上的三个点或三对自变量与函数的对应值，则可设所求二次
函数解析式为 y＝ax2＋bx＋c.
顶点式 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(最小值)，可设所求二次
函数为 y＝a(x－h)2＋k.
交点式 若已知二次函数图象与 x 轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，可设所求的二
次函数为 y＝a(x－x1)(x－x2).
知识点六 二次函数与方程
二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴的交点的横坐标是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根.
知识点七 二次函数的实际应用
步骤
(1)通过阅读理解题意；
(2)分析题目中的变量与常量，以及它们之间的关系；
(3)依据数量关系或图形的有关性质，列出函数关系式；
(4)根据问题的实际意义或具体要求确定自变量的取值范围；
(5)利用二次函数的有关性质，在自变量的取值范围内确定函数的最大(小)值；
(6)检验结果的合理性，获得问题的答案.
课前小测
1．（顶点坐标）抛物线 y=（x﹣2）2+3 的顶点坐标是（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3）
2．（对称轴）抛物线 y=x2﹣2x﹣1 的对称轴是（ ）
A．x=1 B．x=﹣1 C．x=2 D．x=﹣2
3．（最值）抛物线 y=（x﹣1）2+3（ ）
A．有最大值 1 B．有最小值 1 C．有最大值 3 D．有最小值 3
4．（最值）二次函数 y=﹣x2﹣4x+5 的最大值是（ ）
A．﹣7 B．5 C．0 D．9
5．（平移规律）将抛物线 y=3x2 平移得到抛物线 y=3（x+2）2，则这个平移过程
正确的是（ ）第 121 页 共 237 页
A．向左平移 2 个单位 B．向右平移 2 个单位
C．向上平移 2 个单位 D．向下平移 2 个单位
经典回顾
考点一 二次函数的图象与性质
【例 1】（2019•重庆）抛物线 y＝﹣3x2+6x+2 的对称轴是（ ）
A．直线 x＝2 B．直线 x＝﹣2 C．直线 x＝1 D．直线 x＝﹣1
【点拔】本题考查了二次函数的性质．抛物线 y＝a（x﹣h）2+k 的顶点坐标为
（h，k），对称轴为 x＝h．
【例 2】（2019•遂宁）二次函数 y＝x2﹣ax+b 的图象如图所示，对称轴为直线 x
＝2，下列结论不正确的是（ ）
A．a＝4
B．当 b＝﹣4 时，顶点的坐标为（2，﹣8）
C．当 x＝﹣1 时，b＞﹣5
D．当 x＞3 时，y 随 x 的增大而增大
【点拔】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数
的图象与系数的关系，本题属于基础题型．
考点二 二次函数与一次函数综合
【例 3】（2018•广东）如图，已知顶点为 C（0，﹣3）的抛物线 y＝ax2+b（a≠
0）与 x 轴交于 A，B 两点，直线 y＝x+m 过顶点 C 和点 B．
（1）求 m 的值；
（2）求函数 y＝ax2+b（a≠0）的解析式；
（3）抛物线上是否存在点 M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出点 M 的坐
标；若不存在，请说明理由．第 122 页 共 237 页
【点拔】此题主要考查了二次函数的综合题，需要掌握待定系数法求二次函数解
析式，待定系数法求一次函数解析式等知识是解题关键．
对应训练
1．（2019•衢州）二次函数 y＝（x﹣1）2+3 图象的顶点坐标是（ ）
A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3）
2．（2019•温州）已知二次函数 y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3 的取值
范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值﹣1，有最小值﹣2
B．有最大值 0，有最小值﹣1
C．有最大值 7，有最小值﹣1
D．有最大值 7，有最小值﹣2
3．（2019•荆门）抛物线 y＝﹣x2+4x﹣4 与坐标轴的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．如图，抛物线 y＝ax2+bx+c 的对称轴为直线 x＝1，则下列结论中，错误的是
（ ）
A．ac＜0 B．b2﹣4ac＞0 C．2a﹣b＝0 D．a﹣b+c＝0
5．（2019•永州）如图，已知抛物线经过两点 A（﹣3，0），B（0，3），且其
对称轴为直线 x＝﹣1．第 123 页 共 237 页
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点 P 是抛物线上点 A 与点 B 之间的动点（不包括点 A，点 B），求△
PAB 的面积的最大值，并求出此时点 P 的坐标．
中考冲刺
夯实基础
1．（2019•益阳）下列函数中，y 总随 x 的增大而减小的是（ ）
A．y＝4x B．y＝﹣4x C．y＝x﹣4 D．y＝x2
2．（2019•哈尔滨）将抛物线 y＝2x2 向上平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个
单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝2（x+2）2+3 B．y＝2（x﹣2）2+3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x+2）2﹣3
3．（2019•兰州）已知点 A（1，y1），B（2，y2）在抛物线 y＝﹣（x+1）2+2 上，
则下列结论正确的是（ ）
A．2＞y1＞y2 B．2＞y2＞y1 C．y1＞y2＞2 D．y2＞y1＞2
4．（2019•河南）已知抛物线 y＝﹣x2+bx+4 经过（﹣2，n）和（4，n）两点，
则 n 的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
5．（2019•哈尔滨）二次函数 y＝﹣（x﹣6）2+8 的最大值是 ．
6．（2019•荆州）二次函数 y＝﹣2x2﹣4x+5 的最大值是 ．
7．（2019•天门）矩形的周长等于 40，则此矩形面积的最大值是 ．
8．（2019•襄阳）如图，若被击打的小球飞行高度 h（单位：m）与飞行时间 t
（单位：s）之间具有的关系为 h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间
为 s．第 124 页 共 237 页
能力提升
9．（2019•阜新）如图，二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象过点（﹣1，0）和点（3，
0），则下列说法正确的是（ ）
A．bc＜0 B．a+b+c＞o C．2a+b＝0 D．4ac＞b2
10．（2019•益阳）已知二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，下列结论：①ac
＜0，②b﹣2a＜0，③b2﹣4ac＜0，④a﹣b+c＜0，正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
11．（2019•安顺）如图，已知二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象与 x 轴分别交于 A、
B 两点，与 y 轴交于 C 点，OA＝OC．则由抛物线的特征写出如下结论：
①abc＞0；②4ac﹣b2＞0；③a﹣b+c＞0；④ac+b+1＝0．
其中正确的个数是（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
12．（2019•宁洱县模拟）如图，抛物线 y＝﹣x2+bx+c 经过 A（﹣1，0），B（3，
0）两点，且与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线的顶点，抛物线对称轴 DE 交 x第 125 页 共 237 页
轴于点 E，连接 BD．
（1）求经过 A，B，C 三点的抛物线的函数表达式；
（2）点 P 是线段 BD 上一点，当 PE＝PC 时，求点 P 的坐标．第 126 页 共 237 页
第六单元 圆
第 22 课 圆的基本性质
本节内容考纲要求认识圆的轴对称性和中心对称性，认识圆心角、弧、弦之间相等关系，
理解圆周角和圆心角关系等。近 5 年试题规律：主要以选择、填空题形式考查弧、弦、圆心
角圆周角之间的关系，难度不大。特别地，虽然考纲已经不要求垂径定理，但近几年总有考
查。
知识清单
知识点一 圆的有关概念
圆的定义
定义 1：在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个
端点所形成的图形叫做圆.
定义 2：圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.
弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦.
直径 直径是经过圆心的弦，是圆内最长的弦.
弧 圆上任意两点间的部分叫做弧，弧有优弧、半圆、劣弧之分，能够完全重合
的弧叫做等弧.
等圆 能够重合的两个圆叫做等圆.
同心圆 圆心相同的圆叫做同心圆.
圆心角 顶点在圆心的角，叫做圆心角.
圆周角 顶点在圆上，并且两边都与圆相交，这样的角叫做圆周角.
知识点二 圆的对称性
圆的对称性
(1)圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过圆心的直线；
(2)圆是中心对称图形，对称中心为圆心；
(3)圆具有旋转不变性.
知识点三 圆的基本性质
垂径定理及
其推论
定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
圆心角、弧、
弦之间关系
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中一组量相等，那么它
们所对应其余各组量也分别相等.
圆周角定理
及其推论
定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的直角.
推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等.
推论 2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
推论 3 圆内接四边形的对角互补.
课前小测
1．（圆心角、弧、弦的关系）如图，在⊙O 中，已知 AB = CD ，则 AC 与 BD 的
关系是（ ）第 127 页 共 237 页
A．AC=BD B．AC＜BD C．AC＞BD D．不确定
2．（圆周角定理）如图，点 A，B，C 在⊙O 上，∠ACB=35°，则∠AOB 的度数
是（ ）
A．75° B．70° C．65° D．35°
3．（圆周角定理）如图，在⊙O 中，AD 是直径，∠ABC=40°，则∠CAD 等于
（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
4．（内接四边形）如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠B=80°，则
∠ADC 的度数是（ ）
A．60° B．80° C．90° D．100°
5．（垂径定理）如图，在⊙O 中，OC⊥弦 AB 于点 C，AB=8，OC=3，则 OB
的长是 ．第 128 页 共 237 页
【解答】5．
经典回顾
考点一 圆的对称性
【例 1】（2014•广东）如图，在⊙O 中，已知半径为 5，弦 AB 的长为 8，那么
圆心 O 到 AB 的距离为 ．
【点拨】本题考查了垂径定理以及勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理求出
OE 的长度是解题的关键．
考点二 圆心角、弧、弦
【例 2】（2019•自贡）如图，⊙O 中，弦 AB 与 CD 相交于点 E，AB＝CD，连
接 AD、BC．
求证：（1） ＝ ；（2）AE＝CE．
【点拨】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆
心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．
考点三 圆周角
【例 3】（2017•广东）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，
则∠DAC 的大小为（ ）第 129 页 共 237 页
A．130° B．100° C．65° D．50°
【点拔】本题考查的是圆内接四边形的性质及等腰三角形的性质，即在同圆
或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一
半．
【例 4】（2017•宁夏）已知△ABC，以 AB 为直径的⊙O 分别交 AC 于 D，BC 于
E，连接 ED，若 ED=EC．
（1）求证：AB=AC；
（2）若 AB=4，BC=2 3 ，求 CD 的长．
所有
【点拨】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的
作出辅助线是解题的关键．
对应训练
1．（2018•黑龙江）如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，已知 CD＝6，
EB＝1，则⊙O 的半径为 ．
2．（2019•随州）如图，点 A，B，C 在⊙O 上，点 C 在优弧 AB 上，若∠OBA
＝50°，则∠C 的度数为 ．第 130 页 共 237 页
3．（2019•连云港）如图，点 A、B、C 在⊙O 上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O
的半径为 ．
4．（2019•宁夏）如图，AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB，垂足为点 C，将劣弧 AB 沿
弦 AB 折叠交于 OC 的中点 D，若 AB＝2 10 ，则⊙O 的半径为 ．
5．（2019•顺义区二模）已知：如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，以 BC 为直径
的⊙O 交 AB 于点 D，E 为 BD 的中点．
（1）求证：∠ACD＝∠DEC；
（2）延长 DE、CB 交于点 P，若 PB＝BO，DE＝2，求 PE 的长．
中考冲刺
夯实基础
1．（2019•柳州）如图，A，B，C，D 是⊙O 上的点，则图中与∠A 相等的角是第 131 页 共 237 页
（ ）
A．∠B B．∠C C．∠DEB D．∠D
2．（2019•宜昌）如图，点 A，B，C 均在⊙O 上，当∠OBC＝40°时，∠A 的度
数是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
3．（2019•兰州）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（ ）
A．110° B．120° C．135° D．140°
4．（2018•张家界）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，OC＝5cm，
CD＝8cm，则 AE＝（ ）
A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm
5．（2019•常州）如图，AB 是⊙O 的直径，C、D 是⊙O 上的两点，∠AOC＝120°，
则∠CDB＝ °．第 132 页 共 237 页
6．（2019•铜仁市）如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，∠A＝100°，则
∠DCE 的度数为 ；
7．（2019•娄底）如图，C、D 两点在以 AB 为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，
则 AD＝ ．
8．（2019•南京）如图，⊙O 的弦 AB、CD 的延长线相交于点 P，且 AB＝CD．求
证：PA＝PC．
能力提升
9．（2019•黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（ AB ），点 O 是这段弧
所在圆的圆心，AB＝40m，点 C 是 AB 的中点，点 D 是 AB 的中点，且 CD＝
10m，则这段弯路所在圆的半径为（ ）第 133 页 共 237 页
A．25m B．24m C．30m D．60m
10．（2019•营口）如图，BC 是⊙O 的直径，A，D 是⊙O 上的两点，连接 AB，
AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC 的度数是（ ）
A．20° B．70° C．30° D．90°
11．（2019•白银）如图，点 A，B，S 在圆上，若弦 AB 的长度等于圆半径的 倍，
则∠ASB 的度数是（ ）
A．22.5° B．30° C．45° D．60°
12．（2019•德州）如图，CD 为⊙O 的直径，弦 AB⊥CD，垂足为 E，AB ＝ BF ，
CE＝1，AB＝6，则弦 AF 的长度为 ．
13．（2019•绵阳）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 为 BD 的中点，CF 为⊙O 的
弦，且 CF⊥AB，垂足为 E，连接 BD 交 CF 于点 G，连接 CD，AD，BF．
（1）求证：△BFG≌△CDG；
（2）若 AD＝BE＝2，求 BF 的长．第 134 页 共 237 页
14．（2019•包头）如图，在⊙O 中，B 是⊙O 上的一点，∠ABC＝120°，弦 AC
＝2 3 ，弦 BM 平分∠ABC 交 AC 于点 D，连接 MA，MC．
（1）求⊙O 半径的长；
（2）求证：AB+BC＝BM．第 135 页 共 237 页
第 23 课 圆的证明
本节内容主要考查点与圆、直线与圆的位置关系 ，特别是切线的性质与判定，一直都
是热点。近 5 年试题规律：极少考查点与圆的位置关系，切线的性质与判定是必考内容，年
年考，并且经常渗透到圆的综合题中，近几年这类试题难度加大，题型也有所变化。
知识清单
知识点一 点与圆的位置关系
位置关系 点在圆内 点在圆上 点在圆外
数量关系 d＜r d＝r d＞r
知识点二 直线与圆的位置关系
位置关系 相离 相切 相交
公共点个数 0 1 2
公共点的名称 无 切点 交点
数量关系 d＞r d＝r d＜r
知识点三 圆的切线
切线的判定
(1)与圆有唯一公共点的直线是圆的切线(定义法)；
(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
(3)过半径外端点且垂直于半径的直线是圆的切线.
