资料简介
河北武邑中学 2019-2020 学年高三下学期期中考试
数学试题（文）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共 4 页．考试结束后，将答
题纸和机读卡一并交回．注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填
写清楚，请认真核准准考证号、姓名和科目．
2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．
第Ⅰ卷：选择题（60 分）
一. 选择题：（本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1.已知集合 ， ，则集合 （ ）
A．{1，2} B．{1，2,3} C．{1，2,4} D．{1，2,3,4}
2.设复数 满足 ，则 （ ） A． B． C． D．
3．已知等比数列 中， ，前三项之和 ，则公比 的值为（ ）
A．1 B． C．1 或 D．
4．如图是一位发烧病人的体温记录折线图，下列说法不正确的是（ ）
A．病人在 5 月 13 日 12 时的体温是 B．从体温上看，这个病人的病情在逐渐好
转
C．病人体温在 5 月 14 日 0 时到 6 时下降最快 D．病人体温在 5 月 15 日 18 时开始逐渐稳
定
5．已知直线 、 ，平面 、 ，给出下列命题：
①若 ， ，且 ，则 ②若 ， ，且 ，则
{ }1,2A = { }| , ,B x x a b a A b A= = + ∈ ∈ =BA
z 11
=+ zi
i | |z = 1 5 2 2
{ }na 3 7a = 3 21S = q
1
2
− 1
2
− 11 2
− 或
38℃
m n α β
m α⊥ n β⊥ m n⊥ α β⊥ //m α βn// //m n //α β③若 ， ，且 ，则 ④若 ， ，且 ，则
其中正确的命题是（ ）
A．①③ B．②④ C．③④ D．①
6．定义 ，已知 ， ，则“ ”是“直线
与直线 平行”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
7．下列格式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在 年约为 万吨， 年的年增长
率为 ，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从（ ）
年开始，快递业产生的包装垃圾超过 万吨.（参考数据： ， ）
A． B． C．
D．
9．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不
竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规
律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取 20 天后所剩木棍的长度
（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
10．已知双曲线 的两条渐近线分别与抛物线 交于第一、四象限
的 A，B 两点，设抛物线焦点为 F，若 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
m α⊥ βn// m n⊥ α β⊥ m α⊥ βn// //m n //α β
2
1
a
a
1221
2
1 babab
b −= 2 2
1 1 0a b+ ≠ 2 2
2 2 0a b+ ≠ 1 1
2 2
0a b
a b
=
1 1 1 0a x b y c+ + = 2 2 2 0a x b y c+ + =
4 3tan7 7
π π> 13 17tan tan4 5
π π− ° tan4 tan3>
2015 400 2016
50%
4000 lg 2 0.3010≈ lg3 0.4771≈
2020 2021 2022
2013
20i < 1S S i
= − 2i i= 20i ≤ 1S S i
= − 2i i=
20i <
2
SS = 1i i= + 20i ≤
2
SS = 1i i= +
( )2 2
2 2 1 , 0x y a ba b
− = > 2 4y x=
7cos 9AFB∠ = −
2 3 5 2 211．已知数列 的前 项和 ，且 ， ，则数列 的最小项为
（ ）
A．第 3 项 B．第 4 项 C．第 5 项 D．第 6 项
12．已知函数 的图像上有且仅有四个不同的点关于直线 的
对称点在 的图像上，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷：非选择题（90 分）
二．填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．若 ， 为锐角，且 ，则 __________；
__________.
14. 若 变 量 满 足 约 束 条 件 ， 且 ， 则 仅 在 点
处取得最大值的概率为 ．
15．天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干：甲、乙、丙、丁、
戊、己、庚、辛、壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天
干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干
由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，
以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”
重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知 2016 年为丙申年，那么到改革开放 100 年时，即
2078 年为________年.
16．在棱长为 的正方体 中， 是正方形 的中心， 为 的
{ }na n nS 2( 1)n nS a n− = − 2
2 na
n
n
b S
= { }nb
( ) 2
ln 2 , 0
3 , 02
x x x x
f x
x x x
− >= + ≤
1y = −
1y kx= − k
1 ,12
1 3,2 4
1 ,13
1 ,22
α β
4
πα β+ = ( )( )1 tan 1 tanα β+ + =
( )( )( ) ( )1 tan1 1 tan 2 1 tan3 1 tan 45+ + + + =
,x y
2 0,
0,
2 2 0,
x y
x y
x y
+ ≥
− ≤
− + ≥
( )3,6−∈m mx
yz +=
1( 1, )2A −
2 1 1 1 1ABCD A B C D− E 1 1BB C C M 1 1C D中点，过 的平面 与直线 垂直，则平面 截正方体 所得的截面
面积为______.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分
17．（12 分）如图，在四边形 ABCD 中，A 为锐角， .
