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人教版九年级下册数学全册教案
九年级数学下册·教案（RJ）
资料简介
第二十七章 相 似
本章主要学习图形的相似．
首先，教材中从生活实例入手，得到相似图形的概念，进一步得到相似多边形，研究了相似多边形的定义和有关性质，为研究相似三角形做了铺垫．
其次，从相似多边形引入相似三角形，反映了知识间的一种联系，同时也揭示了相似三角形所要研究的本质就是两个三角形边、角之间的关系．本部分内容的学习，应突出一种对应关系，即找两个相似三角形的对应边和对应角，关键是先找到其对应顶点．相似三角形的性质及其判定定理是否能正确地运用也是本节课的一个重点．教材中首先让学生选择合适的方法进行探索和归纳，然后运用相似三角形的性质，通过计算给出证明，并推导得到相似三角形的周长的比、面积的比与相似比的关系．
最后，教材中介绍了图形的位似．位似的两个图形具有一种特殊的位置关系，这种关系是通过位似中心来联系的，位似中心的位置决定了两个位似图形的位置，其关键是抓住对应点的连线都经过位似中心；而相似图形只研究它们的形状和大小，与这两个图形的位置无关．本节的位似只要求学生理解位似图形，利用位似将一个图形放大或缩小．
1．能够判断线段是否成比例，理解并掌握比例的几个性质以及平行线分线段成比例定理．
2．通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等、对应边成比例．
3．了解两个相似三角形的概念，探索两个三角形相似的条件、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比、面积的比与相似比的关系．
4．了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小．
5．通过典型实例观察并认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题．
本章教学约需11课时，具体分配如下：
27．1 图形的相似2课时
27．2 相似三角形7课时
27．3 位似2课时
27．1 图形的相似
第1课时 图形的相似(1)
知识与技能
从生活中形状相同的图形的实例中认识成比例的线段，理解成比例线段的概念．
过程与方法
在成比例线段的探究过程中，让学生运用“观察—比较—猜想”的方法分析问题．
情感、态度与价值观
在探究成比例线段的过程中，培养学生与他人交流、合作的意识．
重点
认识成比例的线段．
难点
理解成比例线段的概念．
一、问题引入
活动1.观察图片，体会形状相同的图形．(多媒体出示)
师：同学们，请观察下列几幅图片，你能发现什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？
生：这些图形的形状相同，而大小不同．
二、新课教授
活动2.思考：如图是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们的形状相同吗？
生：形状不同．
师：我们把形状相同，大小不同的图形叫做相似图形．
形状相同而大小不同的两个平面图形，较大的图形可以看成是由较小的图形“放大”得到的，较小的图形可以看成是由较大的图形“缩小”得到的．在这个过程中，两个图形上的相应线段也被“放大”或“缩小”，因此，对于形状相同而大小不同的两个图形，我们可以用相应线段长度的比来描述它们的大小关系．
如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB∶CD＝m∶n或写成＝.其中，线段AB、CD分别叫做这个线段比的前项和后项．如果把表示成比值k，那么＝k或AB＝k·CD，两条线段的比实际上就是两个数的比．
活动3.如果把老师手中的教鞭与铅笔分别看成是两条线段AB和CD，那么这两条线段的长度比是多少？
师生活动．
1．两条线段的比，就是两条线段长度的比．
2．成比例线段：对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相等，如＝(即ad＝bc)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
注意：(1)两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，但在计算时要注意统一单位；
(2)线段的比是一个没有单位的正数；
(3)四条线段a，b，c，d成比例，记作：＝或a∶b＝c∶d；
(4)若四条线段满足＝，则有ad＝bc；
(5)如果ad＝bc(a，b，c，d都不等于0)，那么＝.
