资料简介
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三垂直全等模型
模型 三垂直全等模型
如图：∠D＝∠BCA＝∠E＝90°，BC＝AC.
结论：Rt△BCD≌Rt△CAE.
模型分析
说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多
利用垂直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解.图
①和图②就是我们经常会见到的两种弦图.
三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的.
例 1 如图，AB⊥BC，CD⊥BC，AE⊥DE，AE＝DE，求证：AB＋CD＝BC.
证明：∵AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠AED＝∠B＝∠C＝90°.
∴∠A＋∠AEB＝∠AEB＋∠CED＝90°.
∴∠BAE＝∠CED.
在△ABE 和△ECD 中，
∴△ABE≌△ECD. ∴AB＝EC，BE＝CD. ∴AB＋CD＝EC＋BE＝BC.
例 2 如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE 于 D，AD＝2.5cm，BE＝0.8cm，则 DE 的
长为多少？
解答：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90° . ∴∠EBC＋∠BCE＝90°.
∵∠BCE＋∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA.
在△CEB 和△ADC 中，
∴△CEB≌△ADC ∴BE＝DC＝0.8cm，CE＝AD＝2.5cm.
∴DE＝CE－CD＝2.5－0.8＝1.7cm.
图① 图② 图③
A
B
CD E
图④
D
E
A
B
C
B C
A CED
AE ED
∠ = ∠
∠ = ∠
=
E ADC
EBC DCA
BC AC
∠ = ∠
∠ = ∠
=
A
B
CD E
D
A
EB C
E
D
A
B
C2
例 3 如图，在平面直角坐标系中，等腰 Rt△ABC 有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标.
解答：（1）如图③，过点 B 作 BD⊥x 轴于点 D.
∴∠BCD＋∠DBC＝90°.
由等腰 Rt△ABC 可知，BC＝AC，∠ACB＝90°，
∴∠BCD＋∠ACO＝90°.
∴∠DBC＝∠ACO.
在△BCD 和△CAO 中，
∴△BCD≌△CAO.
∴CD＝OA，BD＝OC.
∵OA＝3，OC＝2.
∴CD＝3，BD＝2.
∴OD＝5.
∴B（－5，2）.
（2）如图④，过点 A 作 AD⊥y 轴于点 D.
在△ACD 和△CBO 中，
∴△ACD≌△CBO.
∴CD＝OB，AD＝CO.
∵B（－1，0），C（0，3）
∴OB＝1，OC＝3.
∴AD＝3，OD＝2.
∴OD＝5.
∴A（3，2）.
x
y
图①
B
A(0,3)
C(-2,0) O
BDC AOC
DBC ACO
BC AC
∠ = ∠
∠ = ∠
=
ADC COB
DAC OCB
AC CB
∠ = ∠
∠ = ∠
=
x
y
图③
B
A(0,3)
C(-2,0) OD
x
y
图④
C(0，3)
A
OB(-1,0)
D3
跟踪练习
1．如图，正方形 ABCD，BE＝CF.求证：（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF.
证明：
（1）∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB＝BD，∠ABC＝∠BCD＝90°.
在△ABE 和△BCF 中，
∴△ABE≌△BCF.
∴AE＝BF.
（2）∵△ABE≌△BCF.
∴∠BAE＝∠CBF.
∵∠ABE＝90°，
∴∠BAE＋∠AEB＝90°.∴∠CBF＋∠AEB＝90°.∴∠BGE＝90°，
∴AE⊥BF.
2．直线 l 上有三个正方形 a、b、c，若 a、c 的面积分别是 5 和 11，则 b 的面积是_____.
解答：∵a、b、c 都是正方形，
∴AC＝CD，∠ACD＝90°.
∵∠ACB＋∠DCE＝∠ACB＋∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠DCE.
在△ABC 和△CBE 中，
∴△ACB≌△CDE.
∴AB＝CE，BC＝DE.
在 Rt△ABC 中， ＝ ＋ ＝ ＋
即 ＝ ＋ ＝5＋11＝16.
3．已知，△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点 P 为 BC 上一动点（BP
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