资料简介
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高一数学期末冲刺（必修五）
原创：柔软的石头
知识点一 解三角形
1.正余弦定理
设∆퐴퐵퐶的内角퐴，퐵，퐶 所对的边分别为푎，푏，푐，푅为∆퐴퐵퐶外接圆半径，则有
定理 正弦定理 余弦定理
内容
푎
sin퐴 =
푏
sin퐵 =
푐
sin퐶 = 2푅
푎2 = 푏2 + 푐2 ― 2푏푐cos퐴
푏2 = 푎2 + 푐2 ― 2푎푐cos퐵
푐2 = 푎2 + 푏2 ― 2푎푏cos퐶
变形
①푎 = 2푅sin퐴，푏 = 2푅sin퐵，푐 = 2푅sin퐶
②sin퐴 = 푎
2푅，sin퐵 = 푏
2푅，sin퐶 = 푐
2푅
③푎:푏:푐 = sin퐴: sin퐵:sin퐶
cos퐴 =
푏2 + 푐2 ― 푎2
2푏푐
cos퐵 =
푎2 + 푐2 ― 푏2
2푎푐
cos퐶 =
푎2 + 푏2 ― 푐2
2푎푏
2.三角形的面积公式
（1）푆∆퐴퐵퐶 = 1
2푎ℎ (ℎ表示边푎上的高)；
（2）푆∆퐴퐵퐶 = 1
2푏푐sin퐴 = 1
2푎푐sin퐵 = 1
2푎푏sin퐶.
3. 三角形中的其它关系式
（1）射影公式：
푎 = 푏cos퐶 + 푐cos퐵，푏 = 푐cos퐴 + 푎cos퐶，푐 = 푎cos퐵 + 푏cos퐴
（2）其他关系式：
利用∆퐴퐵퐶中，퐴 + 퐵 + 퐶 = 휋，퐴 + 퐵 + 퐶
2 = 휋
2，或者结合诱导公式等减少角的种类.
如：sin(퐵 + 퐶) = sin퐴，cos(퐵 + 퐶) = ― cos퐴，tan(퐵 + 퐶) = ― tan퐴；cos퐶
2 = sin퐴 + 퐵
2 .2 |
1. （广州四十七中）在 △ 퐴퐵퐶中，若푎cos퐴 = 푏cos퐵，则 △ 퐴퐵퐶的形状一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
2. （广州六中）已知 △ 퐴퐵퐶的内角퐴,퐵,퐶的对边分别为푎,푏,푐，
→
푚 = ( 3푏 ― 푐,cos퐶)，
→
푛 = (푎,cos퐴)，若
→
푚//
→
푛，则cos퐴的值为（ ）
A．
3
6 B．
3
4 C．
3
2 D．
3
3
3. （铁一，广外，广附三校联考）如图所示，为测一树的高度，在地面
上选取퐴、퐵两点，从퐴、퐵两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且퐴、
퐵两点间的距离为60m，则树的高度为（ ）．
A．(30 + 30 3)m B．(30 + 15 3)m
C．(15 + 30 3)m D．(15 + 15 3)m3 |
4. （番实、番中、象贤、仲元四校联考）已知퐴, 퐵,퐶为 △ 퐴퐵퐶的三内角，且其对边分别为푎,푏,푐，若
푎cos퐶 + 푐cos퐴 = ―2푏cos퐴.
（1）求角퐴的值；
（2）若푎 = 2 3，푏 + 푐 = 4，求 △ 퐴퐵퐶的面积.