三、例题讲解
例1 如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形形状相同的是( )
解：C
例2 一张桌面长a＝1.25 m，宽b＝0.75 m，那么长与宽的比是多少？
(1)如果a＝125 cm，b＝75 cm，那么长与宽的比是多少？
(2)如果a＝1 250 mm，b＝750 mm，那么长与宽的比是多少？
解：＝
小结：上面分别采用m，cm，mm三种不同的长度单位，求得的的值是相等的，所以说，两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长度单位必须一致．
四、课堂小结
1．图形相似的定义：形状相同的图形叫做相似图形．
2．成比例线段：对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相等，如＝(即ad＝bc)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
本节课在学习过程中应该注意从生活中形状相同的图形的实例中认识相似图形以及成比例的线段，理解成比例线段的概念．在相似图形的探究过程中，让学生运用“观察——比较——猜想”的方法分析问题，让学生经历探究过程．以学生的自主探究为主线，让学生经历实验操作、探究发现、证明论证获得知识．教师只在关键处进行点拨，不足处进行补充．鼓励学生大胆猜测、大胆验证，让学生在研究过程中渗透数学思想，有意识地培养学生的解题能力．
第2课时 图形的相似(2)
知识与技能
知道相似图形的两个特征：对应边成比例，对应角相等．掌握判断两个多边形是否相似的方法——“如果两个多边形满足对应角相等、对应边的比相等，那么这两个多边形相似”．
过程与方法
经历从生活中的事物中抽象出几何图形的过程，体会由特殊到一般的思想方法，
感受图形世界的丰富多彩．
情感、态度与价值观
在探索中培养学生与他人交流、合作的意识和品质．
重点
知道相似图形的对应角相等、对应边的比相等．
难点
能运用相似图形的性质解决问题．
一、问题引入
1．若线段a＝6 cm，b＝4 cm，c＝3.6 cm，d＝2.4 cm，那么线段a，b，c，d会成比例吗？
2．两张相似的地图中的对应线段有什么关系？(都成比例)
二、探究新知
1．观察图片，体会相似图形的性质．
(1)下图(1)中的△A1B1C1是由正△ABC放大后得到的，观察这两个图形，它们的对应角有什么关系？对应边又有什么关系呢？
(2)对于图(2)中两个形状相同、大小不同的正六边形，是否也能得到类似的结论？
学生细心观察，认真思考，小组讨论后回答问题，最后得出：
它们的对应角相等，对应边的比相等．
∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1.
＝＝.
师：上图中的△ABC，△A1B1C1是形状相同的三角形，其中∠A与∠A1，∠B与∠B1，∠C与∠C1分别相等，称为对应角，AB与A1B1，BC与B1C1，AC与A1C1的比都相等，称为对应边，各角相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形．
2．探究．
如图(1)中是两个相似三角形，它们的对应角有什么关系？对应边的比是否相等？
对于图(2)中两个相似四边形，它们的对应角、对应边是否也有同样的结论？
师生总结：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
(1)如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似．
(2)相似多边形的对应边的比称为相似比．
三、例题讲解
例 如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，求∠α和∠β的大小以及EH的长度x.
学生通过运用相似多边形的性质正确解答出∠α和∠β的大小以及EH的长度x.
解：四边形ABCD和四边形EFGH相似，它们的对应角相等．由此可得
∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°，
在四边形ABCD中，
∠β＝360°－(78°＋83°＋118°) ＝81°.
四边形ABCD和四边形EFGH相似，它们的对应边成比例．由此可得
＝，即＝.
解得x＝28 cm.
四、巩固练习
1．在比例尺为1∶10 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30 cm，求两地的实际距离．
答案 3 000 km
2．如图所示的两个直角三角形相似吗？为什么？
答案 相似，因为它们的对应角相等，对应边的比相等．
3．如图所示的两个五边形相似，求未知边a，b，c，d的长度．
答案 a＝3，b＝，c＝4，d＝6.
五、课堂小结
1．相似多边形的定义：如果两个多边形的对应角相等、对应边的比相等，那么这两个多边形相似．
2．相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
本节课在前一节课学习的基础上，进一步加深对相似图形的认识．在相似图形的探究过程中，继续让学生运用“观察——比较——猜想”的方法分析问题，让学生经历探究过程．以学生自主探究为主线，让学生经历实验操作、探究发现、证明论证获得知识．教师只在关键处进行点拨，不足处进行补充．鼓励学生大胆猜测、大胆验证．让学生在研究过程中渗透数学思想，有意识地培养学生的解题能力．
27．2 相似三角形
27．2.1 相似三角形的判定
第1课时 平行线分线段成比例
知识与技能
使学生在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并会灵活应用．
过程与方法
通过学习定理再次锻炼类比的数学思想，能把一个稍复杂的图形分成几个基本图形，通过应用锻炼识图能力和推理论证能力．
情感、态度与价值观
通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般，并能欣赏数学图形的对称美，激发学习数学的兴趣．
重点
平行线分线段成比例定理和推论及其应用．
难点
平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用．
一、复习导入
师：什么是相似多边形？
生：对应角分别相等，对应边成比例的两个多边形．
教师用多媒体展示：
如图，在△ABC和△A′B′C′中，
如果∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，＝＝＝k.
师：这样的两个三角形有什么关系呢？
生：△ABC和△A′B′C′相似．
师：对，两个三角形相似记作△ABC∽△A′B′C′，“∽”读作“相似于”．
师：上面的两个三角形的相似比为k，假如k＝1，这两个三角形有怎样的关系？
生：当k＝1时，AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′，△ABC≌△A′B′C′.
师：所以全等是相似的特殊情况．
师：既然全等有很多种判定方法，我们可以类比全等的判定方法找到两个三角形相似的方法吗？在这之前，我们先来探究下面的问题．
二、共同探究，获取新知
师：我们知道两条平行线之间的距离是相等的．如果有三条直线l3∥l4∥l5，任意两直线l1和l2与它们相交且截得的线段AB＝BC.
我们会得到DE＝EF，
即＝＝1.
