资料简介
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【高考考纲解读】
高考对本内容的考查主要有：
(1)导数的几何意义是考查热点，要求是B级，理解导数的几何意义是曲线上在某点处的切线的斜率，能够解决与曲线的切线有关的问题；
(2)导数的运算是导数应用的基础，要求是B级，熟练掌握导数的四则运算法则、常用导数公式及复合函数的导数运算，一般不单独设置试题，是解决导数应用的第一步；
(3)利用导数研究函数的单调性与极值是导数的核心内容，要求是B级，对应用导数研究函数的单调性与极值要达到相等的高度.
(4)导数在实际问题中的应用为函数应用题注入了新鲜的血液，使应用题涉及到的函数模型更加宽广，要求是B级；
(5)导数还经常作为高考的压轴题，能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力．估计以后对导数的考查力度不会减弱．作为导数综合题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.
【重点、难点剖析】
1．导数的几何意义
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．
(2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
2．基本初等函数的导数公式和运算法则
(1)基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c
f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈R)
f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a＞0且a≠1)
f′(x)＝axln a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
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f(x)＝logax
(a＞0且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝
(2)导数的四则运算
①[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)；
②[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)；
③′＝(v(x)≠0)．
3．函数的单调性与导数
如果已知函数在某个区间上单调递增(减)，则这个函数的导数在这个区间上大(小)于零恒成立．在区间上离散点处导数等于零，不影响函数的单调性，如函数
y＝x＋sin x .
4．函数的导数与极值
对可导函数而言，某点导数等于零是函数在该点取得极值的必要条件．例如f(x)＝x3，虽有f′(0)＝0，但x＝0不是极值点，因为f′(x)≥0恒成立，f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，无极值．
5．闭区间上函数的最值
在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值中的最小值．
6．函数单调性的应用
(1)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0在区间(a，b)上恒成立；
(2)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0在区间(a，b)上恒成立；
(3)可导函数f(x)在区间(a，b)上为增函数是f′(x)＞0的必要不充分条件.
【题型示例】
题型1、导数的几何意义
【例1】 【2016高考新课标2文数】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．
【答案】
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相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.
【感悟提升】函数图像上某点处的切线斜率就是函数在该点处的导数值．求曲线上的点到直线的距离的最值的基本方法是“平行切线法”，即作出与直线平行的曲线的切线，则这条切线到已知直线的距离即为曲线上的点到直线的距离的最值，结合图形可以判断是最大值还是最小值．
【举一反三】(2015·陕西，15)设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．
解析 ∵(ex)′＝e0＝1，设P(x0，y0)，有＝－＝－1，
又∵x0＞0，∴x0＝1，故xP(1，1)．
答案 (1，1)
【变式探究】 (1)曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于( )
A．2e B．e C．2 D．1
(2)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．
【命题意图】 (1)本题主要考查函数求导法则及导数的几何意义．
(2)本题主要考查导数的几何意义，意在考查考生的运算求解能力．
【答案】(1)C (2)－3
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又y′＝2ax－，
所以在点P处的切线斜率4a－＝－.②
由①②解得a＝－1，b＝－2，所以a＋b＝－3.
【感悟提升】
1．求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．
2．利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．
题型2、利用导数研究函数的单调性
【例2】 (2017·高考全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝(1－x2)ex.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求a的取值范围．
【变式探究】【2016高考山东文数】(本小题满分13分)
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已知.
（I）讨论的单调性；
（II）当时，证明对于任意的成立.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析
（1），，
当或时，，单调递增；
当时，，单调递减；
（2）时，，在内，，单调递增；
（3）时，，
当或时，，单调递增；
当时，，单调递减.
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综上所述，
当时，函数在内单调递增，在内单调递减；
当时，在内单调递增，在内单调递减，在 内单调递增；
当时，在内单调递增；
当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.
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【感悟提升】确定函数的单调区间要特别注意函数的定义域，不要从导数的定义域确定函数的单调区间，在某些情况下函数导数的定义域与原函数的定义域不同．
【举一反三】(2015·福建，10)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝－1，其导函数f′(x)满足f′(x)＞k＞1，则下列结论中一定错误的是( )
A．f＜ B．f＞
C．f＜ D．f＞
解析 ∵导函数f′(x)满足f′(x)＞k＞1，∴f′(x)－k＞0，k－1＞0，＞0，可构造函数g(x)＝f(x)－kx，可得g′(x)＞0，故g(x)在R上为增函数，∵f(0)＝－1，
∴g(0)＝－1，∴g＞g(0)，
∴f－＞－1，∴f＞，∴选项C错误，故选C.
答案 C
【变式探究】(2014·新课标全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ex－e－x－2x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设g(x)＝f(2x)－4bf(x)，当x>0时，g(x)>0，求b的最大值；
(3)已知1.414 2>0.692 8；
当b＝＋1时，ln(b－1＋)＝ln ，
g(ln)＝－－2＋(3 ＋2)ln 2
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高考数学（文）教学案专题04导数及其应用