资料简介
1 |
高一数学期末冲刺（解三角形+立体几何+必修三）
原创：柔软的石头
知识点一 解三角形
1.正余弦定理
设∆퐴퐵퐶的内角퐴，퐵，퐶 所对的边分别为푎，푏，푐，푅为∆퐴퐵퐶外接圆半径，则有
定理 正弦定理 余弦定理
内容
푎
sin퐴 =
푏
sin퐵 =
푐
sin퐶 = 2푅
푎2 = 푏2 + 푐2 ― 2푏푐cos퐴
b
2 = 푎2 + 푐2 ― 2푎푐cos퐵
푐2 = 푎2 + 푏2 ― 2푎푏cos퐶
变形
①푎 = 2푅sin퐴，푏 = 2푅sin퐵，c = 2푅sinC
②sin퐴 = 푎
2푅，sin퐵 = 푏
2푅，sin퐶 = 푐
2푅
③푎:푏:푐 = sin퐴: sin퐵:sin퐶
cos퐴 =
푏2 + 푐2 ― 푎2
2푏푐
cos퐵 =
푎2 + 푐2 ― 푏2
2푎푐
cos퐶 =
푎2 + 푏2 ― 푐2
2푎푏
2.三角形的面积公式
（1）푆∆퐴퐵퐶 = 1
2푎ℎ (ℎ表示边푎上的高)；
（2）푆∆퐴퐵퐶 = 1
2푏푐sin퐴 = 1
2푎푐sin퐵 = 1
2푎푏sin퐶.
3. 三角形中的其它关系式
（1）射影公式：
푎 = 푏cos퐶 + ccos퐵，푏 = 푐cos퐴 + 푎cos퐶，푐 = 푎cos퐵 + 푏cos퐴
（2）其他关系式：
利用∆퐴퐵퐶中，퐴 + 퐵 + 퐶 = 휋，퐴 + 퐵 + 퐶
2 = 휋
2，或者结合诱导公式等减少角的种类.
如：sin(퐵 + 퐶) = sin퐴，cos(퐵 + 퐶) = ― cos퐴，
tan
(퐵 + 퐶) = ― tan퐴；cos퐶
2 = sin퐴 + 퐵
2 .2 |
1. （广州四十七中）在 △ 퐴퐵퐶中，若푎cos퐴 = 푏cos퐵，则 △ 퐴퐵퐶的形状一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
2. （广州六中）已知 △ 퐴퐵퐶的内角퐴,퐵,퐶的对边分别为푎,푏,푐，
→
푚 = ( 3푏 ― 푐,cos퐶)，
→
푛 = (푎,cos퐴)，若
→
푚//
→
푛，则cos퐴的值为（ ）
A．
3
6 B．
3
4 C．
3
2 D．
3
3
3. （铁一，广外，广附三校联考）如图所示，为测一树的高度，在地面
上选取퐴、퐵两点，从퐴、퐵两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且퐴、
퐵两点间的距离为60m，则树的高度为（ ）．
A．(30 + 30 3)m B．(30 + 15 3)m
C．(15 + 30 3)m D．(15 + 15 3)m3 |
4. （番实、番中、象贤、仲元四校联考）已知퐴, 퐵,퐶为 △ 퐴퐵퐶的三内角，且其对边分别为푎,푏,푐，若
푎cos퐶 + 푐cos퐴 = ―2푏cos퐴.
（1）求角퐴的值；
（2）若푎 = 2 3，푏 + 푐 = 4，求 △ 퐴퐵퐶的面积.