你们知道为什么吗？
生：学生思考、讨论，得出结论．
平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等．
师：如果≠1，那么和还相等吗？
师：引导学生按要求画图，测量．
生：操作后，讨论．
可以发现，当l3∥l4∥l5时，总有＝，＝，＝等．
一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
师：把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现什么样的情况呢？
生：思考、画图．
图(1)中把l4看成平行于△ABC的边BC的直线，图(2)中把l3看成平行于△ABC的边BC的直线，可以得到结论：
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．
三、例题讲解
例 如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC.
(1)如果AE＝7，EB＝5，FC＝4，那么AF的长是多少？
(2)如果AB＝10，AE＝6，AF＝5，那么FC的长是多少？
解：(1)∵EF∥BC，
∴＝.
∵AE＝7，EB＝5，FC＝4，
∴AF＝＝＝.
(2)∵EF∥ BC，
∴＝.
∵AB＝10，AE＝6，AF＝5，
∴AC＝＝＝，
∴FC＝AC－AF＝－5＝.
四、巩固练习
1．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
答案 A
2．如图，DE∥BC，AB∶DB＝3∶1，则AE∶AC＝________．
答案 2∶3
五、课堂小结
师：今天你学习了哪些定理？
学生口述定理．
在思考中，学生总结出当求证的两个比例式的线段不在同一基本型的时候应该怎样解题，并且掌握中间比的找法．对于添加辅助线的证明比例式问题，需要“透析”题目中的条件和证明方法．从课堂练习和作业反馈上体现出学生对知识的接受还比较理想，这堂课还是比较成功的．
第2课时 相似三角形的判定(1)
知识与技能
掌握“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”的判定方法；能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．
过程与方法
经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力．
情感、态度与价值观
培养学生敢于实践、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神．
重点
三角形相似的判定方法1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
难点
三角形相似的判定方法1的运用．
一、创设情境，引入新课
师：根据相似三角形的定义，三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形．那么，两个三角形至少要满足哪些条件就相似呢？能否类比两个三角形全等的条件寻找判定两个三角形相似的条件呢？今天这节课我们就一起来探索三角形相似的条件．
二、探究新知
问题 平行于三角形一边的直线与其他两边相交所构成的三角形，与原三角形相似吗？
师生活动：
如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE分别交AB，AC于点D，E，△ADE与△ABC有什么关系？
直觉告诉我们，△ADE与△ABC相似，我们通过相似的定义证明它，即证明∠A＝∠A，∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，＝＝.由前面的结论可得，＝.而中的DE不在△ABC的边BC上，不能直接利用前面的结论．但从要证的＝可以看出，除DE外，AE，AC，BC都在△ABC的边上，因此只需将DE平移到BC边上去，使得BF＝DE，再证明＝就可以了．只要过点E作EF∥AB，交BC于点F，BF就是平移DE所得的线段．
先证明两个三角形的角分别相等．
如图，在△ADE与△ABC中，∠A＝∠A.
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.
再证明两个三角形的边成比例．
过点E作EF∥AB，交BC于点F.
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴＝，＝.
∵四边形DBFE是平行四边形，
∴DE＝BF，
∴＝，
∴＝＝.
这样，我们证明了△ADE和△ABC的角分别相等，边成比例，所以△ADE∽△ABC，因此，我们有如下判定三角形相似的定理．
三角形相似的判定方法1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．(定理的证明由学生独立完成)
三、例题讲解
例 如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，AB＝7，AD＝5，DE＝10，求BC的长．
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴BC＝＝＝14.
四、课堂小结
本节课学习了：
三角形相似的判定方法1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
本节课主要是探究相似三角形的判定方法1，本课教学力求使探究途径多元化，把学生利用刻度尺、量角器等作图工具做静态探究与应用“几何画板”等计算机软件做动态探究有机结合起来，让学生充分感受探究的全面性，丰富探究的内涵．另外小组合作学习的开展不仅提高了数学实验的效率，而且培养了学生的合作能力．
第3课时 相似三角形的判定(2)
知识与技能
理解并掌握相似三角形的判定方法2，3.
过程与方法
培养学生的观察、发现、比较、归纳的能力，感受两个三角形全等的两种判定方法SSS和SAS与三角形相似定理的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系．
情感、态度与价值观
让学生经历从试验探究到归纳证明的过程，发展学生合理的推理能力．
重点
两个三角形相似的判定方法2，3及其应用．
难点
探究两个三角形相似的判定方法2，3的过程．
一、问题引入
1．我们学习过哪些判定三角形相似的方法？
(三角形相似的定理 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似)
2．全等三角形与相似三角形有怎样的关系？
(全等三角形是特殊的相似三角形，相似比k＝1)
3．如果要判定△ABC与△A′B′C′相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？
(不需要)
二、新课教授
由三角形全等的SSS判定方法，我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？
探究1：
任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结论．
学生动手画图、测量，独立研究后再小组讨论．
三角形相似的判定方法2：三边成比例的两个三角形相似．
探究2：
利用刻度尺和量角器画△ABC和△A′B′C′，使∠A＝∠A′，和都等于给定的值k，量出它们的第三组对应边BC和B′C′的长，它们的比等于k吗？另外两组对应角∠B与∠B′，∠C与∠C′是否相等？
改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？
学生动手画图、测量，独立研究．
三角形相似的判定方法3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
三、例题讲解
例1 根据下列条件，判断△ABC与△A1B1C1是否相似，并说明理由．
(1)∠A＝120°，AB＝7 cm，AC＝14 cm，∠A1＝120°，A1B1＝3 cm，A1C1＝6 cm；
(2)∠B＝120°，AB＝2 cm，AC＝6 cm，∠B1＝120°，A1B1＝8 cm，A1C1＝24 cm.