切线的性质 切线垂直于经过切点的半径 .
切线长 过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连
线平分两条切线的夹角.
知识点四 三角形与圆
确定圆的条件 不在同一直线的三个点确定一个圆.
三角形的外心
经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的
外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形，外心到三角形三个顶点的距
离相等.
三角形的内心 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的
内心，这个三角形叫圆的外切三角形，内心到三角形三边的距离相等.
课前小测
1．（点与圆的位置关系）已知⊙O 的半径为 5，若 PO=4，则点 P 与⊙O 的位置
关系是（ ）
A．点 P 在⊙O 内 B．点 P 在⊙O 上 C．点 P 在⊙O 外 D．无法判断
2．（直线与圆的位置关系）已知⊙O 的半径为 3，圆心 O 到直线 L 的距离为 2，
则直线 L 与⊙O 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
3．（切线的性质）如图，AB 是⊙O 的切线，点 B 为切点，若∠A=30°，则∠AOB=第 136 页 共 237 页
．
4．（切线长的性质）如图所示，PA，PB 是⊙O 的切线，且∠APB=40°，下列说
法不正确的是（ ）
A．PA=PB B．∠APO=20° C．∠OBP=70° D．∠AOP=70°
5．（切线的性质）如图，直线 AB 与⊙O相切于点 A，⊙O 的半径为 2，若∠OBA=30°，
则 AB 的长为（ ）
A．4 3 B．4 C．2 3 D．2
经典回顾
考点一 圆的位置关系
【例 1】（2018•湘西州）已知⊙O 的半径为 5cm，圆心 O 到直线 l 的距离为 5cm，
则直线 l 与⊙O 的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【点拨】直线和圆的位置关系：若 d＜r，则直线与圆相交；若 d=r，则直线于圆
相切；若 d＞r，则直线与圆相离．
考点二 切线的性质与判定
【例 2】（2019•雅安）如图，已知 AB 是⊙O 的直径，AC，BC 是⊙O 的弦，OE∥AC
交 BC 于 E，过点 B 作⊙O 的切线交 OE 的延长线于点 D，连接 DC 并延长交第 137 页 共 237 页
BA 的延长线于点 F．
（1）求证：DC 是⊙O 的切线；
（2）若∠ABC＝30°，AB＝8，求线段 CF 的长．
【点拔】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，等腰三角
形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
对应训练
1．（2019•广州）平面内，⊙O 的半径为 1，点 P 到 O 的距离为 2，过点 P 可作
⊙O 的切线条数为（ ）
A．0 条 B．1 条 C．2 条 D．无数条
2．（2019•阜新）如图，CB 为⊙O 的切线，点 B 为切点，CO 的延长线交⊙O 于
点 A，若∠A＝25°，则∠C 的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
3．（2019•哈尔滨）如图，PA、PB 分别与⊙O 相切于 A、B 两点，点 C 为⊙O
上一点，连接 AC、BC，若∠P＝50°，则∠ACB 的度数为（ ）
A．60° B．75° C．70° D．65°
4．（2019•河池）如图，PA，PB 是⊙O 的切线，A，B 为切点，∠OAB＝38°，第 138 页 共 237 页
则∠P＝ °．
5．（2019•盐城）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是斜边 AB 上的中线，
以 CD 为直径的⊙O 分别交 AC、BC 于点 M、N，过点 N 作 NE⊥AB，垂足为
E．
（1）若⊙O 的半径为 5
2
，AC＝6，求 BN 的长；
（2）求证：NE 与⊙O 相切．
中考冲刺
夯实基础
1．（2019•无锡）如图，PA 是⊙O 的切线，切点为 A，PO 的延长线交⊙O 于点
B，若∠P＝40°，则∠B 的度数为（ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
2．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，若∠C＝40°，则∠B
的度数为（ ）第 139 页 共 237 页
A．60° B．50° C．40° D．30°
3．（2019•福建）如图，PA、PB 是⊙O 切线，A、B 为切点，点 C 在⊙O 上，且
∠ACB＝55°，则∠APB 等于（ ）
A．55° B．70° C．110° D．125°
4．（2019•包头）如图，BD 是⊙O 的直径，A 是⊙O 外一点，点 C 在⊙O 上，
AC 与⊙O 相切于点 C，∠CAB＝90°，若 BD＝6，AB＝4，∠ABC＝∠CBD，
则弦 BC 的长为 ．
5．（2019•济宁）如图，O 为 Rt△ABC 直角边 AC 上一点，以 OC 为半径的⊙O
与斜边 AB 相切于点 D，交 OA 于点 E，已知 BC＝ ，AC＝3．则图中阴影
部分的面积是 ．
6．（2019•陕西）如图，AC 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的一条弦，AP 是⊙O 的
切线．作 BM＝AB 并与 AP 交于点 M，延长 MB 交 AC 于点 E，交⊙O 于点 D，第 140 页 共 237 页
连接 AD．
（1）求证：AB＝BE；
（2）若⊙O 的半径 R＝5，AB＝6，求 AD 的长．
7．（2019•赤峰）如图，AB 为⊙O 的直径，C、D 是半圆 AB 的三等分点，过点
C 作 AD 延长线的垂线 CE，垂足为 E．
（1）求证：CE 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为 2，求图中阴影部分的面积．
能力提升
8．（2019•烟台）如图，AB 是⊙O 的直径，直线 DE 与⊙O 相切于点 C，过 A，
B 分别作 AD⊥DE，BE⊥DE，垂足为点 D，E，连接 AC，BC，若 AD＝ ，
CE＝3，则 AC 的长为（ ）
A． 2 3
3 B． 3
3 π C． 3
2 π D． 2 3
3 π
9．（2019•贺州）如图，在△ABC 中，O 是 AB 边上的点，以 O 为圆心，OB 为
半径的⊙O 与 AC 相切于点 D，BD 平分∠ABC，AD＝ 3 OD，AB＝12，CD第 141 页 共 237 页
的长是（ ）
A．2 3 B．2 C．3 3 D．4 3
10．（2019•齐齐哈尔）如图，以△ABC 的边 BC 为直径作⊙O，点 A 在⊙O 上，
点 D 在线段 BC 的延长线上，AD＝AB，∠D＝30°．
（1）求证：直线 AD 是⊙O 的切线；
（2）若直径 BC＝4，求图中阴影部分的面积．
11．（2019•黄石）如图，AB 是⊙O 的直径，点 D 在 AB 的延长线上，C、E 是
⊙O 上的两点，CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F．
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）求证：CE＝CF；
（3）若 BD＝1，CD＝ 2 ，求弦 AC 的长．第 142 页 共 237 页
第 24 课 圆的计算
圆当中利用弧长、扇形面积公式及圆与正多边形的计算也是近年中考的高频考点。近 5
年试题规律：与弧长、扇形面积和正多边形的有关计算的试题难度不大，需熟记公式，题有
时喜欢在选择、填空题来一道求阴影面积的试题。特别地，圆锥的侧面展开图已经不入考纲。
知识清单
知识点一 圆的弧长及扇形面积公式
弧长公式 l＝nπR
180
扇形面积公式 S 扇＝nπR2
360
＝1
2lR
知识点二 圆与正多边形
圆与正多边形的有关计算，总是归结为一个直角三角的计算，它的三边分别是边长的一半、
半径和边心距，其中隐含条件是中心角的一半α=180°
n .
课前小测
1．（弧长的计算）已知某扇形的圆心角为 60°，半径为 1，则该扇形的弧长为（ ）
A．π B． 1
2 π C． 1
3 π D． 1
6 π
2．（扇形面积的计算）圆心角为 240°的扇形的半径为 3cm，则这个扇形的面积
是（ ）
A．πcm2 B．3πcm2 C．9πcm2 D．6πcm2
3．（圆锥的侧面积）已知一圆锥的母线长为 6，底面半径为 3，则该圆锥的侧面
积为（ ）
A．27π B．36π C．18π D．9π
4．（正多边形的计算）正六边形的中心角为（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
5．（正多边形的计算）已知正六边形的边长为 2，则它的边心距为（ ）
A．1 B．2 C． 3 D．2 3
经典回顾
考点一 弧长的计算第 143 页 共 237 页
【例 1】（2015•广东）如图，某数学兴趣小组将边长为 3 的正方形铁丝框 ABCD
变形为以 A 为圆心，AB 为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形 DAB 的
面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【点拨】解题的关键是：熟记扇形的面积公式 S 扇形 DAB= 1
2 lr．
考点二 扇形的计算
【例 2】（2019•吉林）如图，在扇形 OAB 中，∠AOB＝90°．D，E 分别是半径
OA，OB 上的点，以 OD，OE 为邻边的□ODCE 的顶点 C 在 AB 上．若 OD
＝8，OE＝6，则阴影部分图形的面积是 （结果保留π）．
【点拔】本题考查了扇形的面积的计算，矩形的判定和性质，勾股定理，正
确的作出辅助线是解题的关键．
考点三 正多边形的计算
【例 3】（2019•锦州）如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，边长 AB＝2，则
扇形 AOB 的面积为 ．
【点拔】本题考查了正多边形与圆及扇形的面积的计算，解题的关键是熟练
掌握扇形的面积公式．第 144 页 共 237 页
对应训练
1．（2019•滨州）若正六边形的内切圆半径为 2，则其外接圆半径为 ．
2．（2019•哈尔滨）一个扇形的弧长是 11πcm，半径是 18cm，则此扇形的圆心
角是 度．
3．（2019•铁岭）如图，点 A，B，C 在⊙O 上，∠A＝60°，∠C＝70°，OB＝9，
则 AB 的长为 ．
4．（2019•十堰）如图，AB 为半圆的直径，且 AB＝6，将半圆绕点 A 顺时针旋
转 60°，点 B 旋转到点 C 的位置，则图中阴影部分的面积为 ．
5．（2018•广东）如图，矩形 ABCD 中，BC=4，CD=2，以 AD 为直径的半圆 O
与 BC 相切于点 E，连接 BD，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
中考冲刺
夯实基础
1．（2019•温州）若扇形的圆心角为 90°，半径为 6，则该扇形的弧长为（ ）
A． 3
2 π B．2π C．3π D．6π
2．（2019•长沙）一个扇形的半径为 6，圆心角为 120°，则该扇形的面积是（ ）
A．2π B．4π C．12π D．24π
3．（2019•贵阳）如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，连接 BD．则∠CBD 的第 145 页 共 237 页
度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．（2019•青海）如图，在扇形 AOB 中，AC 为弦，∠AOB＝140°，∠CAO＝60°，
OA＝6，则 BC 的长为（ ）
A． 4
3
B． 8
3
C．2 3 π D．2π
5．（2019•南充）如图，在半径为 6 的⊙O 中，点 A，B，C 都在⊙O 上，四边
形 OABC 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6π B．3 3 π C．2 3 π D．2π
6．（2019•天门）75°的圆心角所对的弧长是 2.5πcm，则此弧所在圆的半径是 cm．
7．（2019•咸宁）如图，半圆的直径 AB＝6，点 C 在半圆上，∠BAC＝30°，则
阴影部分的面积为 （结果保留π）．
8．（2019•铜仁市）如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，BE 是⊙O 的直径，
连接 BF，延长 BA，过 F 作 FG⊥BA，垂足为 G．第 146 页 共 237 页
（1）求证：FG 是⊙O 的切线；
（2）已知 FG＝2 3 ，求图中阴影部分的面积．
能力提升
9．（2019•包头）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 2 ，以 BC
为直径作半圆，交 AB 于点 D，则阴影部分的面积是（ ）
A．π﹣1 B．4﹣π C． 2 D．2
10．（2019•泰安）如图，将⊙O 沿弦 AB 折叠， AB 恰好经过圆心 O，若⊙O 的
半径为 3，则劣 AB 的长为（ ）
A． π B．π C．2π D．3π
11．（2019•宿迁）如图，正六边形的边长为 2，分别以正六边形的六条边为直径
向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的 6 个月牙形的面积之和（阴影部分
面积）是（ ）第 147 页 共 237 页
A．6 3 ﹣π B．6 3 ﹣2π C．6 3 +π D．6 3 +2π
12．（2019•泰州）如图，分别以正三角形的 3 个顶点为圆心，边长为半径画弧，
三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为 6cm，则该莱洛三角
形的周长为 cm．
13．（2019•泰安）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点 O 为圆心，OA 为半径
作弧交 AB 于点 A、点 C，交 OB 于点 D，若 OA＝3，则阴影部分的面积为 ．
14．（2019•内江）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB＜AD，∠A＝150°，CD＝
4，以 CD 为直径的⊙O 交 AD 于点 E，则图中阴影部分的面积为 ．
15．如图，四边形 ABCD 是矩形，AB＝4，AD＝2 2 ，以点 A 为圆心，AB 长为
半径画弧，交 CD 于点 E，交 AD 的延长线于点 F，则图中阴影部分的面积
是 ．第 148 页 共 237 页
16．（2019•贵阳）如图，用等分圆的方法，在半径为 OA 的圆中，画出了如图
所示的四叶幸运草，若 OA＝2，则四叶幸运草的周长是 ．第 149 页 共 237 页
第七单元 图形变化
第 25 课 图形变换
本节内容考纲要求考查图形的平移、旋转及轴对称，是中考必考知识，特别是轴对称与
旋转考查的深度逐步增加。近 5 年试题规律：以选择、填空题形式考查平移、对称及旋转每
年必考，也可能出现与矩形、正方形结合的综合题目，难度较大，可作压轴题。
知识清单
知识点一 图形的平移
定义 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.
