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2013高二数学必修五章末质量检测试卷（北师大版）
2013年北师大版高二数学必修五章末质量评估+模块检测试卷(4份)
资料简介
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章末质量评估(二)
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．在不等边三角形中，a是最大的边，若a2.
又a20，
可知AA D．C>A>B
解析 由正弦定理得＝，∴sin B＝，又∵B为锐角，∴B＝60°，∴C＝90°，
即C>B>A.
答案 C
9．若△ABC中，sin B·sin C＝cos2，则△ABC的形状为 ( )．
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
解析 由sin B·sin C＝cos2可得2sin B·sin C＝2cos2＝1＋cos A，即2sin B·sin C＝1－
cos(B＋C)＝1－cos Bcos C＋sin Bsin C，∴sin B·sin C＋cos Bcos C＝1，即cos(B－C)＝1，
又－π0)，则最大角为________．
解析 >a，>b
设最大角为θ，则cos θ＝＝－，∴θ＝120°.
答案 120°
16．在△ABC中，已知A·A＝9，AB＝3，AC＝5，那么△ABC是________三角形．
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解析 ∵A·A＝|A|·|A|cos A＝15cos A＝9
∴cos A＝，∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝
32＋52－2×3×5×＝16，∴BC＝4，∴AC2＝AB2＋BC2，∴△ABC为直角三角形．
答案 直角
三、解答题(共40分)
17．(10分)济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2 m，到达B点，又测得泉标顶部仰角为80°.你能帮李明同学求出泉标的高度吗？(精确到1 m)
解 如图所示，点C，D分别为泉标的底部和顶端，依题意，∠BAD
＝60°，∠CBD＝80°，AB＝15.2 m，则∠ABD＝100°，故∠ADB＝180°
－(60°＋100°)＝20°.
在△ABD中，据正弦定理，
＝，
∴BD＝＝≈38.5(m)．
在Rt△BCD中，CD＝BDsin 80°＝38.5·sin 80°≈38(m)，即泉城广场上泉标的高约为38 m.
18．(10分)已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边．
(1)若△ABC的面积S△ABC＝，c＝2，A＝60°，求a、b的值；
(2)若a＝ccos B，且b＝csin A，试判断△ABC的形状．
解 (1)∵S△ABC＝bcsin A＝，
∴b·2sin 60°＝.得b＝1.由余弦定理得：
a2＝b2＋c2－2bccosA＝12＋22－2×1×2·cos 60°＝3，
所以a＝.
(2)因为a＝c·⇒a2＋b2＝c2，
所以C＝90°.在Rt△ABC中，sin A＝，
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所以b＝c·＝a，所以△ABC是等腰直角三角形．
19．(10分)在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，其中c＝10，且＝＝.
(1)求证：△ABC是直角三角形；
(2)设圆O过A、B、C三点，点P位于劣弧上，∠PAB＝60°.求四边形ABCP的面积．
(1)证明 根据正弦定理得＝.
∴sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B.
∴2A＝2B或2A＝π－2B，又∵＝，∴b≠a，A≠B，
∴2A＝π－2B，∴A＋B＝，∴C＝，
∴△ABC是直角三角形．
(2)解 由(1)可得a∶b∶c＝3∶4∶5，
又∵c＝10，∴a＝6，b＝8.
在Rt△ACB中，
sin ∠CAB＝＝，cos ∠CAB＝.
∴sin ∠PAC＝sin(60°－∠CAB)
＝sin 60°·cos ∠CAB－cos 60°·sin ∠CAB
＝×－×＝(4－3)．
如图，连接PB，在Rt△APB中，
AP＝AB·cos ∠PAB＝5，
∴四边形ABCP的面积
S四边形ABCP＝S△ACB＋S△PAC＝
ab＋AP·AC·sin∠PAC
＝24＋×5×8×(4－3)＝18＋8.
20．(10分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，并且a2＝b(b＋c)．
(1)求证：A＝2B；
(2)若a＝b，判断△ABC的形状．
解 (1)因为a2＝b(b＋c)，即a2＝b2＋bc，
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所以在△ABC中，由余弦定理可得，
cos B＝＝
＝＝＝＝，
所以sin A＝sin 2B，故A＝2B.
(2)因为a＝b，所以＝，由a2＝b(b＋c)可得c＝2b，
cos B＝＝＝，
所以B＝30°，A＝2B＝60°，C＝90°.所以△ABC为直角三角形．
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