（1）求 ；
（2）设 、 的外接圆半径分别为 ，若 恒成立，求实数 m 的
最小值.
18．（12 分）某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近 个月广告投入
量 （单位：万元）和收益 （单位：万元）的数据如下表：
月份
广告投入量
收益
他们分别用两种模型① ，② 分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行
残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：
1A M α DE α 1 1 1 1ABCD A B C D−
2cos sin( ) 3sin 6A A C C
π + = −
A C+
ABD△ CBD 1,r 2r
1 2
1 1 m
r r DB
+ ≤
6
x y
1 2 3 4 5 6
2 4 6 8 10 12
14.21 20.31 31.8 31.18 37.83 44.67
y bx a= + bxy ae=
x y
6
1
i i
i
x y
=
∑ 6
2
1
i
i
x
=
∑
7 30 1464.24 364（Ⅰ）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；
（Ⅱ）残差绝对值大于 的数据被认为是异常数据，需要剔除：
（ⅰ）剔除异常数据后求出（Ⅰ）中所选模型的回归方程；
（ⅱ）若广告投入量 时，该模型收益的预报值是多少？
附：对于一组数据 ， ，……， ，其回归直线 的斜率和截
距的最小二乘估计分别为：
， .
19．（12 分）如图， 是圆 的直径，点 是圆 上异于 的点， 垂直于圆 所在
的平面，且 ．
（Ⅰ）若 为线段 的中点，求证 平面 ；
（Ⅱ）求三棱锥 体积的最大值；
（Ⅲ）若 ，点 在线段 上，求 的最小
值．
20．（12 分）椭圆 （ ）的离心率是 ，点 在短轴 上，
2
18x =
1 1( , )x y 2 2( , )x y ( , )n nx y y bx a= +
1
2
1
( )( )
( )
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
=
=
− −
=
−
∑
∑
1
22
1
n
i i
i
n
i
i
x y nxy
x nx
=
=
−
=
−
∑
∑ xbya ˆˆ −=
AB O C O ,A B ΡΟ Ο
1ΡΟ = ΟΒ =
D AC CΑ ⊥ DΡ Ο
P ABC−
2BC = E PB CE OE+
2 2
2 2: 1x yE a b
+ = 0a b> > 2
2
(0,1)P CD且 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 为坐标原点，过点 的动直线与椭圆交于 两点，是否存在常数 ，使得
为定值？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由
21．（12 分）已知函数 在定义域内有两个不同的极值点.
（Ⅰ）求实数 的取值范围；
（Ⅱ）记两个极值点为 ，且 ，求证： .
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22.[选修 44：坐标系与参数方程]（10 分）
已知极坐标系的极点 O 与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中 x 轴的正半轴重合.圆
C 的参数方程为 （ 为参数， ），直线 l： ，
若直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，且 .
（1）求 a；
（2）若 M，N 为曲线 C 上的两点，且 ，求 的范围.
23.[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
已知函数
(1)解不等式: f(x) ax+1,求实数 a 的取值范围.
期中考试 高三数学（文）答案
1.D
2.C
3．【答案】C
【分析】先验证 合题意， 时，利用等比数列的通项公式与求和公式列方程求解即
1PC PD⋅ = −
E
O P ,A B λ
OA OB PA PBλ⋅ + ⋅ λ
( ) ( )2lnf x x x ax a R= − ∈
a
1 2,x x 1 2x x< 1 2 1x x⋅ >
cos
sin
x a a
y a
θ
θ
= +
=
θ 0 5a< < sin 2 24
πρ θ + =
| | 2 2AB =
3MON
π∠ = | | | |OM ON+
( ) | 2 | | 2 |.f x x x= + −
1q = 1q ≠可.
【详解】等比数列 中， ，前三项之和 ，
若 ， ， ，符合题意；
若 ，则 ，
解得 ，即公比 的值为 1 或 ，故选 C.
4．【答案】C
【分析】根据折线图，结合选项即可判断.