4. （华附）如图，在平面四边形퐴퐵퐶퐷中，퐴퐶与퐵퐷为其对角线，已知퐵퐶 = 1，且푐표푠∠퐵퐶퐷 = ― 3
5．
（1）若퐴퐶平分∠퐵퐶퐷，且퐴퐵 = 2，求퐴퐶的长；
（2）若∠퐶퐵퐷 = 45°，求퐶퐷的长．
B C
A D4 |
知识点二 空间几何体的表面积与体积
1. 空间几何体的表面积
圆柱
푆侧 = 2휋푟푙
푆表 = 2휋푟(푟 + 푙)
圆锥
푆侧 = 휋푟푙
푆表 = 휋푟(푟 + 푙)
圆台
푆侧 = 휋(푟 + 푟,)푙
푆表 = 휋(푟2 + 푟,2 + 푟푙 + 푟,푙)
球 푆球 = 4휋푅2
2. 空间几何体的体积
（1）柱体（棱柱，圆柱）体积公式： ，其中 为底面积， 为体高；
（2）棱体（棱锥，圆锥）的体积公式： ，其中 为底面积， 为体高；
（3）台体（棱台，圆台）的体积公式： ，其中 分别是台体上，下底面的面积，
为台体的高；
（4）球的体积公式： ， 为球的半径．
l
r
l
r'
rr
r'
l
OR
V Sh=柱体 S h
1
3V Sh=棱体 S h
1 ( ' ')3V h S SS S= + +台体 ',S S
h
34 π3V R=球 R
푟
푙5 |
直观图——斜二测画法
5.（省实）已知梯形 是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图 （如图所示），其中
， ， ， 则 直 角 梯 形 边 的 长 度 是
（ ）
A. 5 B. 2 2 C. 2 5 D. 3
5.（湖南长郡中学）一个边长为푎的正三角形采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原来正三
角形面积的（ ）
A．
2
4 倍 B．1
2倍 C．
2
2 倍 D． 2倍
最短路径问题——侧面展开图
6．（广州六中）如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2푐푚，假
若点퐵有一只蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线퐴퐶的中点푃处的食
物，那么它爬行的最短路程是（ ）
A．6 B．2 5 C．4 D． 5
ABCD ' ' ' 'A B C D
' ' 2A D = ' ' 4B C = ' ' 1A B = DC6 |
三视图
7. （执信中学）已知几何体的三视图如图所示，它的表面积是（ ）
A． B．
C． D．
7.（广外、铁一、广附三校联考）已知某几何体的三视图如图所示，
则该几何体的体积等于（ ）
A．
160
3 B．160
C．64 + 32 2 D．60
外接球问题
8.（仲元中学）长方体的三个相邻面的面积分别是 ，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这
个球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8.（广州市第六中学）已知三棱锥푃 ― 퐴퐵퐶的三条侧棱两两互相垂直，且푃퐴 = 1，푃퐵 = 2，푃퐶 = 3，则此
三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．8휋 B．8 2 C．16휋 D．32휋
24 + 22 +
23 + 6
2 3 6、 、
7
2
π 56π 14π 16π7 |
9. （省实）矩形퐴퐵퐶퐷中， 퐴퐵 = 4， 퐵퐶 = 3，沿퐴퐶将矩形퐴퐵퐶퐷折起，则四面体퐴퐵퐶퐷的外接球的体积是
（ ）
A． B． C． D．
知识点三 空间中点线面的位置关系
1. 证明空间中直线、平面的平行关系
2. 证明空间中直线、平面垂直的关系
证明线线垂直的常用方法
①等腰三角形的三线合一；
②勾股定理的逆定理；
③菱形对角线互相垂直；
④直径所对的圆周角是直角；
⑤矩形邻边垂直；
⑥线面垂直的性质（出现直棱柱、正棱锥时注意应用隐含条件）.
125
3
π 125
6
π 125
9
π 125
12
π8 |
异面直线所成的角
10.（育才中学）如图，正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中，AA1=2AB，则异面直线
A1B 与 AD1 所成角的余弦值为（ ）
A．1
5 B．2
5 C．3
5 D．4
5
10.（省实）已知四面体 中， ， 分别是 ， 的中点，若
， ， ，则 与 所成角的度数为（ ）
A． B． C． D．
立体几何综合
11.（仲元中学）如图，在长方体퐴퐵퐶퐷 ― 퐴1퐵1퐶1퐷1中，
퐴퐴1 = 퐴퐷 = 푎，퐴퐵 = 2푎，퐸为퐶1퐷1的中点．
（1）求证：퐷퐸 ⊥ 平面퐵퐸퐶；
（2）求三棱锥 的体积．
ABCD E F AC BD
6AB = 8CD = 5EF = AB CD
30° 45° 60° 90°
C BED−9 |
12.（湖南长沙）如图，在四棱锥푃 ― 퐴퐵퐶퐷中，底面퐴퐵퐶퐷是平行四边形，∠퐵퐶퐷 = 60°，퐴퐵 = 2퐴퐷，
푃퐷 ⊥ 平面퐴퐵퐶퐷，点푀为푃퐶的中点．
（1）求证：푃퐴//平面퐵푀퐷；
（2）求证：퐴퐷 ⊥ 푃퐵；
（3）若퐴퐵 = 푃퐷 = 2，求点퐴到平面퐵푀퐷的距离．10 |
13. （省实）如图，已知多面体 的底面 是边长为 2 的菱形， 底面 ，
，且 ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若直线 与平面 所成的角为 ，求直线 与平面 所成
角的正弦值．
PABCDE ABCD PA ⊥ ABCD
/ /ED PA 2 2PA ED= =
PAC ⊥ PCE
PC ABCD 45° CD PCE11 |
14.（东圃中学）东圃中学如图，已知퐴퐵 ⊥ 平面퐴퐶퐷，퐷퐸 ⊥ 平面퐴퐶퐷，퐴퐵 = 2，퐴퐶 = 퐴퐷 = 퐷퐸 = 4，퐹为퐶퐷
中点.