解：(1)＝＝，∠A＝∠A1＝120°⇒△ABC∽△A1B1C1；
(2)＝＝，∠B＝∠B1＝120°，但∠B与∠B1不是AB与AC，A1B1与A1C1的夹角，所以△ABC与△A1B1C1不相似．
例2 如图，在△ABC和△ADE中，＝＝，∠BAD＝20°，求∠CAE的度数．
解：∵＝＝，
∴△ABC∽△ADE(三边成比例的两个三角形相似)，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，
即 ∠BAD＝∠CAE.
∵∠BAD＝20°，
∴∠CAE＝20°.
四、巩固练习
1．根据下列条件，判断△ABC和△A′B′C′是否相似，并说明理由．
(1)∠A＝40°，AB＝8 cm，AC＝15 cm，
∠A′＝40°，A′B′＝16 cm，A′C′＝30 cm；
(2)AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝16 cm，
A′B′＝20 cm，B′C′＝16 cm，A′C′＝32 cm.
答案 (1)相似，两组对应边的比相等，且夹角相等． (2)相似，三组对应边的比相等．
2．图中的两个三角形是否相似？
答案 (1)相似． (2)不相似．
五、课堂小结
师：通过本节课的学习，同学们有什么体会与收获？可以与大家分享一下吗？
学生发言，说说自己的体会与收获，教师根据学生的发言予以点评．
本节课主要是探究相似三角形的判定方法2和判定方法3，由于上节课已经学习了探究两个三角形相似的判定方法1，而本节课内容在探究方法上与上节课又具有一定的相似性，因此本课教学设计注意方法上的“新旧联系”，以帮助学生形成认知上的正迁移．此外，由于判定方法3的条件“相应的夹角相等”在应用中容易被学生忽视，所以教学中教师要强调，以加深学生的印象．
第4课时 相似三角形的判定(3)
知识与技能
使学生了解三角形相似的判定方法4及直角三角形相似定理的证明方法并会运用．
过程与方法
1．类比证明三角形全等的方法(AAS，ASA，HL)，继续渗透和培养学生对类比思想的认识和理解．
2．通过了解定理的证明方法培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力．
情感、态度与价值观
通过学习培养学生类比的意识，了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点．
重点
两个判定定理的应用
难点
了解两个判定定理的证明方法与思路
一、复习引入
师：判定两个三角形全等的方法有哪几种？
生：SAS，ASA(AAS)，SSS，HL
师：三角形相似的判定方法2和3是类比三角形全等的判定方法“SAS”，“SSS”得出的，那我们能否类比“ASA(AAS)”，“HL”用同样的方法得出新的三角形相似的判定方法呢？
二、共同探究，获取新知
推理证明
探究1：
师：由于“ASA(AAS)”中只有一条边，是不能写出对应边的比的，那么就剩下两个角了，即两角分别相等的两个三角形相似吗？
教师用多媒体出示：
如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，判断△ABC和△A′B′C′是否相似，为什么？
教师引导学生在稿纸上按要求画图．
学生动手画图、测量、独立研究．
三角形相似的判定方法4：两角分别相等的两个三角形相似．
探究2：
师：判定两个直角三角形是否全等时，除了用那些一般的方法外还可以用“HL”的方法，那么判定两个直角三角形相似是否也有类似的方法呢？
教师多媒体课件出示：
如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，＝.判断Rt△ABC与Rt△A′B′C′是否相似，为什么？
师：已知一个直角三角形的斜边、一条直角边与另一个直角三角形的斜边、一条直角边对应成比例，你能判断这两个直角三角形是否相似吗？
学生思考、讨论后回答．
生：设＝＝k，则AB＝kA′B′，AC＝kA′C′，根据勾股定理BC可以用含AB，AC的式子表示，进而可以用含A′B′，A′C′的式子表示，再用勾股定理就得到BC＝kB′C′，所以就得到了三边对应成比例，这两个三角形相似．
师：你回答得太好了！现在请同学们写出具体的步骤，然后与课本上的对照，将不完善的地方改正．
学生证明并修改．
证明：设＝＝k，则AB＝kA′B′，AC＝kA′C′.