【详解】
由该发烧病人的体温记录折线图，可知
对于 A，病人在 5 月 13 日 12 时的体温是 ，故 A 正确；
对于 B，从体温上看，这个病人的体温逐渐趋于正常，说明病情在逐渐好转，故 B 正确；
对于 C，病人体温在 5 月 13 日 6 时到 12 时下降最快，故 C 错误；
对于 D，病人体温在 5 月 15 日 18 时开始逐渐稳定，故 D 正确.
综上可知，C 为错误选项，
【点睛】本题考查了折线图的特征和简单应用.
5．【答案】D
【分析】根据空间线面关系、面面关系对各命题的正误进行判断，即可得出正确选项.
【详解】
对于命题①，若 ， ，且 ，则 ，该命题正确；
对于命题②，若 ， ，且 ，则 与 平行或相交，命题②错误；
对于命题③，若 ， ，且 ，则 与 平行、垂直或斜交，命题③错误；
对于命题④， ，过直线 作平面 ，使得 ，则 ， ， ，
， ， ，则 ，命题④错误.
【点睛】本题考查有关线面、面面关系命题真假的判断，可以根据空间中的线面关系、面面
关系有关定理或者利用模型来进行判断，考查推理能力.
{ }na 3 7a = 3 21S =
1q = 3 7a = 3 3 7 21S = × =
1q ≠ ( )
2
1
3
1
7
1
211
a q
a q
q
=
−
= −
1
2q = − q 1
2
−
38℃
m α⊥ n β⊥ m n⊥ α β⊥
//m α βn// //m n α β
m α⊥ βn// m n⊥ α β
//n β n γ lβ γ = //n l //m n //m l∴
m α⊥ l α∴ ⊥ l β⊂ α β⊥6．【答案】B
【分析】根据两直线平行的等价条件结合充分条件和必要条件的定义进行判断，即可得出结
论.
【详解】
若直线 与直线 平行，则 且 ，
因此，“ ”是“直线 与直线 平行”的必要不充分
条件.
【点睛】本题考查了充分条件、必要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力．
7．【答案】D
【分析】利用诱导公式以及正切函数的单调性即可比较大小
【详解】
对于 A， ，
且 ，
由于 在 单调递增，则 ，故 A 错误；
对于 B， ，
又 ， 在 单调递增，
.
对于 C， ，
，
由于 ，且 在 单调递增，
1 1 1 0a x b y c+ + = 2 2 2 0a x b y c+ + = 1 1
2 2
0a b
a b
= 1 1
2 2
0a c
a c
≠
1 1
2 2
0a b
a b
= 1 1 1 0a x b y c+ + = 2 2 2 0a x b y c+ + =
4 3 3tan tan tan7 7 7
π π ππ = − = −
3 3
7 7
π π− <
tany x= ,2 2
π π −
4 3tan7 7
π π<
13tan tan 34 tan4 4
π π ππ− − − = =
−
2 2tan 3 ta17ta n55 5n
π ππ π = − − =− −
2
4 5 2
π π π− > − > − tany x= ,2 2
π π −
∴ 13 17tan tan4 5
π π − > −
( ) ( )tan 281 tan 360 79 tan 79= − = −
( ) ( )tan 665 tan 720 55 tan 55= − = −
79 55− < − tany x= ( )90 ,90− ，故 C 错误；
对于 D， ，
，故 D 正确；
【点睛】本题考查了诱导公式以及正切函数的单调性，熟记诱导公式时关键.
8．【答案】B
【分析】表 示从 年开始增加的年份的数量，由题意可得
，解出满足该不等式的最小正整数 的值，即可得出
结果.
【详解】
设快递行业产生的包装垃圾为 万吨， 表示从 年开始增加的年份的数量，
由题意可得 ，
由于第 年快递行业产生的包装垃圾超过 万吨，即 ， ，
两边取对数得 ，即 ，
因此，从 年开始，快递行业产生的包装垃圾超过 万吨，
故选：B．
【点睛】本题考查了指数函数模型在实际生活中的应用，列出不等式是解题的关键，考查运
算求解能力.
9．【答案】D
【分析】先由第一天剩余的情况确定循环体，再由结束条件确定循环条件即可.
【详解】
根据题意可知，第一天 ，所以满足 ，不满足 ，故排除 AB，
由框图可知，计算第二十天的剩余时，有 ，且 ，所以循环条件应该是 .