(1) 求证：퐴퐹 ∥ 平面퐵퐶퐸；
(2) 若∠퐶퐴퐷 = 60°，求二面角퐹 ― 퐵퐸 ― 퐷的余弦值.12 |
高一数学期末冲刺第二讲
进度 2—直线与圆+必修三
知识点一 直线与方程
1.直线的倾斜角与斜率：当直线푙与푥轴相交时，取푥轴作为基准，푥轴正向与直线푙向上方向之间所成的角α叫
做直线푙的倾斜角；直线的倾斜角훼 ∈ [0, 휋)，其中直线的斜率푘 = tan훼(훼 ≠ 휋
2).
2. 直线的五种方程
名称 几何条件 方程 适用范围
点斜式 过点(푥0,푦0)且斜率为푘
斜截式 斜率为푘，纵截距为푏
与 轴不垂直的直线
两点式 过两点(푥1,푦1)，(푥2,푦2)
(푥1 ≠ 푥2,푦1 ≠ 푦2)
与两坐标轴均不垂直
的直线
截距式
在푥轴、푦轴上的截距分
别为푎,푏(푎 ≠ 0,푏 ≠ 0)
不过原点且与两坐标
轴均不垂直的直线
一般式 퐴푥 + 퐵푦 + 퐶 = 0
(퐴2 + 퐵2 ≠ 0) 所有直线
3. 两条直线的位置关系
斜截式 一般式
方程
垂直
平行 且 或
0 0( )y y k x x− = −
y kx b= + x
1 1
2 1 2 1
y y x x
y y x x
− −=− −
1x y
a b
+ =
1 1y k x b= +
2 2y k x b= + 1 1 1 0A x B y C+ + =
2 2 2 0A x B y C+ + =
1 2 1k k = − 1 2 1 2 0A A B B+ =
1 2k k= 1 2b b≠ 1 2 2 1
1 2 2 1
0
0
A B A B
B C B C
− =
− ≠
1 2 2 1
1 2 2 1
0
0
A B A B
AC A C
− =
− ≠13 |
4. 距离公式
（1）两点间的距离
平面上的两点퐴(푥1,푦1)，퐵(푥2,푦2)间的距离|퐴퐵| = (푥1 ― 푥2)2 + (푦1 ― 푦2)2.
（2）点到直线的距离
点푃(푥0,푦0)到直线푙:퐴푥 + 퐵푦 + 퐶 = 0的距离푑 =
|퐴푥0 + 퐵푦0 + 퐶|
퐴2 + 퐵2 .
（3）两条平行直线间的距离
两条平行直线퐴푥 + 퐵푦 + 퐶1 = 0与퐴푥 + 퐵푦 + 퐶2 = 0间的距离푑 =
|퐶1 ― 퐶2|
퐴2 + 퐵2.
1. （仲元中学）已知两直线 ， . 若 ，则 的值为
（ ）
A．0 B．0 或 4 C． ―1或 D．
2. （广州玉岩中学）过点( ― 3,0)且与直线푥 + 4푦 ― 2 = 0平行的直线方程是 .
3. （山东）已知两点푀(2, ― 1)，푁( ― 4, ― 2)，直线푙：푚푥 + 푦 ― 푚 ― 1 = 0与线段푀푁相交，则直线푙的斜
率取值范围是（ ）
A．( ― ∞, ― 2] ∪ [3
5, + ∞) B．[ ― 2,3
5] C．[ ― 3
5,2] D．( ― ∞, ― 3
5] ∪ [2, + ∞)
4.（河南联考）已知直线푙1：푘푥 + 푦 ― 푘 ― 2 = 0恒过点푀，直线푙2：푦 = 푥 ― 1上有一动点푃，点푁的坐标为
(4,6).当|푃푀| + |푃푁|取得最小值时，点푃的坐标为（ ）
A．( ― 2
5, ― 7
5) B．(2
5, ― 3
5) C．(17
5 ,12
5 ) D．(12
5 ,7
5)
1 : 4 0l x my+ + = ( )2 : 1 3 3 0l m x my m− + + = 1 2/ /l l m
1
2
1
214 |
知识点二 圆与方程
1. 圆的方程
名称 标准方程 一般方程
方程
圆心
半径
2. 直线与圆的位置关系的判断
（1）几何法：设圆心到直线的距离为푑，半径为푟
若푑 < 푟，直线与圆相交；
若푑 = 푟，直线与圆相切；
若푑 > 푟，直线与圆相离.