性质 (1)对应线段平行(或共线)且相等，对应点连线相等且平行(或共线)；
(2)平移前后的图形形状和大小都没有发生变化(即两个图形全等).
知识点二 轴对称与轴对称图形
轴对称 轴对称图形
定义
把一个图形沿某一条直线折叠，如果能
够与另一个图形重合，那么就说这两个
图形成轴对称，这条直线就是对称轴，
两个图形的对应点叫做对称点．
如果一个图形沿某条直线对折，对折的
两部分能够完全重合，那么就称这样的
图形为轴对称图形，这条直线叫做这个
图形的对称轴.
区别 指两个全等图形之间的相互位置关系． 指具有特殊形状的一个图形.
轴对
称的
性质
(1)对称点的连线被对称轴垂直平分；
(2)对应线段相等；
(3)对应线段或延长线段的交点在对称轴上；
(4)成轴对称的两个图形全等.
知识点三 图形的旋转
定义 在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度的图形运动称为旋
转．这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.
性质
(1)对应点到旋转中心的距离相等；
(2)任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
(3)旋转前后的图形全等.
知识点四 中心对称与中心对称图形
中心对称 中心对称图形
定义
把一个图形绕着一点旋转 180°后，如果
与另一个图形重合，那么这两个图形成
中心对称，这个点叫做其对称中心．
把一个图形绕着某点旋转 180°后，能与
其自身重合，那么这个图形叫做中心对
称图形，这个点叫做对称中心.
区别 中心对称是指两个全等图形之间的相互
位置关系．
中心对称图形是指具有特殊形状的一个
图形.
性质 (1)中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分；
(2)成中心对称的两个图形全等.
课前小测
1．（平移）下面的每组图形中，左面的图形平移后可以得到右面图形的是（ ）第 150 页 共 237 页
A． B． C． D．
2．（轴对称图形）下列所给图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（中心对称）在平面直角坐标系中，点（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标
是（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（2，﹣1） D．（2，1）
4．（轴对称的性质）在平面直角坐标系中，点（2，3）关于 y 轴对称的点的坐
标是（ ）
A．（﹣2，﹣3） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（2，3）
5．（旋转的性质）如图，把图形绕着它的中心旋转后可以与原来的图形重合，
则至少要旋转（ ）．
A．60° B．120° C．180 ° D．270°
经典回顾
考点一 轴对称图形与中心对称图形
【例 1】（2018•广东）下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是
（ ）
A．圆 B．菱形 C．平行四边形 D．等腰三角形
【点拨】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；
中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合．
考点二 平移、旋转、翻折
【例 2】（2016•广东）如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC=2 3 ，E 为 BC 边上一第 151 页 共 237 页
点，BC=3BE，将矩形 ABCD 沿 AE 所在的直线折叠，B 点恰好落在对角线 AC 上
的 B′处，则 AB= ．
【点拨】本题考查了矩形的性质和翻折问题，明确翻折前后的图形全等是关键．
【例 3】（2018•湛江模拟）如图，点 P 是正方形 ABCD 内一点，将△ABP 绕着
B 沿顺时针方向旋转到与△CBP′重合，若 PB=3，则 PP′的长为（ ）
A．2 2 B．3 2 C．3 D．无法确定
【点拨】本题考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，旋转角相等，
又利用了勾股定理．
考点三 点坐标的对称规律
【例 4】（2019•贵港）若点 P（m﹣1，5）与点 Q（3，2﹣n）关于原点成中心
对称，则 m+n 的值是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【点拔】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标
互为相反数，纵坐标互为相反数．
对应训练
1．（2019•广东）下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的
是（ ）第 152 页 共 237 页
A． B． C． D．
2．（2016•广东）下列所述图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．直角三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．正三角形
3．（2015•广东）下列所述图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．矩形 B．平行四边形 C．正五边形 D．正三角形
4．（2017•广东）下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．圆
5．（2019•内江）如图，在△ABC 中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC
绕点 A 顺时针旋转得到△ADE，当点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 边上时，则
CD 的长为（ ）
A．1.6 B．1.8 C．2 D．2.6
6．（2019•盘锦）如图，四边形 ABCD 是矩形纸片，将△BCD 沿 BD 折叠，得到
△BED，BE 交 AD 于点 F，AB＝3．AF：FD＝1：2，则 AF＝ ．
中考冲刺
夯实基础
1．（2019•湘西州）在平面直角坐标系中，将点（2，1）向右平移 3 个单位长度，
则所得的点的坐标是（ ）
A．（0，5） B．（5，1） C．（2，4） D．（4，2）第 153 页 共 237 页
2．（2019•常德）点（﹣1，2）关于原点的对称点坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2） C．（1，2） D．（2，﹣1）
3．（2019•永州）改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目
的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上
述四个企业的标志是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2019•本溪）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2019•湘潭）如图，将△OAB 绕点 O 逆时针旋转 70°到△OCD 的位置，若
∠AOB＝40°，则∠AOD＝（ ）
A．45° B．40° C．35° D．30°
6．（2019•枣庄）如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 DC 上一点，把△ADE 绕点 A
顺时针旋转 90°到△ABF 的位置．若四边形 AECF 的面积为 20，DE＝2，则
AE 的长为（ ）
A．4 B．2 5 C．6 D．2 6
7．（2019•泸州）在平面直角坐标系中，点 M（a，b）与点 N（3，﹣1）关于 x
轴对称，则 a+b 的值是 ．
8．（2019•镇江）将边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转到 FECG第 154 页 共 237 页
的位置（如图），使得点 D 落在对角线 CF 上，EF 与 AD 相交于点 H，则 HD
＝ ．（结果保留根号）
能力提升
9．（2019•广元）如图，△ABC 中，∠ABC＝90°，BA＝BC＝2，将△ABC 绕点
C 逆时针旋转 60°得到△DEC，连接 BD，则 BD2 的值是 ．
10．（2019•青岛）如图，在正方形纸片 ABCD 中，E 是 CD 的中点，将正方形
纸片折叠，点 B 落在线段 AE 上的点 G 处，折痕为 AF．若 AD＝4cm，则 CF
的长为 cm．
11．（2019•江西）如图，在△ABC 中，点 D 是 BC 上的点，∠BAD＝∠ABC＝
40°，将△ABD 沿着 AD 翻折得到△AED，则∠CDE＝ °．第 155 页 共 237 页
12．（2019•甘肃）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝10，AD＝6，E 为 BC 上一点，
把△CDE 沿 DE 折叠，使点 C 落在 AB 边上的 F 处，则 CE 的长为 ．
13．（2019•苏州）如图，△ABC 中，点 E 在 BC 边上，AE＝AB，将线段 AC 绕
A 点旋转到 AF 的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接 EF，EF 与 AC 交于点 G．
（1）求证：EF＝BC；
（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC 的度数．
14．（2019•滨州）如图，矩形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上，将△BCE 沿 BE 折
叠，点 C 落在 AD 边上的点 F 处，过点 F 作 FG∥CD 交 BE 于点 G，连接 CG．
（1）求证：四边形 CEFG 是菱形；
（2）若 AB＝6，AD＝10，求四边形 CEFG 的面积．第 156 页 共 237 页
第 26 课 视图与投影
本节内容是基础知识，为高中立体几何作铺垫，考查的知识都是认识性的。近 5 年试题
规律：多以选择题的形式考查，多为简单的实物或几何组全体的三视图。
知识清单
知识点一 三视图
三视图
主视图 在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图.
俯视图 在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图.
左视图 在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.
画物体的
三视图
原则 主视图与俯视图长对正，主视图与左视图高平齐，左视图与俯视图
的宽相等.
提醒 在画图时，看得见部分的轮廓线画成实线，因被其他部分遮挡而看
不见部分的轮廓线画成虚线.
知识点二 立体图形的展开与折叠
一个立体图形沿不同的棱剪开就得到不同的平面图形．
知识点三 投影
平行投影 由平行光线形成的投影叫做平行投影．投影线垂直于投影面时产生的投影叫做
正投影，正投影是一种特殊的平行投影.
中心投影 由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影.
课前小测
1．（三视图）下面四个几何体中，左视图是矩形的几何体是（ ）
A． B． C． D．
2．（三视图）如图是由四个完全相同的正方体组成的几何体，这个几何体的左
视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（三视图）如图所示的几何体的俯视图是（ ）第 157 页 共 237 页
A． B． C． D．
4．（平行投影）平行投影中的光线是（ ）
A．平行的 B．聚成一点的
C．不平行的 D．向四面八方发散的
5．（展开图）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．圆台 D．四棱柱
经典回顾
考点一 立体图形的三视图
【例 1】（2019•广东）如图，由 4 个相同正方体组合而成的几何体，它的左视图
是（ ）
A． B．
C． D．
【点拨】本题考查的是简单几何体的三视图的作图，主视图、左视图、俯视图是
分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形．
考点二 立体图形的展开图
【例 2】（2016•广东）如图，把一个圆锥沿母线 OA 剪开，展开后得到扇形 AOC，第 158 页 共 237 页
已知圆锥的高 h 为 12cm，OA=13cm，则扇形 AOC 中 AC 的长是 cm（计算
结果保留π）．
【点拨】解题的关键是了解圆锥的底面周长等于展开扇形的弧长．
对应训练
1．（2019•青海）下面几何体中，俯视图为三角形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2018•广东）如图，由 5 个相同正方体组合而成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（2019•福建）如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是
（ ）
A． B． C． D．
4．（2019•赤峰）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）第 159 页 共 237 页
A．三棱锥 B．圆锥 C．三棱柱 D．圆柱
5．（2019•深圳）下列哪个图形是正方体的展开图（ ）
A． B． C． D．
6．（2019•鄂州）一个圆锥的底面半径 r＝5，高 h＝10，则这个圆锥的侧面积是 ．
7．（2019•徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若
圆锥的底面圆的半径 r＝2cm，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的母线长 l 为
cm．
中考冲刺
夯实基础
1．（2019•天门）如图所示的正六棱柱的主视图是（ ）
A． B． C． D．
2．（2019•黄冈）如图，是由棱长都相等的四个小正方体组成的几何体．该几何
体的左视图是（ ）第 160 页 共 237 页
A． B． C． D．
3．（2019•梧州）一个几何体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，则这个
几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．正方体
4．（2019•百色）下列几何体中，俯视图不是圆的是（ ）
A． 四面体 B． 圆锥 C． 球 D． 圆柱
5．（2019•南通）如图是一个几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．球 B．圆锥 C．圆柱 D．棱柱
6．（2019•朝阳）如图是由 5 个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左
视图是（ ）
A． B． C． D．
7．（2019•益阳）下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是（ ）
A． B． C． D．第 161 页 共 237 页
8．（2019•南充）如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
能力提升
9．（2019•毕节市）由下面正方体的平面展开图可知，原正方体“中”字所在面的
对面的汉字是（ ）
A．国 B．的 C．中 D．梦
10．（2019•宁波）如图，下列关于物体的主视图画法正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2019•抚顺）如图是由 5 个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中
的数字表示该位置上的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A． B．第 162 页 共 237 页
C． D．
12．下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2019•宜宾）已知一个组合体是由几个相同的正方体叠合在一起组成，该
组合体的主视图与俯视图如图所示，则该组合体中正方体的个数最多是
（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
14．（2019•永州）某同学家买了一个外形非常接近球的西瓜，该同学将西瓜均
匀切成了 8 块，并将其中一块（经抽象后）按如图所示的方式放在自已正前
方的水果盘中，则这块西瓜的三视图是（ ）第 163 页 共 237 页
A． B．
C． D．
15．（2019•包头）一个圆柱的三视图如图所示，若其俯视图为圆，则这个圆柱
的体积为（ ）
A．24 B．24π C．96 D．96π
16．（2019•攀枝花）如图是一个多面体的表面展开图，如果面 F 在前面，从左
面看是面 B，那么从上面看是面 ．（填字母）第 164 页 共 237 页
第 27 课 尺规作图
本节内容考纲要求考查五个基本作图和能转化为基本作图的简单尺规作图。近 5 年试题
规律：以解答题出现，一般考查作角平分线，线段的垂直平分线和过一点直线的垂线，多与
三角形、四边形问题结合一起，难度不大，但学生欠缺动手操作，是常见丢分题。
知识清单
知识点一 尺规作图
定义 只用圆规和尺子来完成的图画，称为尺规作图.
基本
步骤
(1)已知：写出已知的线段和角，画出图形；
(2)求作：求作什么图形，使它符合什么条件；
(3)作法：运用五种基本作图，保留作图痕迹；
(4)证明：验证所作图形的正确性；
(5)结论：对所作的图形下结论.
知识点二 五种基本作图
五种基
本作图
(1)作一条线段等于已知线段；
(2)作一个角等于已知角；
(3)作一个角的平分线；
(4)经过一已知点作直线的垂线；
(5)作已知线段的垂直平分线.