4. （华附）如图，在平面四边形퐴퐵퐶퐷中，퐴퐶与퐵퐷为其对角线，已知퐵퐶 = 1，且푐표푠∠퐵퐶퐷 = ― 3
5．
（1）若퐴퐶平分∠퐵퐶퐷，且퐴퐵 = 2，求퐴퐶的长；
（2）若∠퐶퐵퐷 = 45°，求퐶퐷的长．
B C
A D4 |
知识点二 数列
1. 等差数列及其性质
（1）定义：푎푛+1 ― 푎푛 = 푑（푑为公差）
（2）通项公式：풂풏 = 풂ퟏ +(풏 ― ퟏ)풅
一般地，任意两项的关系为푎푛 = 푎푚 +(푛 ― 푚)푑（푚,푛 ∈ N∗）
（3）前푛项和公式：
푺풏 =
풏(풂ퟏ + 풂풏)
ퟐ = 풏풂ퟏ + 풏(풏 ― ퟏ)풅
ퟐ = 푑
2푛2 +(푎1 ― 푑
2)푛（푛 ∈ N∗）
（4）性质：①恒等性：푚 + 푛 = 푝 + 푞，则푎푚 + 푎푛 = 푎푝 + 푎푞
特别地，푚 + 푛 = 2푝，则풂풎 + 풂풏 = ퟐ풂풑
②等分性：푆푛，푆2푛 ― 푆푛，푆3푛 ― 푆2푛，⋯也成等差数列，公差为푛2푑
2．等比数列及其性质
（1）定义：
푎푛+1
푎푛
= 푞（푞为公比）
（2）通项公式：풂풏 = 풂ퟏ풒풏―ퟏ（푛 ∈ N∗）；若푚,푛 ∈ N∗，则푎푚 = 푎푛푞푚―푛
（3）前푛项和公式：푺풏 = {풏풂ퟏ， 풒 = ퟏ
풂ퟏ(ퟏ ― 풒풏)
ퟏ ― 풒 ，풒 ≠ ퟏ
（4）性质：①恒等性：푚 + 푛 = 푝 + 푞，则푎푚푎푛 = 푎푝푎푞
特别地，푚 + 푛 = 2푝，则풂풎풂풏 = 풂ퟐ풑
②等分性：푆푛，푆2푛 ― 푆푛，푆3푛 ― 푆2푛，⋯也成等比数列，公比为푞푛
3．数列求通项方法
（1）公式法：푎푛 = {푆1， 푛 = 1，
푆푛 ― 푆푛―1，푛 ≥ 2．（注意检验푛 = 1的情况）
（2）累加法：푎푛 ― 푎푛―1 = 푓(푛)
（3）累乘法：
푎푛
푎푛―1
= 푓(푛)
（4）构造法：푎푛 = 푝푎푛―1 +푞（푝 ≠ 1且푞 ≠ 0）
（5）倒数变换法：例푎푛+1 =
3푎푛
2푎푛 + 3 ⇒ 2푎푛푎푛+1 +3푎푛+1 = 3푎푛 ⇒ 2
3 + 1
푎푛
= 1
푎푛+1
4．数列求和方法
（1）公式法，即直接利用等差数列、等比数列的前푛项和公式求和．
（2）裂项相消法，如푎푛 = 1
4푛2 ― 1 = 1
(2푛 ― 1)(2푛 + 1) = 1
2( 1
2푛 ― 1 ― 1
2푛 + 1)
常见的裂项技巧：① 1
푛(푛 + 1) = 1
푛 ― 1
푛 + 1
② 1
푛(푛 + 푘) = 1
푘(1
푛 ― 1
푛 + 푘)
③ 2푛
(2푛 + 1)(2푛+1 + 1) = 1
2푛 + 1 ― 1
2푛+1 + 1
④ 1
푛 + 푛 + 푘 = 1
푘( 푛 + 푘 ― 푛)5 |
（3）错位相减法
（4）分组求和法
等差、等比数列定义与性质
5.（仲元中学）在等比数列{푎푛}中，若푎1=2，푎4=16，则{푎푛}的前 5 项和푆5等于（ ）
A．30 B．31 C．62 D．64
5.（六中）等差数列{푎푛}的首项为 1，公差不为 0. 若푎2,푎3,푎6成等比数列，则{푎푛}前 6 项的和为( )
A．－24 B．－3 C．3 D．8
6.（六中）已知数列{푎푛}是等比数列，数列{푏푛}是等差数列，若푎1푎5푎9 = ―8,푏2 + 푏5 + 푏8 = 6휋，则sin
푏4 + 푏6
1 ― 푎3푎7
的值是（ ）
A．1
2 B． ― 1
2 C．
3
2 D． ― 3
2
7.（省实）已知数列 的通项公式为 ，则当푛等于（ ）时， 取得最小值？
A．16 B．17 C．18 D．16 或 17
数列求通项公式
{ }na 503 −= nan nS6 |
8．（1）已知数列{푎푛}的首项푎1 = 1，푎푛+1 = 푎푛 +2푛(푛 ∈ 퐍∗)，则푎푛 = ．
（2）已知数列{푎푛}满足푎1 = 1
2，且前푛项和푆푛 = 푛2푎푛，则푎푛 = ．
9．（广州中学）已知数列{푎푛}的前푛项和为푆푛，对任何正整数푛，等式푆푛 = ― 푎푛 + 1
2(푛 ― 3)都成立，则数列{푎푛
}的通项公式푎푛 = ．
数列综合
10.（番实、番中、象贤、仲元四校联考）已知数列{푎푛}是公差为2的等差数列，它的前푛项和为푆푛，且
푎1 +1, 푎3 +1,푎7 +1成等比数列.