∵BC＝＝＝k＝kB′C′，
∴＝＝＝k，
∴△ABC∽△A′B′C′.
师：所以我们得到了判定两个直角三角形相似的一个定理：
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
三、练习新知
1．如图，锐角△ABC的边AB，AC上的高CE，BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形．
生甲：△ABF和△ACE.
生乙：△EDB和△FDC.
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是边AB上的高，求证：(1)CD2＝AD·BD； (2)BC2＝AB·BD，AC2＝AB·AD.
证明：(1)∵△ADC和△ACB是直角三角形，
∴∠A＋∠ACD＝90°，∠BCD＋∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
又∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴△ADC∽△CDB.
∴＝.
∴CD2＝AD·BD.
(2)∵∠B＝∠B，
∠ACB＝∠CDB，
∴△ABC∽△CBD.
∴＝.
∴BC2＝AB·BD.
同理可证△ABC∽△ACD.
∴＝.
∴AC2＝AB·AD.
四、课堂小结
本节课主要学习了三角形相似的另一个判定定理：两角对应相等的两个三角形相似．除了前面讲过的针对任意三角形相似的判定方法外，还有斜边和直角边分别对应成比例的两个直角三角形相似这一判定定理．在做题时要灵活运用，选取合适的方法．
前面已经学习了几种三角形相似的判定方法，所以这节课以学生为主导，教师加以提示、纠正、鼓励学生自己探索，讨论得出新的判定定理，培养学生的动手能力，勇于探索的精神．
27．2.2 相似三角形的性质
第1课时 相似三角形的性质(1)
知识与技能
理解并掌握相似三角形的对应线段(高、中线、角平分线)之间的关系，掌握定理的证明方法，并能灵活运用相似三角形的判定定理和性质，提高分析和推理能力．
过程与方法
在对性质定理的探究中，学生经历“观察—猜想—论证—归纳”的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度，并在其中体会类比的数学思想，培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的数学品质，提高分析问题和解决问题的能力．
情感、态度与价值观
1．在学习和探讨的过程中，体验特殊到一般的认知规律．
2．通过学生之间的合作交流使学生体验到成功的喜悦，树立学好数学的自信心．
重点
相似三角形性质定理的探究及应用．
难点
综合应用相似三角形的性质与判定定理，探索相似三角形中对应线段之间的关系．
一、复习回顾
师：相似三角形的判定方法有哪些？
学生回答．
师：相似三角形有哪些性质？
生：相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
师：三角形有哪些相关的线段？
生：中线、高和角平分线．
二、共同探究，获取新知
教师多媒体课件出示：
已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比为k，AD，A′D′是对应高．求证：＝＝k.
师：这个题目中已知了哪些条件？
生：△ABC和△A′B′C′相似，这两个三角形的相似比是k，AD，A′D′分别是它们的高．
师：我们要证的是什么？
生：它们的高的比等于它们对应边的比，等于这两个三角形的相似比．
师：你是怎样证明的呢？
生：证明△ABD和△A′B′D′相似，然后由相似三角形的对应边成比例得到＝.
师：你怎样证明△ABD和△A′B′D′相似呢？
学生思考后回答：因为△ABC和△A′B′C′相似，由相似三角形的对应角相等，所以∠B＝∠B′，∠ADB＝∠A′D′B′＝90°.根据两角对应相等的两个三角形相似得到△ABD和△A′B′D′相似．
学生写出证明过程．
活动1.已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比为k，AD，A′D′是对应的中线．
求证：＝＝k.
证明：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B′，＝＝k.
又∵AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，
∴BD＝BC，B′D′＝B′C′，＝＝＝k，
∴△ABD∽△A′B′D′(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)，
∴＝＝k.
活动2.已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比为k，AD，A′D′分别是∠BAC和∠B′A′C′的平分线．
求证：＝＝k.
证明：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B′，∠BAC＝∠B′A′C′.
又∵AD和A′D′分别是∠BAC和∠B′A′C′的平分线，
∴∠BAD＝∠BAC，
∠B′A′D′＝∠B′A′C′，
∠BAD＝∠B′A′D′，
∴△BAD∽△B′A′D′(两角对应相等的两个三角形相似)，
∴＝＝k.
师：于是我们就得到了相似三角形的一个性质定理．
定理1 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
三、例题讲解，应用新知
例 如图，AD是△ABC的高，AD＝h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E.
当SR＝BC时，求DE的长．如果SR＝BC呢？
解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，
∴SR∥BC，
∴∠ASR＝∠B，∠ARS＝∠C，
∴△ASR∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似)，
∴＝(相似三角形对应高的比等于相似比)，
即＝.
当SR＝BC时，得＝，解得DE＝h.
当SR＝BC时，得＝，解得DE＝h.
