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2017年春学期高三数学期中试题（丹阳附答案）
丹阳2017年第二学期高三数学期中试卷及答案
资料简介
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江苏省丹阳高级中学
2016-2017学年度第二学期期中考试
高三数学（1——16班）2017.4
第Ⅰ卷
一、 填空题 (本大题共14小题，每小题5分，计70分，请将答案填入答题区)
1.已知全集，集合，，
则
2．复数的实部为
3．一个盒子里装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地抽取了 3张标签，则取出的3张标签的标号的平均数是3的概率为 ▲ ．
4．执行如图所示的流程图，会输出一列数，则这列数中的第3个数是 ▲ ．
5.在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未被污损，即9，10，11，1，那么这组数据的方差可能的最大值是 ．
6.已知 (、为正数)，若，则的最小值是_____．
7.若等差数列的公差为，且是与的等比中项，则该数列的前项和取最小值时，的值等于
8.设a∈R，函数是偶函数，若曲线)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为________．
9．已知一个圆锥底面的面积为2，侧面积为4，则该圆锥的体积为 ▲ ．
10．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A、B两点，点C（0，），若线段AC的垂直平分线过点B，则双曲线的离心率为 ．
11．在△ABC中，A=30°，AB=3， ，且，则= ．
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12. 已知点，点，点在直线上，若满足等式的点有两个，则实数的取值范围是 ．
13.已知动点满足：，则的最小值为 .
14、已知函数，且对于任意都有恒成立。则实数的取值范围是 ▲ ．
解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
15．．（本小题满分14分）
已知函数．
（1）当时，求的值域；
（2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，求的值．
16．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，点E、F分别是棱PC和PD的中点.
（1）求证：EF∥平面PAB；
（2）若AP=AD，且平面PAD平面ABCD，证明： 平面PAD平面PCD.
17．（本小题满分14分）
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设椭圆（）的焦点在轴上.
（1）若椭圆的离心率，求椭圆的方程；
（2）设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P为直线x+y=与椭圆E的一个公共点;
直线F2P交y轴于点Q，连结F1P. 问当a变化时，与的夹角是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.
18．（本小题满分16分）
（2）如果要求六根支条的长度均不小于2 cm，每个菱形的面积为130 cm2，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料（不计榫卯及其它损耗）？
图1
图2
19．（本小题满分16分）
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已知数列的各项都为正数，且对任意，都有(为常数).
（1）若，且，成等差数列，求数列的前项和；
（2）若，求证：成等差数列；
（3）已知，(为常数),是否存在常数，使得对任意
都成立？若存在.求出；若不存在，说明理由.
20．（本小题满分16分）
已知函数，
（1）函数，其中为实数，
①求的值；
②对，有，求的最大值；
（2）若（为正实数），试求函数与在其公共点处是否存在公切线，若存在，求出符合条件的的个数，若不存在，请说明理由．
江苏省丹阳高级中学
2013~2014学年度第二学期期中考试
高三数学附加题（第Ⅱ卷）
21．B．[选修4- 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
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若点在矩阵对应变换的作用下得到的点为，求矩阵的逆矩阵.
C．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.
（1）求出圆的直角坐标方程；
（2）已知圆与轴相交于，两点，若直线：上存在点使得，求实数的最大值.
22．（本小题满分10分）
A
B
C
D
A1
B1
C1
第22题图
如图，在直三棱柱中，已知，，，.是线段的中点.
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求二面角的大小的余弦值.
23．（本小题满分10分）
某电视台推出一档游戏类综艺节目，选手面对1﹣5号五扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐，选手需正确回答这首歌的名字，回答正确，大门打开，并获得相应的家庭梦想基金，回答每一扇门后，选手可自由选择带着目前的奖金离开，还是继续挑战后面的门以获得更多的梦想基金，但是一旦回答错误，游戏结束并将之前获得的所有梦想基金清零；整个游戏过程中，选手有一次求助机会，选手可以询问亲友团成员以获得正确答案．1﹣5号门对应的家庭梦想基金依次为3000元、6000元、8000元、12000元、24000元（以上基金金额为打开大门后的累积金额，如第三扇大门打开，选手可获基金总金额为8000元）；设某选手正确回答每一扇门的歌曲名字的概率为pi（i=1，
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2，…，5），且pi=（i=1，2，…，5），亲友团正确回答每一扇门的歌曲名字的概率均为，该选手正确回答每一扇门的歌名后选择继续挑战后面的门的概率均为；
（1）求选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金的概率；
（2）若选手在整个游戏过程中不使用求助，且获得的家庭梦想基金数额为X（元），求X的分布列和数学期望．
参考答案
1.
2. 0
3.
4. 30.
5.32.8
6.3＋2
7.6
8.ln2
9.
10.
11.﹣6
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12.
13.