【点睛】本题考查了程序框图的实际应用问题，把握好循环体与循环条件是解决此题的关键.
10．【答案】B
tan281 tan 665°
n
y n 2015
( ) 3400 1 50% 400 2
n
ny = × + = ×
n 4000 3400 40002
n × >
3 102
n ∴ >
3lg 12n >
1 1 5.67863 lg3 lg 2lg 2
n > = ≈−
2021 4000
1
2S =
2
SS = 1S S i
= −
2
SS = 21i = 20i ≤【分析】求得双曲线的渐近线方程，联立抛物线方程，求得 A，B 的坐标，以及 F 的坐标，
设 AF 的倾斜角为 ，由二倍角的余弦公式和同角的基本关系式，以及直线的斜率公式，双
曲线的离心率公式，计算可得所求值.
【详解】
解：双曲线 的两条渐近线方程为 ，
由抛物线 和 ，联立可得 ，
由抛物线的方程可得 ，
设 AF 的倾斜角为 ，斜率为 ，
而 ，
解得 （负的舍去），
设 ，可得 ，解得 ，
则 ，
【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查三角函数的恒等变换，以及化简运算能力.
11．【答案】A
【分析】由 与 的关系 化简即可求出 及 ，可得 ，分析单调性
即可求解.
【详解】
∵ ,
∴ ,则 ,即 ,
∴ .
易知 ,
α
( )2 2
2 2 1 , 0x y a ba b
− = > by xa
= ±
2 4y x= by xa
=
2 2
2 2
4 4 4 4, , ,a a a aA Bb b b b
−
(1,0)F
α 2
2
4
tan 4 1
a
b
a
b
α =
−
2 2 2
2 2
2 2 2
cos sin 1 tan 7cos cos2 cos sin cos sin 1 tan 9AFB
αα αα α α αα α
− −∠ = = − = = = −+ +
tan 2 2α =
at b
= 2
4 2 24 1
t
t
=−
2
2t =
2
21 3c be a a
= = + =
nS na 1( 1)n n na S S n−= − > nS na nb
1( 1)n n na S S n−= − >
1n n nS a S −− = 2
1 ( 1)nS n− = − 2 *( N )nS n n= ∈
2 2( 1) 2 1na n n n= − − = −
0nb >∵ ,
当 时, ,
∴当 时, ,
当 时, ,
又 ,
∴当 时, 有最小值.
【点睛】本题主要考查了数列 与 的关系，数列的单调性.
12．【答案】A
【分析】可将问题转化，求直线 关于直线 的对称直线，再分别讨论两函数
的增减性，结合函数图像，分析临界点，进一步确定 的取值范围即可
【详解】
可求得直线 关于直线 的对称直线为 ，
当 时， ， ，当 时， ，则当
时， ， 单减，当 时， ， 单增；
当 时， ， ，当 ， ,当 时，
单减，当 时， 单增；
根据题意画出函数大致图像，如图：
2 1 2 +1
+14 4
2 2
+1
n n
n nb bn n
−
= =， （ ）
2 4
41
4
2 2( )( 1) 1
n
n
b n n
b n n
+∴ = =+ +
2 11
n
n
>+ 2 1n > +
1 3n≤ < 1n nb b +>
3n ≥ 1n nb b +<
2 3
1 32,2 81b b= =
3n = nb
nS na
1y kx= − 1y = −
k
1y kx= − 1y = − 1y mx= − ( )m k= −
0x > ( ) ln 2f x x x x= − ( )' ln 1f x x= − x e= ( )' 0f x = ( )0,x e∈
( )' 0f x < ( )f x ( ),x e∈ +∞ ( )' 0f x > ( )f x
0x ≤ ( ) 2 3
2f x x x= + ( ) 3' 2 2f x x= + 3
4x = − ( )' 0f x = 3
4x < −
( )f x 3 04 x− < < ( )f x当 与 （ ）相切时，得 ，解得 ；
当 与 （ ）相切时，满足 ，
解得 ，结合图像可知 ，即 ，
故选：A
【点睛】本题考查数形结合思想求解函数交点问题，导数研究函数增减性，找准临界是解题
的关键.
13．【答案】
【分析】
利用两角和差正切公式来构造出 ，代入
可求得结果；根据 的规律可整理得到结果.