四、课堂小结
师：今天你又学习了什么内容？
学生回答．
在本节课的教学过程中，先让学生回顾了相似三角形的性质即对应角相等，对应边成比例，为后面的证明做了铺垫．在已有知识的基础上用类比化归的思想去探究新知，让学生充分体会数学知识之间的内在联系，以此激发学生的学习兴趣，能够使整个课堂气氛由沉闷变得活跃，尤其是让学生板演使学生有机会展示他们的学习所得，做到了将课堂回归给学生，学生的主体地位得到了很好的体现．
第2课时 相似三角形的性质(2)
知识与技能
理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，并能用来解决简单的问题．
过程与方法
探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，体验化归思想．
情感、态度与价值观
经历探索相似三角形性质的过程，并在探究过程中发展学生积极的情感、态度与价值观，体验解决问题策略的多样性．
重点
理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方．
难点
探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方．
一、复习引入
1．回顾相似三角形的概念及判定方法．
2．复习相似多边形的定义及相似多边形的对应边、对应角的性质．
二、新课教授
探究1：如果两个三角形相似，它们的周长之间是什么关系？如果是两个相似多边形呢？
学生小组自由讨论、交流，达成共识．
设△ABC∽△A1B1C1，相似比为k，
那么＝＝＝k
⇒AB＝kA1B1，BC＝kB1C1，CA＝kC1A1
⇒
＝＝k.
由此我们可以得到：
相似三角形的性质2：相似三角形周长的比等于相似比．
用类似的方法，还可以得出：
相似多边形的性质1：相似多边形周长的比等于相似比．
探究2：
(1)如图(1)，△ABC∽△A1B1C1，相似比为k1，它们的对应高的比是多少？它们的面积比是多少？
通过上节课的学习，我们得到了相似三角形的性质1：相似三角形对应高的比等于相似比．
∴＝＝k1.
由上述结论，我们有：
＝＝＝k12.
相似三角形的性质3：相似三角形面积的比等于相似比的平方．
(2)如图(2)，四边形ABCD相似于四边形A1B1C1D1，相似比为k2，它们的面积比是多少？
分析：∵＝＝k22，
∴＝＝k22.
相似多边形的性质2：相似多边形面积的比等于相似比的平方．
三、例题讲解
例 如图，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，△ABC的周长是24，面积是12，求△DEF的周长和面积．
解：△ABC和△DEF中，
∵AB＝2DE，AC＝2DF，
∴＝＝.
又∵∠A＝∠D，
∴△ABC∽△DEF，相似比为.
∴△DEF的周长＝×24＝12，
面积＝()2×12＝3.
四、巩固练习
填空：
(1)如果两个相似三角形对应边的比为3∶5，那么它们的相似比为________，周长的比为________，面积的比为________；
(2)如果两个相似三角形面积的比为3∶5，那么它们的相似比为________，周长的比为________；
(3)连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于________，面积比等于________；
(4)两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm和18 cm，若较大三角形的周长是42 cm，面积是12 cm2，则较小三角形的周长为________cm，面积为________cm2.
答案 (1) (2) (3) (4)14
五、课堂小结
相似三角形的性质：
性质2.相似三角形周长的比等于相似比．
性质3.相似三角形面积的比等于相似比的平方．
相似多边形的性质1：相似多边形周长的比等于相似比．
相似多边形的性质2：相似多边形面积的比等于相似比的平方．
本节课主要是让学生理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，通过探索相似多边形周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方让学生体验化归思想，学会应用相似三角形周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方来解决简单的问题．因此本课的教学设计突出了“相似比⇒相似三角形周长的比⇒相似多边形周长的比”，“相似比⇒相似三角形面积的比⇒相似多边形面积的比”等一系列从特殊到一般的过程，让学生深刻体验到有限数学归纳法的魅力．
27.2.3 相似三角形应用举例
知识与技能
进一步巩固相似三角形的知识；能够运用三角形相似的知识解决不能直接测量的物体的长度和高度(如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题)等一些实际问题．
过程与方法
通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型进一步了解数学建模的思想，培养学生分析问题、解决问题的能力．
情感、态度与价值观
体会数学在生活中的作用，增强学习数学的兴趣，树立学好数学的信心．
重点
运用三角形相似的知识计算不能直接测量的物体的长度和高度．
难点
灵活运用三角形相似的知识解决实际问题，即如何把实际问题抽象为数学问题．
一、新课教授
例1 (测量金字塔高度的问题)根据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形来测量金字塔的高度．
如图，木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度．
分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定定理和性质，根据已知条件求出金字塔的高度．
解法一：∵BA∥DE，
∴∠BAO＝∠EDF.
又∵∠AOB＝∠DFE＝90°，
∴△ABO∽△DEF，
∴＝，
∴BO＝＝＝134.
答：此金字塔的高度为134 m.
问：你还可以用什么方法来测量金字塔的高度？(如用身高等)
解法二：用镜面反射．(如图，点A是个小镜子，根据光的反射定律：由入射角等于反射角构造相似三角形，解法略)
例2 (测量河宽的问题)如图，为了估算河的宽度，我们可在河对岸选定一个目标点P，在近岸处取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与岸垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直于PS的直线b交于点R，测得QS＝45 m，ST＝90 m，QR＝60 m．求河的宽度PQ.