课前小测
1．（尺规作图的定义）尺规作图是指（ ）
A．用直尺规范作图
B．用刻度尺和圆规作图
C．用没有刻度的直尺和圆规作图
D．直尺和圆规是作图工具
2．（作角平分线）如图，用尺规作已知角平分线，其根据是构造两个三角形全
等，它所用到的判别方法是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
3．（作一个角等于已知角）小明回顾用尺规作一个角等于已知角的作图过程（如
图所示），连接 CD、C′D′得出了△OCD≌△O′C′D′，从而得到∠O=∠O′，其中第 165 页 共 237 页
小明作出△OCD≌△O′C′D′判定的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
4．（作垂直平分线）如图所示，已知线段 AB=6，现按照以下步骤作图：
①分别以点 A，B 为圆心，以大于 1
2 AB 的长为半径画弧，两弧相交于点 C 和点
D；
②连结 CD 交 AB 于点 P．
则线段 PB 的长为 ．
5．（作垂线）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中
正确的是（ ）
A． B． C． D．
经典回顾
考点一 作线段垂直平分线
【例 1】（2018•广东）如图，BD 是菱形 ABCD 的对角线，∠CBD=75°，
（1）请用尺规作图法，作 AB 的垂直平分线 EF，垂足为 E，交 AD 于 F；（不
要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接 BF，求∠DBF 的度数．第 166 页 共 237 页
【点拨】作线段的垂直平分线要点：①以线段两端点为圆心作弧，两弧交于两点；
②再过两点作垂线．
考点二 作角平分线
【例 2】（2018•赤峰）如图，D 是△ABC 中 BC 边上一点，∠C＝∠DAC．
（1）尺规作图：作∠ADB 的平分线，交 AB 于点 E（保留作图痕迹，不写作
法）；
（2）在（1）的条件下，求证：DE∥AC．
【点拔】作角的平分线要点：①以顶点为圆心画弧交角的两边于两点；②再
以这两点为圆心作弧，两弧交于一点；③最后过顶点与交点作射线．
考点三 作垂线
【例 3】（2015•广东）如图，已知锐角△ABC．
（1）过点 A 作 BC 边的垂线 MN，交 BC 于点 D（用尺规作图法，保留作图痕迹，
不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，若 BC=5，AD=4，tan∠BAD= 3
4
，求 DC 的长．
【点拨】过一点作垂线或作高线要点：①以这点为圆心，在直线上截取一条线段；
②再作线段的垂直平分．
考点四 作一个角等于已知角
【例 4】（2019•广东）如图，在△ABC 中，点 D 是 AB 边上的一点．
（1）请用尺规作图法，在△ABC 内，求作∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE 交
AC 于 E；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若 AD
DB
＝2，求 AE
EC
的值．第 167 页 共 237 页
【点拔】过一点作一个角等于已知角要点：①以角的顶点为圆心画弧交两边
于两点，以这一点为圆心，相同半径作弧，交于一点；②再以两点间距离为
半径，作弧，两弧交于一点；③最后过这一点于交点作射线．
对应训练
1．（2019•泰州）如图，△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8．
（1）用直尺和圆规作 AB 的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若（1）中所作的垂直平分线交 BC 于点 D，求 BD 的长．
2．（2019•中山一模）如图，已知平行四边形 ABCD，
（1）作∠B 的平分线交 AD 于 E 点．（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要
求写作法）
（2）若平行四边形 ABCD 的周长为 10，CD＝2，求 DE 的长．
3．（2019•江门期末）画图题：如图，已知三角形 ABC，AB＝5．
（1）过点 C 作 CD⊥AB，点 D 为垂足：
（2）在（1）的条件下，若 DB＝2，求点 A 到 CD 的距离．第 168 页 共 237 页
4．（2019•顺德期末）如图，Rt△ABC 中，∠A＝90°．
（1）用尺规作图法作∠ABD＝∠C，与边 AC 交于点 D（保留作图痕迹，不用
写作法）；
（2）在（1）的条件下，当∠C＝30°时，求∠BDC 的度数．
中考冲刺
夯实基础
1．（2019•赤峰）已知：AC 是□ABCD 的对角线．
（1）用直尺和圆规作出线段 AC 的垂直平分线，与 AD 相交于点 E，连接 CE．（保
留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若 AB＝3，BC＝5，求△DCE 的周长．
2．（2019•惠阳二模）如图，已知：AB∥CD．
（1）在图中，用尺规作∠ACD 的平分线交 AB 于 E 点；（不要求写作法，保
留作图痕迹）
（2）判断△ACE 的形状，并证明．
3．（2019•玉林）如图，已知等腰△ABC 顶角∠A＝36°．
（1）在 AC 上作一点 D，使 AD＝BD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不
必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加墨）；
（2）求证：△BCD 是等腰三角形．第 169 页 共 237 页
4．（2019•越秀一模）如图，在矩形 ABCD 中，AD＝AE
（1）尺规作图：作 DF⊥AE 于点 F；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：AB＝DF．
能力提升
5．（2019•白银）已知：在△ABC 中，AB＝AC．
（1）求作：△ABC 的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若△ABC 的外接圆的圆心 O 到 BC 边的距离为 4，BC＝6，则 S⊙O＝ ．
6．（2019•三明模拟）如图，在△ABC 中，AB＝AC．
（1）尺规作图：作∠CBD＝∠A，D 点在 AC 边上（要求：不写作法，保留作
图痕迹）
（2）若∠A＝40°，求∠ABD 的度数．第 170 页 共 237 页
7．（2019•达州）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3．
（1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹．
①作∠ACB 的平分线，交斜边 AB 于点 D；
②过点 D 作 BC 的垂线，垂足为点 E．
（2）在（1）作出的图形中，求 DE 的长．第 171 页 共 237 页
第八单元 统计与概念
第 28 课 统计
本节内容考纲要求考查加权平均数、中位数、众数和方差，条形统计图、扇形统计图、
拆线统计图和频数分布直方图所蕴含的信息综合问题。近 5 年试题规律：一般会考查一道选
择、填空题，较容易，也会考查一道信息量较大的综合题，属于中档题。
知识清单
知识点一 全面调查与抽样调查
调查方式 优点 不足
全面调查 可靠、真实 花费时间长，浪费人力、物力、具有破坏性.
抽样调查 省时、省力、破坏性小 样本选取不当时，会增大估计总体的误差.
知识点二 总体、个体、样本、样本容量
总体 所要考查对象的全体称为总体.
个体 组成总体的每一对象称为个体.
样本 总体中被抽取出来的一部分称为样本.
样本容量 样本中所包含的个体的数目叫做样本容量.
知识点三 频数与频率
频数 定义 统计时，落在各小组的数据的个数.
规律 各小组的频数之和等于数据总数.
频率 定义 每个小组的频数与数据总数的比值.
规律 各小组的频率之和等于 1.
知识点四 四种常见统计图
条形图 能清楚地表示每个项目的具体数目.
扇形图 能直观地反映部分占总体的百分比.
折线图 能清楚地反映数据的变化趋势.
直方图 能直观、清楚地反映数据在各小组的分布情况.
知识点五 数据的集中趋势
平均数
若 n 个 数 x1 ， x2 ， … ， xn 的 权 分 别 是 f1 ， f2 ， … ， fn ， 则 其 加 权 平 均 数
x = x1f1＋x2f2＋…＋xnfn
f1＋f2＋…＋fn
中位数
将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，若数据的个数为奇数，则处
于中间位置的数就是这组数据的中位数；若数据的个数为偶数，则中间两个数据
的平均数就是这组数据的中位数.
众数 在一组数据中，出现次数最多的数据就是这组数据的众数.
知识点六 数据的波动——方差
定义 设有 n 个数据 x1，x2，…，xn，我们用 s2=
2 2 2
1 2( ) ( ) ( )nx x x x x x
n
- + - + + -… 来衡量
这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差，记作 s2.
意义 方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.
课前小测第 172 页 共 237 页
1．（众数）一组数据﹣3，2，2，0，2，1 的众数是（ ）
A．﹣3 B．2 C．0 D．1
2．（中位数）（2018•盐城）一组数据 2，4，6，4，8 的中位数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．（平均数）数据 60，70，40，30 这四个数的平均数是（ ）
A．40 B．50 C．60 D．70
4．（样本容量）为了了解某校 2000 名学生的身高情况，随机抽取了该校 200
名学生测量身高．在这个问题中，样本容量是（ ）
A．2000 名学生 B．2000 C．200 名学生 D．200
5．（加权平均数）某校规定学生的数学综合成绩满分为 100 分，其中段考成绩
占 40%，期末成绩占 60%，小明的段考和期考成绩分别是 90 分，95 分，则小明
的综合成绩是（ ）
A．92 分 B．93 分 C．94 分 D．95 分
经典回顾
考点一 数据收集与整理
【例 1】（2019•辽阳）下列调查适合采用抽样调查的是（ ）
A．某公司招聘人员，对应聘人员进行面试
B．调查一批节能灯泡的使用寿命
C．为保证火箭的成功发射，对其零部件进行检查
D．对乘坐某次航班的乘客进行安全检查
【点拔】本题考查的是抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据
所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法
进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的
调查，事关重大的调查往往选用普查．
考点二 数据描述
【例 2】（2019•张家界）为了建设“书香校园”，某校七年级的同学积极捐书，
下表统计了七（1）班 40 名学生的捐书情况：
捐书（本） 3 4 5 7 10第 173 页 共 237 页
人数 5 7 10 11 7
该班学生平均每人捐书 本．
【点拔】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
考点三 数据分析
【例 3】（2018•广东）某企业工会开展“一周工作量完成情况”调查活动，随机调
查了部分员工一周的工作量剩余情况，并将调查结果统计后绘制成如图 1 和图 2
所示的不完整统计图．
（1）被调查员工的人数为 人：
（2）把条形统计图补充完整；
（3）若该企业有员工 10000 人，请估计该企业某周的工作量完成情况为“剩少量”
的员工有多少人？
【点拨】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不
同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．也考查了用样本估计总体．
对应训练
1．（2019•广东）数据 3，3，5，8，11 的中位数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2018•广东）数据 1、5、7、4、8 的中位数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2017•广东）在学校举行“阳光少年，励志青春”的演讲比赛中，五位评委给
选手小明的评分分别为：90，85，90，80，95，则这组数据的众数是（ ）
A．95 B．90 C．85 D．80
4．（2019•铁岭）某公司招聘职员，公司对应聘者进行了面试和笔试（满分均为
100 分），规定笔试成绩占 40%，面试成绩占 60%．应聘者蕾蕾的笔试成绩第 174 页 共 237 页
和面试成绩分别为 95 分和 90 分，她的最终得分是（ ）
A．92.5 分 B．90 分 C．92 分 D．95 分
5．（2019•贺州）调查我市一批药品的质量是否符合国家标准．采用
方式更合适．（填“全面调查”或“抽样调查”）
6．（2017•广东）某校为了解九年级学生的体重情况，随机抽取了九年级部分学
生进行调查，将抽取学生的体重情况绘制如下不完整的统计图表，如图表所
示，请根据图表信息回答下列问题：
体重频数分布表
组边 体重（千克） 人数
A 45≤x＜50 12
B 50≤x＜55 m
C 55≤x＜60 80
D 60≤x＜65 40
E 65≤x＜70 16
（1）填空：①m＝ （直接写出结果）；
②在扇形统计图中，C 组所在扇形的圆心角的度数等于 度；
（2）如果该校九年级有 1000 名学生，请估算九年级体重低于 60 千克的学生
大约有多少人？
中考冲刺
夯实基础
1．（2019•济宁）以下调查中，适宜全面调查的是（ ）
A．调查某批次汽车的抗撞击能力
B．调查某班学生的身高情况第 175 页 共 237 页
C．调查春节联欢晚会的收视率
D．调查济宁市居民日平均用水量
2．（2019•遂宁）某校为了了解家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意
见，随机对全校 100 名学生家长进行调查，这一问题中样本是（ ）
A．100
B．被抽取的 100 名学生家长
C．被抽取的 100 名学生家长的意见
D．全校学生家长的意见
3．（2019•抚顺）一组数据 1，3，﹣2，3，4 的中位数是（ ）
A．1 B．﹣2 C． D．3
4．（2019•辽阳）某校七年级举办“诵读大赛”，10 名学生的参赛成绩分别为：85
分，90 分，94 分，85 分，90 分，95 分，90 分，96 分，95 分，100 分，则这
10 名学生成绩的众数是（ ）
A．85 分 B．90 分 C．92 分 D．95 分
5．（2019•南充）在 2019 年南充市初中毕业升学体育与健康考试中，某校九年
级（1）班体育委员对本班 50 名同学参加球类自选项目做了统计，制作出扇
形统计图（如图），则该班选考乒乓球人数比羽毛球人数多（ ）
A．5 人 B．10 人 C．15 人 D．20 人
6．（2019•鞍山）一个不透明的口袋中有红球和黑球共 25 个，这些球除颜色外
都相同．进行大量的摸球试验（每次摸出 1 个球）后，发现摸到黑球的频率
在 0.6 附近摆动，据此可以估计黑球为 个．
7．（2019•遂宁）某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三
轮测试得分分别为 92 分、85 分、90 分，综合成绩笔试占 40%，试讲占 40%，
面试占 20%，则该名教师的综合成绩为 分．
8．（2019•宁夏）为了解某班学生体育锻炼的用时情况，收集了该班学生一天用第 176 页 共 237 页
于体育锻炼的时间（单位：小时），整理成如图的统计图．则该班学生这天
用于体育锻炼的平均时间为 小时．
能力提升
9．（2019•日照）已知一组数据 8，3，m，2 的众数为 3，则这组数据的平均数
是 ．
10．（2019•资阳）一组数据 1，2，5，x，3，6 的众数为 5．则这组数据的中位
数为 ．
11．（2019•福建）某校征集校运会会徽，遴选出甲、乙、丙三种图案．为了解
何种图案更受欢迎，随机调查了该校 100 名学生，其中 60 名同学喜欢甲图案，
若该校共有 2000 人，根据所学的统计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有
人．
12．（2019•青岛）射击比赛中，某队员 10 次射击成绩如图所示，则该队员的平
均成绩是 环．
13．（2019•齐齐哈尔）齐齐哈尔市教育局想知道某校学生对扎龙自然保护区的
了解程度，在该校随机抽取了部分学生进行问卷，问卷有以下四个选项：A．十
分了解；B．了解较多：C．了解较少：D．不了解（要求：每名被调查的学
生必选且只能选择一项）．现将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图．请
根据两幅统计图中的信息回答下列问题：第 177 页 共 237 页
（1）本次被抽取的学生共有 名；
（2）请补全条形图；
（3）扇形图中的选项“C．了解较少”部分所占扇形的圆心角的大小为 °；
（4）若该校共有 2000 名学生，请你根据上述调查结果估计该校对于扎龙自
然保护区“十分了解”和“了解较多”的学生共有多少名？
14．（2019•娄底）湖南省作为全国第三批启动高考综合改革的省市之一，从 2018
年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考综合改革．深化高考综合改革，
承载着广大考生的美好期盼，事关千家万户的切身利益，社会关注度高．为
了了解我市某小区居民对此政策的关注程度，某数学兴趣小组随机采访了该
小区部分居民，根据采访情况制作了如下统计图表：
关注程度 频数 频率
A．高度关注 m 0.4
B．一般关注 100 0.5
C．没有关注 20 n
（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为 ，m＝ ， n ＝
．
（2）根据以上信息补全图中的条形统计图．
（3）请估计在该小区 1500 名居民中，高度关注新高考政策的约有多少人？第 178 页 共 237 页
第 29 课 概率
本节内容考纲要求考查事件的分类，概率的意义，用列表法或树状图法求概率，用频率
去估计概率。近 5 年试题规律：要么在选择题中考查随机事件和简单事件的概念，要么考查
用列表法或树状图法求指定事件的概率，极少出现频率估计概率问题。
知识清单
事件的分类
确定性事件
必然事件 在一定条件下，必然会发生的事件，称为必然事件.