（1）求{푎푛}的通项公式；
（2）求数列{ 1
푆푛}的前푛项和푇푛.
11.（广外、铁一、广附三校联考）设公差不为0的等差数列的首项为1，且푎2,푎5,푎14构成等比数列.
（1）求数列{푎푛}的通项公式；7 |
（2）若数列{푏푛}满足
푏1
푎1
+ 푏2
푎2
+⋯ + 푏푛
푎푛
= 1 ― 1
2푛，푛 ∈ 퐍∗，求数列{푏푛}的前푛项和푇푛.8 |
知识点三 不等式
1. 不等式性质
（1）对称性：푎 > 푏⇔푏 < 푎
（2）传递性：푎 > 푏，푏 > 푐⇔푎 > 푐
（3）可乘性：푎 > 푏，푐 > 0 ⇒ 푎푐 > 푏푐
푎 > 푏，푐 < 0 ⇒ 푎푐 < 푏푐
（4）移项法则：푎 + 푏 > 푐 ⇒ 푎 > 푐 ― 푑
（5）同向不等式相加：푎 > 푏，푐 > 푑 ⇒ 푎 + 푐 > 푏 + 푑
（6）同向同正可乘性：푎 > 푏 > 0，푐 > 푑 > 0 ⇒ 푎푐 > 푏푑
（7）可乘方性：푎 > 푏 > 0 ⇒ 푎푛 > 푏푛 (푛 ∈ N∗，푛 ≥ 2)
（8）常用不等式：푎 > 푏 > 0 ⇒ 1
푎 < 1
푏
2. 常见不等式
（1）一元二次不等式
例如：(푥 ― 1)(푥 ― 3) ≥ 0⇒
(푥 ― 1)(푥 + 2) ≤ 0⇒
口诀（푎 > 0）：大于取 ；小于取
（2）高次不等式
先将最高次的系数化为正数的形式，然后因式分解，将相应方程的所有根画在数轴上，采取“穿针引线”
的方法得出不等式的解集．
（3）分式不等式解法
푓(푥)
푔(푥) > 0 ⇔ 푓(푥)푔(푥) > 0 푓(푥)
푔(푥) ≥ 0 ⇔ {푓(푥)푔(푥) ≥ 0
푔(푥) ≠ 0
3. 基本不等式
（1）如果푎,푏 ∈ 푅，那么푎2 + 푏2 ≥ 2푎푏，当且仅当푎 = 푏时等号成立
（2）如果푎,푏都是正数，那么푎 + 푏 ≥ 2 푎푏，当且仅当푎 = 푏时等号成立
（3）常见变形：푎푏 ≤ 푎2 + 푏2
2 ，푎푏 ≤ (푎 + 푏
2 )
2
（4）应用基本不等式求最值：
①若푎 > 0，푏 > 0且푎 + 푏 = 푠（和为定值），那么当푎 = 푏时，积푎푏取得最大值푠2
4
②若푎 > 0，푏 > 0且푎푏 = 푝（积为定值），那么当푎 = 푏时，和푎 + 푏取得最小值2 푝
解不等式9 |
12.（华附）在 R 上定义运算☆，a☆b＝ab＋2a＋b，则满足 x☆(x－2)＜0 的实数 x 的取值范围为（ ）
A．(0,2) B．(－2,1) C．(－∞, ― 2) ∪ (1,＋∞) D．(－1,2)
13. （华附）关于푥的不等式 的解集是 .
基本不等式
14.（省实）用基本不等式求最值，下列运用正确的是（ ）
A． B．
C．已知 ， D．
15.（天河区统考）已知푥,푦 ∈ (0, + ∞)，2푥―3 = (1
4)푦
，则푥푦的最大值为（ ）
A．2 B．9
8 C．3
2 D．9
4
3 12 1x
0，푦 > 0，且
2
푥 + 1
푦 = 1，若任意푥 > 0，푦 > 0，有
푥 + 2푦 > 푚2 +2푚恒成立，则实数푚的取值范围为（ ）
A．( ―1 ― 5, ― 1 + 5) B．( ―∞, ― 1 ― 5) ∪ ( ―1 + 5, + ∞)
C．( ― 4,2) D．( ―∞, ― 4) ∪ (2, + ∞)
作者：陈炜鸿
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