【详解】
即
故答案为： ；
【点睛】本题考查利用两角和差正切公式求值的问题，关键是能够通过两角和差正切公式和
1y mx= − ( ) 2 3
2f x x x= + 0x ≤ 0∆ = 1
2m = −
1y mx= − ( ) ln 2f x x x x= − 0x >
ln 2
1
ln 1
y x x x
y mx
m x
= −
= −
= −
1, 1x m= = − 11, 2m ∈ − −
11, 2k − ∈ − −
1 ,12k ∈
2 232
tan tan tan tan 1α β α β+ + = ( )( )1 tan 1 tanα β+ +
( )( )1 tan 1 tanα β+ +
( ) tan tantan 11 tan tan
α βα β α β
++ = =− tan tan 1 tan tanα β α β∴ + = −
tan tan tan tan 1α β α β+ + =
( )( )1 tan 1 tan 1 tan tan tan tan 2α β α β α β∴ + + = + + + =
( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )1 tan1 1 tan 2 1 tan3 1 tan 45 2 1 tan1 1 tan 2 1 tan3 1 tan 44∴ + + + ⋅⋅⋅ + = + + + ⋅⋅⋅ +
22 232 2 2= × =
2 232特殊角三角函数值构造出所求式子的构成部分.
14.【答案】
15．【答案】戊戌
【分析】由题意可得数列天干是以 10 为公差的等差数列，地支是以 12 为公差的等差数列，
以 2017 年的天干和地支分别为首项，即可求解．
【详解】
由题意，可得数列天干是以 10 为公差的等差数列，地支是以 12 为公差的等差数列，
从 2017 年到 2078 年经过了 61 年，且 2017 年为丁茜年，以 2017 年的天干和地支分别为首项，
则 余 ，则 2078 年的天干为戊， 余 ，则 2078 年的天干为戌，
所以 2078 年为戊戌年．
【点睛】
本题主要考查了等差数列的实际应用问题，其中解答中得出数列天干是以 10 为公差的等差数
列，地支是以 12 为公差的等差数列，以 2017 年的天干和地支分别为首项，利用等差数列求
解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．
16．【答案】
【分析】确定平面 即为平面 ，四边形 是菱形，计算面积得到答案.
【详解】
如图，在正方体 中，记 的中点为 ，连接 ，
则平面 即为平面 ．证明如下：
由正方体的性质可知， ，则 ， 四点共面，
记 的中点为 ，连接 ，易证 ．连接 ，则 ，
所以 平面 ，则 ．
同理可证， ， ，则 平面 ，
所以平面 即平面 ，且四边形 即平面 截正方体 所得
的截面．
9
1
61 10 6÷ = 1 61 12 5÷ = 1
2 6
1A MCN α 1A MCN
1 1 1 1ABCD A B C D− AB N 1, ,MC CN NA
1A MCN α
1A M NC 1A , ,M CN N
1CC F DF DF MC⊥ EF EF MC⊥
MC ⊥ DEF DE MC⊥
DE NC⊥ NC MC C= DE ⊥ 1A MCN
1A MCN α 1A MCN α 1 1 1 1ABCD A B C D−因为正方体的棱长为 ，易知四边形 是菱形，
其对角线 ， ，所以其面积 ．
故答案为：
【点睛】本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
17．【答案】（1） （2）
【分析】(1)根据三角函数的和差角公式与三角函数值求解即可.
(2)根据正弦定理参变分离,再利用 的取值范围求解
【详解】
（1）由题,
,即
,因为 .故
.
所以 .
（2）
2 1A MCN
1 2 3AC = 2 2MN = 1 2 2 2 3 2 62S = × × =
2 6
2
3
π
2 3
A
2cos sin( )A A C+ =
3 3sin[ ( )] sin[ ( )] sin(2 ) sin sin cos2 2A A C A A C A C C C C+ + − − + = + + = −
1 3sin(2 ) sin cos2 2A C C C+ = − sin(2 ) sin 3A C C
π ⇒ + = − 2 3A C C
π+ > −
2 3A C C
π+ ≠ −
22 3 3A C C A C
π ππ+ + − = ⇒ + =
1 2
2sin 2sinBD BDm A Cr r
≥ + = + 22sin 2sin 3A A
π = + −
3 12sin 2 cos 2 sin2 2A A A = + × − × − 3sin 3 cosA A= +,因为 ,故当 时 有最大值
所以 ,即实数 m 的最小值为
【点睛】
本题主要考查了三角恒等变换的运用以及正弦定理与根据角度范围求解三角函数范围的问题,
属于中等题型.