不可能事件 在一定条件下，必然不会发生的事件，称为不可能事件.
必然事件和不可能事件统称为确定性事件.
随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.
概率的意义与计算
概率的意义 对于一个随机事件，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件发
生的概率.
概率的计算
一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相
等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率为：P(A)＝m
n.
求概率的
常用方法
(1)概率的定义；(2)列表法；(3)画树状图法；(4)用频率估计概率(在大量重复
试验中，事件发生的频率为m
n
，我们可以估计事件发生的概率为m
n).
课前小测
1．（事件的分类）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．任意买一张电影票，座位号是 2 的倍数
B．13 个人中至少有两个人生肖相同
C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
D．明天一定会下雨
2．（概率的意义）（2017•阿坝州）对“某市明天下雨的概率是 75%”这句话，理
解正确的是（ ）
A．某市明天将有 75%的时间下雨
B．某市明天将有 75%的地区下雨
C．某市明天一定下雨
D．某市明天下雨的可能性较大
3．（概率的公式）一个不透明的袋中共有 20 个球，它们除颜色不同外，其余均
相同，其中：8 个白球，5 个黄球，5 个绿球，2 个红球，则任意摸出一个球是红第 179 页 共 237 页
球的概率是（ ）
A． 2
3 B． 1
10 C． 1
5 D． 1
4
4．（几何概率）如图，一个圆形转盘被分成 6 个圆心角都为 60°的扇形，任意
转动这个转盘 1 次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是（ ）
A． 1
4 B． 1
3 C． 1
2 D． 2
3
5．（列举法求概率）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚
硬币反面向上的概率是 ．
经典回顾
考点一 事件的分类
【例 1】（2019•广西）下列事件为必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放新闻
B．任意画一个三角形，其内角和是 180°
C．买一张电影票，座位号是奇数号
D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
【点拔】必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不确定事件即随机事件
是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
考点二 概率的意义
【例 2】（2019•张家界）下列说法正确的是（ ）
A．打开电视机，正在播放“张家界新闻”是必然事件
B．天气预报说“明天的降水概率为 65%”，意味着明天一定下雨
C．两组数据平均数相同，则方差大的更稳定
D．数据 5，6，7，7，8 的中位数与众数均为 7
【点拔】本题考查了概率及其应用，正确理解概率的意义是解题的关键．
考点三 概率公式第 180 页 共 237 页
【例 3】（2019•温州）在同一副扑克牌中抽取 2 张“方块”，3 张”梅花”，1
张“红桃”．将这 6 张牌背面朝上，从中任意抽取 1 张，是“红桃”的概率
为（ ）
A． 1
6 B． 1
3 C． 1
2 D． 2
3
【点拔】本题主要考查概率公式，随机事件 A 的概率 P（A）＝事件 A 可能出
现的结果数÷所有可能出现的结果数，即 P（A）= m
n
．
考点四 用列表法或树状图法求概率
【例 4】（2015•广东）老师和小明同学玩数学游戏．老师取出一个不透明的口袋，
口袋中装有三张分别标有数字 1，2，3 的卡片，卡片除数字外其余都相同，老师
要求小明同学两次随机抽取一张卡片，并计算两次抽到卡片上的数字之积是奇数
的概率．于是小明同学用画树状图的方法寻求他两次抽取卡片的所有可能结果．如
图是小明同学所画的正确树状图的一部分．
（1）补全小明同学所画的树状图；
（2）求小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率．
【点拨】此题考查了列表法或树状图法求概率．
对应训练
1．（2019•日照）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．掷一次骰子，向上一面的点数是 6
B．13 个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月
C．射击运动员射击一次，命中靶心
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
2．（2019•天门）下列说法正确的是（ ）
A．了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查
B．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为 S 甲 2＝3，S 乙 2＝4，说明乙的跳远成绩
比甲稳定第 181 页 共 237 页
C．一组数据 2，2，3，4 的众数是 2，中位数是 2.5
D．可能性是 1%的事件在一次试验中一定不会发生
3．（2019•绥化）不透明袋子中有 2 个红球和 4 个蓝球，这些球除颜色外无其他
差别，从袋子中随机取出 1 个球是红球的概率是（ ）
A． 1
3 B． 1
4 C． 1
5 D． 1
6
4．（2019•桂林）如图，一个圆形转盘被平均分成 6 个全等的扇形，任意旋转这
个转盘 1 次，则当转盘停止转动时，指针指向阴影部分的概率是（ ）
A． 1
2 B． 1
3 C． 1
4 D． 1
6
5．（2019•广东）为了解某校九年级全体男生 1000 米跑步的成绩，随机抽取了
部分男生进行测试，并将测试成绩分为 A、B、C、D 四个等级，绘制如下不
完整的统计图表，如图表所示，根据图表信息解答下列问题：
成绩等级频数分布表
成绩等级 频数
A 24
B 10
C x
D 2
合计 y
（1）x＝ ，y＝ ，扇形图中表示 C 的圆心角的度数为 度；
（2）甲、乙、丙是 A 等级中的三名学生，学校决定从这三名学生中随机抽取
两名介绍体育锻炼经验，用列表法或画树状图法，求同时抽到甲，乙两名学
生的概率．第 182 页 共 237 页
中考冲刺
夯实基础
1．（2019•赤峰）不透明袋子中有除颜色外完全相同的 4 个黑球和 2 个白球，从
袋子中随机摸出 3 个球，下列事件是必然事件的是（ ）
A．3 个都是黑球 B．2 个黑球 1 个白球
C．2 个白球 1 个黑球 D．至少有 1 个黑球
2．（2019•湖州）已知现有的 10 瓶饮料中有 2 瓶已过了保质期，从这 10 瓶饮料
中任取 1 瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是（ ）
A． 1
10 B． 9
10 C． 1
5 D． 4
5
3．（2019•丹东）有 5 张无差别的卡片，上面分别标有﹣1，0， 1
3
， 2 ，π，从
中随机抽取 1 张，则抽出的数是无理数的概率是 ．
4．（2019•葫芦岛）在一个不透明的袋子中只装有 n 个白球和 2 个红球，这些球
除颜色外其他均相同．如果从袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是 1
3
，
那么 n 的值为 ．
5．（2019•遵义）小明用 0﹣9 中的数字给手机设置了六位开机密码，但他把最
后一位数字忘记了，小明只输入一次密码就能打开手机的概率是 ．
6．（2019•抚顺）一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某
块地板上，每块地板大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概
率是 ．
7．（2019•营口）一个不透明的口袋中有 4 个大小、质地完全相同的乒乓球，球第 183 页 共 237 页
面上分别标有数﹣1，2，﹣3，4．
（1）摇匀后任意摸出 1 个球，则摸出的乒乓球球面上的数是负数的概率
为 ．
（2）摇匀后先从中任意摸出 1 个球（不放回），再从余下的 3 个球中任意摸
出 1 个球，用列表或画树状图的方法求两次摸出的乒乓球球面上的数之和是
正数的概率．
8．（2019•锦州）对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少
污染，保护环境．为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两
个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的 A，B，C，D 四个小区进行
检查，并且每个小区不重复检查．
（1）甲组抽到 A 小区的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图的方法求甲组抽到 A 小区，同时乙组抽到 C 小区的
概率．
能力提升
9．（2019•大连）不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，
随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概
率为（ ）
A． 2
3 B． 1
2 C． 1
3 D． 1
4
10．（2019•广西）“学雷锋”活动月中，“飞翼”班将组织学生开展志愿者服务活
动，小晴和小霞从“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择一个参加
活动，两人恰好选择同一场馆的概率是（ ）
A． 1
3 B． 2
3 C． 1
9 D． 2
9
11．（2019•柳州）小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少要出一个手指，
两人出拳的手指数之和为偶数时小李获胜，那么，小李获胜的概率为（ ）
A． 13
25 B． 12
25 C． 4
25 D． 1
2
12．（2019•临沂）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，第 184 页 共 237 页
如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，一辆向右转，
一辆向左转的概率是（ ）
A． 2
3 B． 2
9 C． 1
3 D． 1
9
13．（2019•雅安）在两个暗盒中，各自装有编号为 1，2，3 的三个球，球除编
号外无其它区别，则在两个暗盒中各取一个球，两球上的编号的积为偶数的
概率为 ．
14．（2019•襄阳）从 2，3，4，6 中随机选取两个数记作 a 和 b（a＜b），那么
点（a，b）在直线 y＝2x 上的概率是 ．
15．（2019•内江）“大千故里，文化内江”，我市某中学为传承大千艺术精神，
征集学生书画作品．王老师从全校 20 个班中随机抽取了 A、B、C、D4 个班，
对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）王老师采取的调查方式是 （填“普查”或“抽样调査”），王老师所调
查的 4 个班共征集到作品 件，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，表示 C 班的扇形周心角的度数为 ；
（3）如果全校参展作品中有 4 件获得一等奖，其中有 1 名作者是男生，3 名
作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表
彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．（要求用树状图或列表法写出分析
过程）
16．（2019•云南）甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标
号分别为 1，2，3，4 的四个小球（除标号外无其它差异）．从口袋中随机摸
出一个小球，记下标号后放回口袋中，充分摇匀后，再从口袋中随机摸出一
个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用 x、y 表示．若 x+y 为奇第 185 页 共 237 页
数，则甲获胜；若 x+y 为偶数，则乙获胜．
（1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求（x，y）
所有可能出现的结果总数；
（2）你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由．第 186 页 共 237 页
第二轮 小微专题复习
微专题 1 实数的运算
1．计算：|﹣3|﹣20190+（﹣ 1
3
）﹣1．
2．计算：32+（x﹣5）0﹣ 4 +（﹣1）﹣1．
3．计算：|﹣2|+（ 1
2
）﹣1﹣（π﹣1）0+ 4 ．
4．计算：（﹣1）2019+ 12 ×sin60°﹣（﹣3）．
5．计算：（2019﹣π）0+|1﹣ 3 |﹣sin60°．
6．计算：（﹣1）3+ 9 ﹣（π﹣112）0﹣2 3 tan60°第 187 页 共 237 页
微专题 2 整式的运算
1．计算：（x+2）2+x（x﹣4）．
2．计算：（x+1）（x﹣1）﹣x2．
3．计算：（a﹣2）2+4（a﹣1）
4．先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）+x（1﹣x），其中 x＝﹣1．
5．先化简，再求值：x（x+3）﹣（x+1）2，其中 x＝ 2 +1．
6．先化简，再求值：a（a﹣2b）﹣（a+b）（a﹣b），其中 a＝ 1
2
，b＝﹣1．第 188 页 共 237 页
微专题 3 分式的运算
1．计算：
2 1
1
x
x
-
+ ÷
2
2
2 1x x
x x
- +
- ．
2．计算： 2
2
4
x
x - ﹣ 1
2x - ．
3．计算： 2 1
x
x - ÷（1+ 1
1x - ）．
4．计算：1+ 2
3x - ÷ 2
2 6
6 9
x
x x
+
- + ．
5．先化简，再求值：（ 1
1x - +1）÷ 2 1
x
x - ，其中 x=﹣3．
6．先化简，再求值：
2
2
2 1
1
x x
x
- +
- ÷（1﹣ 3
1x + ），其中 x=3．第 189 页 共 237 页
微专题 4 方程与方程组
1．解方程： 2 3
3
x - ﹣ 2
4
x + =1
2．解方程： 1
2
x - =4﹣ 4 3
3
x - ．
3．解方程组： 1
2 3
x y
x y
ì = +ïí - =ïî
．
4．解方程组 2 4
2 5
x y
x y
ì + =ïí + =ïî
①
②
．
5．解方程：x2﹣2x﹣4=0．
6．解方程：x2﹣5x﹣1=0．第 190 页 共 237 页
微专题 5 分式方程
1．解方程： 3 114 4
x
x x
+ + =- - ．
2．解分式方程： 2
1x + = 1
1x - ．
3．解方程： 3
3
x
x
+
- ﹣ 4
3x + =1．
4．解方程： 2 9
3 9
x
x
+
- = 4 7
3
x
x
-
- +2
5．解方程： 1
1
x
x
+
- = 1
2x - +1．
6．解分式方程： 2
3
9x - =1+ 3
x
x- ．第 191 页 共 237 页
微专题 6 不等式与不等式组
1．解不等式：
2
x ﹣ 1
3
x - ＜1．
2．解不等式 1
2
x + ＞ 2 2
3
x + ﹣1，并写出它的正整数解．
3．解下列不等式 2 1
3
x - ≤ 3 2
4
x + ﹣1，并将解集在数轴上表示出来．
4．解不等式组： 2 3 9
2 5 10 3
x x
x x
ì + -ïí - -ïî
＜ ①
＞ ②
．
5．解不等式组
9 42
2 3 0
x
x
ì +ïíï -î
①≥
②＜
，并写出不等式组的整数解．
6．解不等式组 2 3
3( 1) ( 5) 0
x x
x x
ì -ïí - - -ïî
＜ ①
≥ ②