（2）代数法：由直线方程和圆的方程联立成方程组、消元，求∆
当∆ > 0，方程组有两解，直线与圆有两个交点即相交；
当∆ = 0，方程组有一解，直线与圆有一个交点即相切；
当∆ < 0，方程组无解，直线与圆没有交点即相离.
3. 圆与圆的位置关系判断
方法
位置关系
几何法：圆心距 与 ， 的关
系
代数法：联立两圆方程组成
方程组的解的情况
外离 无解
外切 一组实数解
相交 两组不同的实数解
内切 一组实数解
内含 无解
温馨小提示》》》：判断直线与圆，圆与圆的位置关系时，一般不用代数法；利用几何法的关键是判断圆心
距 与半径的关系.
2 2 2( ) ( ) ( 0)x a y b r r− + − = >
2 2 0x y Dx Ey F+ + + + =
2 2( 4 0)D E F+ − >
( , )a b ( , )2 2
D E− −
r 2 21 42 D E F+ −
d 1r 2r
1 2d r r> +
1 2d r r= +
1 2 1 2| |r r d r r− < < +
1 2 1 2| | ( )d r r r r= − ≠
1 2 1 20 | | ( )d r r r r≤ = − ≠
1 2| |O O15 |
5. （天河区统考）经过点( ― 1,0)倾斜角为60°的直线푙被圆퐶：푥2 + 푦2 = 3所截得的弦长是（ ）
A．3 B．3
2 C． 11 D．
11
2
5. （广州中学）若直线푙:(2푚 + 1)푥 + (푚 + 1)푦 ― 7푚 ― 4 = 0，与圆퐶: (푥 ― 1)2 + (푦 ― 2)2 = 25相交于퐴,퐵两
点，则弦长|퐴퐵|的最小值为（ ）
A．8 5 B．4 5 C．2 5 D． 5
6. （衡水中学）若直线푦 = 푘(푥 ― 2) +4与曲线푦 = 4 ― 푥2有两个交点，则푘的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6. （广州六中）已知点푃(푥,푦)在圆퐶:푥2 +푦2 = 2上，则 푦
푥 ― 2的取值范围为（ ）
A．( ― 1,1) B．[ ― 1,1] C．( ― ∞, ― 1) ∪ (1, + ∞) D． ( ―∞, ― 1] ∪ [1, + ∞)
7.（育才中学）点푃是直线푥 + 푦 ― 3 = 0上的动点，由点푃向圆푂:푥2 + 푦2 = 4作切线，则切线长的最小值为
（ ）
A．2 2 B．3
2 2 C．
2
2 D．1
2
[ )1,+∞ 31, 4
− −
3 ,14
( ], 1−∞ −16 |
8. （广外、铁一、广附三校联考）已知圆퐶经过푃(4, ― 2)，푄( ― 1,3)两点，且在푦轴上截得的线段长为4 3，
半径小于5.
（1）求圆퐶的方程；
（2）若直线푙 ∥ 푃푄，且푙与圆퐶交于点퐴,퐵，且以线段퐴퐵为直径的圆经过坐标原点，求直线푙的方程.
9. （执信中学）如图，在平面直角坐标系푥푂푦中，点퐴(0,3)，直线푙:푦 = 2푥 ― 4. 设圆퐶的半径为1，圆心在푙
上.
（1）若圆心퐶也在直线푦 = 푥 ― 1上，求圆퐶的方程；
（2）在(1)的条件下，过点퐴作圆퐶的切线，求切线的方程；
（3）若圆퐶上存在点푀，使|푀퐴| = |푀푂| ，求圆心퐶的横坐标푎的取值范围.17 |
知识点三 统计与概率
1. 众数，中位数，平均数与频率分布直方图的关系
（1）众数：在频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标就是众数；
（2）中位数：中位数左边和右边的直方图的面积相等，估计中位数落在区间 ，设中位数为푥，中位数
线左边的小矩形面积之和为 0.5，列方程解出푥；
（3）平均数：直方图中每个小矩形的中点的横坐标与其对应的频率乘积之和就是平均数.