18．【答案】（1）应该选择模型①，理由见解析（2）（ⅰ） （ⅱ）
【分析】
（1）结合题意可知模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，即可。（2）（i）利用回
归直线参数计算方法，分别得到 ，建立方程，即可。（ii）把 代入回归方程，计算结
果，即可。
【详解】
（Ⅰ）应该选择模型①，因为模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明模
型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高.
（Ⅱ）（ⅰ）剔除异常数据，即月份为 的数据后，得
；
.
；
.
；
，
所以 关于 的线性回归方程为： .
（ⅱ）把 代入回归方程得： ，
故预报值约为 万元.
2 3sin 6A
π = + 0, 2A
π ∈ 6 2A
π π+ = 2 3sin 6A
π + 2 3
2 3m ≥ 2 3
3 8.04y x= + 62.04
,a b
∧ ∧
8x =
3
( )1 7 6 6 7.25x = × − =
( )1 30 6 31.8 29.645y = × − =
5
1
1464.24 6 31.8 1273.44i i
i
x y
=
= − × =∑
( )5 2 2
1
364 6 328i
i
x
=
= − =∑
5
1
5 2 2
1
ˆ i ii
ii
x y nxy
b
x nx
=
=
−
=
−
∑
∑
1273.44 5 7.2 29.64
328 5 7.2 7.2
− × ×= − × ×
206.4 368.8
= =
29.64 3 7.2 8.04ˆˆa y bx= − = − × =
y x 3 8.04ˆy x= +
18x = 3 18 8.04 6 .ˆ 2 04y = × + =
62.04【点睛】本道题考查了回归方程的计算方法。
19．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ） ．
【解析】
【详解】
（Ⅰ）在 中，因为 ， 为 的中点，
所以 ．又 垂直于圆 所在的平面，所以 ．
因为 ，所以 平面 ．
（Ⅱ）因为点 在圆 上，
所以当 时， 到 的距离最大，且最大值为 ．
又 ，所以 面积的最大值为 ．
又因为三棱锥 的高 ，故三棱锥 体积的最大值为 ．
（Ⅲ）在 中， ， ，所以 ．
同理 ，所以 ．
在三棱锥 中，将侧面 绕 旋转至平面 ，使之与平面 共面，如图
所示．
当 ， ， 共线时， 取得最小值．
又因为 ， ，所以 垂直平分 ，
即 为 中点．从而 ，
亦即 的最小值为 ．
1
3
2 6
2
+
C∆ΑΟ CΟΑ = Ο D CΑ
C DΑ ⊥ Ο ΡΟ Ο CΡΟ ⊥ Α
DΟ ΡΟ = Ο CΑ ⊥ DΡ Ο
C Ο
CΟ ⊥ ΑΒ C ΑΒ 1
2ΑΒ = C∆ΑΒ 1 2 1 12
× × =
CΡ − ΑΒ 1ΡΟ = CΡ − ΑΒ 1 11 13 3
× × =
∆ΡΟΒ 1ΡΟ = ΟΒ = 90∠ΡΟΒ = 2 21 1 2ΡΒ = + =
C 2Ρ = C CΡΒ = Ρ = Β
CΡ − ΑΒ CΒ Ρ ΡΒ CΒ ′Ρ ΑΒΡ
Ο Ε C′ CΕ + ΟΕ
ΟΡ = ΟΒ C C′Ρ = ′Β CΟ ′ ΡΒ
Ε ΡΒ 2 6 2 6
2 2 2C C
+Ο ′ = ΟΕ + Ε ′ = + =
CΕ + ΟΕ 2 6
2
+考点：1、直线和平面垂直的判定；2、三棱锥体积．
20．【答案】（1） ；（2）见解析.
【详解】
（1）由已知，点 C，D 的坐标分别为（0，－b），（0，b）
又点 P 的坐标为（0，1），且 ＝－1
于是 ，解得 a＝2，b＝
所以椭圆 E 方程为 .
（2）当直线 AB 斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y＝kx＋1
A，B 的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）
联立 ，得（2k2＋1）x2＋4kx－2＝0
其判别式△＝（4k）2＋8（2k2＋1）＞0
所以
从而 ＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋（y1－1）（y2－1）]
＝（1＋λ）（1＋k2）x1x2＋k（x1＋x2）＋1
＝
＝－
所以，当 λ＝1 时，－ ＝－3，
此时， ＝－3 为定值.