，并把它的解集在数轴上表示出来．第 192 页 共 237 页
微专题 7 求函数解析式
1．已知一次函数的图象经过点（1，2）和点（3，0），求这个一次函数的解析
式．
2．已知二次函数图象的顶点坐标是（3，5），且抛物线经过点 A（1，3）．求
此抛物线的表达式．
3．二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点（4，3），（3，0）．
（1）求 b、c 的值；
（2）求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
4．如图，点 A（5，2），B（m，n）（m＜5）在反比例函数 y= k
x
的图象上，作
AC⊥y 轴于点 C．（1）求反比例函数的表达式；
（2）若△ABC 的面积为 10，求点 B 的坐标．
5．已知抛物线 y=x2+bx+3 经过点 A（﹣1，8），顶点为 M；
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线对称轴与 x 轴交于点 B，连接 AB、AM，求△ABM 的面积．
6．如图所示，一次函数 y=kx+b 与反比例函数 y= m
x
的图象交于 A（2，4），B（﹣
4，n）两点．
（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式；
（2）过点 B 作 BC⊥x 轴，垂足为点 C，连接 AC，求△ACB 的面积．第 193 页 共 237 页
微专题 8 方程（组）与不等式应用
1．植树节前夕，某小区为绿化环境，购进 200 棵柏树苗和 120 棵枣树苗，且两
种树苗所需费用相同，每棵枣树苗的进价比每棵柏树苗的进价的 2 倍少 5 元，每
棵柏树苗的进价是多少元．
2．甲班有 45 人，乙班有 39 人．现在需要从甲、乙班各抽调一些同学去参加歌
咏比赛．如果从甲班抽调的人数比乙班多 1 人，那么甲班剩余人数恰好是乙班剩
余人数的 2 倍．请问从甲、乙两班各抽调了多少参加歌咏比赛？
3．九年级（1）班为奖励在校运动会上取得较好成绩的运动员，花了 396 元钱购
买甲、乙两种奖品共 30 件．其中甲种奖品每件 15 元，乙种奖品每件 12 元，求
甲、乙两种奖品各买多少件？
4．2019 年 5 月 12 日母亲节那天，某班很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒，根
据图中的信息：
（1）求每束鲜花和一个礼盒的价格；
（2）小兰给妈妈买了两束鲜花和两个礼盒一共花了多少钱？
5．为了响应“足球进校园”的号召，某校计划为学校足球队购买一批足球，若购
买 1 个 A 品牌的足球和 1 个 B 品牌的足球共需 140 元；若购买 4 个 A 品牌的足
球和 2 个 B 品牌的足球共需 360 元．
（1）购买一个 A，B 品牌的足球各需多少元？
（2）已知该校需购买 10 个足球，且总费用不超过 800 元，则最多能购买多少个
B 品牌的足球？第 194 页 共 237 页
6．运输 360 吨化肥，装载了 6 辆大卡车和 3 辆小汽车；运输 440 吨化肥，装载
了 8 辆大卡车和 2 辆小汽车
（1）每辆大卡车与每辆小汽车平均各装多少吨化肥？
（2）现在用大卡车和小汽车一共 10 辆去装化肥，要求运输总量不低于 300 吨，
则最少需要几辆大卡车？第 195 页 共 237 页
微专题 9 一元二次方程应用
1．今年春季某地区流感爆发，开始时有 4 人患了流感，经过两轮传染后，共有
196 人患了流感．若每轮每人传染的人数相同，求每轮每人传染的人数．
2．在学校文化艺术节中，围棋比赛进行了单循环赛，若每两个学生之间都只比
赛一场，共比赛了 45 场，求参加围棋比赛的学生人数．
3．用一条长为 40cm 的绳子围成一个面积为 75cm2 的矩形，问矩形的长和宽各是
多少？
4．如图，某小区规划在长 20 米，宽 10 米的矩形场地 ABCD 上修建三条同样宽
的小路，使其中两条与 AD 平行，一条与 AB 平行，其余部分种草，若使草坪
的面积为 162 米 2，问小路应为多宽？
5．某村 2016 年的人均收入为 20000 元，2018 年的人均收入为 24200 元
（1）求 2016 年到 2018 年该村人均收入的年平均增长率；
（2）假设 2019 年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请
你预测 2019 年村该村的人均收入是多少元？
6．某商场销售一批鞋子，平均每天可售出 20 双，每双盈利 50 元．为了扩大销
售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价 1 元，
商场平均每天可多售出 2 双．
（1）若每双鞋子降价 20 元，商场平均每天可售出多少双鞋子？
（2）若商场每天要盈利 1750 元，且让顾客尽可能多得实惠，每双鞋子应降
价多少元？第 196 页 共 237 页
微专题 10 分式方程应用
1．甲乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做 4 个，甲做 120 个所用的
时间与乙做 100 个所用的时间相等，求甲乙两人每小时各做几个零件？
2．甲、乙两名学生练习打字，甲打 135 个字所用时间与乙打 180 个字所用时间
相同．已知甲平均每分钟比乙少打 20 个字，求甲平均每分钟打字的个数．
3．已知 A，B 两地相距 160km，一辆汽车从 A 地到 B 地的速度比原来提高了 25%，
结果比原来提前 0.4h 到达，求这辆汽车原来的速度．
4．刘阿姨到超市购买大米，第一次按原价购买，用了 105 元，几天后，遇上这
种大米 8 折出售，她用 140 元又买了一些，两次一共购买了 40kg．这种大米的
原价是多少？
5．某工程队修建一条长 1200 米的道路，采用新的施工方式，工效提升了 50%，
结果提前 4 天完成任务．求这个工程队原计划每天修道路多少米．
6．正在建设的“汉十高铁”竣工通车后，若襄阳至武汉段路程与当前动车行驶的
路程相等，约为 325 千米，且高铁行驶的速度是当前动车行驶速度的 2.5 倍，则
从襄阳到武汉乘坐高铁比动车所用时间少 1.5 小时．求高铁的速度．第 197 页 共 237 页
微专题 11 函数应用
1．某学校积极响应怀化市“三城同创”的号召，绿化校园，计划购进 A，B 两种树
苗，共 21 棵，已知 A 种树苗每棵 90 元，B 种树苗每棵 70 元．设购买 A 种树苗
x 棵，购买两种树苗所需费用为 y 元．
（1）求 y 与 x 的函数表达式，其中 0≤x≤21；
（2）若购买 B 种树苗的数量少于 A 种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，
并求出该方案所需费用．
2．已知某市 2019 年企业用水量 x（吨）与该月应交的水费 y（元）之间的函数
关系如图．
（1）当 x≥50 时，求 y 关于 x 的函数关系式；
（2）若某企业 2019 年 10 月份的水费为 620 元，求该企业 2019 年 10 月份的用
水量．
3．为了方便孩子入学，小王家购买了一套学区房，交首付款 15 万元，剩余部分
向银行贷款，贷款及贷款利息按月分期还款，每月还款数相同．计划每月还款 y
万元，x 个月还清贷款，若 y 是 x 的反比例函数，其图象如图所示：
（1）求 y 与 x 的函数解析式；
（2）若小王家计划 180 个月（15 年）还清贷款，则每月应还款多少万元？第 198 页 共 237 页
4．某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为 40 元．经市场调研，当该纪念
品每件的销售价为 50 元时，每天可销售 200 件；当每件的销售价每增加 1 元，
每天的销售数量将减少 10 件．
（1）当每件的销售价为 52 元时，该纪念品每天的销售数量为 件；
（2）当每件的销售价 x 为多少时，销售该纪念品每天获得的利润 y 最大？并求
出最大利润．第 199 页 共 237 页
微专题 12 解直角三角形的应用
1．如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点 A，又在河的
另一岸边去两点 B、C 测得∠α=30°，∠β=45°，量得 BC 长为 100 米．求河的宽
度（结果保留根号）．
2．某探测队在地面 A、B 两处均探测出建筑物下方 C 处有生命迹象，已知探测
线与地面的夹角分别是 25°和 60°，且 AB=4 米，求该生命迹象所在位置 C 的深
度．（结果精确到 1 米．参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5， 3 ≈1.7）
3．如图所示，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，检测点
设在距离公路 10m 的 A 处，测得一辆汽车从 B 处行驶到 C 处所用时间为 0.9 秒，
已知∠B=30°，∠C=45°．
（1）求 B，C 之间的距离；（保留根号）
（2）如果此地限速为 80km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．（参考数
据： 3 ≈1.7， 2 ≈1.4）第 200 页 共 237 页
4．目前，崇明县正在积极创建全国县级文明城市，交通部门一再提醒司机：为
了安全，请勿超速，并在进一步完善各类监测系统，如图，在陈海公路某直线路
段 MN 内限速 60 千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路 MN 旁设立了观测
点 C，从观测点 C 测得一小车从点 A 到达点 B 行驶了 5 秒钟，已知∠CAN=45°，
∠CBN=60°，BC=200 米，此车超速了吗？请说明理由．
（参考数据： 2 ≈1.41， 3 ≈1.73）第 201 页 共 237 页
微专题 13 统计
1．为了绿化环境，某中学八年级（3 班）同学都积极参加了植树活动，下面是
今年 3 月份该班同学植树情况的形统计图和不完整的条形统计图：
请根据以上统计图中的信息解答下列问题．
（1）植树 3 株的人数为 ；
（2）该班同学植树株数的中位数是 ；
（3）求该班同学平均植树的株数．
2．某中学开展“阳光体育一小时”活动，按学校实际情况，决定开设 A：踢毽子；
B：篮球；C：跳绳；D：乒乓球四种运动项目，为了解学生最喜欢哪一种运
动项目，随机抽取了一部分学生进行调查，井将调查结果绘制成如下两个统
计图．请结合图中的信息解答下列问题．
（1）在扇形统计图中，“B”所在扇形的圆心角是多少度？；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若该中学有 1200 名学生，喜欢篮球运动的学生约有多少名？第 202 页 共 237 页
3．“天府之国，宜居成都”，某校数学兴趣小组就“最想去的成都市旅游景点”随
机调查了本校部分学生，要求每位同学选择且只能选择一个最想去的景点，
下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图，请根据图中
提供的信息，解答下列问题：
（1）求被调查的学生总人数；
（2）补全条形统计图，并求扇形统计图中表示“最想去景点 D”的扇形圆心角
的度数；
（3）若该校共有 800 名学生，请估计“最想去景点 B”的学生人数．
4．（2019 春•嘉兴期末）为了解某校同学对电动车新规的知晓情况．某班数学兴
趣小组随机调查了学校的部分同学，对调查情况制作的统计图表的一部分如
图表所示：
电动车新规知晓情况统计表
知晓情况 频数 频率
A．非常知晓 m 0.50
B．比较知晓 50 0.25
C．不太知晓 30 n
D．不知晓 20 0.10
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）根据以上信息补全条形统计图；
（3）根据上述调查结果，请估计在全市 15000 名同学中，非常知晓电动车新
规的学生人数约有多少人？第 203 页 共 237 页第 204 页 共 237 页
微专题 14 概率
1．经过校园某路口的行人，可能左转，也可能直行或右转．假设这三种可能性
相同，现有小明和小亮两人经过该路口，请用列表法或画树状图法，求两人之中
至少有一人直行的概率．
2．不透明的袋中装有 1 个红球与 2 个白球，这些球除颜色外都相同，将其搅匀．
（1）从中摸出 1 个球，恰为红球的概率等于 ；
（2）从中同时摸出 2 个球，摸到红球的概率是多少？
3．小明和小刚用如图所示的两个均匀的转盘做配紫色游戏，游戏规则是：分别
任意旋转两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，则可以配
成紫色．若配成紫色则小刚获胜，否则小明获胜．
（1）请用列表法或树形图求出小明胜的概率；
（2）这个游戏公平吗？请说明理由．
4．某校为了解本校九年级学生足球训练情况，随机抽查该年级若干名学生进行
测试，然后把测试结果分为 4 个等级：A、B、C、D，并将统计结果绘制成两幅
不完整的统计图．请根据图中的信息解答下列问题：
（1）补全条形统计图
（2）该年级共有 700 人，估计该年级足球测试成绩为 D 等的人数为 人；
（3）在此次测试中，有甲、乙、丙、丁四个班的学生表现突出，现决定从这四
个班中随机选取两个班在全校举行一场足球友谊赛．请用画树状图或列表的方
法，求恰好选到甲、乙两个班的概率．第 205 页 共 237 页
微专题 15 三角形
1．已知：如图，点 A、D、C、B 在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，
求证：AE∥FB．
2．如图，AB∥CD，E、F 分别为 AB、CD 上的点，且 EC∥BF，连接 AD，分别
与 EC、BF 相交于点 G，H，若 AB=CD，求证：AG=DH．
3．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为 D，E．求证：
BE=CD．
4．如图，△ABC 中，CE、CF 分别是∠ACB 及外角∠ACD 的平分线，且 CE 交
AB 于点 E，EF 交 AC 于点 M，已知 EF∥BC．
（1）求证：M 为 EF 中点；
（2）若∠B=40°，∠A=60°，求∠F 的度数．第 206 页 共 237 页
微专题 16 平行四边形
1．如图，在▱ ABCD 中，E，F 是对角线 AC 上不同两点，BE∥DF，求证：四
边形 BFDE 是平行四边形．
2．已知，如图，平行四边形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，连 DE 并延长交 AB
的延长线于点 F，求证：AB=BF．
3．如图，在平行四边形 ABCD 中，边 AB 的垂直平分线交 AD 于点 E，交 CB 的
延长线于点 F，连接 AF，BE．
（1）求证：△AGE≌△BGF；
（2）试判断四边形 AFBE 的形状，并说明理由．
4．如图，已知点 E，C 在线段 BF 上，BE=EC=CF，AB∥DE，∠ACB=∠F．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）求证：四边形 ACFD 为平行四边形．第 207 页 共 237 页
微专题 17 特殊平行四边形
1．在矩形 ABCD 中，点 E 在 BC 上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为 F．
（1）求证：DF＝AB；
（2）若∠FEC＝135°，且 AB＝4，求 AD．
2．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）判断四边形 OCED 的形状，并进行证明；
（2）若 AB＝4，∠ACB＝30°，求四边形 OCED 的面积．
3．如图，四边形 ABCD 是正方形，点 G 是 BC 边上的任意一点，DE⊥AG 于点
E，BF∥DE，且交 AG 于点 F，求证：
（1）DE＝AF；（2）AF﹣BF＝EF．
4．如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 AB，BC 边上，ED 平分∠AEF．
（1）求证：EF＝AE+CF．（2）若 AE＝2，CF＝3，求△DEF 的面积．第 208 页 共 237 页
微专题 18 圆的证明
1．如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，过点 C 的直线与 AB 延长线相交于
