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高考数学（文）教学案专题10圆锥曲线
资料简介
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【高考考纲解读】
(1)中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质，B级要求；
(2)中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质，A级要求；
(3)顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质，A级要求；曲线与方程，A级要求.
（4）有关直线与椭圆相交下的定点、定值、最值、范围等问题.
【重点、难点剖析】
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)；
(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2ab>0)(焦点在x轴上)或＋＝1(a>b>0)(焦点在y轴上)；
(2)双曲线：－＝1(a>0，b>0)(焦点在x轴上)或－＝1(a>0，b>0)(焦点在y轴上)．
3．圆锥曲线的几何性质
(1)椭圆：e＝＝；
(2)双曲线：①e＝＝.
②渐近线方程：y＝±x或y＝±x.
4．求圆锥曲线标准方程常用的方法
(1)定义法
(2)待定系数法
①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a不具有p的几何意义；
②中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为＋＝1(m＞0，n＞0)；
双曲线方程可设为－＝1(mn＞0)．
这样可以避免讨论和繁琐的计算．
5．求轨迹方程的常用方法
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(1)直接法：将几何关系直接转化成代数方程；
(2)定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程；
(3)代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系；
注意：①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式；③化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等.
6．有关弦长问题
有关弦长问题，应注意运用弦长公式；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．
(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝ |x2－x1|或|P1P2|＝|y2－y1|.
(2)弦的中点问题
有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”来简化运算．
7．圆锥曲线中的最值
(1)椭圆中的最值
F1，F2为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆上的任意一点，B为短轴的一个端点，O为坐标原点，则有
①|OP|∈[b，a]；
②|PF1|∈[a－c，a＋c]；
③|PF1|·|PF2|∈[b2，a2]；
④∠F1PF2≤∠F1BF2.
(2)双曲线中的最值
F1，F2为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线上的任一点，O为坐标原点，则有
①|OP|≥a；
②|PF1|≥c－a.
8．定点、定值问题
定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．
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9．解决最值、范围问题的方法
解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数或建立不等关系，根据目标函数或不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理.
【题型示例】
题型1、圆锥曲线的定义与标准方程
【例1】【2017课标3，文11】已知椭圆C：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【变式探究】【2016高考浙江文数】已知椭圆C1：+y2=1(m>1)与双曲线C2：–y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（ ）
A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e2b>0)为动点，F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．
(1)求椭圆的离心率e；
(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足A·B＝－2，求点M的轨迹方程．
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x＝－2，化简得18x2－16xy－15＝0.将y＝代入c＝x－y，得c＝>0，所以x>0.因此，点M的轨迹方程是18x2－16xy－15＝0(x>0)．
【规律方法】(1)求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知，若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线，则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解．
(2)讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应，要注意字母的取值范围．
【变式探究】 (2013·新课标全国Ⅰ卷)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.
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化简得7x2＋8x－8＝0，解之得x1＝，x2＝.
∴|AB|＝|x1－x2|＝.
当k＝－时，由图形的对称性可知|AB|＝.
综上，|AB|＝2或.
题型四 双曲线的定义及标准方程
例4．【2016年高考北京文数】双曲线（，）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则_______________.
【答案】2
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【举一反三】(2015·福建，3)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( )
A．11 B．9 C．5 D．3
解析 由双曲线定义||PF2|－|PF1||＝2a，∵|PF1|＝3，∴P在左支上，∵a＝3，∴|PF2|－|PF1|＝6，∴|PF2|＝9，故选B.
答案 B
【变式探究】(2015·安徽，4)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是( )
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C.－x2＝1 D．y2－＝1
解析 由双曲线性质知A、B项双曲线焦点在x轴上，不合题意；C、D项双曲线焦点均在y轴上，但D项渐近线为y＝±x，只有C符合，故选C.
答案 C
【举一反三】(2015·广东，7)已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
题型五 双曲线的几何性质
例5．【2017课标II，文5】若，则双曲线的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
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【答案】C
【解析】由题意，因为，所以，则，故选C.
【变式探究】【2016高考山东文数】已知双曲线E： （a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______.
【答案】2
【解析】假设点A在第一象限，点B在第二象限，则，，所以，，由，得离心率或（舍去），所以E的离心率为2.
【举一反三】(2015·四川，5)过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝( )
A. B．2 C．6 D．4
解析 焦点F(2，0)，过F与x轴垂直的直线为x＝2，渐近线方程为x2－＝0，将x＝2代入渐近线方程得y2＝12，y＝±2，∴|AB|＝2－(－2)＝4.选D.
答案 D
【变式探究】(2015·新课标全国Ⅱ，11)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )
A. B．2 C. D.
答案 D
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【特别提醒】(2015·新课标全国Ⅰ，5)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·0)的离心率为,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,圆N的半径为|NO|. 设D为AB的中点,DE,DF与圆N分别相切于点E,F,求EDF的最小值.
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【答案】（Ⅰ） .(II) .
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故，
所以 .
令，所以.
当时， ,
从而在上单调递增，
因此，
等号当且仅当时成立，此时，
所以，
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由（*）得 且.
故，
设，
则 ，
所以的最小值为，
从而的最小值为，此时直线L的斜率是0.
综上所述：当， 时， 取到最小值.
【变式探究】【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线，抛物线
（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.
①求证：线段PQ的中点坐标为；
②求p的取值范围.
【答案】（1）（2）①详见解析，②
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①由消去得
因为P 和Q是抛物线C上的相异两点，所以
从而，化简得.
方程（*）的两根为，从而
因为在直线上，所以
因此，线段PQ的中点坐标为
②因为在直线上
所以，即
由①知，于是，所以
因此的取值范围为
【举一反三】(2015·重庆，10)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离小于a＋，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )
A．(－1，0)∪(0，1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－，0)∪(0，)
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D．(－∞，－)∪(，＋∞)
【变式探究】(2014·辽宁，10)已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为( )
A. B. C. D.
解析 ∵A(－2，3)在抛物线y2＝2px的准线上，∴－＝－2，∴p＝4，∴y2＝8x，设直线AB的方程为x＝k(y－3)－2①，将①与y2＝8x联立，即得y2－8ky＋24k＋16＝0②，则Δ＝(－8k)2－4(24k＋16)＝0，即2k2－3k－2＝0，解得k＝2或k＝－(舍去)，将k＝2代入①②解得即B(8，8)，又F(2，0)，∴kBF＝＝，故选D.
答案 D
【举一反三】(2015·山东，15)平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．
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