2. 线性回归分析
（1）回归直线方程：如果散点图中的点的分布，从总体地上看大约在一条直线附近，则称这两个变量之
间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
（2）最小二乘法
， ，其中 ，
由此得到的直线 就称为回归直线，此直线方程即为线性回归方程．其中 ， 分别为 ，
的估计值， 称为回归截距， 称为回归系数， 称为回归值．
（3）相关系数：
相关系数 的性质：
① ；
② 越接近于 1， 的线性相关程度越强；
③ 越接近于 0， 的线性相关程度越弱．
可见，一条回归直线有多大的预测功能，和变量间的相关系数密切相关．
3. 互斥事件与对立事件
（1）概率的加法公式
如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
（2）对立事件的概率
若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则 P(A)＝1－P(B)．
[ , )a b
1 1
2 2 2
1 1
( )( )
( ) ( )
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x x y y x y nxy
b
x x x n x
= =
= =
− − −
= =
− −
∑ ∑
∑ ∑
ˆˆa y bx= −
1
1 n
i
i
x xn =
= ∑
1
1 n
i
i
y yn =
= ∑
ˆ ˆy a bx= + ˆa b a
b ˆa b ˆy
1 1
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
( )( )
( ) ( ) ( ( ) )( ( ) )
n n
i i i i
i i
n n n n
i i i i
i i i i
x x y y x y nxy
r
x x y y x n x y n y
= =
= = = =
− − −
= =
− ⋅ − − −
∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
r
| | 1r ≤
| |r x y，
| |r x y，18 |
4. 古典概型
（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．
（2）每个基本事件出现的可能性相等．
具有以上两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
（3）古典概型的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有푛个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的
概率都是1
푛；如果某个事件 A 包括的结果有 m 个，那么事件 A 的概率 P(A)＝
m
n.
10. （玉岩中学）某公司生产퐴,퐵,퐶三种不同型号的轿车，产量之比依次为2:3:4，为了检验该公司的产品质
量，用分层抽样的方法抽取一个容量为푛的样本，样本中퐴种型号的轿车比퐵种型号的轿车少8辆，那么푛 =
.
11.（黄埔、海珠、荔湾、白云、南沙联考）为了测试班级教学的实践效果，王老师对퐴,퐵两班的学生进行了
阶段测试，并将所得成绩统计如图所示；记本次测试中，퐴,퐵两班学生的平均成绩分别为푥퐴,푥퐵，퐴,퐵两班学
生成绩的方差分别为푆2퐴,푆2퐵，则观察茎叶图可知（ ）
A． 푥퐴 < 푥퐵，푆2퐴 < 푆2퐵 B． 푥퐴 > 푥퐵，푆2퐴 < 푆2퐵
C． 푥퐴 < 푥퐵，푆2퐴 > 푆2퐵 D． 푥퐴 > 푥퐵，푆2퐴 > 푆2퐵
12. （86 中）已知集合퐴＝{ ― 1,0,1}，点푃的坐标为(푥, 푦)，其中푥 ∈ 퐴，푦 ∈ 퐴, 记点落在第一象限为事件
푀，则푃(푀)等于( )
A. 1
3 B. 1
6 C. 1
9 D. 2
9
12. （五区统考）一个盒子里装有标号为 1，2，．．．,5 的 5 张标签，从中无放回的随机选取 2 张标签,则选
取的 2 张标签上的数字为不相邻整数的概率为 .19 |
13. （广州玉岩中学）某地区2011年至2017年农村居民家庭人均纯푦（单位：千元）的数据如表：
年 份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017
年份代号푡 1 2 3 4 5 6 7
人均纯收入푦 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
(1) 求푦关于푡的线性回归方程；
(2) 利用(1)中的线性回归方程，分析2011年至2017年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测
该地区2020年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的低斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
푏 =
∑푛
푖=1 (푡푖 ― 푡)(푦푖 ― 푦)
∑푛
푖=1 (푡푖 ― 푡)2 , 푎 = 푦 ― 푏푡, 푦 = 4.3, ∑7
푖=1 (푡푖 ― 푡)2 = 28, ∑7
푖=1 (푡푖 ― 푡)(푦푖 ― 푦) = 14.20 |
14. （东圃中学）某市为了制定合理的节电方案，供电局对居民用电进行了调查，通过抽样，获得了某年100
户居民每户的月均用电量（单位：度），将数据按照[0,100)，[100,200)， [200,300)， [300,400)，[400,500)，
[500,600)，[600,700)，[700,800)，[800,900]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（1）求直方图中푚的值并估计居民月均用电量的中位数；
（2）现从第8组和第9组的居民中任选取2户居民进行访问，则两组中各有一户被选中的概率.
作者：陈炜鸿
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