点 P．若∠COB=2∠PCB，求证：PC 是⊙O 的切线．
2．如图，以等腰△ABC 的腰 AB 为⊙O 的直径交底边 BC 于 D，DE⊥AC 于 E．
求证：（1）DB=DC；（2）DE 为⊙O 的切线
3．如图，⊙O 的直径为 AB，点 C 在圆周上（异于 A、B），AD⊥CD．
（1）若 BC=3，AB=5，求 AC 的值；
（2）若 AC 是∠DAB 的平分线，求证：直线 CD 是⊙O 的切线．
4．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，BC⊥AB，连接 OC，弦 AD∥OC，直线 CD
交 BA 的延长线于点 E．
（1）求证：直线 CD 是⊙O 的切线；（2）若 DE=2BC，EA=4，求⊙O 的半径．第 209 页 共 237 页
微专题 19 图形的折叠
1．如图，将矩形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠，使点 B 落在平面上的 M 点处，
CM 交 AD 于点 N．
（1）求证：△AMN≌△CDN；
（2）若 CD=3，∠BAC=60°，求 ND 的长．
2．如图，将矩形 ABCD 沿对角线 BD 对折，点 C 落在 E 处，BE 与 AD 相交于点
F．（1）求证：△BFD 是等腰三角形；（2）若 BC=4，CD=2，求 AF．
3．如图，在矩形 ABCD 中，将△ADE 沿 AE 折叠，点 D 刚好落在对角线 AC 上
的 F 点．（1）若 AB=8，BC=6，求 DE 的长；（2）若 AE=EC，求证：AC=2BC．
4．如图，将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 C 与点 A 重合，折痕 EF 分别与 AB、
DC 交于点 E 和点 F．
（1）证明：△ADF≌△AB′E；（2）若 AD=12，DC=18，求△AEF 的面积．第 210 页 共 237 页
微专题 20 图形的旋转
1．如图，正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为 BC 延长线上一点，CE=CF．
（1）△DCF 可以看作是△BCE 绕点 C 旋转某个角度得到的吗？
（2）若∠CEB=60°，求∠EFD 的度数．
2．如图，等腰 Rt△ABC 中，BA=BC，∠ABC=90°，点 D 在 AC 上，将△ABD 绕
点 B 沿顺时针方向旋转 90°后，得到△CBE．
（1）求∠DCE 的度数；（2）若 AB=4，CD=3AD，求 DE 的长．
3．在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，直线 MN 经过点 C，且 AD⊥MN 于 D，
BE⊥MN 于 E．
（1）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时，求证：DE=AD+BE；
（2）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时，AD=5，BE=2，求线段 DE 的长．
4．如图，正方形 ABCD 的边长为 6，E，F 分别是 AB，BC 边上的点，且∠EDF=45°，
将△DAE 绕点 D 逆时针旋转 90°，得到△DCM．
（1）求证：EF=FM．（2）当 AE=2 时，求 EF 的长．第 211 页 共 237 页
第三轮综合性问题复习
微专题 21 规律探究与猜想
规律与猜想类试题选材一般来源于学生熟悉的生活，有一定的趣味性，呈现
形式多样，便于学生观察，侧重考查学生观察和归纳能力，让学生从不同角度．利
用不同方法探索并发现数学规律，同时利用发现的规律，让学生学会自我验证，
真正考查了学生的数学思考能力．对此类问题的考查一般以选择题或填空题的形
式呈现．
【例 1】填在下面各正方形中的五个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m
的值是 ．
【点拨】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的
规律，并应用发现的规律解决问题．
【例 2】按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列： 1
2
， 1
6
， 1
12
， 1
20
，…，
则这个数列前 2019 个数的和为 ．
【点拨】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是根据数列得出第 n 个数为
1
( 1)n n + ，并熟练掌握裂项求和的方法．
对应训练
1．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第 9 行从
左至右第 5 个数是（ ）
A．2 10 B． 41 C．5 2 D． 51第 212 页 共 237 页
2．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，x 的值
应是（ ）
A．210 B．212 C．268 D．278
3．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可得出数 2017 应标在（ ）
A．第 504 个正方形的左下角 B．第 504 个正方形的右上角
C．第 505 个正方形的左下角 D．第 505 个正方形的右上角
4．有一组数： 1
2
， 2
5
， 3
10
， 4
17
，…，则这组数的第 8 个为 ，第 n 个数
为 （用含 n 的代数式表示）
5．观察下列各式： 11 3
+ =2 1
3
， 12 4
+ =3 1
4
， 13 5
+ =4 1
5
，…，请你将发现
的规律用含自然数 n（n≥1）的代数式表达出来 ．
6．找出下列各图形中数的规律，以此类推，a 的值为 ．
【例 3】如图，下列图案是由火柴棒按某种规律搭成的，第（1）个图案中有 2
个正方形，第（2）个图案中有 5 个正方形，第（3）个图案中有 8 个正方形……，
则第（5）个图案中有 个正方形，第 n 个图案中有 个正方形．
【点拨】本题主要考查图形的变化规律，根据题意得出正方形的个数为序数的 3
倍与 1 的差是解题的关键．第 213 页 共 237 页
【例 4】下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有 3
张黑色正方形纸片，第②个图中有 5 张黑色正方形纸片，第③个图中有 7 张黑色
正方形纸片，…，按此规律排列下去第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为（ ）
A．11 B．13 C．15 D．17
【点拨】此题主要考查了图形的变化规律，是根据图形进行数字猜想的问题，关
键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题．
对应训练
7．将一些相同的图形“●”按如图所示的规律依次摆放，观察每个图形中“●”的个
数，若第 n 个图形中有 3008 个“●”，则 n 的值是（ ）
A．996 B．999 C．1001 D．1002
8．如图，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 20 个图形共有★的数量
为（ ）
A．63 B．57 C．68 D．60
9．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，
第 2019 个图形共有 个○．第 214 页 共 237 页
10．每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第 2019 层的三角形个数为
．
11．如图，每个图案均由边长相等的黑、白两色正方形按规律拼接而成，照此规
律，第 n 个图案中白色正方形比黑色正方形多 个．（用含 n 的代数式表
示）
12．用黑白两种颜色的正方形纸片拼成如下一列图案：按这种规律排列第 10 个
图案中有白色纸片 张．第 215 页 共 237 页
微专题 22 阅读理解题
阅读理解型问题以内容丰富、构思新颖别致、题样多变为特点．知识的覆盖
面较大，它阅读原文，也设计一个新的数学情景，让学生在阅读的基础上，理解
其中的内容、方法和思想，然后再把握本质，理解实质的基础上作出回答．
【例 1】先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式 x2﹣4＞0
解：∵x2﹣4=（x+2）（x﹣2）
∴x2﹣4＞0 可化为 （x+2）（x﹣2）＞0
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得：
① 2 0
2 0
x
x
ì +ïí -ïî
＞
＞ 或② 2 0
2 0
x
x
ì +ïí -ïî
＜
＜ ，
解不等式组①，得 x＞2，
解不等式组②，得 x＜﹣2，
∴（x+2）（x﹣2）＞0 的解集为 x＞2 或 x＜﹣2，
即一元二次不等式 x2﹣4＞0 的解集为 x＞2 或 x＜﹣2．
（1）一元二次不等式 x2﹣16＞0 的解集为 ；
（2）分式不等式 1
3
x
x
-
- ＞0 的解集为 ；
（3）解一元二次不等式 2x2﹣3x＜0．
【点拨】本题考查了一元一次不等式组及方程的应用的知识，解题的关键是根据
已知信息经过加工得到解决此类问题的方法．
【例 2】先观察下列等式，再回答问题：
2 2
1 11 1 2
+ + =1+1
1
﹣ 1
2 =1 1
2
；
2 2
1 11 2 3
+ + =1+ 1
2
﹣ 1
3 =1 1
6
；
2 2
1 11 3 4
+ + =1+ 1
3
﹣ 1
4 =1 1
12
；第 216 页 共 237 页
（1）根据上面三个等式提供的信息，请你猜想 2 2
1 11 4 5
+ + 的结果，并进行验证；
（2）请按照上面各等式反映的规律，试用含 n 的式子表示出来；
（3）若 S= 2 2
1 11 1 2
+ + + 2 2
1 11 2 3
+ + + 2 2
1 11 3 4
+ + +…+ 2 2
1 11 2017 2018
+ + ，求 S．
【点拨】考查了二次根式的性质与化简，此题是一个阅读题目，通过阅读找出题
目隐含条件．总结：找规律的题，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用
关系式表示出来．
对应训练
1．观察下列等式：
（x﹣1）（x+1）=x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1
（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）=x5﹣1…
运用上述规律，试求 26+25+24+23+22+2+1 的值．
2．先阅读下面例题的解题过程，再解答后面的题目．
例题：解方程 （x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0
解：设 y=x2﹣1，则 （x2﹣1）2=y2，
原方程转化为 y2﹣5y+4=0．
解得：y1=1，y2=4．
当 y=1 时，x2﹣1=1，解得：x=± 2 ；
当 y=4 时，x2﹣1=4，解得：x=± 5 ．
∴原方程的解为：x1= 2 ，x2=﹣ 2 ，x3= 5 ，x4=﹣ 5 ．
题目：用类似的方法试解方程（x2+x）2+（x2+x）=6．
3．阅读下面例题的解答过程，体会、理解其方法，并借鉴该例题的解法解方程．
例题：解方程 x2﹣|x﹣1|﹣1=0．
解：（1）当 x﹣1≥0，即 x≥1 时．|x﹣1|=x﹣1，第 217 页 共 237 页
原方程化为 x2﹣（x﹣1）﹣1=0，即 x2﹣x=0，
解得 x1=0，x2=1．
∵x≥1，故 x=0 舍去，x=1 是原方程的解
（2）当 x﹣1＜0 即 x＜1 时．|x﹣1|=﹣（x﹣1），
原方程化为 x2+（x﹣1）﹣1=0，即 x2+x﹣2=0，
解得 x1=1，x2=﹣2．
∵x＜1，故 x=1 舍去，x=﹣2 是原方程的解．
综上所述，原方程的解为 x1=1，x2=﹣2．
题目：解方程：x2+2|x+2|﹣4=0．
4．韦达定理：若一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的两根分别为 x1、x2，则 x1+x2=
﹣ b
a
，x1•x2= c
a
，阅读下面应用韦达定理的过程：
若一元二次方程﹣2x2+4x+1=0 的两根分别为 x1、x2，求 x12+x22 的值．
解：该一元二次方程的△=b2﹣4ac=42﹣4×（﹣2）×1=24＞0
由韦达定理可得，x1+x2=﹣ b
a =﹣ 4
2- =2，x1•x2= c
a = 1
2- =﹣ 1
2
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2
=22﹣2×（﹣ 1
2
）
=5
然后解答下列问题：
（1）设一元二次方程 2x2+3x﹣1=0 的两根分别为 x1，x2，不解方程，求 x12+x22
的值；
（2）若关于 x 的一元二次方程（k﹣1）x2+（k2﹣1）x+（k﹣1）2=0 的两根分别
为α，β，且α2+β2=4，求 k 的值．第 218 页 共 237 页
微专题 23 选择填空压轴题
近几年来试题中，选择填空压轴题极有规律：要么是函数综合题，要么是动
态几何题。动态几何有变换后求阴影面积或计算题，也有动态中求二次函数的最
值问题。
第 1 课时 与函数有关的压轴题
【例 1】（2019•菏泽）如图，正方形 ABCD 的边长为 2cm，动点 P，Q 同时从点
A 出发，在正方形的边上，分别按 A→D→C，A→B→C 的方向，都以 1cm/s
的速度运动，到达点 C 运动终止，连接 PQ，设运动时间为 xs，△APQ 的面
积为 ycm2，则下列图象中能大致表示 y 与 x 的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【点拔】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段
的函数关系式是解题的关键．
对应训练
1．（2019•天水）已知点 P 为某个封闭图形边界上一定点，动点 M 从点 P 出发，
沿其边界顺时针匀速运动一周，设点 M 的运动时间为 x，线段 PM 的长度为 y，
表示 y 与 x 的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（ ）第 219 页 共 237 页
A． B． C． D．
2．（2019•广元）如图，点 P 是菱形 ABCD 边上的动点，它从点 A 出发沿
A→B→C→D 路径匀速运动到点 D，设△PAD 的面积为 y，P 点的运动时间为
x，则 y 关于 x 的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2019•潍坊）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝2，BC＝3，动点 P 沿折线 BCD
从点 B 开始运动到点 D．设运动的路程为 x，△ADP 的面积为 y，那么 y 与 x
之间的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．第 220 页 共 237 页
C． D．
4．（2019•衢州）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 是 AB 的中点，点 P 从
点 E 出发，沿 E→A→D→C 移动至终点 C．设 P 点经过的路径长为 x，△CPE
的面积为 y，则下列图象能大致反映 y 与 x 函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2019•达州）如图，边长都为 4 的正方形 ABCD 和正三角形 EFG 如图放置，
AB 与 EF 在一条直线上，点 A 与点 F 重合．现将△EFG 沿 AB 方向以每秒 1
个单位的速度匀速运动，当点 F 与 B 重合时停止．在这个运动过程中，正方
形 ABCD 和△EFG 重叠部分的面积 S 与运动时间 t 的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．第 221 页 共 237 页