分析：设河宽PQ长为x m，由于此种测量方法构造了三角形中的平行截线，故可得到相似三角形，因此有＝，即＝.再解x的方程可求出河宽．
解法一：∵∠PQR＝∠PST＝90°，∠P＝∠P，
∴△PQR∽△PST，
∴＝，
即＝，即＝，
∴PQ×90＝(PQ＋45) ×60，
解得PQ＝90，
因此河的宽度PQ为90 m.
问：你还可以用什么方法来测量河的宽度？
解法二：如图，构造相似三角形．(解法略)
例3 (盲区问题)如图，左、右并排的两棵大树的高分别是AB＝8 m和CD＝12 m，两树根部的距离BD＝5 m．一个身高1.6 m的人沿着正对这两棵树的一条水平直线l从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C?
解：如图所示，假设观察者从左向右走到点E时，
他的眼睛的位置点F与两棵树的顶端点A，C恰好在一条直线上．
由题意可知，AB⊥l，CD⊥l，
∴AB∥CD，△AFH∽△CFK，
∴＝，
即＝＝，
解得FH＝8.
由此可知，如果观察者继续前进，即他与左边的树的距离小于8 m时，由于这棵树的遮挡，右边树的顶端点C在观察者的盲区之内，观察者看不到它．
二、巩固练习
1．如图，身高1.6 m的小华站在距路灯杆5 m的C点处，测得她在灯光下的影长CD为2.5 m，则路灯的高度AB为________．
答案 4.8 m
2．在同一时刻，物体的高度与它的影长成正比例．在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米？
答案 36 m
三、课堂小结
本节课主要让学生了解：利用三角形的相似可以解决一些不能直接测量的物体的高度和长度的问题．指导思想是利用相似三角形对应边的比相等，如果四条对应边中已知三条，则可求得第四条，具体研究了如何测量金字塔高度的问题、测量河宽的问题、盲区问题．通过具体事例加强有关相似三角形知识的应用．
本节课主要是让学生学会运用两个三角形相似的知识解决实际问题，在解决实际问题的过程中经历从实际问题到建立数学模型的过程，培养学生的抽象概括能力．因此在教学设计中突出了“审题⇒画示意图⇒明确数量关系⇒解决问题”的数学建模过程，学生可以从中锻炼把生活中的实际问题转化为数学问题的能力．
27．3 位 似
第1课时 位 似(1)
知识与技能
1．了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质．
2．掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将—个图形放大或缩小．
过程与方法
经历位似图形的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力．
情感、态度与价值观
培养学生动手操作的能力，体验学习的乐趣．
重点
位似图形的有关概念、性质与作图．
难点
利用位似将一个图形放大或缩小．
一、问题引入
1．生活中我们经常把照片放大或缩小，由于没有改变图形的形状，我们得到的照片是真实的．
2．问：如图，多边形ABCDE，把它放大为原来的2倍，即新图与原图的相似比为2.应该怎样做？你能说出画相似图形的一种方法吗？
二、新课教授
活动1：观察下图，图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似有什么共同的特征？
学生通过观察了解到有一类相似的图形，除具备相似的所有性质外，还有其他特性，学生自己归纳出位似图形的概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．每对位似对应点与位似中心共线(位似中心可在形上、形外、形内)；不经过位似中心的对应线段平行．利用位似可以将一个图形放大或缩小．
活动2：把图中的四边形ABCD缩小到原来的.
师生活动：
教师提出问题，要注意引导学生能够用不同的方法画出所要求作的图形，要让学生通过作图理解符合要求的图形不唯一，这和所作的图形与所确定的位似中心的位置有关(如位似中心O可能选在四边形ABCD外，可能选在四边形ABCD内，可能选在四边形ABCD的一条边上，可能选在四边形ABCD的一个顶点上)，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形，因此，位似中心的确定是关键．
分析：把图形缩小到原来的，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2.