2 2
14 2
x y+ =
PC PD⋅
2
2 2 2
1 1
2{ 2
b
c
a
a b c
− = −
=
− =
2
2 2
14 2
x y+ =
2 2
1{ 4 2
1
x y
y kx
+ =
= +
1 2 1 22 2
4 2,2 1 2 1
kx x x xk k
+ = − = −+ +
OA OB PA PBλ⋅ + ⋅
2
2
( 2 4) ( 2 1)
2 1
k
k
λ λ− − + − −
+
OA OB PA PBλ⋅ + ⋅ 当直线 AB 斜率不存在时，直线 AB 即为直线 CD
此时 ＝－2－1＝－3
故存在常数 λ＝1，使得 为定值－3.
考点：本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程、平面向量等基础知识，考查推理论证能力、
运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.
21．【分析】
（Ⅰ）由题意，方程 在 有两个不同根,即方程 有两个不同
根；解法 1：转化为函数 与函数 的图象在 上有两个不同交点，
解法 2：转化为函数 与函数 的图象在 上有两个不同交点；解法
3；求出 ，讨论 的取值范围，求出函数 的单调区间即可求解. （Ⅱ）由（Ⅰ）
知：由（Ⅰ）知： 是 的两个根， ，
然后利用分析法要证 ，只需证: ，从而可得 ，
进而可得 ，令 ，换元转化为函数，利用函数的最值即可证出.
【详解】
（Ⅰ）由题意，方程 在 有两个不同根,即方程 有两个不同
根；
解法 1：转化为函数 与函数 的图象在 上有两个不同交点，
令 ,
故 在 处的切线方程为：
代入点 有：
OA OB PA PB OC OD PC PDλ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅
OA OB PA PBλ⋅ + ⋅
' ( ) 0f x = ( )0, ∞+ 1 ln 2 0x ax+ − =
( ) lng x x= 2 1y ax= − ( )0, ∞+
1 ln( ) xg x x
+= 2y a= ( )0, ∞+
( )f x′ a ( )f x
1 2,x x 1 ln 2 0x ax+ − = 1 2
2 2
1 2
ln ln1 ln 2 0 2 = x xx ax a x x
−+ − = ⇒ −
1 2 1x x⋅ > ， 1 2ln ln 0x x+ > 1 2
1 2 1 2
ln ln 2x x
x x x x
− >− +
1
21
12
2
2 1
ln
1
x
xx
xx
x
− <
+
1
2
xt x
=
' ( ) 0f x = ( )0, ∞+ 1 ln 2 0x ax+ − =
( ) lng x x= 2 1y ax= − ( )0, ∞+
'
0 0
0
1 1( ) 2 2g x a xx a
= = ⇒ =
( )g x 1 1( ,ln( )2 2a a
1 1 1ln( ) ( )2 2 2y xa a a
− = −
( )0, 1− 1 1 1 1 11 ln( ) (0 ) ln( ) 0 1 2 12 2 2 2 2 aa a a a a
− − = − ⇒ = ⇒ = ⇒ =可得：
解法 2：转化为函数 与函数 的图象在 上有两个不同交点．
，故 时， 时，
故 在 上单增，在 上单减，
又 ，故 时， 时，
可得： …
解法 3：
① 时， 故 在 上单增，
故 在 最多只有一个实根，不合题意；
② 时，令 令
故 在 上单增，在 上单减；
故
当 时，
故 在 上有两个不相等的实根，故
（Ⅱ）由（Ⅰ）知： 是 的两个根，
故
要证： ，只需证： ，
( ) 12 0,1 0, 2a a ∈ ⇒ ∈
1 ln( ) xg x x
+= 2y a= ( )0, ∞+
'
2
ln( ) ( 0)xg x xx
−= > ( )0,1x∈ ' ( ) 0;g x > ( )1, ,x∈ +∞ ' ( ) 0;g x <
( )g x ( )0,1 ( )1 +¥，
max( ) (1) 1g x g∴ = =
1( ) 0g e
= 1(0, )x e
∈ ( ) 0;g x < 1( , )x e
∈ +∞ ( ) 0;g x >
( ) 12 0,1 0, 2a a ∈ ⇒ ∈
( )'' 1 2 ( 0)f x a xx
= − >
2 0a ≤ ( )'' 0f x > ， ( )f x ( )0 +∞，
( )' =f x 0 ( )0 +∞，
2 0a > ( )'' 10 0 ;2f x x a
> ⇒ ∈ ， ( )'' 10 , ;2f x x a
< ⇒ ∈ +∞
( )'f x 10 2a
， 1 ,2a
+∞
( ) ( )' '
max
1 1 ln(2 ) 1 ln(2 ) 0 2 0,12f x f a a aa
= = − − = − > ⇒ ∈
( )2 0,1a∈ ( )' '1 12 0, lim
x
f a f xe e →+∞
= − ⋅ < → −∞ ，
( )'f x ( )0 +∞， 10, 2a ∈
1 2,x x 1 ln 2 0x ax+ − =
1 2
1 1 2 2
1 2
ln ln1 ln 2 0 1 ln 2 0 2 = x xx ax x ax a x x
−+ − = + − = ⇒ −，
1 2 1x x⋅ > ， 1 2ln ln 0x x+ >即证：
即证： ，即证：
又 故上式为：
令
故 在 上单增，故 故 式成立，即证.