6．（2018•盘锦）如图①，在矩形 ABCD 中，动点 P 从 A 出发，以相同的速度，
沿 A→B→C→D→A 方向运动到点 A 处停止．设点 P 运动的路程为 x，△PAB
面积为 y，如果 y 与 x 的函数图象如图②所示，则矩形 ABCD 的面积为 ．
7．（2019•南山模拟）如图 1，长方形 ABCD 中，动点 P 从 B 出发，沿 B→C→D→A
路径匀速运动至点 A 处停止，设点 P 运动的路程为 x，△PAB 的面积为 y，如
果 y 关于 x 的函数图象如图 2 所示，则长方形 ABCD 的面积等于 ．
8．（2019•深圳模拟）如图①，在菱形 ABCD 中，动点 P 从点 B 出发，沿折线
B→C→D→B 运动，设点 P 经过的路程为 x，△ABP 的面积为 y．把 y 看作 x
的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的 b 等于 ．第 222 页 共 237 页
第 2 课时 与几何有关的压轴题
【例 2】（2019•广元）如图，在正方形 ABCD 的对角线 AC 上取一点 E．使得
∠CDE＝15°，连接 BE 并延长 BE 到 F，使 CF＝CB，BF 与 CD 相交于点 H，
若 AB＝1，有下列结论：①BE＝DE；②CE+DE＝EF；③S△DEC＝ 1
4
﹣ 3
12
；
④ DH
HC
＝2 3 ﹣1．则其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③④
【点拔】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形
的面积，勾股定理，含 30 度角的直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，
综合运用这些性质进行证明是解此题的关键．
对应训练
1．（2018•鞍山）如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，CD 上，AE
＝AF，AC 与 EF 相交于点 G．下列结论：①AC 垂直平分 EF；②BE+DF＝EF；
③当∠DAF＝15°时，△AEF 为等边三角形；④当∠EAF＝60°时，S△ABE＝
1
2 S△CEF．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④
2．（2018•昆明）如图，在正方形 ABCD 中，AC 为对角线，E 为 AB 上一点，过
点 E 作 EF∥AD，与 AC、DC 分别交于点 G，F，H 为 CG 的中点，连接 DE，第 223 页 共 237 页
EH，DH，FH．下列结论：
①EG＝DF；②∠AEH+∠ADH＝180°；③△EHF≌△DHC；④若 AE
AB
＝ 2
3
，
则 3S△EDH＝13S△DHC，其中结论正确的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
3．（2019•鄂尔多斯）如图，△ABC 中，AB＝AC，以 AB 为直径的⊙O 分别与
BC，AC 交于点 D，E，连接 DE，过点 D 作 DF⊥AC 于点 F．若 AB＝6，∠CDF
＝15°，则阴影部分的面积是 ．
4．（2019•甘肃）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，点 D 是 AB
的中点，以 A、B 为圆心，AD、BD 长为半径画弧，分别交 AC、BC 于点 E、
F，则图中阴影部分的面积为 ．
5．（2019•淮安）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝2，H 是 AB 的中点，
将△CBH 沿 CH 折叠，点 B 落在矩形内点 P 处，连接 AP，则 tan∠HAP＝ ．第 224 页 共 237 页
6．（2019•深圳）如图，在正方形 ABCD 中，BE＝1，将 BC 沿 CE 翻折，使 B
点对应点刚好落在对角线 AC 上，将 AD 沿 AF 翻折，使 D 点对应点刚好落在
对角线 AC 上，求 EF＝ ．第 225 页 共 237 页
微专题 24 代数综合题
代数综合题是以代数知识为主的一类综合题。近 5 年广东中考试题的第 23 题一般考查
一次函数与反例函数综合题。解决一次函数与反比例函数相结合的问题时，关键是要熟练掌
握待定系数法求函数的解析式，函数图象上的点一定满足函数解析式，认真求解所列的方程
或方程组，会求函数与坐标轴的交点坐标，善于通过图象观察出对应的点的横坐标和纵坐标
的特点，然后根据函数的相关性质求解．
第 1 课时
【例 1】（2017•广东）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=﹣x2+ax+b 交 x 轴
于 A（1，0），B（3，0）两点，点 P 是抛物线上在第一象限内的一点，直线 BP
与 y 轴相交于点 C．
（1）求抛物线 y=﹣x2+ax+b 的解析式；
（2）当点 P 是线段 BC 的中点时，求点 P 的坐标；
（3）在（2）的条件下，求 sin∠OCB 的值．
对应训练
1．（2019•吉林）如图，抛物线 y＝（x﹣1）2+k 与 x 轴相交于 A，B 两点（点 A
在点 B 的左侧），与 y 轴相交于点 C（0，﹣3）．P 为抛物线上一点，横坐
标为 m，且 m＞0．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当点 P 位于 x 轴下方时，求△ABP 面积的最大值；
（3）设此抛物线在点 C 与点 P 之间部分（含点 C 和点 P）最高点与最低点的
纵坐标之差为 h．
①求 h 关于 m 的函数解析式，并写出自变量 m 的取值范围；
②当 h＝9 时，直接写出△BCP 的面积．第 226 页 共 237 页
2．（2019•贺州）如图，在平面直角坐标系中，已知点 B 的坐标为（﹣1，0），
且 OA＝OC＝4OB，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过 A，B，C 三点．
（1）求 A，C 两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点 P 是直线 AC 下方的抛物线上的一个动点，作 PD⊥AC 于点 D，当
PD 的值最大时，求此时点 P 的坐标及 PD 的最大值．第 227 页 共 237 页
【例 2】（2016•广东）如图，在直角坐标系中，直线 y=kx+1（k≠0）与双曲线 y= 2
x
（x＞0）相交于点 P（1，m ）．
（1）求 k 的值；
（2）若点 Q 与点 P 关于直线 y=x 成轴对称，则点 Q 的坐标是 Q（ ）；
（3）若过 P、Q 二点的抛物线与 y 轴的交点为 N（0， 5
3
），求该抛物线的函数
解析式，并求出抛物线的对称轴方程．
对应训练
1．（2019•天水）如图，一次函数 y＝kx+b 与反比例函数 y＝ 4
x
的图象交于 A（m，
4）、B（2，n）两点，与坐标轴分别交于 M、N 两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出 kx+b﹣ 4
x
＞0 中 x 的取值范围；
（3）求△AOB 的面积．第 228 页 共 237 页
2．（2019•内江）如图，一次函数 y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数 y＝ k
x
（k≠0）
的图象交于第二、四象限内的点 A（a，4）和点 B（8，b）．过点 A 作 x 轴的
垂线，垂足为点 C，△AOC 的面积为 4．
（1）分别求出 a 和 b 的值；
（2）结合图象直接写出 mx+n＜ k
x
的解集；
（3）在 x 轴上取点 P，使 PA﹣PB 取得最大值时，求出点 P 的坐标．第 229 页 共 237 页
微专题 25 几何综合题
几何综合题主要考查学生综合运用几何知识的能力，这类题往往图形较复杂，涉及的知
识点较多，要求学生有较强的理解能力、分析能力、解决问题的能力，对数学知识、数学方
法有较强的驾驭能力。近几年广东中考试题总是在第 24 题考查圆的综合题，有圆与矩形，
圆与全等，圆与相似等，内容丰富，解题技巧要求越来越高，解决这类问题主要方法是借助
已知条件，联想并运用其所体现的知识点，从探寻解题的突破口。
第 1 课时
【例 1】（2018•广东）如图，四边形 ABCD 中，AB=AD=CD，以 AB 为直径的
⊙O 经过点 C，连接 AC、OD 交于点 E．
（1）证明：OD∥BC；
（2）若 tan∠ABC=2，证明：DA 与⊙O 相切；
（3）在（2）条件下，连接 BD 交⊙O 于点 F，连接 EF，若 BC=1，求 EF 的长．
对应训练
1．（2019•遵义）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 AC 与 BD 交于点 E，且 AC＝BD，
连接 AD，BC．
（1）求证：△ADB≌△BCA；
（2）若 OD⊥AC，AB＝4，求弦 AC 的长；
（3）在（2）的条件下，延长 AB 至点 P，使 BP＝2，连接 PC．求证：PC 是
⊙O 的切线．第 230 页 共 237 页
2．（2019•广元）如图，AB 是⊙O 的直径，点 P 是 BA 延长线上一点，过点 P
作⊙O 的切线 PC，切点是 C，过点 C 作弦 CD⊥AB 于 E，连接 CO，CB．
（1）求证：PD 是⊙O 的切线；
（2）若 AB＝10，tanB＝ 1
2
，求 PA 的长；
（3）试探究线段 AB，OE，OP 之间的数量关系，并说明理由．
【例 2】（2019•广东）如图 1，在△ABC 中，AB＝AC，⊙O 是△ABC 的外接圆，
过点 C 作∠BCD＝∠ACB 交⊙O 于点 D，连接 AD 交 BC 于点 E，延长 DC 至
点 F，使 CF＝AC，连接 AF．
（1）求证：ED＝EC；
（2）求证：AF 是⊙O 的切线；
（3）如图 2，若点 G 是△ACD 的内心，BC•BE＝25，求 BG 的长．第 231 页 共 237 页
对应训练
1．（2019•大庆）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径，D 是 AC 中点，
直线 OD 与⊙O 相交于 E，F 两点，P 是⊙O 外一点，P 在直线 OD 上，连接
PA，PC，AF，且满足∠PCA＝∠ABC．
（1）求证：PA 是⊙O 的切线；
（2）证明：EF2＝4OD•OP；
（3）若 BC＝8，tan∠AFP＝ 2
3
，求 DE 的长．
2．（2019•天门）已知△ABC 内接于⊙O，∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D，连接
DB，DC．
（1）如图①，当∠BAC＝120°时，请直接写出线段 AB，AC，AD 之间满足的
等量关系式： ；
（2）如图②，当∠BAC＝90°时，试探究线段 AB，AC，AD 之间满足的等量
关系，并证明你的结论；
（3）如图③，若 BC＝5，BD＝4，求 AD
AB AC
的值．第 232 页 共 237 页
微专题 26 代数与几何综合题（1）
代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广，综合性最强的题型。近 5 年广东中考查分两
类：①考查以二次函数为背景，引出几何问题，存在性问题，分类讨论思想为主；②考查以
几何动态为背景，引出二次函数，求最值或点坐标等。解决这类问题常见方法有：①从特殊
问题探路，向一般问题推证；②借助动手实践，通过具体操作确认；③适当建立联系，通过
计算进行说明。
【例 1】（2019•广东）如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ 3
8 x2+ 3 3
4 x
﹣ 7 3
8
与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 右侧），点 D 为抛物线的顶点，点
C 在 y 轴的正半轴上，CD 交 x 轴于点 F，△CAD 绕点 C 顺时针旋转得到△CFE，
点 A 恰好旋转到点 F，连接 BE．
（1）求点 A、B、D 的坐标；
（2）求证：四边形 BFCE 是平行四边形；
（3）如图 2，过顶点 D 作 DD1⊥x 轴于点 D1，点 P 是抛物线上一动点，过点
P 作 PM⊥x 轴，点 M 为垂足，使得△PAM 与△DD1A 相似（不含全等）．
①求出一个满足以上条件的点 P 的横坐标；
②直接回答这样的点 P 共有几个？第 233 页 共 237 页
对应训练
1．（2019•娄底）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（﹣1，0），点 B
（3，0），与 y 轴交于点 C，且过点 D（2，﹣3）．点 P、Q 是抛物线 y＝ax2+bx+c
上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点 P 在直线 OD 下方时，求△POD 面积的最大值．
（3）直线 OQ 与线段 BC 相交于点 E，当△OBE 与△ABC 相似时，求点 Q 的
坐标．
2．（2019•赤峰）如图，直线 y＝﹣x+3 与 x 轴、y 轴分别交于 B、C 两点，抛物
线 y＝﹣x2+bx+c 经过点 B、C，与 x 轴另一交点为 A，顶点为 D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在 x 轴上找一点 E，使 EC+ED 的值最小，求 EC+ED 的最小值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，
求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由．第 234 页 共 237 页
微专题 27 代数与几何综合题（2）
【例 2】（2018•广东）已知 Rt△OAB，∠OAB＝90°，∠ABO＝30°，斜边 OB＝4，
将 Rt△OAB 绕点 O 顺时针旋转 60°，如图 1，连接 BC．
（1）填空：∠OBC＝ °；
（2）如图 1，连接 AC，作 OP⊥AC，垂足为 P，求 OP 的长度；
（3）如图 2，点 M，N 同时从点 O 出发，在△OCB 边上运动，M 沿 O→C→B
路径匀速运动，N 沿 O→B→C 路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知
点 M 的运动速度为 1.5 单位/秒，点 N 的运动速度为 1 单位/秒，设运动时间为
x 秒，△OMN 的面积为 y，求当 x 为何值时 y 取得最大值？最大值为多少？
对应训练
1．（2018•天水）如图所示，在正方形 ABCD 和△EFG 中，AB＝EF＝EG＝5cm，
FG＝8cm，点 B、C、F、G 在同一直线 l 上．当点 C、F 重合时，△EFG 以
1cm/s 的速度沿直线 l 向左开始运动，t 秒后正方形 ABCD 与△EFG 重合部分
的面积为 Scm2．请解答下列问题：
（1）当 t＝3 秒时，求 S 的值；
（2）当 t＝5 秒时，求 S 的值；
（3）当 5 秒＜t≤8 秒时，求 S 与 t 的函数关系式，并求出 S 的最大值．第 235 页 共 237 页
2．（2019•衡阳）如图，在等边△ABC 中，AB＝6cm，动点 P 从点 A 出发以 1cm/s
的速度沿 AB 匀速运动．动点 Q 同时从点 C 出发以同样的速度沿 BC 的延长
线方向匀速运动，当点 P 到达点 B 时，点 P、Q 同时停止运动．设运动时间
为 t（s）．过点 P 作 PE⊥AC 于 E，连接 PQ 交 AC 边于 D．以 CQ、CE 为边
作平行四边形 CQFE．
（1）当 t 为何值时，△BPQ 为直角三角形；
（2）是否存在某一时刻 t，使点 F 在∠ABC 的平分线上？若存在，求出 t 的
值，若不存在，请说明理由；
（3）求 DE 的长；
（4）取线段 BC 的中点 M，连接 PM，将△BPM 沿直线 PM 翻折，得△B′PM，
连接 AB′，当 t 为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．
查看更多
Copyright 2004-2019 ttzyw.com All Rights Reserved 闽ICP备18023965号-4
天天资源网声明：本站点发布的文章作品均来自用户投稿或网络整理，部分作品未联系到知识产权人或未发现有相关的知识产权登记