14.或
15. 解：（1）∵f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3
=sin2x﹣3﹣+3=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，
∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[，1]，
∴f（x）=2sin（2x+）+1∈[0，3]；
（2）∵=2+2cos（A+C），∴sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），
∴sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），
∴﹣sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA，即sinC=2sinA，
由正弦定理可得c=2a，又由=可得b=a，
由余弦定理可得cosA===，
∴A=30°，由正弦定理可得sinC=2sinA=1，C=90°，由三角形的内角和可得B=60°，
∴f（B）=f（60°）=2
16. （1）证明：因为点E、F分别是棱PC和PD的中点，所以EF∥CD，又在矩形ABCD中，AB∥CD，所以EF∥AB， ---------------------3分
又AB面PAB，EF面PAB，所以EF∥平面PAB. --------------6分
⑵证明：在矩形ABCD中，AD⊥CD，又平面PAD平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD面ABCD，所以CD平面PAD， --------------10分
又AF面PAD，所以CDAF.① 因为PA=AD且F是PD的中点，所以AFPD，②
由①②及PD面PCD，CD面PCD，PD∩CD=D，所以AF平面PCD. ----------14分
17. 解：（1）由题知，由得
a4 - 25a2+100=0，故a2=5或20（舍），故椭圆E的方程为；----------------------6分
（2）设P(x0，y0)，F1(-c，0)，F2(c，0)，则c2=2a2-8，
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联立 得8x2 -4x+a4=0，
即，故，， ------------------------------------------10分
直线PF2的方程为，令x=0，则，即点Q的坐标为，
故， （9分）
故---------------13分
故与的夹角为定值. ------------------------------------------------------------------------14分
18. 解．（1）由题意，水平方向每根支条长为cm，
竖直方向每根支条长为cm， ------------------------------------2分
菱形的边长为cm． ------------------------------------4分
从而，所需木料的长度之和L=
=cm． -----------------------------------6分
（2）由题意， ，即，又由可得．--------------------8分
所以．
令，其导函数在上恒成立， --------------------10分
故在上单调递减，所以可得． --------------------12分
则
=．
因为函数和在上均为增函数，
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所以在上为增函数， --------------------14分
故当，即时L有最小值．
答：做这样一个窗芯至少需要cm长的条形木料． -------------------16分
19. 解：（1）当时，，
，数列为等比数列，设公比为， ………………2 分
则成等差数列，
，即，
，，， ………………4 分
，数列的前项和； ………………5 分
（2）当时，，
令，则，
，
，，
成等差数列； ………………8分
（3）存在常数使得对任意都成立. ………9分
证明如下：令，
对任意，都有，①，为常数，
，②
②①得：，
，
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，
即:，亦即：，
数列为常数列，，， ………………14分
，，，
令，则，
，， ………………15分
，
即存在常数使得对任意都成立. ……16分
20. 解:（1）由得，
①-------------------------------------------------------------3分
②记，则，
记，则，当时，
i当时，，，即在上是增函数，
又，则，，
即在上是增函数，又，则，
即在上是增函数，故，；----------------------6分
ii 当时，则存在，使得在小于0,
即在上是减函数，则，，即在上是减函数，又，则，，又，
即在上是减函数，故，，矛盾！…---------…8分
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故的最大值为；……9分
（3）设函数与在其公共点处存在公切线，
则…-------------------------------------------------…11分，
由②得，即代入①得，----……13分，
记，则，
得在上是增函数，上是减函数，
又，
得符合条件的的个数为．……--------------------16分（未证明小于0的扣2分）
21. 解：由题意知， ，即----------------------2分
所以 解得 从而-----------6分
由，解得. ----------------------------------------10分
解：（1）由得，即，
即圆的标准方程为. -----------------4分
（2）：的方程为，而为圆的直径，
故直线上存在点使得的充要条件是直线与圆有公共点，-----------------6分
故，于是，实数的最大值为. ----------------10分
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22. 解：因为在直三棱柱中，，所以分别以、、所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则,
因为是的中点，所以，……………………………………………………2分
（1）因为，设平面的法向量，
则，即，取，
所以平面的法向量，而，所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为；…………………………………5分
（2），，设平面的法向量，
则，即，取，平面的法向量，
所以，
二面角的大小的余弦值．……………………………………………10分
23.解：设事件“该选手回答正确第i扇门的歌曲名称”为事件Ai，“使用求助回答正确歌曲名称”为事件B，事件“每一扇门回答正确后选择继续挑战下一扇门”为事件C；则，，，，，P（B）=，P（C）=…
（1）设事件“选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金”为事件A，则：
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A=A1CA2CBCA4=×=
∴选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金的概率为；---------------4分
（2）X的所有可能取值为：0，3000，6000，8000，12000，24000；…
P（X=3000）=P（A1）==；
P（X=6000）=P（A1 CA2）==；
P（X=8000）=P（A1 CA2 CA3）==；
P（X=12000）=P（A1 CA2 CA3 CA4）==；
P（X=24000）=P（A1 CA2 CA3 CA4 CA5）==；…
P（X=0）=P（）+P（A1C）+P（A1CA2C）+P（A1CA2CA3C）+P（A1CA2CA3CA4C）==；…
∴X的分布列为：
X
0
3000
6000
8000
12000
24000
P
-------------------------------------------------------------------8分
∴EX=0×+3000×+6000×+8000×+12000×+24000×
=1250+1000+500+250+250=3250（元）
∴选手获得的家庭梦想基金数额为X的数学期望为3250（元） ---------------------------------10分
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