【点睛】
本题考查了由函数的极值点个数求参数的取值范围、利用导数证明不等式、分析法，考查了
转化与化归的思想
22．【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）消去参数得到圆 C 的普通方程，利用 ， 代入，得到直线 l 的普
通方程，求解圆心到直线距离，结合 ，即得解；
（2）先求解圆 C 的极坐标方程， ，设 ， ，
，代入即得解.
【详解】
（1）由 ，得 ，
∴圆 C 的普通方程为 .可得圆心为 ，半径 .
，
把 ， 代入，
( ) ( )1 22 -1 + 2 -1 0ax ax >
( )1 22 2a x x+ > 1 2
1 2 1 2
ln ln 2x x
x x x x
− >− +
1 20 ,x x< < ( ) 1
1 2 21
12 1 2
2
2 12ln ( )
1
x
x x xx
xx x x
x
− − < = ∗+ +
( ) ( )
( )
( )
( )
2
'1
2 2
2
2 1 11 40,1 , ( ) ln , ( ) 01 1 1
t txt h t t h tx t t t t t
− −= ∈ = − = − = >+ + +
( )h t ( )0,1 ( ) (1) 0,h t h< = ( )∗
2a = (2 3,4 3
cosx ρ θ= siny ρ θ=
| | 2 2AB =
4cosρ θ= ( )1 1,M ρ θ 2 1, 3N
πρ θ +
1 2| | | |OM ON ρ ρ+ = +
cos
sin
x a a
y a
θ
θ
= +
=
cos
sin
x a a
y a
θ
θ
− =
=
2 2 2( )x a y a− + = ( ),0a r a=
sin sin cos cos sin 2 24 4 4
π π πρ θ ρ θ ρ θ + = + =
cosx ρ θ= siny ρ θ=得直线 l 的普通方程为 .
∵圆心到直线的距离 ， ，
即 ，得 ，或 ，
， .
（2）由（1）得，圆 C 的普通方程为 .
把 ， 代入，得 ，
化简，得圆 C 的极坐标方程为 .
依题意，设 ， ， .
的范围是 .
【点睛】本题考查了参数方程，极坐标与普通方程转化，极坐标几何意义的应用，考查了学
生转化划归，数学运算的能力.
23．【答案】（1） （2）
【分析】（1）分类讨论法去绝对值解不等式即可；
（2）画出函数 的图象, 等价于 的图象在直线 的图象
的上方,结合图象即可得到 的范围.
【详解】
（1）解:由题,
当 时, ,则 ,解得 ,则 ；
当 时, ,则 ,解得 ,则 ；
当 时, ,则 ,解得 ,则 ,
4 0x y+ − =
| 4 |
2
ad
−= 2 2| | 2 2 2AB r d∴ = − =
2
2 ( 4) 22
aa
−− = 2a = 10a = −
0 5a< + ( )y f x= 1y ax= +
a
0x < ( ) 2 2 3 2f x x x x= − + − = − + 3 2 5x− + < 1x > − 1 0x− < <
0 2x≤ < ( ) 2 2 2f x x x x= + − = + 2 5x+ < 3x < 0 2x≤ <
2x ≥ ( ) 2 2 3 2f x x x x= + − = − 3 2 5x − < 7
3x < 72 3x≤
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