作法一：如图．
(1)在四边形ABCD外任取一点O；
(2)过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；
(3)分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′，B′，C′，D′，使得＝＝＝＝；
(4)顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，所得四边形A′B′C′D′就是所要求作的图形．
作法二：如图．
(1)在四边形ABCD外任取一点O；
(2)过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；
(3)分别在射线OA，OB，OC，OD的反向延长线上取点A′，B′，C′，D′，使得＝＝＝＝；
(4)顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，所得四边形A′B′C′D′就是所要求作的图形．
作法三：如图．
(1)在四边形ABCD内任取一点O；
(2)过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；
(3)分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′，B′，C′，D′，使得＝＝＝＝；
(4)顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，所得四边形A′B′C′D′就是所要求作的图形．
三、例题讲解
例1 如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心．
解：图(1)、(2)和(4)三个图形中的两个图形都是位似图形，位似中心分别是图(1)中的点A，图(2)中的点P和图(4)中的点O.(图(3)中的点O不是对应点连线的交点，故图(3)不是位似图形，图(5)也不是位似图形)
例2 画出所给图形的位似中心．
答案
四、课堂小结
1．位似图形的概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．
2．位似的作用：利用位似可以将一个图形放大或缩小．
3．位似图形的画法．
位似是相似的延伸和深化．位似图形在实际生产和生活中有着广泛的应用，如利用位似把图形放大或缩小；放电影时，胶片与屏幕的画面也是位似图形．本章编排的素材不仅丰富了教材的内容，加强了数学与自然、社会及其他学科的联系，同时体现了学生的数学学习内容是现实的、有意义的、富有挑战性的，更突出地反映了数学的价值．
第2课时 位似(2)
知识与技能
1．巩固位似图形及其有关概念．
2．会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．
3．了解四种变换(平移、轴对称、旋转和位似)的异同，并能在复杂图形中找出这些变换．
过程与方法
会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定比例放大或缩小，体会数形结合的思想．
情感、态度与价值观
渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
重点
用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．
难点
把一个图形按一定比例放大或缩小后，掌握点的坐标变化的规律．
一、问题引入
1．什么是位似图形？
(如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．)
2．如图，以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的两倍．
二、新课教授
在前面，我们学习了在平面直角坐标系中，如何用坐标表示某些平移、轴对称、旋转(中心对称)等变换，相似也是一种图形的变换，一些特殊的相似(如位似)也可以用图形坐标的变化来表示．下面我们来研究如何表示．
活动1：(1)如图(1)，在平面直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小，观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？
(2)如图(2)，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，3)，B(2，1)，C(6，2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？
学生小组讨论，共同交流，回答问题．
解：可以看出，图(1)中把AB缩小后，A，B两点的对应点分别为A′(2，1)，B′(2，0)；A″(－2，－1)，B″(－2，0)．
图(2)中，作图略．将△ABC放大后，A，B，C对应的点分别为A′(4，6)，B′(4，2)，C′(12，4)；A″(－4，－6)，B″(－4，－2)，C″(－12，－4)．
归纳位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k.
活动2：如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，3)，B(2，1)，C(6，2)．
①将△ABC向左平移三个单位得到△A1B1C1，写出A1，B1，C1三点的坐标；
②写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2的三个顶点A2，B2，C2的坐标；
③将△ABC绕点O旋转180°得到△A3B3C3，写出A3，B3，C3三点的坐标．
①将△ABC向左平移三个单位得到△A1B1C1，则A1(－1，3)，B1(－1，1)，C1 (3，2)；
②△ABC关于x轴对称的△A2B2C2三个顶点坐标分别为A2(2，－3)，B2 (2，－1)，C2 (6，－2) ；
③将△ABC绕点O旋转180°得到△A3B3C3，则A3(－2，－3)，B3(－2，－1)，C3(－6，－2)．
三、例题讲解
例 如图，四边形ABCD四个顶点的坐标分别为A(－6，6)，B(－8，2)，C(－4，0)，D(－2，4)．画出它的—个以原点O为位似中心、相似比为的位似图形．
解法一：如上图，利用位似变换中对应点的坐标的变化规律，分别取点A′(－3，3)，B′(－4，1)，C′(－2，0)，D′(－1，2)．依次连接点A′，B′，C′，D′，四边形A′B′C′D′就是要求作的四边形ABCD的位似图形．
解法二：点A的对应点A″的坐标为(－6×(－)，6×(－))，即A″(3，－3)．类似地，可以确定其他顶点的坐标．(具体解法与作图略)
四、巩固练习
1．在平面直角坐标系中，已知点A(3，4)，B(－4，3)，以原点O为位似中心，相似比为2，将△OAB放大为△OA′B′，则对应点A′，B′的坐标分别为________．
答案 A′(6，8)，B′(－8，6)或A′(－6，－8)，B′(8，－6)．
2．如图，以某点为位似中心，将△AOB进行位似变换得到△CDE，记△AOB与△CDE对应边的比为k，则位似中心的坐标和k的值分别为( )
A．(0，0)，2 B．(2，2)，
C．(2，2)，2 D．(2，2)，3
答案 C
五、课堂小结
本节课首先巩固位似图形及其有关概念方面的知识，要求学生会用图形坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律；了解四种变换(平移、轴对称、旋转和位似)的异同，并能在复杂图形中找出这些变换．
关于位似图形的概念，教学中应注意解释：几何变换、相似变换、位似变换三者之间的关系．相似变换是特殊的几何变换，位似变换又是特殊的相似变换，位似图形是具有特殊位置关系的相似图形．四种变换中，平移、轴对称、旋转都是保距变换，变换前后图形全等．而相似变换(包括位似变换)前后得到的图形不一定全等，是保角变换．
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